自然控制系统的时域分析和总结
自动控制原理第3章
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制系统的时域分析.
以位置控制系统为例，
结构图
R(s)
(-)
n2 s( s 2n )
C(s)
其中： ωn—自然频率；ζ—阻尼比。
标准形式
二、二阶系统的阶跃响应
2 s2 2 s 其输出的拉氏变换为 n n 0
2 2 n n 1 C ( s ) ( s ) R ( s ) 2 2 s 2n s n s s(s s1 )(s s2 )
稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现形式。表征系统输出 量最终复现输入量的程度.
三、动态性能指标和稳态性能指标
稳态误差
xc(t) 1 0.5
p
td
0
tr
tp
ts
t
xc(t) p 1 1. 延迟时间td：响应 稳态误差 td 曲线第一次达到其终值 0.5 一半所需时间。 0 tr t tp ts 2. 上升时间tr：响应 从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上 升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
二阶系统特征方程根
s1,2 n jn 1 2
•特征根决定了系统的响应形式。
•进一步的描述如下图：
2 3 5 3 1 4 5
j
1.6 1.4Βιβλιοθήκη c(t)2 1 3
0
1.2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
1 2
5 4
(a) 闭环极点分布
0 2 4 6 8 10 1214 16 18
C
uc (t )
结构图：
R(s)
E(s) (- )
1/Ts
C(s)
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
自动控制原理实验 控制系统稳定性分析和时域响应分析
实验二 控制系统稳定性分析和时域响应分析一、实验目的与要求1、熟悉系统稳定性的Matlab 直接判定方法和图形化判定方法；2、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的动态性能指标分析；3、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的稳态性能指标分析。
二、实验类型设计三、实验原理及说明1. 稳定性分析 1）系统稳定的概念经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动共同作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的，反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。
2）系统特征多项式以线性连续系统为例，设其闭环传递函数为nn n n mm m m a s a s a s a b s b s b s b s D s M s ++++++++==----11101110......)()()(φ 式中，n n n n a s a s a s a s D ++++=--1110...)(称为系统特征多项式；0...)(1110=++++=--n n n n a s a s a s a s D 为系统特征方程。
3）系统稳定的判定对于线性连续系统，其稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程具有负实部，即全部根在左半复平面内，或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s 平面内。
对于线性离散系统，其稳定的充分必要条件是：如果闭环系统的特征方程根或者闭环传递函数的极点为n λλλ,...,21，则当所有特征根的模都小于1时，即),...2,1(1n i i =<λ，该线性离散系统是稳定的，如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。
4）常用判定语句2.动态性能指标分析系统的单位阶跃响应不仅完整反映了系统的动态特性，而且反映了系统在单位阶跃信号输入下的稳定状态。
第12讲 控制系统的时域分析总结
6
输入信号的图形 3.1 时间响应与输入信号
µ (t )
r (t )
a(t )
(a)
(b)
(c)
δ (t )
1
f (t)
h
t
t
h
(d)
(e)
7
常用的典型输入信号 3.1 时间响应与输入信号
�（1）单位阶跃信号
(a) 所示，其幅值高度等于 1个单位时称为单位阶跃信 如图 如图(a) (a)所示，其幅值高度等于 所示，其幅值高度等于1 µ (t ) 号，其数学表达式为：
1− ξ
1−ξ 2 ξ
2
sin (ωd t + β ) , ( t ≥ 0 )
。上式中第一项是稳态项，第二项 式中， β = arctg 瞬态项是随时间 t而衰减的正弦振荡函数。振荡频率 为 ωd 。
20
3.3 二阶系统时间响应 二阶系统的单位阶跃响应
� （2）临界阻尼情况（ ξ = 1 ） 系统有两个相等的负实根，这时
3
系统阶跃响应及动态性能指标
阶跃响应到达并 保持在终值 5％误 差带内所需的最 短时间
4
3.1
时间响应与输入信号
研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用 下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系统对 输入信号如何产生影响。 在分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能进 预先规定一些具有特殊形式 行比较的基础，这种基础就是 行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊形式 的试验信号作为系统的输入（典型输入信号）， 然后比较 的试验信号作为系统的输入（典型输入信号），然后比较 各种系统随这些输入信号的响应。
16
3.3 二阶系统时间响应 过阻尼系统
控制系统时域分析
控制系统时域分析控制系统是指由各种元件和装置组成的，用于控制、调节和稳定各种过程的系统。
在控制系统的设计和分析中，时域分析是一种常用的方法。
时域分析可以通过考察系统输出信号在时间上的变化来评估系统的性能和稳定性。
本文将介绍控制系统的时域分析方法及其在工程实践中的应用。
1. 时域分析的基本概念时域分析是指通过观察系统输入和输出信号在时间轴上的波形变化，来分析控制系统的性能和特性。
在时域分析中，常用的指标包括系统的响应时间、稳态误差、超调量、振荡频率等。
2. 系统的单位阶跃响应单位阶跃响应是指将系统输入信号设置为单位阶跃函数，观察系统输出信号的变化。
单位阶跃响应可以反映系统的动态特性，包括系统的稳态响应和暂态响应。
通过观察单位阶跃响应的波形，可以评估系统的超调量、上升时间、峰值时间等性能指标。
3. 系统的单位脉冲响应单位脉冲响应是指将系统输入信号设置为单位脉冲函数，观察系统输出信号的变化。
单位脉冲响应可以用来确定系统的传递函数和冲激响应。
通过观察单位脉冲响应的波形，可以计算系统的阶跃响应和频率响应等特性。
4. 系统的稳态误差分析稳态误差是指系统输出信号与期望输出信号之间的偏差。
稳态误差分析是用来评估系统在稳态下的性能。
根据系统的稳态误差特性，可以对系统进行进一步的补偿和优化。
通常，稳态误差可以通过单位阶跃响应和传递函数来计算。
5. 系统的波形分析波形分析是指通过观察系统输入和输出信号的波形，来分析系统的性能和特性。
波形分析可以帮助工程师判断系统是否存在超调、振荡和阻尼等问题，从而进行相应的调整和改进。
6. 控制系统的频域分析虽然时域分析是评估控制系统性能的常用方法，但有时候需要使用频域分析来更全面地了解系统的特性。
频域分析可以通过考察系统的频率响应函数来评估系统的稳定性和抗干扰性能。
常见的频域分析方法包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和频率响应曲线等。
总结：时域分析是控制系统设计和分析中重要的工具之一。
通过观察系统输入和输出信号在时间上的变化，可以评估系统的性能和稳定性。
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(s) G (s) 0.5
1 G (s) s(s 1) 0.5
s220.707 0. 70 0.7 7207s0.7072
0.70, 7 n0.707
若不忽略 T a ，系统的开环传递函数为
G (s)
0 .5 s(0 .1s 2
s 1)
系统的闭环传递函数为 0.707, n0.707
设系统具有一对靠近虚轴的复数共轭极点和一个远 离虚轴的实极点。闭环系统的传递函数为
(s)(s22nsn2 p3n2)(sp3)
p3 n
p3 n
jω
n 0
-p3 n
σ
图3-36 系统的闭环极点
令 为实数极点与复数极点到虚轴的距离之比，即 p3 n
令α为实数极点与复数极点的模值（极点到原点的距 离）之比，即
p3 5 n
非主导极点影响可忽略的判断准则
n当实数极点与主导闭环极点到原点距离之比大 于5时，非主导闭环极点对时间响应的影响可以 忽略 n与主导闭环极点的到原点的距离大小无关
开环极点的影响
对控制系统进行初步的分析、设计时，常常直接从系 统的开环传递函数入手。
用二阶系统
((ss)) s220.7003.7 502.75s0.752
近似原来的三阶系统不会引起明显的误差。忽
略 T a 不会使动态性能有明显的改变。
（2）设K0＝4s－1
忽略 T a 后，系统的闭环传递函数为
((ss)) G(s) 4
1G(s) s(s1)4
s2
n各函数项的系数取决于系统零、极点的分布
n若某极点远离原点，则相应项的系数很小； n若某极点接近一零点，且远离其它极点和零点，则相应项 的系数也很小； n若某极点远离零点又接近原点或其它极点，则相应项系数 就比较大。
n系数大而且衰减慢的那些项在瞬态响应中将起主要作用
2.主导极点
高阶系统中，对时间响应起主导作用的闭 环极点称为主导极点，它必须满足：
Ø在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其 它的零点与极点；
Ø其到虚轴的距离与其它极点到虚轴的距离相差 五倍以上；
闭环主导极点的几何说明如图所示。
研究主导极点的意义
n系统的性能主要由主导极点决定 n主导极点为一个或一对 n可将系统近似为一阶或二阶系统
稳定高阶系统零、极点分布模式（存在主导极点）
n左半复平面上离虚轴最近的极点是一对共轭复 极点（或实极点），它们的附近没有零点 n系统的其它极点
n恰有邻近的零点与之相消 n在主导极点左方很远，且离所有零点也很远
非主导极点对动态性能的影响
三阶系统－－有三个极点情况 系统有一对靠近虚轴的共轭复数主导极点，还有一 个实数极点的情况。系统的闭环传递函数为
12
e p3 t
12nt) 2 ( 2) 1
t0
式中，
p3 n
距离的比值。
表示其他极点与主导极点到虚轴
图3-35 非主导极点的影响
注释：非主导极点将使最大超调量减少，调节时间增加。 由图还可以看出，当非主导极点远离虚轴时，它的影响 逐渐减少。
非主导极点
((ss)) (s22nsn2 p3n2)(sp3)
系统的单位阶跃响应为
C (s)(s22n sn 2 p3n2)(sp3)g 1 s
c(t)1
ent
2(2)cos(
2(2)1
12nt
[2(2)1]sin(
22 20.252s22
0.2,5n2
若不忽略 T a ，系统的开环传递函数为
G(s)s(0.1s24s1)
系统的闭环传递函数为
0.2,5n2
((ss))s310s24010s40
40
(s9.39)(s20.61s4.27)
(s9.39)(s2 9 2 .3 9 0 .1 2 4 .0 77 22.07s2.072)
忽略了系统具有小时间常数的环节后，便可以用二阶 或三阶系统来近似，这就是所谓的降阶处理。图3-41 是一个自整角机直流随动系统的结构图。
R(s)
K01
K02 TaTms2 Tms 1
K 03
C(s)
s
图3-41 自整角机直流随动系统的结构图
系统的开环传递函数为
G(s)(TaTms2K T0ms1)s
t 0
一般来说，高阶系统的瞬态响应和闭环系统零、极 点有下面的关系：
n一个稳定的高阶系统，其瞬态响应曲线是由指数 曲线（相应于实数极点）和阻尼正弦曲线（相应于 共轭复数极点）合成的
n瞬态响应的类型取决于闭环极点
n瞬态响应的形状却主要取决于点到虚轴的距离，它只对瞬态响应的初始阶段有影响
((ss)) s310s2510s5
5
(s8.954)(s21.055s0.563)
8.9540.752
(s8.954)(s220.7030.75s0.752)
主导极点对应的参数为
0.70 , 3 n0.75
p3 8.94511.95 n 0.75
系统的一对主导极点为： 0.147,n2.07。非主
导极点与主导极点到原点的距离之比
p 3/n 9 .3 9 /2 .0 7 4 .5
一般来说，Tm>>Ta。 下面将讨论：在K0取不同数值时，忽略电枢回路 的电感会产生什么效果。
忽略电磁时间常数Ta后，系统的开环传递函数为
G(s) K0 s(T0s 1)
式中， K 0K 0 1 K 0 2K 0 3; T 0 T m
（1）设K0＝0.5s－1
忽略 T
后，系统的闭环传递函数为
自然控制系统的时 域分析和总结
1.高阶系统的瞬态响应
R(s)
C(s)
G(s)
+-
H(s)
闭环系统特征方程为
为了保证系统的稳定性要求系统的闭环极点全 部位于左半s平面，如图所示。图中，si，sij为
特征方程 (s) 0的根。
系统的单位阶跃响应 时间响应
稳态项 指数衰减项 指数衰减正弦项
c(t) 1(t)