高中数学线面角与线线角例题习题

线面角与线线角

【知识网络】

1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,

]2

π

θ∈；

（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。 【典型例题】

例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角

答案：D 。解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为

2

2

。 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）

A 、2个

B 、4个

C 、6个

D 、8个

答案：B 。解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）

A ．90º

B ．60º

C ．45º

D ．30º

答案：B 。解析将BC 1平移到E 1F 即可。

（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。

答案：AC ⊥BD 。解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.

答案：16或64。解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。

例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1

＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；

（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E

点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

答案：（I ）连结DF ，DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC

∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ⊥平面BB 1C 1C ∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影，

在△DFC 1中，∵DF 2＝BF 2＋BD 2＝5a 2，21DC ＝21CC ＋DC 2＝10a 2，

2

1FC ＝B 1F 2＋211C B ＝5a 2， ∴21DC ＝DF 2＋21FC ，∴DF ⊥FC 1 FC 1⊥EF

（II ）∵AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 在△EDF 中，若∠EFD ＝60°，则ED ＝DFtg60°＝3·a 5＝a 15， ∴a 15＞a 3，∴E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 上 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC

=2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;

(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;

(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; 答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.

(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD ⊂平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.

(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △PEC 中, ∠PCE=45°.

例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。如图

,3:4:,6

5

cos ==

∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小. 答案：

A B

C

D P

B

C H S

3030,2

1

525sin ,,,902

5

cos 3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角

和面是面面又即的直径是则设PAC PB BPC x x

BPC BPC Rt PAC PB BPC PAC

BC BC PA ABC PA AC BC ACB O AB x ABC x BC x PB x AB x PA =∠∴==∠∆∠∴⊥∴⊥∴⊥⊥=∠∴Θ=∠====

【课内练习】

1．若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） （A ）)2

,

0(π

（B ）)2

,

0[π

（C ）]2

,

0(π

（D ）]2

,

0[π

答案：D 。解析：a 和α平行，a 和α斜交。

2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1 的中点，则直线OM ( )

A 是AC 和MN 的公垂线

B 垂直于A

C 但不垂直于MN C 垂直于MN ，但不垂直于AC

D 与AC 、MN 都不垂直 答案：A 。解析：易证OM ⊥AC ，OM ⊥MN 。

3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是

（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

答案：C 。解析：连AC 、BD 交于O ，连OE ，则OE//SC.

︒=∠∴=⋅

⋅-

+

=∠∴===60,2

12

22223

212cos ,22,23,222BEO BEO OE OB BE 4．异面直线a , b 所成的角为︒60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为︒60，这样的直线L 有 条。

答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。

5．已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。

答案：600 。解析：以PD 为对角线构造长方体

6．正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________

答案：面AD 1C 。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD 1C ， 7．如图，四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M

为AB 的中点，求：

（1）BC 与平面SAB 所成的角；

（2）SC 与平面ABC 所成角的正弦值。