比较无理数大小的几种方法
无理数的大小比较和排序
无理数的大小比较和排序在数学中，无理数是指不能表示为有限小数的实数。
它们与有理数相对，后者可以表示为两个整数之比。
无理数占据了实数线上绝大部分，如 $\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等。
由于无理数的特殊性质，它们的大小比较和排序相对困难。
本文将探讨无理数的大小关系及排序方式。
一、大小关系大小关系是指判断两个实数大小的关系，一般可通过比较它们的差值来确定，然而对于无理数，常规判断方式是无法使用的。
例如，$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 两个数谁大谁小？这就需要使用一些特殊的技巧。
1. 估值法估值法是指使用有理数逼近无理数，这样就可以将无理数转化为有理数进行比较。
例如，将 $\sqrt{2}$ 逼近到小数点后第二位，则 $\sqrt{2}\approx1.41$，将 $\pi$ 逼近到同样的位数，得到$\pi\approx3.14$。
于是我们可以比较两个有理数的大小，得出$\pi>\sqrt{2}$。
估值法的优势在于易于理解，但它十分依赖于逼近的精度，如果逼近不够准确，比较的结果也不准确。
2. 平方比较法平方比较法比较适用于那些有一个数是某个整数的平方的情况。
由于 $\sqrt{k^2+n}$ 与 $k$ 相等，对于两个无理数 $x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，如果 $a-b$ 是某个整数 $k$ 的平方，则有：$$ x>y \Longleftrightarrow a-b=k^2 $$这时，无需估算就能判断它们的大小关系。
例如，比较$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，它们的差值为 $1$，是 $1$ 的平方，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。
平方比较法有一个明显的局限性，即 $a-b$ 必须是某个整数$k$ 的平方，这种情况并不常见。
3. 函数比较法函数比较法使用初等函数来确定两个无理数的大小关系，例如，对于两个正的无理数 $a$ 和 $b$，有以下结论：$$ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a<b $$$$ a^x < b^x \Longleftrightarrow a<b \quad\text{和}\quad x>0 $$$$ a^x > b^x \Longleftrightarrow a>b \quad\text{和}\quad x<0 $$函数比较法优势在于适用范围广，但对于一些不好表达的无理数，比如 $\pi$，也无法得出精确的结果。
略谈几种常见的无理数估计方法
航
另解 从 ２ ＿ ｌ ，５的 接 近程 度看 ，ｉ ｌ与 ６ ２ 。 － 『 取 ４５和 ４６来计 算 它的 平 方： ． ．
２ ２
４． ５＝２ ２ ０．５． ４ ６＝ ． ６ ． ２１ １ ．
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４．一 ２１ ６ 。・ ５ ＜ ＜４ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ．ＡＢ的长度约 为 ．
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１
１ Ａ ２． ＜ ． ｍ＜１ ３．一 一１ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ａ ｆ２， ） ． ． ．
２
数 的进 位 制 （ 在 第 １ 题 ７页 ）
如 图 １ 画法 如 下 ： ． （ ） 从 黑 球 开 始 ，以 墙 １ 先 日 为 对 称 轴 ． 画 上 黑 球 关 于 墙 日 的 对 称 点 Ｃ （） ； ２ 再 以 墙 Ａ 为 对 称 轴 ． 上 画 图 １ 点 Ｃ关 于 墙 Ａ 的 对 称 点 Ｄ； ３ （ ）用 直 线 把 点 Ｄ 和
１ （ （１．３）；２ （１）；３ （１ ） ．１ ３ ２ ２ （）２ ２５ （）１． 。 Ｊ ２ ５０
２ 因 为 ４ ＋ ： ｂ ４， 以 ，＝ ． ａ７７＋ 所 ０ ３
４
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４
，
故 ６最
小 取 ９ 从 而 ａ最 小 取 １ ， ６的 最 小值 为 ２ ． ， ５叶 ４
知识点估算无理数的大小
解答题1．写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．考点：估算无理数的大小。
分析：（ 1）由于 16＜ 17＜25，9＜ 11＜ 16．由此得到﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣ 5 和 4 之间的整数即可；（2）由于 16＜ 18＜25，所以 4＜＜5．只需写出绝对值小于 5 的所有整数即可．解答：解：（ 1）∵ 16＜ 17＜ 25，9＜ 11＜ 16，∴﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数：﹣4，± 3，± 2，± 10，；（2）∵ 16＜ 18＜ 25，∴4＜＜5，∴绝对值小于的所有整数：± 4，± 3，± 2，± 10，．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．2．（ 1）如图 1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．考点：估算无理数的大小；平方根。
分析：（ 1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．解答：解：（ 1）边长 =cm；（ 2 分）（2）大的正方形的面积=32+32=18；（ 3 分）边长 =，∴边长不是整数，（4分）∵（5 分）∴4≤．（6 分）点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．设的小数部分为a，的倒数为b，求 b﹣ a2的值．考点：估算无理数的大小。
估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 22 4,32 9 ∴2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.72 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 ∵ 2.642 6.9696,2.652 7.0225 ∴ 2.64 7 2.65 ∵ 2.6452 6.996025,2.6462 7.001316 ∴ 2.645 7 2.646
解：∵ 23 8 ，33 27 8 10 27
且
2 3 10 3
∴
3 10
∴ 的整3 1数0 部2 分是2，小
数部分是
所以 7 2.65 （精确到0.01)
总结：同课本P42估算 2的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 42 19 52 ∴ 取值范围
例1. 3 10的整数部分是________，小数部分是______ .
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16，即 3 10 4。
6.3.5估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算
7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ ∴ 2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.7 2 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 2 2 2 . 64 6 . 9696 , 2 . 65 7.0225 ∵ ∴ 2.64 7 2.65 2 ,2.6462 7.001316 ∵ 2.645 6.996025 ∴ 2.645 7 2.646 所以 7 2.65 （精确到0.01)
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16 ，即 3 10 4。
2 2 4,32 9
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 4 2 19 52 ∴ 42 19 ∴ 4 19 5
Hale Waihona Puke 52答案为：C估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ . 解：∵ 2 8 ， 33 27 且 8 10 27 ∴ 2 3 10 3 ∴ 3 10 的整数部分是2，小 数部分是 3 10 2
知识点035 估算无理数的大小(选择)
选择题：1．（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：估算无理数的大小。
分析：本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．解答：解：a、b均为正整数，且，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a+b的最小值4．故选B．点评：本题主要考查了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键．2．（2011•资阳）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q考点：估算无理数的大小；实数与数轴。
专题：应用题。
分析：先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．解答：解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在数轴上表示实数的点可能是点P．故选C．点评：本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．3．（2011•徐州）估计的值（）A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．解答：解：9＜=11＜16，故3＜＜4；故选B．点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．4．（2011•天津）估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．解答：解：∵＜＜，∴3＜＜4，故选：C．点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．5．（2011•台湾）如图数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一线段上（）A．OA B．AB C．BC D．CD考点：估算无理数的大小；实数与数轴。
略谈几种常见的无理数估计方法
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“ 五花八 门”有时候也解释为古代战术中的阵ｊ
势 ：五 花 ” 五行 阵 ；八 门 ” 是 八 门 阵 ． 秋 战 国 时 ｔ “ 是 “ 则 春
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略谈 几种 常见的
无 理数 估 计 方 法
无理 数的存 在使我 们感 受到数 学的神 奇美 妙 ， 同时 也 激 发 我 们 进 一 步 了解 和认 识 无 理 数 的 兴 趣 ． 新 课 标 明确 提 ｍ 了 对 无 理 数 的 认 识 要 求 ： 能 用 有 理 数 “ 估 计 无 理 数 的 大致 范 围 ．笔 者 根 据 近 几 年 来 的 教 学 ” 实 践 ， 结 了 几 种 常 见 的 无 理 数 估 算 方 法 ， 面 举 总 下
如 图２． 长为 ５ｍ 的 将
．
－ ．
梯 子 ＡＣ斜 靠在 墙 上 ， 长 为 ２ｍ 。 Ｃ 则
梯 子上 端 Ａ 到墙 的底 端 的距 离 Ａ
图
＝ ．
另 解 从 ２ 与 １ ， ５的 接 近 程 度 看 。 取 ４５ １ ６２ 可 ．
２
和 ４６ 计 算 它 的平 方 ： ．来
一
、
吉 林 市 第 二 十 九 中学 朱 航 ．Ａ 的长 度 介 于 ４ 和 ５之 间 ， ・ Ｂ ．
即 ４＜ ＜５ ．
（ ） 中 间值 并 平 方 比较 大 小 ： ２取
丁 ４＋５ ＝４５，４． ５
关于无理数的比较大小
无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。
无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。
但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。
这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。
一、平方法：两个数分别平方，再比较。
例1：比较的大小与711513++。
解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。
二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。
例2：比较2-5与52-5的大小。
解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。
这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。
例3：比较6-7与5-6的大小。
解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。
这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。
例4：比较62-112与65的大小。
解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。
五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。
例5：比较3-7与2-6的大小。
解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。
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•比较无理数大小的几种方法：
比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法
直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:
例:与3的比较
根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>
②、同是负数:
根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:
正数大于一切负数。
二、隐含条件法:
根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立
所以a-2≧0即a≧2
所以1-a≦-1
所以≧0，≦-1
所以>
三、同次根式下比较被开方数法:
例:比较4与5大小
因为
四、作差法:
若a-b>0,则a>b
例：比较3-与-2的大小
因为3---2=3--+2=5-2
<=2.5
所以：5-2>0
即3->-2
五、作商法:
a>0,b>0,若>1,则a>b
例：比较与的大小
因为÷=×=<1
所以：<
六、找中间量法
要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b
例:比较与的大小
因为>1,1>
所以>
七、平方法:
a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2
()2=6+2+10=16+2
所以:<
八、倒数法:
九、有理化法:
可分母有理化，也可分子有理化。
十、放缩法:。