二重积分的对称性教程文件
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称二重积分是一类重要的积分问题，在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的概念、性质以及计算方法，并提供一些应用举例。
我们来回顾一下二重积分的定义。
二重积分是对平面上的一块区域内的函数进行积分的操作。
对于一个定义在平面上的函数f(x,y)，如果存在一个有限的积分区域D，可以用矩形D[i][j]来逼近这个积分区域，并且该区域上的函数f(x,y)在D[i][j]上是近似连续的，那么二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = lim ∑(f(ξi,ηj)ΔAij)其中，ξi和ηj是D[i][j]上的某个点，ΔAij是D[i][j]的面积。
在二重积分中积分区域关于原点对称意味着满足对任意(x,y)∈D，都有(-x,-y)∈D。
这样的积分区域可以具有各种形状，如圆形、椭圆形、矩形等。
接下来，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的性质。
首先，根据对称性，如果积分区域D关于原点对称，那么积分区域D内的函数f(x,y)满足f(x,y)=f(-x,-y)。
其次，如果积分区域D关于原点对称，那么计算二重积分时可以通过变量替换来简化计算。
可以选择新的坐标系(u,v)，使得(u,v)在原点处对称，然后利用变量替换公式将积分区域D变换为新的坐标系下的积分区域D'。
这样，可以简化计算，并且往往能够将积分区域D'变为关于u或v的对称区域。
然后，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的计算方法。
对于关于原点对称的积分区域D，可以根据具体的形状和函数的性质进行分析和计算。
以圆形积分区域为例，可以选择极坐标系进行计算。
在极坐标系下，积分区域可以表示为r∈[0,R]，θ∈[0,2π]。
利用极坐标系的变换公式，可以将二重积分变为极坐标下的一重积分。
然后，根据函数的对称性和积分区域的性质，可以进一步简化计算。
其他形状的积分区域可以使用类似的方法进行计算，选择合适的坐标系进行变换，并利用对称性和性质进行简化。
二重积分的对称性
二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称的二重积分是一种在平面上计算函数在某个区域上的积分值的方法。
在这种情况下，将积分区域分为两个对称部分，并利用对称性简化计算过程。
对于平面上的二重积分而言，我们可以将积分区域分成有限个子区域，然后对每个子区域进行积分后再求和得到最终的积分值。
在一些问题中，积分区域往往具有某种对称性，例如关于原点对称，这种对称性可以大大简化计算过程。
假设我们要计算一个关于原点对称的二重积分，即要计算的函数f(x, y)在关于原点对称的区域D上的积分。
为了利用对称性简化计算，我们可以将区域D分成两个关于x轴对称的子区域D1和D2，其中D1位于x轴的上方，D2位于x轴的下方。
我们可以利用对称性将D1和D2的积分值相加得到整个区域D上的积分值。
即∬Df(x, y)dA = ∬D1f(x, y)dA + ∬D2f(x, y)dA。
然后，我们可以进一步利用区域D1和D2的对称性来简化计算。
由于D1和D2是关于x轴对称的，所以在计算D1的积分时，我们可以先对x轴上方的一半区域D1'进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2的积分时，我们可以先对x轴下方的一半区域D2'进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 2∬D1'f(x, y)dA + 2∬D2'f(x, y)dA =4∬D1'f(x, y)dA。
接下来，我们可以继续利用对称性简化D1'和D2'的计算过程。
由于D1'和D2'是关于y轴对称的，所以在计算D1'的积分时，我们可以先对y轴右侧的一半区域D1''进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2'的积分时，我们可以先对y轴左侧的一半区域D2''进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 4∬D1'f(x, y)dA = 8∬D1''f(x, y)dA。
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ .其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0Df xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则22(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).D Df x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩⎰⎰⎰⎰当当其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例 6 计算2,DI x y d x d y =⎰⎰其中D 为由22;-22y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y-==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：1122222022215x DD I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰.（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
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b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab
y2( x)
0
f
( x,
y)dy
dx
2 f ( x, y) d
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
证 （2）积分区域如图：
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
ab
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
于是，
f (x, y) d
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
y
解 设 f ( x, y) xy2.
2
x2 y2 4
D 区域关于 x 轴对称，且
D1
o
2x
f ( x, y) f ( x, y),
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
因此，
xy2d 2 xy2d 202dy0 4 y2 xy2dx
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
y)dy
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f
( x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是偶函数
2 y2( x) 0
f
( x,
y)dy
于是，
f (x, y) d
D
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y
y y2( x)
D1
ao
bx
y y1( x)
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
证 （2）积分区域如图：
a x b,
D
:
y1
(
x)
D
解 e x yd
D
e x yd e x yd
D1
D2
1
y 1 x
y 1 x
1 D2oo D1 1 x
y x 1
y x1
1
0 dx x1 e
1 x1
xe
ydy
1dx x1
0 x1
e
xe
ydy
01(e2x1 e1)dx 01(e e2x1)dx
e e1.
D
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab 0 dx
0.
二重积分的轮换对称性：
积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 yy是是偶偶函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy f 关于 y 是偶函数
y2 ( x)
2 y2( x) 0
f
( x,
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
103 页 2（2）
(2) xy2d , D : x2 y2 4 及 y 轴围成的右半闭区域.
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是偶函数，即
D
D1
2
0
y
2
(4
y2 )dy
64 15
.
103 页 2（3）
(3) e x yd , D : x y 1.
D
× 解 e x yd 2 e x yd
D
D1
y
1
y 1 x
y 1 x
1 o D1 1 x
y x 1
y x1
1
103 页 2（3）
y
(3) e x yd , D : x y 1.
D
D1
证 （1）积分区域如图：
y
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
证 （1）积分区域如图：
y
D
:
a
y1
(
x x)
b, y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y2( x).
a
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y y2( x)
D1
o
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy