已知方差的均值区间估计
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
§7-1 已知方差的均值区间估计
一、复习引入 1．点估计 2．假设检验的方法和程序
§7—1 已知方差的均值区间估计
二、已知方差估计均值的基本思想方法 引例： 引例： 从长期的生产实践知道，某厂生产的灯泡的 使用寿命 ， 现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取5只，测得使用寿 命如下： 试对这批灯泡的平均使用寿命作区间估计。 样本均值的观测值 这就是对总体均值的点估计 但只是的近似值，的真值是未知的。 我们希望给出一个区间，使得这个区间能够按足够大 的概率（比如）包含总体均值。
§7—1 已知方差的均值区间估计
（1）构造统计量，并确定其分布： （2）对给定的概率，查正态分布表知 其中=是根据需要选定的，是在选定后查正态 = 分布表所得到的。一般不能过大。 （3）因为，从而 解出 得：这就是说： 值包含在区间内的概率为 （4）当作一次具体的抽样，得到一组样本值 后，以代入上式，得到区间 ，可以认为总体均 值在该区间了。
§7—1 已知方差的均值区间估计
三、置信水平、临界值和置信区间 置信水平、 从引例可知，区间表达了估计的精确度，概率表达了估计的可靠 程度。 称区间为的置信区间。 置信区间。 置信区间 称概率为为的置信水平 置信水平（或叫置信度）。 置信水平 由所确定的称为置信水平为时的临界值 临界值。 临界值 置信水平通常用表示，不一定选取。通常选取=、、。对于不同 的置信水平，可确定不同的临界值，从而得到不同的置信区间。 注意： 注意： 总体均值虽然未知，但它是一个常量。由于样本是随机抽取的， 观测值不同，置信区间也不同，所以置信区间也是随机的，它以 很大的概率（）包含了总体均值。 置信区间的长度越小，估计越精确；置信水平越大，估计越可 靠。我们希望：估计的范围要小，而可靠性要大。但对固定样本 容量来说，这是办不到的。如果不降低可靠性，而缩小估计范围， 那么就只有增大样本容量。
统计学中的区间估计方法及其应用
统计学中的区间估计方法及其应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将介绍区间估计的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的意义。
一、区间估计的基本概念区间估计是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，使得该范围内有一定的置信水平包含真实的总体参数值。
常见的区间估计方法有点估计法、区间估计法和极大似然估计法等。
点估计法是通过样本数据计算得到一个点估计值，作为总体参数的估计值。
例如，通过样本均值估计总体均值，通过样本方差估计总体方差等。
区间估计法是在点估计的基础上，给出一个置信区间，该区间包含了总体参数的真实值。
置信区间的计算依赖于样本数据的分布和样本容量等因素。
极大似然估计法是通过最大化似然函数，寻找最有可能生成观测数据的参数值。
该方法常用于对总体分布的参数进行估计。
二、常见的区间估计方法1. 正态分布的区间估计在正态分布的区间估计中，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于大样本，T检验适用于小样本。
这两种方法都是基于正态分布的性质，通过计算样本均值与总体均值之间的差异，得出置信区间。
2. 二项分布的区间估计对于二项分布的区间估计，常用的方法是Wald区间估计和Wilson区间估计。
Wald区间估计是基于正态近似的方法，适用于大样本。
Wilson区间估计是一种修正的方法，适用于小样本。
3. 指数分布的区间估计对于指数分布的区间估计，常用的方法是对数似然比法和置信上限法。
对数似然比法是通过最大化似然函数，得到参数的估计值，并计算置信区间。
置信上限法是寻找参数的最大值，使得观测值在该上限下的概率达到一定的置信水平。
三、区间估计的应用意义区间估计在实际应用中具有重要的意义。
首先，区间估计提供了对总体参数范围的估计，使得我们能够更准确地了解总体的特征。
其次，区间估计能够帮助我们进行决策和预测。
例如，在市场调研中，我们可以通过区间估计来估计产品的需求量，从而制定合理的生产计划。
区间估计公式
区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。
它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。
这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。
一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。
2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。
令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。
偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。
从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。
三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。
它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。
最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。
方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。
而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。
交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。
估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。
然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。
五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。
区间估计及运算
即
，且 未知时，
这时两个样本均值之差（ 为
）的抽样分布
整理课件
37
所以
因为 未知，则用共同方差 的合并估计 量
整理课件
38
两个总体均值差 区间为
的置信度为1-α的置信
其中， 是α水平的自由度为 的t分布双侧分位数。
整理课件
39
例题：
某公司为了解男女推销员的推销能力是否 有差别，随机抽取16名男推销员和25名女 推销员进行测试。男推销员的平均销售额 为30250元，标准差为18400元，女推销 员的平均销售额为33750元，标准差为 13500元。假设男女推销员的销售额服从 正态分布，且方差相等。试建立男女推销 员销售额之差的95%的置信区间。
点估计是指根据抽取到的具体样本数据， 代入估计量得到的一个估计值。
区间估计是在点估计的基础上估计出总体 参数一个可能的范围，同时还给出总体参 数以多大的概率落在这个范围之内。
整理课件
2
二、为什么要区间估计呢？
在上述警察逮捕人数的例子中，你计算得出 均值为15.6人，你的上司可能会问，这一均 值的确是15.6吗？
小样本 (<30)
大样本 (>=30)
——
整理课件
X
Z
2
n
N n N 1
X Z
2
n
N n N 1
——
X
Z
2
n
Nn N 1
32
总体 分布
正态 分布
非正 态分 布
总体均值μ的区间估计（置信度为1-α） [简单随机抽样和等距抽样]
样本 容量
σ未知重复抽样
小样本
(<30)
大样本
区间估计的基本原理和步骤
区间估计的基本原理和步骤区间估计是统计推断中的一种方法，用于估计总体参数的区间范围。
其基本原理和步骤如下：一、基本原理：二、步骤：1.确定参数类型和样本分布：在进行区间估计之前，需要明确要估计的总体参数类型，例如均值、方差、比例等。
同时，需要确保样本数据来自一个合理的总体分布，通常假设样本数据满足正态分布。
2.选择置信水平：置信水平表示对于重复抽样所得的区间估计，其中包含总体参数真实值的概率。
常用的置信水平有95%和99%。
选择置信水平时需要考虑实际应用需求和可接受的误差范围。
3.计算标准误差：标准误差是样本统计量与总体参数之间的标准差，可以用来度量估计量的精确程度。
常见的标准误差计算方式包括对均值的标准误、对比例的标准误和对方差的标准误。
4.确定抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的抽样分布会接近正态分布。
可以利用这个性质来进行参数估计。
5.计算置信区间：根据所选择的置信水平和抽样分布中的临界值，计算出估计参数的上限和下限，形成估计的置信区间。
具体计算方法与总体参数类型相关，如均值的置信区间计算通常基于样本均值和标准误差。
6.解读结果：得到置信区间后，应根据具体情况对结果进行解读和分析。
通常，置信区间越窄，说明估计结果越准确；置信区间不包含需要估计的参数真实值，说明估计结果不准确。
7.检验假设：在一些情况下，需要通过检验假设来验证估计结果的可靠性。
例如，对于均值的区间估计，可以通过假设检验来判断区间估计是否显著不等于一些特定值。
总结：区间估计是统计推断中重要的一种方法，它能够通过样本数据给出总体参数的一个估计区间，并提供了对估计精确性的度量。
在实际应用中，选择合适的置信水平、计算标准误差、确定抽样分布以及解读结果都是关键步骤，需要结合具体问题进行合理的选择和判断。
北京工商大学概率论与数理统计试题及答案
北京工商大学概率论与数理统计试题及答案一、单选题1、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D2、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H 【答案】A3、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
【答案】D4、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。
那么对任意给定的a 都有A ）()1()af a f x dx-=-⎰ B ）01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F 【答案】B5、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件 【答案】C6、设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。
6-4两个正态总体均值差及方差比的区间估计
计算
uα = u0.05 = t0.05 (∞) = 1.645.
2
0.182 0.242 + uα = + × 1.645 ≈ 0.168. 2 n1 n2 8 9 所求置信区间为
即
2 σ 12 σ 2
(15.05 − 14.9 − 0.168 ,15.05 − 14.9 + 0.168) .
(−0.018,0.318) (m ). m
2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 . 其中 S w = n1 + n2 − 2
分析: 分析: __
U=
( X − Y ) − ( µ1 − µ2 ) ~ N (0,1) , 1 1 σ + n1 n2
__
χ2 =
(n1 − 1) S12
σ2
+
2 (n2 − 1) S2
σ2
~ χ 2 (n1 + n2 − 2).
2 2 σ1 σ2 在置信水平1 − α 下的置信区间
2 2 未知 σ1 ,σ2
(σ 1 = σ 2 )
已知 µ ,µ2 1
n n 1 1 2 (Xi −µ ) n (Xi −µ )2 n ∑ ∑ 1 1 1 1 i= 1 i= 1 , n2 n2 F (n ,n2)∑ Yj −µ2)2 n2 F−α (n ,n2)∑ Yj −µ2)2 n2 ( ( α 2 1 1 2 1 1 1 j= j=
100(1 − α )% 的可靠性可以认为 µ1 < µ2 .
概率论与数理统计教程（第四版）
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§6.4 两个正态总体均值差及方差比的区间估计
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样本均值的观测值 这就是对总体均值的点估计
但只是的近似值，的真值是未知的。
我们希望给出一个区间，使得这个区间能够按足够大 的概率（比如）包含总体均值。
§7—1 已知方差的均值区间估计
（1）构造统计量，并确定其分布： （2）对给定的概率，查正态分布表知
其中=是根据需要选定的，是在选定后查正态 分布表所得到的。一般不能过大。
几个常用的置信水平及对应的临界值和置信区 间如下：
置信水平临界值置信区间例1 某厂生产滚珠， 从长期实践知道，滚珠直径X可认为服从正态 分布，从某天的产品里随机抽取6个，量得直 径如下（单位：mm）：
如果知道该天§7—1 已知方差的均值区间估计
四、已知方差估计均值的程序 已知正态总体的方差，估计总体均值 的程序： 1．构造统计量，并确定其分布： 2．对给定
的置信水平，由 查正态分布表得临界值（实际 由来查） 3．由解出得：从而得到置信区间：4．根据已 知的样本值，先计算，再得到置信区间。 实际计算统计量U的观测值得：
§7—1 已知方差的均值区间估计
§7—1 已知方差的均值区间估计
一、复习引入 1．点估计 2．假设检验的方法和程序
§7—1 已知方差的均值区间估计
二、已知方差估计均值的基本思想方法
引例： 从长期的生产实践知道，某厂生产的灯泡的 使用寿命 ，
现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取5只，测得使用寿 命如下：
试对这批灯泡的平均使用寿命作区间估计。
程度。 称区间为的置信区间。 称概率为为的置信水平（或叫置信度）。 由所确定的称为置信水平为时的临界值。 置信水平通常用表示，不一定选取。通常选取=、、。对于不同
的置信水平，可确定不同的临界值，从而得到不同的置信区间。 注意： 总体均值虽然未知，但它是一个常量。由于样本是随机抽取的，
六、归纳小结 1．已知方差估计均值的基本思想方法 2．置信水平、临界值和置信区间 3．已知方差估计均值的程序 4．假设检验与区间估计的关系
观测值不同，置信区间也不同，所以置信区间也是随机的，它以 很大的概率（）包含了总体均值。 置信区间的长度越小，估计越精确；置信水平越大，估计越可 靠。我们希望：估计的范围要小，而可靠性要大。但对固定样本 容量来说，这是办不到的。如果不降低可靠性，而缩小估计范围， 那么就只有增大样本容量。
§7—1 已知方差的均值区间估计
（3）因为，从而 解出 得：这就是说： 值包含在区间内的概率为 （4）当作一次具体的抽样，得到一组样本值
后，以代入上式，得到区间 ，可以认为总体均 值在该区间了。
§7—1 已知方差的均值区间估计
三、置信水平、临界值和置信区间 从引例可知，区间表达了估计的精确度，概率表达了估计的可靠
五、假设检验与区间估计的关系 若均值的一个置信水平为的置信区间为：则对
假设：的检验法就是：若在区间上，就接受； 否则就否定。这时的检验水平即为。 已知方差对均值的假设检验问题，与已知方差 对均值的区间估计问题，形式上虽然不同，但 它们的统计思想是相通的。
§7—1 已知方差的均值区间估计