浙教八上数学期末复习二 特殊三角形
浙教版八上数学期末复习-第二章 特殊三角形
课题：第二章特殊三角形一、等腰三角形分类讨论1.1等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为：1.2等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．等腰三角形的腰长为：1.3.等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于：钢架问题2.1.如图1，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝图1 图2 图3 图4 图52.2如图2钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…恰能加8根钢架，且P1A=P1P2，求∠A范围．2.3如图3，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为：性质应用3.1如图4，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，求AC的长3.2如图5，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．3.3如图6，等腰△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE作图：4直线L上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线L上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个二、等边三角形性质应用1.1如图7，等边三角形ABC，BC＝2，D是AB的中点，作DF⊥AC于点F，作EF⊥BC于点E，BE的长为：图6 图7 图8 图9 图10 图111.2.如图8，等边△ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。
∠AFE=______面积法：2.1如图9，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求PE+PF的值。
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定方法；2. 理解三角形内角和定理及推论的应用，并能运用其解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点教学难点：等腰三角形和等边三角形性质的应用；直角三角形的判定方法；三角形内角和定理及推论的应用。
教学重点：等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定；三角形内角和定理及推论。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、圆规、直尺、多媒体课件；2. 学具：三角板、圆规、直尺、练习本。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示特殊三角形在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣，引导学生复习特殊三角形的相关知识。
2. 复习等腰三角形：（1）回顾等腰三角形的性质：两边相等，两角相等；（2）讲解等腰三角形的判定方法：两边相等或两角相等；（3）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成等腰三角形。
3. 复习等边三角形：（1）回顾等边三角形的性质：三边相等，三角相等；（2）讲解等边三角形的判定方法：三边相等或三角相等；（3）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成等边三角形。
4. 复习直角三角形：（1）回顾直角三角形的性质：一个角为直角，其他两角互余；（2）讲解直角三角形的判定方法：有一个角为直角或勾股定理；（3）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成直角三角形。
5. 复习三角形内角和定理及推论：（1）回顾三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；（2）讲解三角形内角和推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和；（3）例题讲解：求三角形的内角或外角；（4）随堂练习：计算三角形的内角和或外角。
六、板书设计1. 特殊三角形的性质与判定；2. 三角形内角和定理及推论；3. 例题及解答；4. 随堂练习。
浙教版八年级上第2章 特殊三角形期末复习(含答案)
期末复习(二) 特殊三角形01 知识结构特殊三角形⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧图形的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形轴对称轴对称和轴对称图形的性质等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧轴对称性性质定理判定定理逆命题和逆定理⎩⎪⎨⎪⎧互逆命题互逆定理线段垂直平分线定理的逆定理直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧性质定理判定定理勾股定理勾股定理的逆定理全等的判定角平分线的性质定理02 重难点突破重难点1 等腰三角形的性质及判定【例1】 (萧山区期中)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC .(1)若AC ＝BC ，∠B ∶∠C ＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明； (2)若AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的比值、 【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC －AB 或AB ＋BD 转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等、解：(1)等腰三角形有3个：△ABC ，△ABD ，△ADC ，证明：∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形、 ∴∠B ＝∠BAC .∵∠B ∶∠C ＝2∶1，∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠BAC ＝72°，∠C ＝36°. ∵∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ADB ＝72°，∠DAC ＝∠C ＝36°. ∴AB ＝AD ，DA ＝DC .∴△ABD 和△ADC 是等腰三角形、(2)在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ， 又∵∠BAD ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AED .∴∠AED ＝∠B ，BD ＝DE .∵AB ＋BD ＝AC ，AC ＝AE ＋EC ， ∴BD ＝EC . ∴DE ＝EC .∴∠EDC ＝∠C .∴∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝2∠C . ∴∠B ∶∠C ＝2∶1.1、(上城区期中)如图，△AB C 、△ADE 中，C 、D 两点分别在AE 、AB 上，BC 与DE 相交于点F .若BD ＝CD ＝CE ，∠ADC ＋∠ACD ＝104°，则∠DFC 的度数为( C )A 、104°B 、118°C 、128°D 、136°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在A B 、B C 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数、解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△BDE ≌△CEF (SAS )、∴DE ＝EF ，即△DEF 是等腰三角形、 (2)∵∠A ＝40°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题、【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证、解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，∴∠BED＝∠AFE.∴∠CBF＋∠BED＝90°.∴∠BDE＝90°.∴AD⊥BC.(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形、3、(庆元县岭头中学月考)已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD 上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由、解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，∴AC＝CE.∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△CDE中，⎩⎨⎧AC ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE . ∴∠ACB ＝∠CED .∵∠CED ＋∠ECD ＝90°， ∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠ACE ＝90°.∴△ACE 是等腰直角三角形、重难点3 勾股定理及其逆定理【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，作∠ADB 的平分线DE 交AB 于点E .(1)求证：DE ∥BC ；(2)若AE ＝3，AD ＝5，点P 为线段BC 上的一动点，当BP 为何值时，△DEP 为等腰三角形？请求出所有BP 的值、【思路点拨】 (1)要证DE ∥BC ，可转化为证∠AED ＝∠ABC ＝90°，即证DE ⊥AB ，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP 为等腰三角形，存在三种情况：DE ＝EP ，DP ＝EP ，DE ＝DP ，结合勾股定理可求得BP 的值、解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，∴BD ＝AD ＝12AC .∵DE 是∠ADB 的平分线， ∴DE ⊥AB .又∵∠ABC ＝90°，∴DE ∥BC . (2)∵AE ＝3，AD ＝5，DE ⊥AB ， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝4. ∵DE ⊥AB ，AD ＝BD ， ∴BE ＝AE ＝3.①DE ＝EP 时，BP ＝42－32＝7； ②DP ＝EP 时，BP ＝12DE ＝12×4＝2；③DE ＝DP 时，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则DF ＝BE ＝3， 由勾股定理，得FP ＝42－32＝7， 点P 在F 下边时，BP ＝4－7，点P 在F 上边时，BP ＝4＋7，综上所述，BP 的值为7，2，4－7或4＋7.4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度运动，设运动时间为t (s )、(1)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值； (2)当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值、解：(1)∵∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，∴BC ＝4 cm .①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4.②当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， ∴52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.综上，当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(2)①当BP ＝BA ＝5 cm 时，t ＝5.②当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，∴t ＝8.③当PB ＝P A 时，PB ＝P A ＝t cm ，CP ＝(4－t )cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2， ∴t 2＝32＋(4－t )2，解得t ＝258. 综上，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或8或258.03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1、(上城区期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是( C )2、下列各命题的逆命题成立的是( C )A 、全等三角形的对应角相等B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C、两直线平行，同位角相等D、如果两个角都是45°，那么这两个角相等3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB ＝( A )A、50°B、45°C、40°D、25°4、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( B )A、两条直角边对应相等B、两个锐角对应相等C、一条直角边和它所对的锐角对应相等D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5、(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是( B )A、4B、3C、5D、4.5第6题图第7题图7、如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC 于点D，连结BD，下列结论错误的是( D )A、∠C＝2∠AB、BD平分∠ABCC、图中有三个等腰三角形D、S△BCD＝S△BOD8、(萧山区期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A )A、4.8B、4.8或3.8C、3.8D、59、(庆元县岭头中学月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是( B )A、AC＝AD＋BDB、AC＝AB＋BDC、AC＝AD＋CDD、AC＝AB＋CD第9题图第10题图10、(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A、1个B、2个C、3个D、3个以上二、填空题(每小题4分，共24分)11、等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°、12、(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.第12题图第13题图13、如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10、14、(萧山区期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32、第14题图第15题图15、(江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是3、16、(杭州期中)已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD ＝BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE ＝BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE ＋∠BCD ＝180°；③AD ＝EF ＝EC ；④BA ＋BC ＝2BF .其中正确的结论有①②④(填序号)、三、解答题(共46分)17、(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形、(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)解：如图：18、(10分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .证明：∵AM ＝2MB ，AN ＝2NC ，AB ＝AC ， ∴AM ＝AN .∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND (SAS )、 ∴DM ＝DN .19、(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a ，底边上的高的长为线段b ，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)(2)在(1)中，若a ＝6，b ＝4，求等腰三角形的腰长、解：(1)如图，等腰三角形ABC 即为所求作三角形，其中AB ＝a ，OC ＝b . (2)由题意知AC ＝BC ，AO ＝BO ，CO ⊥AB ，且CO ＝4，AB ＝6， ∴AO ＝3.∴AC ＝OA 2＋OC 2＝5，即等腰三角形的腰长为5.20、(14分)如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC . (1)求C 点的坐标； (2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值、解：(1)过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵∠MAC ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠OBA ＝90°， ∴∠MAC ＝∠OBA .在△MAC 和△OBA 中，⎩⎨⎧∠CMA ＝∠AOB ＝90°，∠MAC ＝∠OBA ，AC ＝BA ，∴△MAC ≌△OBA (AAS )、 ∴CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4.∴OM ＝OA ＋AM ＝2＋4＝6. ∴点C 的坐标为(－6，－2)、(2)过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE ＝OQ . ∴OP －DE ＝OP －OQ ＝PQ .∵∠APO ＋∠QPD ＝90°，∠APO ＋∠OAP ＝90°， ∴∠QPD ＝∠OAP .在△AOP 和△PQD 中，⎩⎨⎧∠AOP ＝∠PQD ＝90°，∠OAP ＝∠QPD ，AP ＝PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS )、 ∴PQ ＝OA ＝2， 即OP －DE ＝2.。
浙教版八年级上册专题复习特殊三角形
八年级专题复习---第二章 特殊三角形知识点回顾一、等腰三角形1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形性质(1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3、等腰三角形判定（1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形二、等边三角形1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°3、等边三角形判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）三条边都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2、直角三角形性质：(1) 在直角三角形中，两个锐角互余(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c b a =+3、直角三角形判定(1)根据定义判定(2)两内角互余的三角形是直角三角形.(3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形四、勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴2、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n 的线段.3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1．先找出最大边（如c ）2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形五、直角三角形判定方法：ASA, AAS 、SAS 、SSS 、 HL1、三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS ”）；2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS ”）；3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA ”）；4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS ”）；5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL ”）。
浙教版八上第二章：特殊三角形知识点复习
类型之一轴对称及轴对称图形1．下列图形中，是轴对称图形的为()A B C D2．如图2－1，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD 的周长为____．（第2题图）（第8题图）（第9题图）类型之二等腰三角形的性质与判定3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是．4．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长_____ 5．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为．6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______．7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．8．如图2－3，在△ABC中，△ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则△C的度数是()A．21°B．19°C．18°D．17°9．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE△AC于点E，过E作EF△BC于点F，过F作FG△AB于点G.当G与D重合时，AD的长是()A．3 B．4 C．8 D．910．如图，点C ，E 和点B ，D ，F 分别在△GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF.若△A ＝18°，则△GEF 的度数是 ．11．如图，在等腰△ABC 中，△ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE △DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F .若AE ＝4，FC ＝3，则EF 的长为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG△CD 于点G ，则△FAG ＝ ．13．△ABC ，△CDE 均为等边三角形，BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P .求证：△AOB ＝60°.14．已知：在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，BE △AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .求证： (1)△MED 为等腰三角形； (2)△EMD ＝2△DAC .（第13题图）（第14题图）（第11题图）（第10题图）（第12题图）类型之三 勾股定理的应用1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2，3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 2．若一个三角形的三边长a ，b ，c 满足(a ＋c )(a －c )＝b 2，则该三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能3．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 4．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 95．四个全等的直角三角形按图2－7的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH .己知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM ＝22EF ，则正方形ABCD 的面积为( ) A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S6．在△ABC 中，BC ＝42，AB ＝9，AC ＝7，则△C ＝_____．7. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm ，其周长为24 cm ，则此三角形的面积是____cm 2. 8．若三角形的三边长分别为n ＋1，n ＋2，n ＋3，当n ＝____时，这个三角形是直角三角形． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝12，则BC 边上的中线AD ＝_____．10．△ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，CD 是AB 边上的高线，则CD ＝_____．11．一张三角形纸片ABC ，△C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于____cm.（第11题图）（第9题图）（第10题图）（第5题图）（第3题图）（第4题图）12．如图是一块地的平面示意图，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，△ADC ＝90°，则这块地的面积为__ _m 2.13．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P 开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高线，BC ＝2，CD ＝3，AC ＝2 3.求证：△ABC 是直角三角形．15．如图，已知AC △BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝____； (2)求线段DB 的长度．16．如图△，一架梯子AB 长2.5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图△所示，测得BD ＝0.5 m ，求梯子顶端A 下滑的距离．类型之四 直角三角形（第13题图）（第12题图）1．在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三角形具有的判定方法是( ) A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL 2．如图，用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △DEF 全等的条件可以是（ ） A ．AC ＝DF ，BC ＝EF B ．△A ＝△D ，AB ＝DE C ．AC ＝DF ，AB ＝DE D ．△B ＝△E ，BC ＝EF3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD△△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．△BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．△B ＝45°4．如图，P 是AD 上一点，PE △AC 于点E ，PF △AB 于点F .若PE ＝PF ，△CAD ＝20°，则△BAD 为( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°5．已知点P 在△BAC 的角平分线OD 上,且PE △AB 于点E,PF △AC 于点F .若PE =3cm,则PF = cm. 6．如果Rt△ABC △Rt△DEF ,AC =DF =4,AB =7, △C =△F =90°，则DE = ,EF = ．7．如图，AB ＝AC ，CD △AB 于点D ，BE △AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O ，图中有 对全等的直角三角形．8．如图，CA △AB ，垂足为点A ，AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm ，射线BM △AB ，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2 cm /s 的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 运动 秒时，△DEB 与△BCA 全等．9．如图，Rt △ABC 中，△ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，求证：CD △BE ．10．在Rt△ABC 中，△A ＝90°，D 为斜边BC 上一点，且BD ＝BA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E .求（第2题图）（第4题图）（第3题图）（第8题图）（第7题图）（第9题图）证：点E在△ABC的平分线上．11．如图，在△ABC中，AB＝CB，△ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.（1）求证：Rt△ABE△Rt△CBF；（2）若△CAE＝30°，求△ACF的度数．（第11题图）12．(1)如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数；(2)如图△，在Rt△BAD中，△BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且△MAN＝45°.将△ABM 绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；专项训练：思想方法荟萃名师点金：本章涉及的数学思想方法有：(1)分类讨论思想：在等腰三角形中，当角没确定是底角还是顶角时，当边没确定是底边还是腰时常用分类讨论思想；(2)方程思想：在解决有关等腰三角形边角问题时常通过设适当的边或角为未知数，列方程求解；(3)数形结合思想：在解决有关实际问题时，常从实际问题中抽象出几何图形，借助几何图形来解决；(4)转化思想：证线段的和，差关系时，通常将分散的线段转化到同一条线段上，使复杂的问题简单化．分类讨论思想1．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为____________．2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为()A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10方程思想3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．4．如图，P是等边三角形ABC边AB上任一点，AB＝2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FQ⊥AB 于Q，设BP＝x.(1)用含有x的式子表示AQ；(2)当x等于多少时，点P和点Q重合？数形结合思想5．上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行，10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离．转化思想6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．。
2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件
2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用二、教学目标1. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定方法。
2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定。
难点：特殊三角形在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，引导学生思考特殊三角形的重要性。
2. 复习等腰三角形（1）教师引导学生回顾等腰三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形。
3. 复习等边三角形（1）教师引导学生回顾等边三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形。
4. 复习直角三角形（1）教师引导学生回顾直角三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形。
5. 特殊三角形在实际问题中的应用（1）教师讲解特殊三角形在实际问题中的应用方法。
（2）例题讲解：求解一个实际问题，涉及特殊三角形。
（3）随堂练习：解决一个实际问题，涉及特殊三角形。
六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（4）解决一个实际问题，涉及特殊三角形。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：特殊三角形还有哪些性质和应用？（2）推荐阅读：关于特殊三角形的研究性文章，提高学生的兴趣和拓展知识面。
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形一、教学内容本节课复习浙教版数学八上第二章特殊三角形的相关知识。
具体内容包括：1. 等腰三角形的性质与判定；2. 等边三角形的性质与判定；3. 直角三角形的性质与判定；4. 勾股定理及其应用。
二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定方法；2. 理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：勾股定理的理解与应用；2. 教学重点：等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、圆规；2. 学具：练习本、铅笔、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的等腰三角形、等边三角形和直角三角形实物，引导学生关注特殊三角形在实际生活中的应用。
2. 例题讲解：（1）等腰三角形的性质与判定；（2）等边三角形的性质与判定；（3）直角三角形的性质与判定；（4）勾股定理及其应用。
3. 随堂练习：（2）利用勾股定理计算给定直角三角形的斜边长度。
4. 课堂小结：六、板书设计1. 特殊三角形性质与判定；2. 勾股定理及其应用；3. 课堂练习答案及解题思路。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）等腰三角形、等边三角形、直角三角形；（2）斜边长度分别为：6cm、8cm、10cm。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况较好，但在勾股定理的应用方面还需加强练习。
2. 拓展延伸：（1）探索特殊三角形的面积计算方法；（2）了解勾股定理在其他领域的应用，如建筑、测量等。
重点和难点解析1. 勾股定理的理解与应用；2. 特殊三角形的性质与判定的深入理解；3. 教学过程中的实践情景引入；4. 作业设计中的题目难度与答案的准确性。
一、勾股定理的理解与应用勾股定理是直角三角形中的一个重要性质，它描述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2021-2022学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》期末综合复习训练2(附答案)
2021-2022学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》期末综合复习训练2（附答案）1．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（）A．80°B．50°C．65°D．45°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB 交BD于E，图中等腰三角形的个数是（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个3．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个4．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．7或11C．11D．7或106．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（）A．67°B．67.5°C．22.5°D．67.5°或22.5°7．如图，把一个含45°的三角板的直角顶点放在直线b上，已知a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则满足a2﹣b2＝c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形9．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m10．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组11．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．12．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示﹣1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”．则数轴上点A所表示的数是（）A．﹣1B．﹣+1C．D．﹣13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm214．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c215．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形16．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个17．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（）A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°18．若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．19．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为．20．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．21．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）22．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．23．已知直角三角形中有两边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长为．24．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．25．已知等腰三角形的周长是13．（1）如果腰长是底边长的，求底边的长；（2）若该三角形其中两边的长为3x和2x+5，求底边的长．26．（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝88°，求∠A的度数；（2）①如图2，∠MAN＝11°，点B在AM上，且AB＝1，按下列要求画图：以点B为圆心，1为半径向右画弧交AN于点B1，得第1条线段BB1；再以点B1为圆心，1为半径向右画弧交AM于点B2，得第2条线段B1B2，…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段，则n为多少？②已知∠MAN按照①思路画图，现在一共最多可以画出6条线段，请你求出∠MAN的度数范围．27．已知如图1：△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？28．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．29．如图所示，四边形ABDC，BD⊥CD，BD＝6，CD＝8，AB＝24，AC＝26，求该四边形的面积．30．已知a，b，c为三角形的三边，若a＝2，b＝3，当c为何值时，△ABC是：（1）锐角三角形？（2）直角三角形？（3）钝角三角形？31．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．参考答案1．解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；∴∠A的度数不可能是45°，故选：D．2．解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形．∵∠EBC＝∠ECB＝36°，∴△BCE是等腰三角形，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．3．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．4．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．5．解：根据题意，①当AC+AC＝15，解得AC＝10，所以底边长＝12﹣×10＝7；②当AC+AC＝12，解得AC＝8，所以底边长＝15﹣×8＝11．所以底边长等于7或11．故选：B．6．解：有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．故选：D．7．解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，又∵∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣55°﹣90°＝35°．故选：A．8．解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2＝b2+c2，即a2﹣b2＝c2”，故不符合题意；C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．故选：D．9．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝5，∠A＝30°∴AB＝10，∴大树的高度为10+5＝15m．故选：B．10．解：①3、4、5属于勾股数；②、、不属于勾股数；③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；④、、不属于勾股数；∴勾股数只有1组．故选：D．11．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．12．解：由勾股定理得，正方形的对角线的长＝＝，∴数轴上点A所表示的数﹣1，故选：A．13．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．14．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．15．解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∵a+b＞0，∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．16．解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选：C．17．解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．故选：A．18．解：由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3．∴周长为6+6+3＝15，故答案为：15．19．解：如图，∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，∠BCA＝90°，∴依题意得△ABC是一个斜边为40cm的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20cm，∴水深至少应为55﹣20＝35cm．20．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．21．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3．23．解：（1）当边长为4cm的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4cm；（2）当边长为4cm的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为cm＝5cm，故该直角三角形斜边长为4cm或5cm，故答案为4cm或5cm．24．解：根据勾股定理，另一直角边＝＝3，∴3+4＝7，故应填7．25．解：（1）设底边的长为x，则腰长为x，依题意得2×x+x＝13，解得x＝5，∴底边的长为5；（2）分三种情况讨论：①若两腰长分别为3x和2x+5，则3x＝2x+5，解得x＝5，∴腰长3x＝15（不合题意）；②若腰长为3x，底边长为2x+5，则6x+2x+5＝13，解得x＝1，3x＝3，2x+5＝7（不合题意）；③若底边长为3x，腰长为2x+5，则3x+2（2x+5）＝13，解得x＝，∴底边长＝3x＝；综上所述，底边的长为．26．解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，根据三角形的外角性质，可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED ＝∠EDM，设∠A＝x°，则∠CBD＝∠CDB＝2x°，∠DCE＝∠CED＝3x°，∠EDM＝4x°又∵∠EDM＝88°，∴4x＝88，x＝22即∠A＝22°；（2）①由题意可知，△ABB1，△BB1B2，△B1B2B3都是等腰三角形，第一个等腰三角形△ABB1的底角为11°，由三角形外角的性质可以得到，第二个等腰三角形△BB1B2的底角为22°，第三个等腰三角形△B1B2B3的底角为33°，于是可得，第n个等腰三角形的底角为（11n）°，而等腰三角形的底角小于90°，所以当n＝8时，底角为88°；当n＝9时，底角为99°，所以n＝8以后就不能再画出符合要求的线段了，故n＝8；②设∠MAN＝n°，同理可知：第一个等腰三角形的底角为n°，第二个等腰三角形的底角为2n°，第三个等腰三角形的底角为3n°，于是可得，第6个等腰三角形的底角为6n°，第7个等腰三角形的底角为7n°，而等腰三角形的底角小于90°，则，∴≤n＜15，即∠MAN的度数范围是：≤n＜15．27．解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF＝2BE＝2CF，理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，∴OE＝BE，OF＝CF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF＝BE+CF．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF＝BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCG（G是BC延长线上的一点），又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线，∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE，∠FCO＝∠FOC，∴CF＝FO，又∵EO＝EF+FO，∴EF＝BE﹣CF．28．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝；（2）证明：由上题知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．29．解：如图，连接BC，∵BD⊥DC，∴∠D＝90°，∴△DBC为直角三角形，∵BC2＝BD2+CD2＝82+62＝102，∴BC＝10，在△ABC中，∵AB2+BC2＝100+576＝676，AC2＝262＝676，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝×10×24﹣×6×8＝96．30．解：（1）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形，即c2＜22+32＝13，∴c＜，∵a＜b＜c∴3＜c＜．∴当3＜c＜时，△ABC是锐角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＞，∵a＜c＜b，∴＜c＜3，∴当＜c＜3，时，△ABC是锐角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＞，∵c＜a＜b，∴＜c＜2（舍去），∴当＜c＜3，或3＜c＜时，△ABC是锐角三角形；（2）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形，即c2＝22+32＝13，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＝b2时，△ABC是直角三角形，即c2＝b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＝b2时，△ABC是直角三角形，即c2＝b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，∴当c＝或时，△ABC是直角三角形；（3）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形，即c2＞22+32＝13，∴c＞，∵a＜b＜c∴c＞．∴当c＞时，△ABC是钝角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＜，∵a＜c＜b，∴2＜c＜，∴当2＜c＜，时，△ABC是钝角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＜，∵c＜a＜b，∴0＜c＜2，∴当0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形，∴当c＞或当2＜a＜或0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形．31．解：利用图1进行证明：证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，又∵S四边形BCED＝（a+b）2，∴ab+c2+ab＝（a+b）2，∴a2+b2＝c2．利用图2进行证明：证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB ＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．。
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期末复习二特殊三角形一、必备知识1．等腰三角形性质：①边：两腰相等；②角：；③特殊线段：三线合一，即等腰三角形顶角平分线与底边上的、底边上的中线互相重合．等边三角形性质：①边：每条边都；②角：每个角都是.直角三角形性质：①边：勾股定理；②角：两锐角；③特殊线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的．2．等腰三角形的判定：在同一个三角形中，对等边．等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是；③一个角为60°的三角形．直角三角形的判定：①有两个角；②勾股定理的逆定理．3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的．4．两个直角三角形可用证明全等；在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的．二、防范点1．求等腰三角形角度，边长的问题注意分类讨论，考虑多种情况．2．逆命题中注意术语的回避，如“等腰三角形两腰相等”的逆命题为．例题精析知识点一轴对称图形例1 （1）下列图形中不是轴对称图形的是（）（2）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则ADE= 度（3）如图所示，为了确保城市运动会的安全工作，某交警执勤小队从A出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，然后再到B处执行任务，他们应该如何走才能使总路程最短？【反思】利用轴对称性可以解决一些线段和最短的问题．知识点二等腰、等边三角形性质及判定例2 （1）等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为．（2）等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为．（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，则∠EDC度数=.（4）如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC 的度数= .（5）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是．（6）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．【反思】运用等腰、等边三角形性质解决问题时往往要结合三角形内角和为180°和三角形外角性质，解题过程中还要注意分类讨论考虑多种情况，防止出现漏解．例3 如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.试说明△DAE是等边三角形．【反思】要说明一个三角形是等边三角形，当已知这个三角形是等腰三角形时，也可设法说明底边和腰相等或说明一个角为60°.知识点三逆命题和逆定理例4 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．（1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；（2）如果a＝b，那么a2＝b2；（3）等腰三角形两腰上的高相等．【反思】把原命题的条件和结论互换可得到其逆命题，若逆命题是假命题，则利用举反例就可以进行说明；若逆命题是真命题，则要进行推理论证才能说明．知识点四直角三角形性质、判定及HL全等证明例5 （1）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有.（填序号）（2）一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是.（3）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．（4）如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为．（5）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．【反思】对于（3），设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键；对于（4），求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键；对于（5），对应关系不明确注意分类讨论．知识点五特殊三角形的综合运用例６（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想；（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【反思】解题的关键是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；用类似方法分析、证明（2）．例７在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．【反思】解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．例8 如图，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为A（10，0），B （6，8），直线y＝kx分别交BC、AB于点M、N.（1）求直线AB的函数解析式；（2）若直线y＝kx交线段AB于点N，当AN＝25时，请说明直线y＝kx垂直线段AB.【反思】第（2）小题也可先求点N的坐标，利用勾股定理逆定理证垂直．校内练习１. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠C=70°，则∠CAD的度数是.２．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是. 3．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种柔性衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，如图2，∠AOB=60°，则此时AB= cm.4．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为.5．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .６．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为.７．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点. 若AC=15，则CP的长为.8．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是 .9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．10．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，M为BC中点．（1）求证：DM＝EM；（2）若∠A＝45°，求∠DME的度数；（3）若∠A∶∠DME＝5∶2，BC＝4，求S△DME.答案期末复习二 特殊三角形【必备知识与防范点】一、1. 两底角相等 高线 相等 60° 互余 一半2. 等角 60° 等腰 互余3. 平分线上 HL 一半二、2. 两边相等的三角形为等腰三角形【例题精析】例1 （1）A （2）50 （3）如图所示，交警执勤小队沿A →C →D →B 的路线走即可使总路程最短．例2 （1）15 （2）75°、75°或30°、120° （3）10° （4）120°（5）①②③（6）3或6或6.5或5.4例3 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°.∴∠ACD ＝120°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝21∠ACD ＝60°. ∴∠B ＝∠ACE.在△ABD 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE.∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°.∴△DAE 为等边三角形．例4 （1）逆命题为：如果ab 为无理数，那么a 、b 都是无理数． 假命题（2）逆命题为：如果a 2＝b 2，那么a ＝b. 假命题（3）逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 真命题 例5 （1）①②③ （2）5或7 （3）10 （4）535 （5）4例6 （1）AR=AQ ，证明如下：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠B=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°，∵∠BQP=∠AQR ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ. （2）AR=AQ 仍然成立：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°，∵∠ABC=∠PBQ ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ ．例7 （1）如图1，设CE=x ，则BE=8-x ；由题意得：AE=BE=8-x ，由勾股定理得：x 2+62=（8-x ）2，解得：x=47，即CE 的长为：47． （2）如图2，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′=21AC=3；设CE=x ，类比（1）中的解法，可列出方程：x 2+32=（8-x ）2，解得：x=1655． 即CE 的长为：1655． 例8 （1）AB ：y ＝－2x ＋20； （2）连结OB ，得OB ＝10＝OA ，又AN ＝25＝0.5AB ，∴直线y ＝kx 垂直线段AB （等腰三角形三线合一）．【校内练习】1. 20°2. 43. １８4. 4或65. 13606. 47. 5 8. 259. （1）2 8 （2）3.6或10秒（3）①CD ＝BD 时，如图1，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则CE ＝BE ，∴CD ＝AD ＝21AC ＝21×10＝5，t ＝5÷1＝5；②CD ＝BC 时，CD ＝6，t ＝6÷1＝6；③BD ＝BC 时，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于F ，则CF ＝3.6，CD ＝2CF ＝3.6×2＝7.2，∴t ＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t ＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD 是等腰三角形．10. （1）DM ＝EM ＝0.5BC （直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）；（2）∠DME ＝∠DMC －∠EMC ＝2∠DBC －2∠EBC ＝2∠ABE ＝2×45°＝90°；（3）设∠A ＝x °，则∠DME ＝2（90－x ）°，由∠A ∶∠DME ＝5∶2得x ＝75，∴∠DME ＝30°，∴S △DME ＝21×2×1＝1.。