浅析无理数的大小比较
..比无穷大更大！从有理数与无理数的比较开始
..比无穷大更大！从有理数与无理数的比较开始(作者：刘岳老师）有理数有无数个无理数也有无数个那谁更多？还是一样多？无穷与无穷，是否可以比出谁多谁少？数轴上的点对应有理数或无理数？那有理数和无理数又是如何在数轴上分布？NO.1如何比较无穷当我们比较有限的数量时，只要比较具体的数字谁大即可。
鸡有两条腿，兔有四条腿，所以兔子腿更多。
有理数有无数个，无理数也有无数个，或许我们可以认为是都是无数个，都是数不完的，那就一样多呗，但实际上无限也可以分出大小，因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。
如何比较无穷？所有的正数和负数一样多。
在正数集里任取一个正数，在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应，比如正数集中取1，负数集里会有-1，正数集里取π，负数集里会有-π，有一个正数，就会有一个相应的负数。
我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系。
所以正数与负数是一样多。
同样的道理，我们可以得出奇数和偶数是一样多的。
任取一个奇数2n-1，都会有一个偶数2n与其相对应，同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系，所以奇数和偶数也是一样多的。
我们把集合里元素的数量称为集合的基数，比如集合{1}的基数为1，集合{1,2}的基数为2。
判断无穷集合基数相等的方法便是：能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。
NO.2整体可以等于部分如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了，接下来我们继续看。
所有的偶数和所有的整数一样多。
What？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成了整数，偶数怎么和整数也一样多了？整数集合里任取一整数n，在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应，所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系，在偶数集里任取一个偶数，在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。
整体等于部分！这是我们在有限里不可能存在的情况，但在无穷集合里，却真真实实地发生了。
如果对于数没感觉我们再来看个图形的例子，在△ABC中，假定BC边为2，DE是BC边所对的中位线，所以DE=1，在BC边上任取点M，连接AM，则AM必与DE有一交点，记为N。
估算无理数的大小知识点
估算无理数的大小知识点估算的取值范围。
解：因为1＜3＜4，所以＜＜，即：1＜＜2如果想估算的更精确一些，比如说想精确到0.1．可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24．因为2.89＜3＜3.24，所以＜＜，所以1.7＜＜1.8。
如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。
比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例: 与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法:例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3-–-2=3-–+2=5-20即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2()2=6+2+10=16+2所以:八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》教学设计1
冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》这一章节是在学生已经掌握了有理数、实数相关知识的基础上，进一步引导学生学习无理数的大小比较。
无理数是实数的一部分，它无法表示为两个整数的比值。
本章节的教材通过实例和问题，让学生了解无理数的大小比较方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了有理数的知识，对实数也有一定的了解。
但是，对于无理数的大小比较，他们可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，让学生能够理解和掌握无理数的大小比较方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解无理数的大小比较方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极学习、主动探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的大小比较方法。
2.教学难点：理解和掌握无理数的大小比较方法，能够运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考无理数的大小比较。
2.知识讲解：讲解无理数的大小比较方法，并通过实例进行演示。
3.练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并小组讨论，分享解题心得。
4.拓展与应用：提出一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
5.总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点和难点。
可以采用流程图、列表、图形等方式进行设计。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、作业完成情况等方面进行。
比较无理数大小的几种方法
•比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例:与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法:例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3---2=3--+2=5-2<=2.5所以：5-2>0即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=<1所以：<六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2()2=6+2+10=16+2所以:<八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
十、放缩法:。
无理数的大小比较和排序
无理数的大小比较和排序在数学中，无理数是指不能表示为有限小数的实数。
它们与有理数相对，后者可以表示为两个整数之比。
无理数占据了实数线上绝大部分，如 $\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等。
由于无理数的特殊性质，它们的大小比较和排序相对困难。
本文将探讨无理数的大小关系及排序方式。
一、大小关系大小关系是指判断两个实数大小的关系，一般可通过比较它们的差值来确定，然而对于无理数，常规判断方式是无法使用的。
例如，$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 两个数谁大谁小？这就需要使用一些特殊的技巧。
1. 估值法估值法是指使用有理数逼近无理数，这样就可以将无理数转化为有理数进行比较。
例如，将 $\sqrt{2}$ 逼近到小数点后第二位，则 $\sqrt{2}\approx1.41$，将 $\pi$ 逼近到同样的位数，得到$\pi\approx3.14$。
于是我们可以比较两个有理数的大小，得出$\pi>\sqrt{2}$。
估值法的优势在于易于理解，但它十分依赖于逼近的精度，如果逼近不够准确，比较的结果也不准确。
2. 平方比较法平方比较法比较适用于那些有一个数是某个整数的平方的情况。
由于 $\sqrt{k^2+n}$ 与 $k$ 相等，对于两个无理数 $x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，如果 $a-b$ 是某个整数 $k$ 的平方，则有：$$ x>y \Longleftrightarrow a-b=k^2 $$这时，无需估算就能判断它们的大小关系。
例如，比较$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，它们的差值为 $1$，是 $1$ 的平方，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。
平方比较法有一个明显的局限性，即 $a-b$ 必须是某个整数$k$ 的平方，这种情况并不常见。
3. 函数比较法函数比较法使用初等函数来确定两个无理数的大小关系，例如，对于两个正的无理数 $a$ 和 $b$，有以下结论：$$ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a<b $$$$ a^x < b^x \Longleftrightarrow a<b \quad\text{和}\quad x>0 $$$$ a^x > b^x \Longleftrightarrow a>b \quad\text{和}\quad x<0 $$函数比较法优势在于适用范围广，但对于一些不好表达的无理数，比如 $\pi$，也无法得出精确的结果。
七年级上无理数知识点
七年级上无理数知识点
在七年级上数学学习中，无理数是一个非常重要的知识点。
本文将从定义、性质、表示以及计算四个方面来详细介绍无理数的相关知识。
一、定义
无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
其中最著名的无理数是圆周率π和自然常数e。
二、性质
1. 无理数和有理数一样，也可以进行加、减、乘、除等四则运算，但结构上会更加复杂；
2. 无理数也可以进行大小比较，不同的无理数之间可以比较大小；
3. 无理数可以用近似数来表示，但是无论采用多么精确的近似数，都不能达到无限精确。
三、表示
无理数可以用有限小数、无限循环小数、无限不循环小数等几种形式来表示。
1. 有限小数：例如
2.4，这是有理数的一种；
2. 无限循环小数：例如0.6666...，这可以写成2/3，也就是一个有理数；
3. 无限不循环小数：例如圆周率π或自然常数e，它们的小数部分是无限不循环的，无法用有理数来表示。
四、计算
无理数之间的四则运算比较复杂，需要用到一些特殊的方法。
1. 无理数加减法：直接按照小数位数相加减即可；
2. 无理数乘法：将无理数表示为根号下一个有理数，然后将式子化简后再使用有理数的乘法来计算；
3. 无理数除法：同样可以将无理数表示为根号下一个有理数，然后将式子化简后再使用有理数的除法来计算。
综上所述，无理数是数学中的一种重要概念，我们理解和掌握无理数的相关知识对于未来的学习和工作都具有重要的意义。
关于无理数的比较大小
无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。
无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。
但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。
这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。
一、平方法：两个数分别平方，再比较。
例1：比较的大小与711513++。
解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。
二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。
例2：比较2-5与52-5的大小。
解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。
这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。
例3：比较6-7与5-6的大小。
解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。
这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。
例4：比较62-112与65的大小。
解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。
五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。
例5：比较3-7与2-6的大小。
解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。
有理数与无理数分类
有理数与无理数分类数学中的数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数，而无理数则是不可用有限或无限循环小数形式表示的数。
有理数和无理数在数学中有着不同的性质和特点。
本文将对有理数和无理数进行分类和讨论。
一、有理数的分类有理数可以分为整数和分数两种。
1. 整数整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数。
2. 分数分数由分子和分母组成，分子是整数，而分母是正整数。
分数可以表示为两个整数的比值。
分数又可以分为真分数和假分数。
- 真分数：分子小于分母的分数。
例如，1/2、3/4都是真分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
例如，5/4、7/4都是假分数。
二、无理数的分类无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
1. 无限不循环小数无限不循环小数是无理数的一种形式，不能表示为两个整数的比例形式。
无限不循环小数的小数部分是无限长度的，且没有循环模式。
例如，圆周率π和自然对数的底数e都是无限不循环小数。
2. 无限循环小数无限循环小数是无理数的另一种形式，同样不能表示为两个整数的比例形式。
无限循环小数的小数部分是有限长度的，且有一个或多个循环模式。
例如，1/3和22/7都是无限循环小数。
三、有理数与无理数的性质比较有理数和无理数在数学运算、大小比较和表示形式等方面有着不同的性质。
1. 数学运算：有理数之间的四则运算（加法、减法、乘法、除法）仍然是有理数，两个有理数之间的运算结果也是有理数。
例如，1/2 + 3/4 = 5/4，结果是一个有理数。
而无理数与有理数之间的运算结果通常是无理数。
例如，√2 + 1/2是一个无理数。
2. 大小比较：有理数之间可以通过大小关系进行比较。
例如，2/3 < 4/5，即2/3小于4/5。
而无理数之间的大小比较相对复杂，需要借助数学方法进行推导。
一般来说，无理数之间无法直接通过大小关系进行比较。
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浅析无理数的大小比较
数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。
在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。
但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。
为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。
我归纳了几点：
一、直接比较法
①、同是正数
例、13与17的大小比较
分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
所以：13<17
②、同是负数
例、－39与－40的大小比较
分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
所以：－39>－40
③、 一正一负 例、5
3与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。
所以：5
3>－9 二、 分母有理化法 例、13151
-与15171-的大小比较
分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子，
1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是
1517+，从而把此式化成
)1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：)
1315)(1315(13
15+-+=21315+
)1517)(1517(1517+-+=21517+
因为分母都是2，分子大的那个就大。
所以：13151
-<15171-
三、 分子有理化法 例、6778--与的大小比较
分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，。