初中数学函数总复习讲义
初中函数知识点总复习
初中函数知识点总复习函数是数学中的一个重要概念，它在数学建模、物理、经济等许多领域中得到广泛的应用。
在初中数学中，函数也是一个重要的知识点。
下面是初中函数知识点的总复习。
一、函数的概念函数是一个数集到另一个数集的规律或映射。
通常表示为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义域是所有可能的自变量的值的集合，值域是函数的所有可能的因变量的值的集合。
二、函数的表达形式1. 一次函数：y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a不等于0，a、b、c都是常数。
3.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
4. 幂函数：y=ax^n，其中n是整数，a不等于0。
5. 对数函数：y=loga(x)，其中a是底数，1<a不等于0，x是正实数。
三、函数的性质1.奇偶性：如果对于函数中的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；如果对于函数中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
2.周期性：如果存在一个正数T，对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，T是函数的周期。
3.单调性：如果对于函数中的任意x1和x2，有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)或者f(x1)>f(x2)，则函数是单调递增或单调递减的。
4.极值：函数在定义域中可能存在最大值（极大值）或最小值（极小值），称为极值点。
5.零点：如果对于函数中的一些x，有f(x)=0，则x称为函数的零点。
四、函数的图像与特征1.平移：若函数f(x)的图像是y=f(x)的图像上的点(x,y)，则函数f(x-a)的图像是y=f(x)的图像上的点(x+a,y)。
2.左右翻折：若函数f(x)的图像是y=f(x)的图像上的点(x,y)，则函数f(-x)的图像是y=f(x)的图像上的点(-x,y)。
3.上下翻折：若函数f(x)的图像是y=f(x)的图像上的点(x,y)，则函数-f(x)的图像是y=f(x)的图像上的点(x,-y)。
初中函数知识点复习讲义
初中函数知识点复习讲义函数是数学中的基本概念之一，也是数学建模中常用的工具。
初中阶段主要学习二元一次函数、一元一次函数、一元一次不等式以及函数的图像、函数的性质等内容。
下面是初中函数知识点的复习讲义：一、二元一次函数1. 二元一次函数的定义：二元一次函数是指形如 y=ax+by+c 的函数，其中 a、b、c 是已知实数，且 a 和 b 不同时为 0。
2. 二元一次函数的图像：二元一次函数的图像是一条直线，方程y=ax+by+c 的图像是平面上 a 和 b 不全为 0 的点的全体。
3.二元一次函数的性质：(1)斜率：二元一次函数的斜率是指直线上两个不同点的纵坐标的差与横坐标的差的比值。
斜率为正表示直线递增，斜率为负表示直线递减，斜率为0表示直线平行于x轴。
(2)截距：二元一次函数的截距是指直线与y轴的交点坐标的纵坐标。
(3) 过原点：如果 b=1，c=0，则二元一次函数过原点，其方程为y=ax+x。
二、一元一次函数1. 一元一次函数的定义：一元一次函数是指形如 y=kx+b 的函数，其中 k 和 b 是已知实数，且 k 不为 0。
2. 一元一次函数的图像：一元一次函数的图像是一条直线，其方程为 y=kx+b 的图像是平面上所有点的集合。
3.一元一次函数的性质：(1)斜率：一元一次函数的斜率是指直线上两个不同点的纵坐标的差与横坐标的差的比值。
斜率为正表示直线递增，斜率为负表示直线递减，斜率为0表示直线平行于x轴。
(2)截距：一元一次函数的截距是指直线与y轴的交点坐标的纵坐标。
(3) 过原点：如果 b=0，则一元一次函数过原点，其方程为 y=kx。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指形如 ax+b<0 或ax+b>0 的不等式，其中 a 和 b 是已知实数，且 a 不为 0。
2.解一元一次不等式的方法：(1) 如果 a>0，解不等式 ax+b>0 时，解集为 x>-b/a。
初三数学函数知识点归纳
初三数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 定义在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。
2. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如。
列表法：通过列出自变量与函数的对应值来表示函数关系，例如，在研究正方形面积与边长的关系时，可列出时，；时，等表格。
图象法：用图象来表示函数关系，如一次函数的图象是一条直线。
二、一次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做一次函数。
当时，叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
2. 一次函数的图象与性质图象：一次函数的图象是一条直线，叫做直线在轴上的截距。
当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限。
性质当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。
3. 一次函数的解析式的确定通常采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件列出关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定函数解析式。
三、反比例函数1. 定义形如为常数，的函数叫做反比例函数。
2. 反比例函数的图象与性质图象：反比例函数的图象是双曲线。
当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大。
反比例函数图象关于原点对称，它的对称轴是直线和。
3. 反比例函数解析式的确定同样采用待定系数法，设，把已知点的坐标代入求出的值即可确定解析式。
四、二次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图象与性质图象：二次函数的图象是一条抛物线。
顶点坐标：。
对称轴：直线。
性质当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，函数有最大值。
中考总复习函数综合--知识讲解
中考总复习函数综合--知识讲解函数是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学中经常考察的内容之一、掌握了函数的概念和基本性质，可以帮助我们更好地解决实际问题。
下面我们就来系统地介绍一下函数的相关知识。
一、函数的定义在数学中，函数的定义是这样的：设有两个集合A和B，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一确定的元素y属于B与之对应，则称y是x的函数值，记作y=f(x)，其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的符号，表示从集合A到集合B的映射。
函数可以用图象、列表、公式等不同形式来指代。
例如，y=x+2就是一个函数的表达式，表示对于集合A中的每一个元素x，都有唯一的元素y满足y=x+2、其他形式的函数也可以通过类似的方式来解释。
二、函数的性质1.定义域和值域：对于函数f(x)，A中的元素x的集合称为函数的定义域，B中的元素y的集合则称为函数的值域。
2.单调性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是严格递增的；当f(x1)>f(x2)时，函数f(x)是严格递减的。
3.最值：对于函数f(x)，如果定义域内存在一个元素x0，使得对于任意的x，都有f(x)>=f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值；同理，如果对于任意的x，都有f(x)<=f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值。
4.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
三、常见函数的形式1. 一次函数：一次函数是指坐标系中满足y=kx+b的函数。
其中，k表示斜率，b表示截距。
一次函数的图象是一条直线，斜率k的大小决定了直线的倾斜程度，截距b的大小决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数是指坐标系中满足y=ax^2+bx+c的函数。
初中数学函数家教讲义
初中数学函数家教讲义一、函数的基本概念及性质1.1 函数的定义我们先来了解函数的定义。
在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
简而言之，函数是一种规则，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
1.2 函数的符号表示函数通常用字母表示，常见的表示方法有f(x)、g(x)等。
其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)则表示函数f对自变量x的取值。
1.3 定义域和值域接下来我们来介绍函数的定义域和值域。
定义域是指函数所有自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入。
值域是指函数所有因变量的取值范围，它是函数的有效输出。
1.4 三种基本函数初中数学中常见的函数有三种：线性函数、二次函数和反比例函数。
二、线性函数2.1 线性函数的定义线性函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条直线。
线性函数的一般形式可以表示为：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
2.2 线性函数的图像特点线性函数的图像具有以下特点：- 斜率k决定了直线的倾斜程度，k越大直线越陡峭，k越小直线越平缓。
- 截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b为正数时，直线在y 轴上方交点；当b为负数时，直线在y轴下方交点。
三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
3.2 二次函数的图像特点二次函数的图像具有以下特点：- 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示函数在顶点的取值。
四、反比例函数4.1 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条曲线。
反比例函数的一般形式可以表示为：y = k/x，其中k为常数。
4.2 反比例函数的图像特点反比例函数的图像具有以下特点：- 曲线与坐标轴不相交，称为渐近线。
八年级函数全知识点讲解
八年级函数全知识点讲解函数是数学中非常重要的一个概念，是一种映射方法，用来描述两个变量之间的关系。
下面就为大家详细讲解八年级数学中的函数知识点。
一、函数的定义函数是一个映射方法，可以将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通常用符号 f(x)表示，在其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
函数从一组数到另一组数的映射，也就是说函数是一种关系。
映射方法 f 将自变量 x 映射到因变量 y，在数学中用 (x, y) 表示这个映射关系。
函数常用于表示各种自然现象以及数学中导数、积分等运算。
二、函数的特点1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量 x 的所有取值，在这些区间内映射后得到的函数值定义了函数的值域。
例如，y = 2x + 1 这个函数的定义域为实数集合，值域为所有的实数集合。
2. 奇偶性函数的奇偶性指函数在自变量 x 为正或负时对应的函数值是否相等。
如果一个函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相等，则这个函数具有偶性；如果函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相反，则这个函数具有奇性。
3. 对称性函数的对称性包含水平和垂直两种对称性。
如果函数曲线在直线 y = k 垂直平面上对称，则称函数关于该垂直线具有对称性。
如果函数曲线在直线 x = k 水平平面上对称，则称函数关于该水平线具有对称性。
4. 单调性函数在定义域内是单增还是单减的性质称为它的单调性。
如果函数的导数恒大于0，该函数称为单调递增；如果函数的导数恒小于0，该函数称为单调递减。
三、函数的类型1. 线性函数线性函数的表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，也叫函数的斜率和截距。
线性函数的图形是一条直线，反映了固定比例的关系。
2. 二次函数二次函数的标准表达式为 y = ax² + bx + c，其中 a, b, c 都是常数。
它的图形是一个抛物线。
3. 幂函数幂函数的表达式为 y = x^n，其中 n 为常数。
九年级数学专题讲座
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式（公式，公式为常数，公式）。
当公式时，函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线，公式决定直线的倾斜程度（公式，直线从左到右上升；公式，直线从左到右下降），公式决定直线与公式轴的交点（公式）。
题目解析例：已知一次函数公式，求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解：当公式时，公式，解得公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时，公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式（公式，公式，公式为常数，公式）。
顶点式为公式（公式为顶点坐标）。
二次函数图象是抛物线，公式决定抛物线的开口方向（公式开口向上；公式开口向下），对称轴为公式（一般式）或公式（顶点式）。
题目解析例：求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解：对于二次函数公式，其中公式，公式，公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式（公式为常数，公式）。
图象是双曲线。
当公式时，双曲线在一、三象限；当公式时，双曲线在二、四象限。
题目解析例：已知反比例函数公式，求当公式时公式的值，以及当公式时公式的值。
解：当公式时，公式。
当公式时，公式，解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例：在公式中，公式，公式，求公式的度数。
解：因为三角形内角和为公式，所以公式。
例：已知公式和公式，公式，公式，判断这两个三角形是否相似。
解：因为在公式和公式中，公式，公式，两角分别相等，所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
中考总复习：函数综合--知识讲解(基础).doc
中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：（1）y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象过第一、二、四象限.【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】解：a、b的取值范围应分别满足：（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,∴23a＞, 且b取任何实数.（2）函数图象与y 轴的交点为（0,1-b ）， ∵ 交点在x 轴的下方，∴ ，即a≠, b ＞1.（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b ＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k 、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与x 轴夹角的大小，b 决定直线与y 轴交点的位置，由k 定向，由b 定点.同样，如图2，是k ＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.举一反三：【变式】作出函数y=x, 2x y x=，2()y x =的图象，它们是不是同一个函数？【答案】 函数2()y x =的自变量x 的取值范围是x≥0；函数2x y x=在x≠0时，就是函数y=x ；而x=0不在函数2x y x=的自变量x 的取值范围之内.由此，作图如下：可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：(1)m 为何值时，它是一次函数. (2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y 是随x 的增大而增大还是减小？ (3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0. 【答案与解析】(1)依题意：，解得m=1或m=4.∴当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x ，是正比例函数，图象过一，三象限， y 随x 的增大而增大.当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y 随x 的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x 轴交点为A(-3，0)， 与y 轴交点为B(0，-3)，..∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.【总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b （k ≠0）中k 、b 的符号.(3)直线y=kx+b （k ≠0）与两轴的交点坐标可运用x 轴、y 轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b （k ≠0）上的点在x 轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b （k ≠0）上的点在y 轴上时，令x=0，则y=b ，即交点为(0，b).举一反三：【高清课程名称：函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】 【变式】已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 【答案】证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：23(5)2m m x -±-= 即11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得14m -=-或44m m -=-，所以3m =或4m =.3．抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x﹣3，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=2B ．b=2，c=0C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=﹣3，c=2 【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【答案】B ． 【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数1y x=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 【思路点拨】因为反比例函数1y x = 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k ＜0，将解方程组 11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化成关于x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．【答案】1-4k ＜. 【解析】由反比例函数的性质可知，1y x=的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k ＜0，解方程组11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得kx 2+x-1=0， 当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k ＜0， 解得1-4k ＜， ∴两函数图象无公共点时，1-4k ＜． 故答案为：1-4k ＜. 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x 的一元二次方程，再确定k 的取值范围．类型三、函数综合题5．（2015春•姜堰市校级月考）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，有下列结论：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＜0；其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ．3 【思路点拨】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据对称轴和图象确定y ＞0或y ＜0时，x 的范围，确定代数式的符号． 【答案】C ． 【解析】解：①∵开口向下，∴a＜0，对称轴在y 轴的左侧，b ＜0，∴①正确； ②当x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，②正确；③﹣=﹣，2a=3b，x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，b+2c＞0③错误；故选：C．【总结升华】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．举一反三：【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．类型四、函数的应用6．（2015•舟山）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【思路点拨】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【答案】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=714（元）；③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【总结升华】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．举一反三：【高清课程名称： 函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】【变式】抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ． ① 判断mn 的符号； ② 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （A 在B 左侧），请说明116x <，2112x <<． 【答案】（1）证明：∵ 2360a b c ++=， ∴12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 0c a <，0c a->． ∴ 1023b a +>．（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ， ∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <． ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， ∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．。
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二次函数的解析式1、二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 例1、函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习：1、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
2、已知函数y=(m －1)xm2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
2、待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=例1、已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。
3、二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
二次函数的图像、性质与平移1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。
规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。
观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。
2、二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大． （2）二次函数c bx axy ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－2ba，244ac b a -），对称轴x=－2ba ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2ba ，y随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而增大． （3）当a ＞0时，当x=－2ba 时，函数有最小值244ac b a-；当a ＜0时，当x x=－2ba 时，函数有最大值244ac b a-例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）练习：1、、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）2、已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2aC ．a-b+c> 0D ．c< 03、抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ） A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③⑤4、当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )个 A.4 B.3 C.2 D.13、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x－h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 记住规律：左加右减，上加下减例1、已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x的增大而减小．例2、抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．例3、已知点（－1，y 1）、（－321，y 2）、（21，y 3）在函数y=3x 2＋6x ＋12的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 练习：1、如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
2、将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a1xyO 1x By O 1xyO＝，b＝，c＝ .3、.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x轴，y轴的交点问题1、二次函数与x轴交点问题一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
2、二次函数y>0,y=0,y<0的x的取值情况。
3、二次函数与y轴的交点为（0，c）。
例1、已知二次函数y=x2-〔m2＋8〕x＋2〔m2＋6〕,⑴求证;不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上。
例2、已知抛物线c cx x y 22+-=与x 轴没有交点． （1）求c 的取值范围；（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由． 练习：1、已知函数y=mx 2﹣6x+1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．2、已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．作业：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．0＜－a b 2＜1B ．0＜－a b 2＜2C ．1＜－a b 2＜2D ．－ab2=1图① 图②2．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x=时，y=3；（3）根据图象回答：当x时，y ＞0． 3、抛物线y= －32 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
4、抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
5、将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
6、在同一坐标系中，函数y= ax 2+c 与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )A B C D7、反比例函数y = kx 的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2x-1c 的图象大致为图中的（ ）A B C D9.反比例函数y= kx中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（）A B CD10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x 的值只能取0；其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411、已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为4时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为3，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．。