第十二章 电磁感应和麦克斯韦电磁理论
12 电磁感应与电磁场-麦克斯韦方程式
传导电流、位移电流产生的磁场都是无源场。
大学物理 第三次修订本
13
第12章 电磁感应与电磁场
3. 电场的环路定理（变化磁场与电场的联系） — 法拉第电磁感应定律
dΦ B LE dl dt -s t dS
静电场是保守场,变化磁场可以激发涡旋电场。 4. 全电流安培环路定理(变化电场与磁场的联系)
2
Ic
P * r
Ic
l
r 2 dQ H (2 π r ) 2 R dt
1010
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
计算得
r dQ H 2 π R 2 dt
0 r dQ B 2 2 π R dt
代入数据计算得
B 1.1110 T
5
大学物理 第三次修订本
11
第12章 电磁感应与电磁场 二、麦克斯韦电磁场方程组的积分形式
t2
i
（1）动生电动势:
i
b
a
b Ek dl ( v B) dl
a
Ek为与洛伦兹力相对应的非静电性场强。
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22
B dS （2）感生电动势: i Ev dl l S t
式中Ev是变化磁场产生的有旋电场的电场强度。
L S
大学物理 第三次修订本
12
第12章 电磁感应与电磁场 引入有旋电场和位移电流的概念后,麦克斯韦 方程的积分形式修改为 1. 电场的高斯定理
S
D dS dV qi
V
静电场是有源场、感应电场是涡旋场。
2. 磁场的高斯定理
B dS 0
第12章-电磁感应 电磁场和电磁波
0n1I1
则穿过半径为 r2 的线圈
的磁通匝数为
N2Φ21 N2B1(π r12 )
n2lB1(πr12 )
代入 B1 计算得 2 N2Φ21 0n1n2l(πr12 )I1
则
M 21
N 2Φ21 I1
0n1n2l(πr12 )
33
12-3 自感和互感
例3 上题中，若通过长度为 l2 的线圈 N2 的电流为 I2 ， 且 I2 是随时间而变化的，那么，因互感的作用，在线 圈 N1 中激起的感应电动势是多少呢？ 解 通过线圈 N1 的磁通匝数为
dV
V 2
36
12-4 磁场的能量 磁场能量密度
例1 有一长为 l 0.20m 、截面积 S 5.0cm2 的长直 螺线管。按设计要求，当螺线管通以电流 I 450mA 时，螺线管可储存磁场能量 Wm 0.10J . 试问此长直螺
线管需绕多少匝线圈？
解 由上一节可知，长直螺线管的自感为
L 0N 2S / l
i
OP Ek dl
(v
B)
dl
OP
l
p
i
设杆长为 l
i
vBdl vBl
0
o
16
12-2 动生电动势和感生电动势
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中,
以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转
动，求铜棒两端的感应电动势.
解 di (v B) dl
vBdl
螺线管储存的磁场能量为
Wm
1 2
LI 2
1 2
0 N 2S
l
I2
N 1 ( 2Wml )1/ 2 1.8104匝
当 dL 0 dt
大学物理电磁学 第12章 电磁感应
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
电磁感应-麦克斯韦电磁场理论
dB dt
导体
• 涡电流的机械效应(磁阻尼摆) • 涡电流的热效应
电磁灶
第24页 共48页
§13.4 自感和互感
13.4.1 自感 • 自感现象
因回路中电流变化,引起穿 过回路包围面积的全磁通变 化,从而在回路自身中产生感 生电动势的现象叫自感现象. • 自感系数
B I, 又 Ψ B Ψ I
1 12
2 21
• 互感系数
I1 I2
21 N221 M21I1
M12 M21 M 单位: 亨利(H)
M 称为互感系数简称互感.
12 N112 M12I2
第29页 共48页
• 互感电动势
根据法拉第电磁感应定律:
21
dΨ 21 dt
(M
dI1 dt
I1
dM dt
)
若M 保持不变
12
B
E内
E感 半 径 Oa Oc 0
o
E外
Oac Oa ac Oc ac
Rh
通过 Oac 的磁通量:
a
E内 b
c
Φm
B dS
S
B(SOab
S扇)
B(3
3 π R2) 12
dΦm 3 3 π R2 dB a () , c ( )
dt
12
dt
第22页 共48页
例题9. 某空间区域存在垂直向里且随时间变化的非均匀磁
场B=kxcost. 其中有一弯成角的金属框COD,OD与x轴重
合, 一导体棒沿x方向以速度v匀速运动. 设t =0时x =0, 求框
内的感应电动势. 解: 设某时刻导体棒位于l 处
y B
C
任取 dS ydx x tan dx
大学物理B-第十二章 电磁感应
电磁感应
产 生 机 理
i
d m dt
楞次定律 动生电动势
感生电动势
自感电动势
i (v B ) dl L B i dS S t
工业生产
12-3 自感和互感
互感电动势
一、自感电动势
自感系数 I(t) Φm
1.自感现象与自感系数 由于回路自身电流的变化，在回 路中产生感应电动势的现象。
N
ab a
I NIl a b ldr ln 2r 2 a
N B dS
s
dr
I
r
由互感系数定义可得互感为: Nl ab M ln I 2 a
l
a
b
I I I I
0
0
12-4磁场的能量与能量密度
I (t )
L
R
0
充电过程曲线
τ
t
I (t)
K2
麦克斯韦提出全电流的概念
I 全 I 传导 I D
全电流连续不中断的，构成闭合回路
ID
全电流安培环路定理
L H dl I 传导 I D dD d D dS D dS 位移电流 I D S t dt dt S
讨论： 1. 传导电流：电荷定向运动 2. 若传导电流为零
L
L
穿过S1 面 电流
穿过S2 面 电流
S1
I
+ + + +
S2
D
电流不连续 -
二、 全电流安培环路定理 S2 面电位移通量 D DS
极板间电位移矢量 D 位移电流
电磁感应及其基本规律
S
L L
S
减小
>0
增大
<0
两 类 实 验 现 象 感 应 电 动 势
导线或线圈在磁场中运动
线圈内磁场变化 动生电动势 产生原因、规律不相同 感生电动势 都遵从电磁感应定律
四、感应电动势
● 动生电动势的成因
导线内每个自由电子
a
+++ + +
受到的洛仑兹力为
Fm e( B )
非静电力
Fm
B
它驱使电子沿导线由a向b移动。
b
由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷， a 端出现过剩正电荷 。
电子受的静电力
在导线内部产生静电场 E 方向 a b 。
a
+++ + +
Fe
Fe eE
平衡时：
Fe Fm
此时电荷积累停止，
i v B dl 其方向由 v B 决定
B i E涡 dl dS S t 其方向由 E 涡 沿 dl
的积分方向决定
静电场（库仑场） 由静止电荷产生
感生电场（涡旋电场）
E 库是位场（无旋场）
可以引入电位概念
L
动生电动势 特 点 原 因 非的 静来 电源 力 结 论 磁场不变，闭合电路的整 体或局部在磁场中运动导 致回路中磁通量的变化 由于S 的变化引起 回路中 变化
感生电动势 闭合回路的任何部分都不 动，空间磁场发生变化导 致回路中磁通量变化 由于B 的变化引起 回路中 变化
非静电力就是洛仑兹力， 变化磁场在它周围空间激发 涡旋电场，非静电力就是感 由洛仑兹力对运动电荷 生电场力，由感生电场力对 作用而产生电动势 电荷作功而产生电动势
大学物理下 吴百诗 课件ch12电磁感应和电磁场
Em
e
vB
导体棒ab上的动生电动势为 i a
b
b Em dl v B dl
a
i 0 i 0
方向：a
b
b a
a
i i
方向：b
a
b
推广：一段任意形状的导线ab（不闭合）, 在恒定的非均匀磁场中作任意运动 求导线ab上的动生电动势
i
ch12
•感应电量
t1时刻磁通量为Ф1，t2时刻磁通量为Ф2
1 d d dq Idt dt R dt R
q
1 2
d 1 1 2 R R
•回路中的感应电量只与磁通量的变化有关，而 与磁通量的变化率无关。 •用途：测磁通计。
ch12
四、楞次定律
ch12
如图接有电源的闭合电路。在
R
非静电力 Fk F e
电源以外的外电路中，由于静
电力作用，正电荷由带正电荷 I
的极板流向带负电荷的极板。
为了维持正负电极之间的电势 差，在电源内部，需要不断地 把正电荷搬回到正极。
+
+ -
非静电力: 能不断分离正负电荷使正电荷逆静电场力
角度推出了电磁感应电律的数学形式。
ch12
2、电磁感应的几个典型实验
S
N
v
v
G
G
G
感应电流与N-S的 与有无磁介质速度、 与有无磁介质开 磁性、速度有关 电源极性有关 关速度、电源极 性有关
v B S
感生电流与磁感应强度的 大小、方向，与截面积S 变化大小有关。
+ -
电磁感应与麦克斯韦方程组PPT课件
E
L
间变化 。感生电场具 有柱对称分布。
E
E 当r < R 时
当r>R 时0Βιβλιοθήκη Rr涡电流
涡电流是电荷在涡电场的作用下形成的 I 应用:用于金属熔炼,电磁灶,真空技术等 涡电流的危害与防止:变压器铁损.
电磁阻尼的应用
I
vF
实物演示 电磁跳环
I
I' I'
I
回顾与小结：两条思路
感生电场的性质:
(1)感生电场也同电场一样对 电荷有作用力 F qE
(2)感生L电E感场生源 d于l 变化S的Bt磁场dS
(3)对照静电场的环路定律: L E静电 dl 0
左旋!
E
B t
可见感生电场是不同于静电场的另一种电场.
(4)感生电场是非保守力场,是涡旋场,通常称为有旋电场. 感生电场的场线是无头无尾的闭合曲线。有旋,无源!
适用于一切产生感应电动 势的回路.
适用于切割磁力线的导体
回路中感应电动势方向的判断：
d 0 与回路绕行方向相反
dt
L
d 0 与回路绕行方向相同
dt
一段导体中动生电动势方向的判断：
等——能量守恒.
c
aB I
vl
b
(4)在产生动生电动势时是否出现了洛仑兹力作功的 问题?
洛伦兹力作功为零实质上表示了能量的转化和守恒。 它起了能量转换者的作用，一方面接受外力的功，同 时驱动电荷运动作功。
电移子动在的导 两线 个中 运参 动与.速随度导为线的运u动 和v 在导 线内
F e(u v ) B
d
ldx
2 x
N Il ln d a
2
d
L
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第十二章 电磁感应和麦克斯韦电磁理论12-1将一条形磁铁插入一闭合线圈，线圈中将产生感应电动势。
问在磁铁与线圈相对位置相同的情况下，迅速插入和缓慢插入线圈中所产生的感应电动势是否相同感应电流是否相同因电磁感应所产生的总电量是否相同答：迅速插入在线圈中产生的感应电动势大，缓慢插入线圈中产生的感应电动势小。
感应电流也不相同（因为I=Rε），但电磁感应所产生的总电量是相同的。
（因为11d q Idt dt dt R R dt RεΦ===-=-∆Φ⎰⎰⎰，∆Φ相同，所以q 相同）12-2一闭合圆形线圈在匀强磁场中运动，在下列情况下是否会产生感应电流为什么(1)线圈沿磁场方向平移； (2)线圈沿垂直于磁场方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
解：由d dt εΦ=-1d I R R dt εΦ==- （1）因为0d dt Φ=，所以没有电流产生（2）0d dtΦ= 也没有电流产生（3） 0Φ= 0d dtΦ= 没有电流产生（4）0d dt Φ≠ 若转动的角速度为，则2sin d R dtπωθΦ=（θ为线圈平台与之间的夹角）12-3在一环状铁芯上绕有两组线圈1和2，如题图所示，这样就构成了一个变压器。
当在线圈1中所通电流I 增大或减小时，在线圈2中都要感应电动势。
判断在这两种情况下，线圈2中的感应电流的方向。
答：（1）当I 增大，∆Φ增大，由楞次定律，I 产生的磁场应阻碍变化， 所以I 感的方向如图所示（从B 端流出）（2）当I 减小时，∆Φ减小，由楞次定律产生的磁场应阻碍变化 所以I 感的方向从A 端流出。
（3） （4） AB12-4将一条形磁铁插入电介质环中，环内会不会产生感应电动势会不会产生感应电流环内还会发生什么现象 答：不会产生感应电流，但会产生感应电动势（很小）。
环内还会产生极化现象，因为变化的磁场能产生电场，因此会使电解质极化。
12-5让一块条形磁铁顺着一根很长的竖直铜管下落，若忽略空气阻力，磁铁将作何种运动答：条形磁铁顺着一根很长得竖直钢管下落，开始时加速度为g ，由于条形磁铁运动。
穿过钢管的磁通量会发生变化。
由楞次定律知钢管中的感应电流产生的磁场将阻碍此磁通量的变化。
即阻碍磁铁下落。
故随着磁铁下落，磁铁的加速度将减少。
最后加速度为零。
（受力平衡）。
磁铁匀速度向下运动。
11-6 用题图中的装置可以观察电磁感应现象。
导体环A 是闭合的，而导体环B 有一缺口，两环用细杆连接，用竖直顶针支其中心点O ，使两环可绕点O 在水平面内自由转动。
当用磁性很强的条形磁铁插入环A 时，发现环向后退，而插入环B 时，环不动。
试解释所观察到的现象。
答：A 环闭合，当条形磁铁插入时，会产生感应电流，而感应电流产生的磁场会阻碍闭合回路中磁场的变化。
因此环会向后退。
B 环不闭合，当条形磁铁插入时，会产生感应电动势，但不会产生感应电流，因此环不动。
11-7 在磁感应强度大小为B = T 的匀强磁场中，有一长度为l = m 的导体棒垂直于磁场方向放置，如图11-11所示。
如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v 向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。
若棒的运动速率v = m s1，试求：(1)导体棒内的非静电性电场K ； (2)导体棒内的静电场E ；(3)导体棒内的动生电动势e 的大小和方向； (4)导体棒两端的电势差。
已知：0.50 1.5B Tl m == 14.0v m s -=⋅求：,,,K E u εu u r u r解：（1）fK v B e==⨯-u r u u r r u r K u u r()4.00.50 2.0NK c ∴=⨯= 方向如图（2）E u r 的方向与K u u r 方向相反， E K =-u r u u r 大小为12.0V m -⋅（3）()2.0 1.5 3.0K dl K l V ε+-=⋅=⋅=⨯=⎰u u r r方向由下向上（4）()3.0u V ε=-= 上端为高电势 下端为低电势11-8 如图所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD ，其边AB 可以滑动。
若磁感应强度的大小为B = T ，电阻为R =，AB 边长为 l = m ，AB 边向右平移的速率为v = 4 ms1，求：(1)作用于AB 边上的外力； (2)外力所消耗的功率； (3)感应电流消耗在电阻R 上的功率。
已知：如图：0.50.2B T R ==Ω 10.54l mv m s -==⋅求：R F P P 外外解：由安培定律：=()F BIL BL B L Rε=⊥v vQ 外22()(0.50.5)4 1.250.2L BLdx BL B R dt R υ⨯=⨯==⨯=N1.2545()P F υω=⋅=⨯=外外()22222()[]5R BL B L P I R R R Rυυω==⋅==11-9 有一半径为r 的金属圆环，电阻为R ，置于磁感应强度为B 的匀强磁场中。
初始时刻环面与B 垂直，后将圆环以匀角速度绕通过环心并处于环面内的轴线旋转/ 2。
求：(1)在旋转过程中环内通过的电量； (2)环中的电流； (3)外力所作的功。
解：如图所示 cos BS θΦ=⋅=2cos r B πθ∴ε=2sin d r B dtπθωΦ-=⋅ r22sin sin r B r B tI RRRεπθπωωω==-⋅=⋅()222200sin cos r B r Bq Idt d RRππθπθθ===-⎰⎰2=r BRπ()2222sin r B t w dA I Rdt dt I dt dt RRRπωεε⋅=====24222242220sin sin r B tr B A dt d RRππωωπωθθ∴==⎰⎰2422422422201cos 21sin 2224r B r B r B d RR R πππωθπωπωθθθ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰12-10 一螺绕环的平均半径为r = 10 cm ，截面积为S = cm 2，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为N 1 = 1000匝 和N 2 = 500 匝。
求两个线圈的互感。
已知：()()212100.51000500r cm s cm N N ====匝匝求：1221M M解：若在线圈1中通以电流1I ，则在线圈中产生的磁感应强度为:1N B I lμ= 该磁场在线圈2中产生的磁场通量为1122200N N NN BS N IS IS l lμμΦ===所以，两线圈的互感为121222002N N N NM N BS N S S l rμμπ===故：74421000500410 5.010 5.01021010M H ππ----⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 12-11 在长为60 cm 、半径为 cm 的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为10 3H 的线圈已知：326.010600.60 2.0 2.010L H l cm mr cm m --=⨯====⨯求： N解：在长直螺线圈管内部的磁场可认为是均匀的，并可以使用无限长螺线管内磁感应强度公式：N B H I lμμ== 通过每匝的磁通量为：N BS IS lϕμ== 总磁通量为：2N N IS lϕμΦ==2N L S I lμΦ∴==故：()332726.0100.60 1.510410 2.010L l N S μππ---⋅⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯匝 12-12 一螺绕环的平均半径为r = 10 2m ，截面积为S = 104 m 2，线圈匝数为N = 1500 匝，求螺绕环的自感。
已知：2421.210 5.6101500r m s m N --=⨯=⨯=匝求：L解：22724224101500 5.610 2.11022 1.210N N L s s H l r πμμππ----⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯ 12-13 若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。
两线圈的自感分别为L 1 和L 2 ，证明两线圈的互感可以表示为：12M L L =证：11111L I B S Φ==Q 22222L I B S Φ==而：1212121=M I B S Φ=； 2121212M I B S Φ==2121212111111B S B S B M L L I B S B ∴===； 1212121222222B S B S BM L L I B S B === 1221M M M ==Q 2211221121212B BM M M L L L L B B ∴=⋅=⋅=⋅ 故：12M L L =⋅ 证毕12-14 一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。
若通过的电流为I ，导线材料的磁导率为，证明每单位长度导线内所储存的磁能为：216m I w μπ=证：2IJ Rπ=（设：圆形截石的半径为R ）由安培环路定理：22lI r Hdl R ππ=⎰ 22Ir H R π∴= 222224112228m Ir I r w HB R Rμμππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故22234244211284416Rm m I I I W w r dr r dr R R R μπμμππππ⋅=⨯⋅⋅==⋅=⎰⎰证毕 12-15 一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜片将受到一种阻力的作用。
试解释这种阻力的来源。
答：铜片进出磁场时，穿过铜片的磁通量将发生变化，由电磁感应定律知，将产生感应电动势，又铜片是良导体，因此在铜片中将产生涡旋电流，涡旋电流产生的磁场将阻碍穿过铜片的磁通量的变化，即阻碍铜片运动。
12-16 概述超导体的主要电磁特性。
答：（1）零电阻性，电阻为零的现象称为超导电性，出现超导电现象的温度称为转变温度或临界温度，常用T C 表示。
处于T C 以上为正常态, 处于T C 以下为超导态。
使有电流，理想超导体内部的电场也等于零。
在超导体内部不可能存在随时间变化的磁场。
（2）临界磁场，当把超导体放于磁场中，保持温度不变，而逐渐增大磁场，当磁感应强度达到某特定值时，超导态转变为正常态。
磁感应强度的这一特定值称为临界磁场，用B C 表示。
（3）迈斯纳效应，无论是将超导体放置于磁场中并仍保持超导态，还是在磁场中将物体由正常态转变为超导态，超导体都将把磁感应线完全排斥到体外去, 这种现象称为迈斯纳 1882-1974)效应，或称完全抗磁性。
（4）同位素效应，同一种超导材料的不同同位素的临界温度T C 与同位素的原子量M 有如下关系：12C T M-∝12-17 什么是位移电流试比较它与传导电流的相似和差异之处。