二重积分的对称性ppt课件

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积分的对称性

(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
D3
①、②、③简单地说就是奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
三重积分的对称性
使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy 平面对称，且被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则三重积分为在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
D1 ( x, y ) ( x, y ) D, x 0 D
1
③若D关于原点对称
(1) 当f( x, y) f( x, y) 时I 0 (2)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y 轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 0

二重积分的概念与性质ppt课件

(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
20/24
练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
19/24
例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？不能用 i 0 代替 0
10/24
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周

《二重积分的计算》PPT课件

y) y

x
D
1(

x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
机动目录上页下页返回结束
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
机动目录上页下页返回结束
(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
机动目录上页下页返回结束
例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1

积分对称性

积分对称性
定积分对称性
a
f
(
x
)dx
2
a
f ( x)dx
0
f (x) f (x)
a
0
f (x) f (x)
二重积分对称性
D关于ox轴对称
f
(x,
y)d
2
D1
f
( x,
y)d
D
0
D关于oy轴对称
f (x,y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f
(x,
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于x为偶函数若Q( x, y)关于x为奇函数
第一型曲面积分对称性 S关于xoy对称
0,
若f ( x, y, z)关于z为奇函数
S
f
(x,
y, z)dS
2
S1
f
( x,
y, z)dS,若f
(x,
y, z)关于z为偶函数
若P( x, y)关于y为偶函数若P( x, y)关于y为奇函数
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于y为奇函数若Q( x, y)关于y为偶函数
第二型曲线积分对称性
L关于oy轴对称
P(x,
L
y)dx
2
L1
0 P( x,
y)dx
若P( x, y)关于x为奇函数若P( x, y)关于x为偶函数
(
x,
y,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
)关于x为奇函数
S关于zox对称

二重积分的对称性

在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利用对称性将复杂图形划分为简单部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。

二重积分的对称性

f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数，则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。

二重积分的概念及计算ppt课件

Df(x,y)dDf(x,y)d
6. 设 M m f( x ,a y )m x , m f( x ,i y )n D,的面积为 ,
D
D
则有
m D f(x ,y)d M
精选课件ppt
Page 12
7.(二重积分的中值定理) 设函f数 (x,y)在闭区域D上
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点 (,)D,使
例4. 估计下列积分之值
d x d y
I D 1 0 0 c o s 2 x c o s 2 yD :x y y1 0
解: D 的面积为 5 0 ( 三角形面积 ) 4 2 0 0 10
由于
D
10 o 10 x
1
1
1
1 0 2 100cos2xcos2y1 0 0
10
积分性质5
4
f(x,y)的最小值 mf(1,2) 1 1
故2I 2, 0 .4 I 0 .5
3242 5
54
精选课件ppt
Page 18
8. 设函数 f(x,y)在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
( 1 )f( x , y ) f( x ,y )则,
( ddxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
精选课件ppt
Page 23
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知

重积分二重积分的习题课ppt课件.ppt

2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3

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D
D1
而
D1
:
?? ? ??
0 0
? ?
x? y?
4? 2.
y2 ,
10
??xy2d? ? 2??xy2d?
D
D1
而
D1
:
?? ? ??
0 0
? ?
x? y?
4? 2.
y2 ,
因此，
??xy2d? ? 2??xy2d? ? 2?02dy?0 4? y2 xy2dx
D
D1
?
2
?0
y2
(4
?
y2 )dy
D
9
103 页 2（2）
(2) ??xy2d? , D : x2 ? y2 ? 4 及 y 轴围成的右半闭区域 .
D
y
解设 f ( x, y) ? xy2.
2Байду номын сангаас
x2 ? y2 ? 4
D 区域关于 x 轴对称，且
D1
o
2x
f ( x,? y) ? f (x, y),
??xy2d? ? 2??xy2d?
f ( x,? y) ? ? f ( x, y).
则 ??f (x, y) d? ? 0.
D
1
例设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x,? y) ? f (x, y).
则 ??f ( x, y) d? ? 2??f ( x, y) d? .
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y1( x) ? ? y2( x).
??f ( x, y) d?
D
?
? ? bdx y2( x)
a y1( x )
f
( x,
y)dy
5
证（2）积分区域如图：
?a ? x ? b,
D
:
? ?
y1
(
x
)
?
y?
y2( x).
a
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y ? y2( x)
f
关于 y 是奇函数
0.
6
??f ( x, y) d?
D
?
? ? bdx y2( x)
a y1( x )
f
( x,
y)dy
? ? ? ? ? b y2( x) f ( x, y)dy dx a ? y2 ( x )
?y2( x) f ( x, y)dy
? y2 ( x )
f
关于 y 是奇函数
0.
于是，
例设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x,? y) ? f (x, y).
则 ??f ( x, y) d? ? 2??f ( x, y) d? .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
?y2 ( x) f ( x, y)dy
? y2 ( x )
f 关于 y 是偶函数
?2 y2( x) 0
f
(
x,
y)dy
于是，
? ? ??f ( x, y) d?
D
b
? ?a
?y2( x) f ( x, y)dy
? y2 ( x )
dx
? ? ?
2?ab
?y2( x)
0
f ( x, y)dy
dx
? 2??f ( x, y) d?
y ? y2( x)
D1
ao 由积分区域 D 关于 x 轴对称性
bx
y ? y1( x)
y1( x) ? ? y2( x).
??f ( x, y) d?
D
?
? ? bdx y2( x)
a y1( x )
f
( x,
y)dy
? ? ? ? ? b y2( x) f ( x, y)dy dx a ? y2 ( x )
? ? ??f ( x, y) d?
D
?
b
?a
?y2( x) f ( x, y)dy
? y2 ( x )
dx
? 2?ab 0 dx
? 0.
7
二重积分的轮换对称性：
积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 yy是是偶偶函函数数，即
D1
o
bx
y ? y1( x)
y1( x) ? ? y2( x).
??f ( x, y) d?
D
?
? ? bdx y2( x)
a y1( x )
f
( x,
y)dy
? ? ? ? ? b y2( x) f ( x, y)dy dx a ? y2 ( x )
?y2( x) f ( x, y)dy
? y2 ( x )
?
64 15
.
11
103 页 2（3）
(3) ??e x? yd? , D : x ? y ? 1.
D
× 解 ??e x? yd? 2??e x? yd?
D
D1
y
1
y? 1? x
y? 1? x
? 1 o D1 1 x
?y2( x) f ( x, y)dy f 关于 y 是偶函数
? y2 ( x )
?2 y2 ( 0
x)
f
(
x,
y)dy
3
??f (x, y) d?
D
?
? ? bdx y2( x) f ( x, y)dy
a y1 ( x )
? ? ? ? ? b y2( x) f (x, y)dy dx a ? y2 ( x )
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是偶函数，即
f ( x, y) ? f (? x, y).
则 ??f (x, y) d? ? 2??f (x, y) d? .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是奇函数，即
f (? x, y) ? ? f ( x, y).
则 ??f ( x, y) d? ? 0.
D1
4
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
f (x,? y) ? ? f (x, y).
则 ??f ( x, y) d? ? 0.
D
证（2）积分区域如图：
?a ? x ? b,
D
:
? ?
y1
(
x
)
?
y?
y2( x).
y
y ? y2( x)
D1
ao
bx
y ? y1( x)
D
D1
证（1）积分区域如图：
y
?a ? x ? b,
D
:
? ?
y1
(
x
)
?
y?
y2( x).
y ? y2( x)
D1
ao 由积分区域 D 关于 x 轴对称性
bx
y ? y1( x)
y1( x) ? ? y2( x).
2
证（1）积分区域如图：
y
?a ? x ? b,
D
:
? ?
y1
(
x
)
?
y?
y2( x).
f (x,? y) ? f ( x, y).
则 ??f (x, y) d? ? 2??f (x, y) d? .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
f (x,? y) ? ? f (x, y).
则 ??f ( x, y) d? ? 0.
D
8
积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则：