二重积分的对称性定理
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称二重积分是一类重要的积分问题，在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的概念、性质以及计算方法，并提供一些应用举例。
我们来回顾一下二重积分的定义。
二重积分是对平面上的一块区域内的函数进行积分的操作。
对于一个定义在平面上的函数f(x,y)，如果存在一个有限的积分区域D，可以用矩形D[i][j]来逼近这个积分区域，并且该区域上的函数f(x,y)在D[i][j]上是近似连续的，那么二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = lim ∑(f(ξi,ηj)ΔAij)其中，ξi和ηj是D[i][j]上的某个点，ΔAij是D[i][j]的面积。
在二重积分中积分区域关于原点对称意味着满足对任意(x,y)∈D，都有(-x,-y)∈D。
这样的积分区域可以具有各种形状，如圆形、椭圆形、矩形等。
接下来，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的性质。
首先，根据对称性，如果积分区域D关于原点对称，那么积分区域D内的函数f(x,y)满足f(x,y)=f(-x,-y)。
其次，如果积分区域D关于原点对称，那么计算二重积分时可以通过变量替换来简化计算。
可以选择新的坐标系(u,v)，使得(u,v)在原点处对称，然后利用变量替换公式将积分区域D变换为新的坐标系下的积分区域D'。
这样，可以简化计算，并且往往能够将积分区域D'变为关于u或v的对称区域。
然后，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的计算方法。
对于关于原点对称的积分区域D，可以根据具体的形状和函数的性质进行分析和计算。
以圆形积分区域为例，可以选择极坐标系进行计算。
在极坐标系下，积分区域可以表示为r∈[0,R]，θ∈[0,2π]。
利用极坐标系的变换公式，可以将二重积分变为极坐标下的一重积分。
然后，根据函数的对称性和积分区域的性质，可以进一步简化计算。
其他形状的积分区域可以使用类似的方法进行计算，选择合适的坐标系进行变换，并利用对称性和性质进行简化。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
二重积分的对称性-二重积分对称性
偶函数的定义
偶函数是满足条件f(x) = f(-x)的函数。偶函数具有关于y轴对称的特点，图形 在y轴上是对称的。
偶函数的性质
偶函数具有一些特殊的性质，比如在定义域内关于y轴对称、在定义域内积分结果为偶数等。
奇函数的定义
奇函数是满足条件f(x) = -f(-x)的函数。奇函数具有关于坐标原点对称的特点， 图形在原点对称。
图形的面积计算
图形的面积计算是一个重要的数学问题。通过利用对称性，我们可以简化面 积计算，并减少计算错误的可能性。
区域的对称性
区域的对称性主要体现在区域的形状和面积上。通过利用区域的对称性，我 们可以计算出相等大小的对称区域的面积。
矩形区域的对称性
矩形区域是最基本的平面图形之一。矩形具有上下对称、左右对称和中心对称的特点，面积相等。
三角形区域的对称性
三角形是常见的平面图形之一。三角形具有一些特殊的对称性，比如高线对 称、中位线对称等。
大小相等的对称区域的面积相等
如果两个对称区域的大小相等，则它们的面积也相等。这是对称积分的一个重要性质。
对称积分的定义
对称积分是指在具有对称性的图形上进行的积分计算。通过利用对称性，我 们可以简化对称函数的积分计算。
对称积分的计算方法
对称积分的计算方法包括变量代换、分部积分和对称性的性质等。这些方法可以帮助我们简化计算过程，提高 效率。
对称函数的性质
对称函数具有一些特殊的性质，比如偶函数和奇函数。这些性质对于理解对 称积分和解析图形具有重要的作用。
矩形对称性的例子
1 上下对称
矩形图形关于x轴对称， 面积相等。
2 左右对称
矩形图形关于y轴对称， 面积相等。
，面积相等。
线性对称性的例子
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
1对称性在二重积分中的应用
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解： 由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续， 则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时
二重积分计算中对称性的应用
在定积分计算 中， 以根据被积 函数和积分区 可 间的特点用对称性定理计算 ， 二重积分是积 分学 中
当， ， 为 （ ｙ 关于ｙ 奇函 ） 的 数
二元 函数 ， 且它在区域 Ｄ上有连续的偏导数， １ 若 （） 区域Ｄ关于坐标轴 轴对称 ， 对于 Ｖ（ ， ，）∈Ｄ， ， 如果
均有 ， ， ，） 称 ＝ 一， ）＝ ，， ，
收稿 日期 ：０ ８— ２—１ ２０ ０ ３
（ ）若区域Ｄ为关于原点对称， 中Ｄ 为 Ｄ中 ３ 其 ，
理进行推广 ， 并归纳 出利用平 面区域对称性计算二
重积分 ， 引导学生积极思考 ， 激发学生的学习兴趣 ，
数， 可类似于（ ）定义 ；３ 若区域 Ｄ关于坐标原点 １ （）
对称， 对于 Ｖ（ ， ，）∈Ｄ， ， 如果均有 一 一， ＝ ， ， ）
，
同时利用这些知识可简化二重 积分 的计算 ， 化繁 为
Ｎ ． （ｕ ｏ２ ） ｏ ２ Ｓ ｍＮ ． ８
Ｊ ．０８ ｕｎ ２ ０
二重积分计算中对称性的应用
徐年 方
（ 淮安市广播 电视大学信息工程系， 江苏 淮安 ２３０ ） ２０ １ 摘 要： 本文将定积分计算中的对称性定理进行推广， 并归纳出利用平面区域对称性计算二重积分． 关 键词 ： 二重积 分 ； 函数 ； 函数 ； 称 区间 ； 奇 偶 对 对称 区域 中图分类号．６ ２ Ｃ ４ ， 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ７ — ９４ ２０ ）２ ０９ — ３ １ １ ３７ （０ ８ ０ — ００ ０ ６
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能用此性质。
的奇偶性两者兼得时才的对称性与被积函数注意：仅当积分域对称，则关于直线如果轴的上半平面部分。
在为其中，为偶函数，即关于，为奇函数，即关于，分
的奇偶函数，则二重积同时为关于原点对称，如果积分域轴的右半平面部分。
在为其中，为偶函数，即关于，为奇函数，即关于，分
的奇偶函数，则二重积为轴对称，关于如果积分域轴的上半平面部分。
在为其中，为偶函数，即关于，为奇函数，即关于，分
的奇偶函数，则二重积为轴对称，关于如果积分域二重积分的对称性定理
),(),(),(.4),(),(,),(2),(),(,0),(,),(.3),(),(),(2),(),(0),(),(.2),(),(),(2),(),(0),(),(.1112211y x f D d x y f d y x f x y D x D D y x f y x f y x f d y x f y x f y x f y x f d y x f y x y x f D y D D y x f y x f x f d y x f y x f y x f x f d y x f x y x f y D x D D y x f y x f y f d y x f y x f y x f y f d y x f y y x f x D D D
D D D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===--⎪⎩
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⎪⎨⎧-=-==-⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=***σ
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