无理数大小比较方法归纳
无理数的性质与运算
无理数的性质与运算无理数是指不能表示为两个整数的商的实数，它包括无限不循环小数和无限循环小数两种类型。
与有理数相比，无理数具有一些特殊的性质和运算规则。
本文将就无理数的性质和运算进行探讨。
一、无理数的性质1. 无理数的无限性：无理数的小数部分是无限不循环的，它们没有重复的数字或者数字组合，可以一直延伸下去。
例如，圆周率π就是一个无限不循环小数。
2. 无理数的无序性：无理数之间没有大小的比较关系。
对于任意两个不同的无理数a和b，无论a是否大于b，总存在一个无理数c，使得a<b<c。
例如，根号2和根号3是两个无理数，它们之间没有大小的比较。
3. 无理数的无穷性：无理数的小数部分是无穷无尽的，不存在一个结束的部分。
这意味着无理数无法用分数或有限小数来表示，只能通过无限不循环小数表示。
二、无理数的运算1. 无理数的加法：对于两个无理数a和b，它们的和a+b也是一个无理数。
无理数的加法运算可以通过逼近法来实现，将两个无理数用有理数逼近，再进行相加操作。
2. 无理数的减法：对于两个无理数a和b，它们的差a-b也是一个无理数。
无理数的减法运算可以通过逼近法来实现，将两个无理数用有理数逼近，再进行相减操作。
3. 无理数的乘法：对于两个无理数a和b，它们的乘积a*b也是一个无理数。
无理数的乘法运算可以通过逼近法来实现，将两个无理数用有理数逼近，再进行相乘操作。
4. 无理数的除法：对于两个无理数a和b，它们的商a/b不一定是无理数。
有时候，a/b可以用有理数表示，有时候则是无理数。
例如，圆周率π除以根号2，结果是一个无理数。
5. 无理数的乘方：无理数的乘方操作结果可能是有理数，也可能是无理数。
例如，根号2的平方等于2，是一个有理数；而根号2的立方根结果是无理数。
三、无理数的应用1. 几何中的无理数：无理数广泛应用于几何学中。
例如，勾股定理中的边长可以是无理数，因为直角三角形的两条直角边长的比值可以是无理数。
..比无穷大更大！从有理数与无理数的比较开始
..比无穷大更大！从有理数与无理数的比较开始(作者：刘岳老师）有理数有无数个无理数也有无数个那谁更多？还是一样多？无穷与无穷，是否可以比出谁多谁少？数轴上的点对应有理数或无理数？那有理数和无理数又是如何在数轴上分布？NO.1如何比较无穷当我们比较有限的数量时，只要比较具体的数字谁大即可。
鸡有两条腿，兔有四条腿，所以兔子腿更多。
有理数有无数个，无理数也有无数个，或许我们可以认为是都是无数个，都是数不完的，那就一样多呗，但实际上无限也可以分出大小，因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。
如何比较无穷？所有的正数和负数一样多。
在正数集里任取一个正数，在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应，比如正数集中取1，负数集里会有-1，正数集里取π，负数集里会有-π，有一个正数，就会有一个相应的负数。
我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系。
所以正数与负数是一样多。
同样的道理，我们可以得出奇数和偶数是一样多的。
任取一个奇数2n-1，都会有一个偶数2n与其相对应，同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系，所以奇数和偶数也是一样多的。
我们把集合里元素的数量称为集合的基数，比如集合{1}的基数为1，集合{1,2}的基数为2。
判断无穷集合基数相等的方法便是：能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。
NO.2整体可以等于部分如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了，接下来我们继续看。
所有的偶数和所有的整数一样多。
What？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成了整数，偶数怎么和整数也一样多了？整数集合里任取一整数n，在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应，所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系，在偶数集里任取一个偶数，在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。
整体等于部分！这是我们在有限里不可能存在的情况，但在无穷集合里，却真真实实地发生了。
如果对于数没感觉我们再来看个图形的例子，在△ABC中，假定BC边为2，DE是BC边所对的中位线，所以DE=1，在BC边上任取点M，连接AM，则AM必与DE有一交点，记为N。
估算无理数的大小知识点
估算无理数的大小知识点估算的取值范围。
解：因为1＜3＜4，所以＜＜，即：1＜＜2如果想估算的更精确一些，比如说想精确到0.1．可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24．因为2.89＜3＜3.24，所以＜＜，所以1.7＜＜1.8。
如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。
比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例: 与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法:例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3-–-2=3-–+2=5-20即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2()2=6+2+10=16+2所以:八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
无理数的性质及运算规律
无理数的性质及运算规律一、无理数的定义1.无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
2.无理数不能精确地表示为分数形式，其小数部分既不会终止也不会无限重复。
二、无理数的性质1.transcendental number：无法表示为任何一种函数的根，如π和e。
2.不可数性：无理数集合中的元素无法与自然数一一对应，即无法数清无理数的个数。
3.均匀分布性：无理数在小数点后的每一位出现的概率是相等的。
4.无法表示为有限或无限循环小数：与有理数相区别的根本特征。
三、无理数的运算规律1.加减法：无理数加减无理数仍为无理数。
示例：√2−√2=02.乘除法：无理数乘以无理数仍为无理数。
示例：√2×√2=23.乘方：一个无理数的平方仍为无理数。
示例：(√2)2=24.无理数与有理数的运算：结果为无理数或是有理数，取决于运算方式。
示例：√2+1（无理数与有理数和为无理数）5.根号的性质：只有非负实数的平方根才是无理数。
示例：√(−2)没有实数解四、无理数在日常生活中的应用1.测量与工程：角度、几何尺寸的精确度等。
2.物理科学：自然界的许多现象与数学常数相关，如π在圆的周长与直径的比值中。
3.计算机科学：算法中的随机数生成、加密等领域。
五、无理数的估算与近似1.逼近法：使用有理数逼近无理数的值，如用分数近似π。
2.近似值：在需要的精度范围内，对无理数进行近似取值。
示例：π≈3.14六、无理数在数学中的地位1.实数体系：无理数与有理数共同构成实数集，是数学分析、微积分等高级数学分支的基础。
2.数论：无理数在数论中有着广泛的应用，如素数的分布等。
3.几何学：无理数在几何形状的计算和理论分析中不可或缺。
总结：无理数是实数的重要组成部分，其独特的性质和运算规律在数学、科学及日常生活中具有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？方法：无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 22 4,32 9 ∴2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.72 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 ∵ 2.642 6.9696,2.652 7.0225 ∴ 2.64 7 2.65 ∵ 2.6452 6.996025,2.6462 7.001316 ∴ 2.645 7 2.646
解：∵ 23 8 ，33 27 8 10 27
且
2 3 10 3
∴
3 10
∴ 的整3 1数0 部2 分是2，小
数部分是
所以 7 2.65 （精确到0.01)
总结：同课本P42估算 2的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 42 19 52 ∴ 取值范围
例1. 3 10的整数部分是________，小数部分是______ .
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16，即 3 10 4。
6.3.5估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算
7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ ∴ 2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.7 2 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 2 2 2 . 64 6 . 9696 , 2 . 65 7.0225 ∵ ∴ 2.64 7 2.65 2 ,2.6462 7.001316 ∵ 2.645 6.996025 ∴ 2.645 7 2.646 所以 7 2.65 （精确到0.01)
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16 ，即 3 10 4。
2 2 4,32 9
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 4 2 19 52 ∴ 42 19 ∴ 4 19 5
Hale Waihona Puke 52答案为：C估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ . 解：∵ 2 8 ， 33 27 且 8 10 27 ∴ 2 3 10 3 ∴ 3 10 的整数部分是2，小 数部分是 3 10 2
比较大小的方法
一．求差法
求差法的基本思路是：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a<b；当a-b=0时，a=b；当a-b>0时，a>b。
”来比较a与b的大小。
二. 求商法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商，再根据“当时，a<b；当时，a=b；当时，a>b。
”来比较a与b的大小。
三.倒数法
倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当时，a>b;当时，a<b,”来比较a与b的大小。
四．估算法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，，先估算出a、b两数中某部分的取值范围，再进行比较。
五．平方法
平方法的基本思路是：先将要比较的两个数分别平方，再根据“在时，可由得到”来比较大小。
这种方法常用于比较无理数的大小。
六．移动因式法
移动因式法的基本思路是：当时，若要比较形如 r的两数的大小，可先把根号外的因数a与c平方移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
两个实数大小的比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
关于无理数的比较大小
无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。
无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。
但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。
这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。
一、平方法：两个数分别平方，再比较。
例1：比较的大小与711513++。
解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。
二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。
例2：比较2-5与52-5的大小。
解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。
这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。
例3：比较6-7与5-6的大小。
解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。
这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。
例4：比较62-112与65的大小。
解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。
五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。
例5：比较3-7与2-6的大小。
解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。
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八、有理化法
可分母有理化，也可分子有理化。
例10.
练习题：
1、比较 与 的大小。
2、比较 与 的大小
3、比较 与 的大小
4、比较 与 的大小
5、比较 与 的大小
6、比较 与 的大小
7、比较 与 的大小
8、比较 与 的大小
无理数大小比较方法
一、直接法
直接利用数的大小来进行比较。
例1.
二、隐含条件法ห้องสมุดไป่ตู้
根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例2.
三、同次根式下比较被开方数法
例3.
例4.
四、作差法
若 ，则
例5.
五、作商法
，若 ，则 。
例6.
解：因为
所以
六、找中间量法
要证 ，可找中间量c，转证 。
例7.
解：因为
所以
七、平方法
，若 ，则 。