对称性求解积分
对称性方法在积分计算中的应用
积分计算是数学中一个重要的分支，它是用来计算定积分或不定积分的。
对称性方法是积分计算中常用的一种方法，它可以将一个复杂的积分问题转换为一个更简单的积分问题。
它的基本思想是，如果一个函数具有对称性，那么它的积分值也具有对称性，我们可以利用这种对称性来简化积分计算。
比如，我们要计算函数f(x)的定积分，可以先将函数f(x)变换为具有对称性的函数g(x)，然后用对称性方法来计算积分。
这样，我们就可以将原来一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题，从而减少计算量，提高计算效率。
此外，对称性方法还可以用来计算不定积分。
例如，计算不定积分∫f(x)dx，我们可以先将函数f(x)变换为具有对称性的函数g(x)，然后用对称性方法来计算不定积分，从而获得积分结果。
总之，对称性方法是积分计算中常用的一种方法，它可以将复杂的积分问题转换为简单的积分问题，从而有效地减少计算量，提高计算效率。
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。
曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。
积分的对称性
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
D3
①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
三重积分的对称性
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
D1 ( x, y ) ( x, y ) D, x 0 D
1
③若D关于原点对称
(1) 当f( x, y) f( x, y) 时I 0 (2)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y 轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 0
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
对称性解决积分问题方法
利用对称性、奇偶性求积分
有关对称性的结论
（1 ）对于对称区间上的积分，有
（a ）当在区间上为奇函数[ 即] 时
（b ）当在区间上为偶函数[ 即] 时
（2 ）对于平面区域D 上的二重积分，有
1 ）设D 关于y 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半部分：
2) 设D 关于x 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的上半部分：
3) 设D 关于原点对称，则
（a ）当时，得
（b ）当时，得
其中，。
4 ）设D 关于x 轴和y 轴均对称，且关于变量和均为偶函数，则
其中是在第一象限的部分：
5 ）设D 关于直线对称，则
（3 ）积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质。
例如，
设关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
如果积分区域关于坐标面（或）对称，而被积函数
是（或）的奇函数或偶函数时，有类似的结论。
（4 ）第一型曲线积分和曲面积分也有类似的结论。
例如
1 ）设平面分段段线关于轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半段：
2 ）设分片光滑曲面关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
说明：以上结论不适用于第二型曲线积分和第二型曲面积分。
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
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(x y z)2dV
x2dV y2dV z2dV xydV yzdV xzdV
3
z2dV 3
2
d
sin d
R r4 cos2 dr 6
sin cos2 d
R r4dr
0
0
0
0
0
4 R5.
5
D
解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)=-(xy+y3 )=-f(xy)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理知， (xy y3)dxdy=0. D
计算 （x+y+z）2dV ,其中是x2 y2 z2 R2的球体.
解由对称性知
xydV yzdV xzdV, x2dV y2dV z2dV,
D
答案：1. ln 2 2.- 2 3. a b
2Hale Waihona Puke 52利用对称性简化二重积分计算
1、I=
z ln(x2 1 x2
y2 y2
zz22)dxdydz,
其中为x2
y2
z2
1.
解：由被积函数可以看出，此函数是关于z的奇函数，因为关于坐标轴 、坐标原点都对称，则：I=0
2、计算I = (xy y3)dxdy,其中D为由y2 2x与x 2围成的区域
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D1
D2
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
对称性的应用
例1：设区域D={（x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分I = 1 xy dxdy
D 1 x2 y2
例2：计算 x[1 yf (x2 y2 )]dxdy，其中D是由y=x3, y 1, x 1围成的区域，f
性质1：（对称性，偶倍奇零）
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续
（1）如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域
为 D，1 则有
0
当f (x, y) f (x, y)[即关于y的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f(x, y) f(x, y)[即关于y的偶函数]
（2）如果D关于y轴对称，记其y轴右 侧区域为 D，1 则有
D
是D上的连续函数
例3：设区域D={(x,y)|x2 y2 4, x 0, y 0}，f (x)为D上的正值连续函数，
a,b为常数，求 a
D
f (x) b f (y) dxdy
f (x) f (y)
例4：证明：1 (sin x2 cos y2 )dxdy 2,其中D为：0 x 1,0 y 1
0
当f ( x, y) f (x, y)[即关于x的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f( x, y) f(x, y)[即关于x的偶函数]
性质2：（轮换对称性） 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关 于直线y=x对称，直线y=x下方部分记作 直D1线 y=x上方记作D2,则有