二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
二重积分关于原点对称
二重积分关于原点对称
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
二重积分奇偶性对称性
二重积分奇偶性对称性谢邀！一、若积分区域D关于x轴对称，记x轴以上的区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于y的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于y的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.二、若积分区域D关于y轴对称，记y轴右侧区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于x的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于x的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.三、若积分区域D关于x轴和y轴都对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0, y \geq 0\}.①若f(-x, y)=-f(x, y)或f(x,-y)=-f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x, y)=f(x,-y)=f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=4\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.四、若积分区域D关于原点对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0\}.①若f(-x,-y)=-f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x,-y)=f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.五、（轮换对称性）若积分区域D关于y=x对称，则\begin{aligned} & \iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma \\ =& \iint\limits_{D} f(y, x) d \sigma \\ =& \frac{1}{2} \iint\limits_{D}[f(x, y)+f(y, x)] d \sigma .\end{aligned}记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid y \geq x\}①若f(x, y)=-f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(x, y)=f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.六、例题精析。
二重积分积分区域关于y对称被积函数为奇函数
《探讨二重积分中关于y对称被积函数为奇函数的特性》在数学中，二重积分是对二元函数在特定区域的积分运算，它在物理、经济学和工程学等领域有着广泛的应用。
而对于二重积分中积分区域关于y对称且被积函数为奇函数的特性，也是一个十分有趣和值得深入探讨的话题。
1. 二重积分的基本概念让我们回顾一下二重积分的基本概念。
二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分运算，通常表示为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)为被积函数，dA代表面积元素。
在二重积分中，积分区域的选择对于计算结果有着重要的影响。
2. 关于y对称的积分区域现在，让我们来思考关于y对称的积分区域的特点。
当积分区域关于y 轴对称时，可以将被积函数分解为奇函数和偶函数的组合。
具体来说，如果被积函数f(x,y)关于y对称，那么可以将其分解为奇函数和偶函数的和：f(x,y)=g(x,y)+h(x,y)，其中g(x,-y)=-g(x,y)，h(x,-y)=h(x,y)。
在这种情况下，对于奇函数部分的积分结果为0，而对于偶函数部分的积分结果则可以通过对称性简化计算。
3. 奇函数的性质接下来，让我们简单回顾一下奇函数的性质。
奇函数的一个重要特点是在函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。
这意味着奇函数在关于y 的对称轴上的函数值相等但符号相反。
当被积函数为奇函数时，积分区域关于y对称的性质将影响积分结果的简化和计算。
4. 对于二重积分的影响考虑到上述特性，当积分区域关于y对称且被积函数为奇函数时，可以得出以下结论：- 奇函数部分的积分结果为0，这可以简化积分计算的过程；- 积分区域的对称性可以帮助简化被积函数的分解和积分计算；- 奇函数的对称性可以使得积分结果更具有普遍性和简洁性。
5. 个人观点与总结从个人观点来看，二重积分中关于y对称的积分区域且被积函数为奇函数的特性，是数学中非常有趣和重要的一个方面。
这种特性不仅可以帮助简化计算，还可以使得积分结果更具有普适性和简洁性。
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情形一：积分区域关于坐标轴对称
定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则
1)当(即就是关于得奇函数）时，有
、
2)当（即就是关于得偶函数）时，有
、
其中就是由轴分割所得到得一半区域.
例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且
即就是关于得奇函数，由定理１有、
类似地，有:
定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则
其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、
定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则
(１）当或时,有
、
（２)当时，有
其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、
解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是
偶函数,即有
,由定理2，得
其中就是得第一象限部分，由对称性知,，
故、
情形二、积分区域关于原点对称
定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足
１）时,有
2）时，有、
例8 计算二重积分，为与所围区域、
解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有
,有定理7，得
、
情形三、积分区域关于直线对称
定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，
则
1）；
、
2)当时，有、
3）当时,有、
例9 求，为所围、
解：积分区域关于直线对称，由定理8,得
，
故
、
类似地，可得:
定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；
（2)当，则有、
例10 计算,其中为区域：, 、
解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，
由以上性质,得:
、
注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。