线性方程组与n维向量空间
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向量空间与线性方程组
向量空间与线性方程组线性代数是现代数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
其中，向量空间和线性方程组是线性代数中的基本概念和工具。
本文将介绍向量空间和线性方程组的相关内容，以帮助读者更好地理解和应用线性代数中的这两个重要概念。
一、向量空间向量空间是线性代数中研究向量及其运算的一种结构。
一个向量空间由非空集合V和定义在其上的两种运算——向量的加法和标量与向量的乘法所组成。
满足一定条件的集合和运算规则被称为向量空间。
向量空间具有以下性质：1. 向量的封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，它们的线性组合仍然在该向量空间中，即u+v∈V。
2. 标量乘法封闭性：对于向量空间中任意一个标量k和任意一个向量u，标量与向量的乘积仍然在向量空间中，即ku∈V。
3. 加法交换律：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，u+v=v+u。
4. 加法结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
5. 存在零向量：向量空间V中存在一个零向量0，使得对于向量空间中的任意向量u，u+0=u。
6. 存在负向量：对于向量空间V中的任意向量u，存在一个负向量-u，使得u+(-u)=0。
二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
对于向量空间中的向量和标量，线性方程组可以用以下形式来表示：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ表示系数，bᵢ表示常数，xₙ表示未知数，方程组共有m个方程，n个未知数。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解集，或者判断无解或无穷解。
解线性方程组的常用方法包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等。
三、向量空间与线性方程组的关系线性方程组的解集合构成了向量空间中的一个子空间。
具体地说，对于线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b是n维向量，x表示未知数向量，b表示常数向量。
n元线性方程组线性方程组的
1 4
R2
2 R1 ,R3
R1
2
x1 x2 4x2
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3
2
x1
x2 3x3 x3 6
1
R2 R3
2
x1 x2 2x2
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
由此给出xr1,, xn的一组值，就可唯一地给出x1, x2 ,, xr的值，
即给出（7）的一个解。
一般地，由（7）我们可以把x1, x2 ,, xr通过xr1,, xn表示出来， 这样的一组表达式称为方程组（1）的一般解，而xr1,, xn称为 一组自由未知量。
n元一次线性方程组_2
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
的一个解就是指由n个数k1, k2,, kn组成的有序数组（k1, k2,, kn）， 当（x1, x2,, xn）分别用（k1, k2,, kn）代入后,方程组中的每个等式都 变成恒等式，方程组的解的全体称为它的解集合。
(4)
而（3）与（1）是同解的，
as2 ' x2 asn ' xn bs ', 因此，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。
对（4）依照以上变换，一步步作下去，最后得到一个阶 梯 形 方 程 组，设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数-n维向量
第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
n向量定义
a11 a12 a1 n b1 a21 a22 a2 n b2 即 x1 x2 xn , am1 am 2 amn bm x1 b1 即 x11 x2 2 xn n b, x2 b2 X , b 即 (1 , 2 , , n ) X b, xn bm AX b. 返回
返回
返回
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
= ai = bi
零向量： = (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)， + = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
3.1
n 维向量空间
一、n 维向量空间的概念 二、Rn 的子空间
返回
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发，
引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数 乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系 后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对
应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{(a1 , a2 , a3 ) | a1 , a2 , a3 R}
1 2 因此,矩阵 A可表示为 A , 其中1 , 2 , , m为矩阵 A 的行向量. m
返回
返回
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
= ai = bi
零向量： = (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)， + = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
3.1
n 维向量空间
一、n 维向量空间的概念 二、Rn 的子空间
返回
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发，
引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数 乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系 后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对
应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{(a1 , a2 , a3 ) | a1 , a2 , a3 R}
1 2 因此,矩阵 A可表示为 A , 其中1 , 2 , , m为矩阵 A 的行向量. m
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
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§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念 4.1.2 线性方程组有解的条件
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念
设含有m个变量n个未知数的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
a x a x a x b (i 1, 2, , m)
i1 1
i2 2
in n
i
变成恒等式
a k a k
i1 1
i2 2
a k b (i 1, 2,
in n
i
, m)
的一个有序数组 (k , k , , k )叫做方程组(4.1.1)的一个解.
12
n
有解的线性方程组叫做相容方程组；无解的线性方程组叫做矛盾方程组.
对于n元齐次线性方程组Ax=0，显然有R(A,0)=R(A), 即齐次线性方程组永远有解.
推论4.1 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件 R( A) n.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
综合上述讨论得到 求解线性方程组的方法：对于齐次线性方程组，只要将系数矩阵用初等行
变换化成简化行阶梯形矩阵，便可写出其通解；对于非齐次线性方程组，先将 增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解。若有解，则 继续用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，便能写出其通解。
例4.1
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
解线性方程
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
(4.1.3)
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
解
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
a mn
xn
b1
b2
bm
则方程组可以表示成 Ax
(4.1.2)
称矩阵A为方程组的系数矩阵，β为方程组的常数项矩阵，x为n元未
知量矩阵.方程(4.1.2)称为线性方程组的矩阵形式，也称之为向量方程.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
我们把方程组的系数矩阵A和常数项矩阵β放在一起构成一个m行n+1列矩阵
§ 4.1 线性方程组有解的条件
例4.2
解下列方程组
5
x 1
x 2
2x 3
x 4
7,
2
x 1
x 2
4x 3
2x 4
1,
x 1
3x 2
6x 3
5x 4
0.
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
解
(A
)
2 1
1 3
4 6
2 5
1 0
2 5
1 1
4 2
② ③
①③② 2
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
2x1 3x2 x3 x4 2,
② ③
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
3x1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
§ 4.1 线性方程组有解的条件
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
③②--22①①
④-3①
3x 2
+3x 3
x4
5x2 5x3 3x4
(4.1.1a)
即线性方程组Ax=有解的充分必要条件是方程组(4.1.1a)有解.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
定理4.1 n元线性方程组Ax 有解的充要条件是 R( A) R( A ) r .
特别，当 R( A) R( A ) r n 时，由线性方程组(4.1.1a)得到线性方程组
方程组的所有解的集合叫做方程组的解集(解集的元素都是有序数组). 矛盾方程组的解集是空集.
解集相同的两个方程组叫做同解方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.2 线性方程组有解的条件
在初等数学中，已学过用消元法解简单的线性方程组，这一方法也适用于求解一
般的线性方程组(4.1.1)，并可用方程组增广矩阵的初等行变换表示其求解过程.
本章首先以矩阵为工具讨论线性方程组有解的条件及求解方法，其次引入n维 向量与向量空间的概念，在向量组、矩阵与线性方程组之间建立联系，然后以向 量组、矩阵为工具，讨论线性方程组有无穷多个解时，线性方程组的解的结构.
第4章 线性方程组与n维向量空间
§4.1 线性方程组有解的条件 §4.2 n维向量空间的概念 §4.3 向量组的线性相关性 §4.4 向量组的秩 §4.5 线性方程组解的结构
第4章 线性方程组与n维向量空间
线性方程组在数学许多分支以及其它领域中都有广泛的应用，求解线性方 程组是代数学讨论的核心问题之一. 在第一章中介绍过利用克拉默法则求解线性方 程组的方法, 但它要求线性方程组中方程个数与未知数个数相等，且方程组的系数 行列式不等于零. 然而，实际问题中所遇到的线性方程组在很多情形并不满足克拉 默法则的条件，因此需要寻找求解线性方程组的其它方法.
6, 6,
3x 2
3x 3
4x4
3.
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
② ③
③-5②
④ +3②
④
3x +3x
2
3
x4
6,
4 3 x4 4,
3x4 9.
② ③ ④
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
③(- 3)
④14 3
3x +3x
2
3
x4
6,
x4 3,
② ③
x4 3. ④
x 1
x 2
4
r r
1
2
r 1
32
2 2
1 3
1 1
1 1
2
2
3 6 9 7 9
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
0 r +r (-2) 2 1 r +r (-2) 0 r3 +r1 (-3)
3 5
3 5
1
6
3 6
41
0 3 3 4 3
1 1 2 1 4
r +r (- 5)
a11 a12
(A
)
a21
a22
am1 am2
a1n
b1
a2 n
b2
amn bm
则称矩阵(A β)为方程组的增广矩阵.
一个含m个方程n个未知量的线性方程组与其m(n+1)阶增广矩阵之间存在 一一对应关系，即可用方程组的增广矩阵完全代表该线性方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
使方程组(4.1.1)的每个方程
由例4.1的求解过程可见，用消元法解线性方程组的过程中，始终把方程组看作 一个整体，用到三种变换：交换第i个方程与第j个方程的次序(方程i与方程j相互 交换)；用不等于零的数k乘以第i个方程(以i×k替换方程i)；第i个方程加上第j个 方程的k倍(以i+kj替换方程i).由于这三种变换都是可逆的，即
ar' n dr
0
dr
1
0 0
0 0
§ 4.1 线性方程组有解的条件
于是线性方程组Ax=的同解方程组为
x1
a x ' 1,r 1 r 1
x2
a x ' 2,r 1 r 1
xr
a x ' r ,r 1 r 1
a1'n xn d1，
a2' n xn
d
，
2
ar'n xn
d
，
r
0 dr1.
1
r (-
2
1)
3
0
0
1 1 0
2 0 1 0 01
7
3
3
1
r +r (-1) 12
0
0
0 1 0
0
0
0
0
0
0
0
x 1
x +4, 3
由最后一个矩阵得到方程组的解
x 2
x +3, 3
x4 3，
1 0 4
1 0
3
0 1 3
0
0
0
其中x3可任意取值.
(4.1.4)
上述表明，用消元法解方程组的过程就是对方程组的增广矩阵作有限
令c为任意常数，方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2
c
3
x3
c
x4 3
x1 1 4
x
x2
c
1
3
x3
1 0
x4 0 3
这表明方程组(4.1.3)有无穷多个解.
x 1
x +4, 3
x 2
x +3, 3
x4 3，
§ 4.1 线性方程组有解的条件
amn xn bm.
(4.1.1)
其中 x , x ,
1
2
,
x n
代表n个未知量；m是方程的个数，aij
(i 1, 2,