第三章离散傅里叶变换(DFT)
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章_DFT定义及性质2016S
e j e
j
N
2 j
N
2 j
X (k )
N 1 k 0
e
j j
N
2 N j
k
N
2
e
e
N
2
j
k
N
2
X ( )
( 1)k e e
j
1 2 k j 2 N
e 2 N k ( 1) sin( ) 2 1 2 k sin( ( )) 2 N
1 ( N 1) WN
( N 1) ( N 1) WN
( N 1) 0 WN ( N 1)1 WN
T X Wx W x 则： 1 1 * 1 x W X W X N N
10
频域内插公式：由频域取样 DFT X(k) 表示 DTFT X(ejw)
1 X (e ) N
j
1 zN X (k ) k 1 1 WN z k 0
N 1 N 1 k 0
z e j
1 N 1 N 1 N
X (k )
N 1 k 0
1 e j N 1 e e e
从 Z 变换的角度看：
DFT结果包含了 z 平面上 N 个离散点处的 Z 变换结 果，这 N 个离散点均匀地 分布在单位圆上，由此也
e
j 2 k N
Im
Z平面
2 k N
e
j
2 N
2 N
Re
称DFT为单位圆上的取样
Z 变换。
Z 1
14
3.3.2 DFT 与 Z 变换的关系：频域内插
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
第三章离散傅里叶变换DFT(一)
F2
1 2
e j 4
3.1连续时间信号的傅里叶变换
非周期连续信号傅里叶变换
F j f (t)e j t dt
f (t)
1
F je j t d
2
该变换存在的充分条件： f t dt
频谱密度函数
周期信号的傅氏级数：
f (t)
F en
n
jn0t
(0
2 T
)
(1)
周期信号的频谱：
3.3连续时间信号的抽样
抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样
需要解决的问题
fs (t) f (t) s(t)
1
Fs ( j) 2 F( j) * S( j)
由f sf(st
)
t
Fs j与F 能否恢复f t
j的关系
理想冲激序列抽样
s(t) Ts (t) (t nTs )
2
f (t) 1 sin t 2 cos t cos 2t
Fne jnt
4
n 2
1 2
e
j
4e
j 2t
[1
1 2j
]e
jt
1 [1 1 ]e jt 2j
1 e j 4e j2t 2
F2
1 2
e
j
4
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
F0 1
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t)
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第三章 离散傅里叶变换（DFT ）
1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
图 P3-1 分析
利用DFS 的定义求解。
解：由nk j n nk
n e n x W n x k X 6250650
)()()(~π
-==∑∑==
k j
k j
k j
k j
k j
e
e
e
e
e
56
246
236
226
26
21068101214πππππ-----+++++=
计算求得
,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~
+= , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~
+=
2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~
),(~
k X n x 。
分析
利用DFS 的定义求解。
解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e
e e n x W n x k X ππ
π
π
-----=+++===∑∑3
236250
650
1)(~)(~)(~
计算求得
,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~
=
,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~
=
)(~),(~k X n x 如图P3-2所示。
图 P3-2
3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。
现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y
⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,01
0),()(rN n N N n n x n y
试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。
分析
利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。
解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1
02)(N n nk N
j e
n x π
，10-≤≤N k
可得 nk
rN N n nk rN
N n W n x W
n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10
1
)()()]([)(
)()(1
2r
k
X e
n x N n l
k
n N j
==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k
所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l
倍时，)(k Y 与)(r
k
X 相等。
4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进
r-1个零值点，得到一个rN 点的有限长序列)(n y
⎩⎨⎧-===else N i ir n r n x n y ,01
,...,1,0,),()(
试求rN 点)]([n y DFT 与)(k X 的关系。
分析
离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以N 为周期延拓r 次，即)(k Y 周期为rN 。
解：由 )(k X = DFT[)(n x ]∑-==1
0)(N n nk
N W n x ， 10-≤≤N k
可得 k n N n nk rN
N n nk
rN
N n W i x W
r ir x W
n y n y DFT k Y ∑∑∑-=-=-=====1
1
1
)()()()]([)(，10-≤≤rN k
而 )())(()(k R k X k Y rN N =
所以)(k Y 是将)(k X （周期为N ）延拓r 次形成的，即)(k Y 周期为rN 。
5. 频谱分析的模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512个抽样的DFT ，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。
分析
利用频域抽样间隔0F 和时域抽样频率s f ，以及抽样点数N 的关系0NF f s =。
证明
由 π2s s f Ω=
， π
200Ω
=F 得
0ΩΩ=s s F f 其中s Ω是以角频率为变量的频谱周期，0Ω是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
N F f s
s =ΩΩ=0
则 N
f F s
=
0 对于本题有 8=s f kHz ，512=N
所以 625.15512
8000
0==
F Hz 6. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10 Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。
分析
抽样间隔T 和抽样频率s f 满足T f s /1=,记录长度0T 和频域分辨力0F 的关系为
001F T =。
抽样定理为h h s f f f (2>为信号最高频率分量),一个记录中最少抽样总数N
满足
002F f F f T T N h s >== 解： （1）因为00
1
T F =
，而010F Hz ≤，所以 01
10
T s ≥
即最小记录长度为0.1s 。
（2）因为311
10100.1
s f kHz T ==⨯=，而
2s h f f >
所以
1
52
h s f f kHz <
= 即允许处理的信号的最高频率为5 kHz 。
（3）300.1
1010000.1
T N T ≥=⨯=，又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数
为1021024N ==。
7. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换， （1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。
（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。
分析
这两个是有限长序列，当)(n x 满足关系式)1()(n N x n x --=时称)(n x 为偶对称序列，偶对称中心为2/)1(-=N n ；当)1()(n N x n x ---=时称)(n x 为奇对称序列，奇对称中心为2/)1(-=N n 。
在第七章中会讨论以它们作为单位抽样响应时滤波器特性的情况。
证明
（1） 因为 ∑-==1
0)()(N n nk
N W n x k X ，10-≤≤N k
当)1()(n N x n x ---=时
∑-=---=1
0])()1([)(N n nk
N
N W n R n N x k X ∑-=------=1
)
1()1(])())1(([N n N k N n N k N
N N W W n R n N x )
1(1
)(--=-∑-=N k N N n nk N W W n x
可以求得 )())(()()
1(k R W K X k X N N k N
N ---= 当0=k 时 )0()0()0(X X X -=--= 即 0)0(=X
(2) 依照（1），当)1()(n N x n x --=时，可得
∑-=--=1
0])())1(([)(N n nk
N
N N W n R n N x k X )())(()
1(k R W k X N N n N
N --= 当2
N
n =
（N 为偶数）时 )1(2
2)2
())2(()2(---=N N
N
j N N e
N R N X N X π
由N 为偶数，则有 1)1()1(2
2-==----N j N N
N j
e e
ππ 所以 )2
()2()2()2(N
X N N X N X N X -=--=--=
即 0)2
( N
X。