高考数学第二单元 数列的概念和等差数列
高二数列的基础知识点
高二数列的基础知识点数列是数学中一个重要的概念。
它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高二数学学习中，数列是一个重要的基础知识点，掌握数列的性质和求解方法对于学习更高层次的数学内容具有至关重要的作用。
本文将介绍高二数列的基础知识点，包括等差数列、等比数列和通项公式。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差始终保持不变的数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
在等差数列中，首项和公差的值是确定的，通过公式可以求得任意一项的值。
此外，等差数列还具有以下性质：1. 公差d的正负决定了等差数列的增减性质。
当d大于0时，数列递增；当d小于0时，数列递减。
2. 等差数列中，任意三项的差值相等。
也就是说，对于任意的m、n，有am - an = (m-n)d。
3. 求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1+an)n/2。
通过该公式可以快速求得等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比始终保持不变的数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
与等差数列类似，等比数列中首项和公比的值是确定的，通过公式可以求得任意一项的值。
等比数列还具有以下性质：1. 公比r的正负决定了等比数列的增减性质。
当|r|大于1时，数列递增；当|r|小于1时，数列递减。
2. 等比数列中，任意两项的比值相等。
也就是说，对于任意的m、n，有am/an = r^(m-n)。
3. 求等比数列的前n项和的公式为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)。
通过该公式可以迅速计算等比数列的前n项和。
三、通项公式数列的通项公式是指通过已知的数列性质，求得数列中任意一项的公式。
在等差数列和等比数列中，已经提到了它们的通项公式。
对于其他类型的数列，例如等差几何数列、斐波那契数列等，也可以通过观察数列的规律来推导出相应的通项公式。
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
新高考数学数列相关知识点
新高考数学数列相关知识点数学数列作为高中数学中的重要内容，一直以来都是学生们关注的焦点。
而在新高考改革中，数学数列相关知识点的考察也更加重要。
本文将以数列的定义、求和公式及特殊数列为主线，探讨新高考数学数列相关知识点。
一、数列的定义数列是由一系列按特定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，每个数字被称为项，而项之间的规律则被称为递推公式。
二、等差数列等差数列是指数列中每一项与前一项之差保持不变的数列。
我们可以通过递推公式来定义等差数列。
假设首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的递推公式为：an = a + (n-1)d等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (a + an) = (n/2) * (2a + (n-1)d)在解决等差数列问题时，我们经常需要根据已知条件求解未知数，或者求解特定项的值。
三、等比数列等比数列是指数列中每一项都等于前一项与公比之积的数列。
同样地，我们可以通过递推公式来定义等比数列。
假设首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的递推公式为：an = a * r^(n-1)等比数列的求和公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)在解决等比数列问题时，我们通常需要确定首项、公比和项数等已知条件，再进行相应的计算求解。
四、特殊数列除了等差数列和等比数列之外，数学中还有许多特殊的数列类型，如斐波那契数列、裴波那契数列等。
斐波那契数列是指前两项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推公式为：fn = fn-1 + fn-2裴波那契数列是指前两项分别为p、q，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
裴波那契数列的递推公式为：an = an-1 + an-2这些特殊数列在实际生活中也有着广泛的应用，比如斐波那契数列在自然界中的分布规律等。
五、数列在实际问题中的应用数列作为数学中的一种基本概念，不仅在学科中具有重要地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
高中数学必修二数列数列总知识点
高中数学必修二数列数列总知识点
1. 数列的定义与概念
- 数列是指由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。
- 数列中的每个数称为项，用an表示第n项。
- 数列按照一定规律排列的规律称为通项公式，用an = f(n)表示。
- 数列的表示方法有通项公式、递推公式和图形表示等。
2. 等差数列
- 等差数列是指数列中相邻两项之间差相等的数列。
- 等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d 为公差，n为项数。
- 等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
3. 等比数列
- 等比数列是指数列中相邻两项之间比相等的数列。
- 等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r 为公比，n为项数。
- 等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当|r| <
1时成立。
4. 通项公式的推导
- 对于一些特定的数列，可以通过观察规律或利用数学方法推
导出通项公式。
- 例如，斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1 - φ)^n) / √5，其中φ为黄金分割比。
5. 常见数列的性质与应用
- 数列的性质包括单调性、有界性、极限等，这些性质在数学
应用中起到重要作用。
- 等差数列和等差中项数列常用于计算物体运动的位置和速度
等问题。
- 等比数列常用于计算复利、投资等涉及指数增长的问题。
以上是高中数学必修二数列的总知识点，希望对你的研究有所
帮助！。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
高考文科数列知识点总结
高考文科数列知识点一．考纲要求内容4要求层次AB C 数列数列的概念 数列的概念和表示法√ 等差数列、 等比数列等差数列的概念√ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式√二．知识点(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（二）等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
高考数学 第二节 等差数列教材
第二节 等差数列考 点 串 串 讲1．等差数列的定义以及判定方法 (1)等差数列的定义如果数列{an}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(用d 表示)，就称这个数列为等差数列．常数d 叫做这个等差数列的公差，即an ＋1－an ＝d. 对于等差数列定义需注意：①在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；②要强调“同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特征．如果某几项破坏了这一规律，尽管其他项都满足，那么这个数列也不是等差数列．③要强调公差d ＝an ＋1－an(n ∈N ＋)，防止把被减数与减数弄颠倒． ④由定义可知有了某一项和公差，则这个等差数列就被完全确定． (2)等差数列的判定方法①定义法：an ＋1－an ＝d(常数)⇔{an}是等差数列．②中项公式法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列． ③通项公式法：an ＝pn ＋q(p ，q 为常数)⇔{an}是等差数列．④前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)⇔{an}是等差数列． 2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，则等差数列{an}的通项公式为 an ＝a1＋(n －1)d(n ∈N ＋)．①若已知等差数列{an}的第m 项为am ，公差为d ，则等差数列{an}的通项公式为 an ＝am ＋(n －m)d(n ，m ∈N ＋)．② 3．等差数列的前n 项和公式已知等差数列{an}的首项为a1，第n 项为an.则前n 项和Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋an2.① 若已知首项a1和公差d ，则 Sn ＝na1＋12n(n －1)d.②若已知末项an 和公差d ，则 Sn ＝nan －12n(n －1)d.③说明 ①等差数列的求和公式是通过倒序相加法求得的．②在等差数列的五个量：a1，an ，n ，d ，Sn 中，只要已知其中的三个量就可求出其余的两个量． 4．用函数的观点审视等差数列(1)等差数列的通项公式an ＝a1＋(n －1)d 可以化为an ＝dn ＋a1－d ，进一步可表示为an ＝dn ＋b(这里b ＝a1－d ，a1是首项，d 为公差)．①若d ＝0，则an ＝a1.等差数列{an}为常数列，图象为平行于x 轴的直线y ＝a1上的横坐标为正整数的一些孤立点，如图所示．②若d≠0，则等差数列{an}的图象为直线y ＝dx ＋b 上的横坐标为正整数的一些孤立点． 特别地，由通项公式得 d ＝an －am n －m ＝f n －f m n －m.这就是解析几何中的斜率公式，因此公差d 是直线y ＝dx ＋b 的斜率． 由斜率的意义可知：当d ＞0时，{an}为递增的等差数列；如图1所示，当d ＜0时，等差数列{an}单调递减．如图2所示．(2)由Sn ＝na1＋12n(n －1)d 得Sn ＝d 2n2－12(d －2a1)n.∴当d≠0时，等差数列的前n 项和Sn 是n 的二次函数．其图象是抛物线y ＝d 2x2－12(d －2a1)x 上横坐标为正整数的一些孤立点．特别地当d ＞0时，这些点都分布在开口向上、对称轴为x ＝d －2a12d的抛物线上，如图3所示．当d ＜0时，这些点都分布在开口向下，对称轴为x ＝d －2a12d的抛物线上，如图4所示．由此可知，当d ＞0时Sn 存在最小值，当d ＜0时，Sn 存在最大值．5．等差中项的定义和性质(1)定义：三个数a 、b 、c 成等差数列，则b 为a 和c 的等差中项． (2)性质：a 、b 、c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2.说明：这一性质不仅描述了成等差数列的三个数之间的一种数量关系，而且指明了等差中项就是另外两个数的算术平均数．根据这一性质还可以作出以下两个推论．推论1：在等差数列{an}中，有an －1＋an ＋1＝2an(n≥2)．推论2：在等差数列{an}中，若m ，n ，p 成等差数列，则am ＋ap ＝2an.说明：推论1指的是等差数列中的连续三项an －1，an ，an ＋1，根据性质显然an 是an －1与an ＋1的等差中项．在推论2中，m ，n ，p 成等差数列．根据等差数列的等距性，am ，an ，ap 也成等差数列．所以由性质可知am ＋ap ＝2an.(3)三个数成等差数列一般设为：a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等比数列一般设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d. 6．等差数列的性质(1)若公差d ＞0，则此数列为递增数列；若d ＜0，则此数列为递减数列；若d ＝0，则此数列为常数列．(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等．并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即a1＋an ＝a2＋an －1＝a3＋an －2＝…＝2a 中．(3)若m ，n ，p ，k ∈N*，且m ＋n ＝p ＋k ，则am ＋an ＝ap ＋ak ，其中am ，an ，ap ，ak 是数列中的项．特别地，当m ＋n ＝2p 时，有am ＋an ＝2ap.这条性质，还可以推广到有三项、四项……的情形．使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多的．(4)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列．(5)等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列．(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{man ＋kbn}仍为等差数列．其中m ，k 均为常数．(7)若{an}成等差数列，且Sn 为其前n 项的和，则Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…成等差数列． (8)项数为偶数2n 的等差数列{an}，有S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)(an 与an ＋1为中间的两项)； S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1.项数为奇数(2n －1)的等差数列{an}，有 S2n －1＝(2n －1)an(an 为中间项)； S 奇－S 偶＝an ；S 奇S 偶＝nn －1.S 奇、S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．(9)在等差数列中，若ap ＝q ，aq ＝p ，则ap ＋q ＝0；若Sm ＝n ，Sn ＝m ，则Sm ＋n ＝－(m ＋n).典 例 对 对 碰题型一 求等差数列的基本量 例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61； (2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d ； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.解析 (1)解法一：设首项为a1，公差为d ，依条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 33＝a1＋14d ，153＝a1＋44d ，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－23，d ＝4，∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217. 解法二：由d ＝an －am n －m ，得d ＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an ＝am ＋(n －m)d ，得a61＝a45＋16d ＝153＋16×4＝217. (2)∵Sn ＝na1＋12n(n －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a1＋28d ＝48，12a1＋66d ＝168， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－8，d ＝4.(3)∵a6＝10，S5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋5d ＝10，5a1＋10d ＝5，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－5，d ＝3，∴a8＝a6＋2d ＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.变式迁移1在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 根据已知条件10a1＋10×92d ＝120， 即2a1＋9d ＝24，∴a1＋a10＝2a1＋9d ＝24.题型二 等差数列的判定例2两个数列{an}和{bn}满足bn ＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n求证：(1)若{bn}为等差数列，数列{an}也是等差数列； (2)(1)的逆命题也成立．证明 (1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan ＝12n(n ＋1)bn ，a1＋2a2＋…＋(n ＋1)an ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)·bn ＋1，∴an ＋1＝12(n ＋2)bn ＋1－12n·b.∴an ＋1－an ＝32(bn ＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列．(2)逆命题：两个数列{an}和{bn}满足bn ＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n ，若{an}为等差数列，则{bn}也为等差数列．由已知得an ＝12(n ＋1)bn －12(n －1)·bn －1，an ＋1＝12(n ＋2) ·bn ＋1－12n·bn ，∴an ＋1－an ＝32(bn ＋1－bn)为常数，∴bn ＋1－bn ＝23(an ＋1－an)为常数，∴数列{bn}也为等差数列．点评 本例是数列与四种命题的综合题，本题的关键有二：一是用定义证明等差数列，二是逆命题与原命题的关系.变式迁移2在数列{an}中，a1＝1，且an ＝2S2n 2Sn －1(n≥2)．证明数列{1Sn }是等差数列，并求Sn.解析 由已知得Sn －Sn －1＝2S2n2Sn －1.去分母得(2Sn －1)(Sn －Sn －1)＝2S2n ，Sn －1－Sn ＝2SnSn －1，两边同除以SnSn －1， 得1Sn －1Sn －1＝2. ∴{1Sn }是以1S1＝1a1＝1为首项、2为公差的等差数列，故 1Sn ＝1S1＋(n －1)·2＝2n －1(n≥2)． 经验证n ＝1时也成立，所以Sn ＝12n －1 (n ∈N*).题型三 等差数列的性质及应用例3已知两个等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为An ，Bn ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得anbn 为整数的正整数n的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵A2n －1B2n －1＝2n －1a1＋a2n －122n －1b1＋b2n －12＝2an 2bn ＝anbn ， ∴an bn ＝A2n －1B2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，∴当n ＝1,2,3,5,11时，anbn为整数，故选D.答案 D点评 对等差数列性质的考查是高考的重点，解题的关键是要敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系，本题只有深入理解Sn 公式中隐含的性质，才能灵活地利用S2n －1公式中的a1＋a2n －1与an 的关系.变式迁移3已知方程(x2－2x ＋m)(x2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于( )A ．1 B.34C.12D.38 答案 C解析 设a1＝14，a2＝14＋d ，a3＝14＋2d ，a4＝14＋3d ，而方程x2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，x2－2x ＋n ＝0的两根之和也是2.∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d ＝4，∴d ＝12.即|m －n|＝|14×74－34×54|＝12.题型四 等差数列的前n 项和的性质例4已知{an}为等差数列，Sn ＝m ，Sm ＝n ，其中m≠n ，m ，n ∈N*，求Sm ＋n.分析 分析1：由已知，可设等差数列的基本量a1，d ，据Sn ＝m 与Sm ＝n ，列方程组求出a1，d ，再代入前n 项和公式求Sm ＋n.分析2：根据等差数列前n 项和公式为不含常数项的二次函数关系式，因此可设Sn ＝An2＋Bn ，据Sm 与Sn 列方程组建立A 与B 的关系，再求Sm ＋n.分析3：从前n 项和的定义Sn ＝a1＋a2＋…＋an 入手，结合等差数列的性质：当m ＋n ＝p ＋q 时，有am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q 均为正整数)来求解． 解析 解法一：设首项为a1，公差为d ，则⎩⎨⎧m ＝na1＋n n －12d ，n ＝ma1＋mm －12d ，解得⎩⎨⎧a1＝n2＋m2＋mn －m －nmn，d ＝－2m ＋nmn .∴Sm ＋n ＝(m ＋n)a1＋m ＋nm ＋n －12d＝－(m ＋n)．解法二：设Sx ＝Ax2＋Bx ，则⎩⎪⎨⎪⎧Am2＋Bm ＝n ， ①An2＋Bn ＝m ， ② ①－②得A(m2－n2)＋B(m －n)＝n －m ， ∵m≠n ，∴A(m ＋n)＋B ＝－1，∴Sm ＋n ＝A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)． 解法三：Sm －Sn ＝n －m ＝an ＋1＋an ＋2＋…＋am ＝m －n2·(an ＋1＋am)． ∴an ＋1＋am ＝a1＋an ＋m ＝－2， ∴Sm ＋n ＝－(m ＋n)．点评 涉及等差数列的前n 项和的问题，一般思路是从前n 项和公式入手，设基本量，列方程组解基本量，若考虑数列的函数特征，也可以设Sn ＝An2＋Bn ，而解法三是利用了等差数列的基本性质.变式迁移4等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d. 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝162，S 偶＝192. 又S 偶－S 奇＝30＝6d ，∴d ＝5.题型五 等差数列前n 项和的最值问题例5等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项的和最大，并求此最大值．解析 解法一：⎩⎪⎨⎪⎧a1＝25，S17＝S9.则17a1＋17×162d ＝9a1＋9×82d ，d ＝－2.从而Sn ＝25n ＋nn －12(－2)＝－(n －13)2＋169. 故前13项的和最大，最大值是169. 解法二：Sn ＝d 2n2＋(a1－d2)n (d ＜0)．Sn 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的纵坐标为9＋172，即S13最大(如图)．由解法一知，a1＝25，d ＝－2. ∴S13＝169.点评 数列是特殊的函数．以上两种解题思路均是转化为函数中求最值的方法，即利用单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等．还可根据an≥0且an ＋1≤0求出n 值.变式迁移5设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a3＝a1＋2d ＝12，S12＝12a1＋12×112d ＞0，S13＝13a1＋13×122d ＜0，得－247＜d ＜－3.(2)∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0， S13＝13a1＋a132＝13a7＜0，∴a6＞0且a7＜0，故S6最大．【教师备课资源】题型六 两等差数列中的公共项问题例6两个等差数列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项． 解析 解法一：∵an ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2， bm ＝3＋(m －1)×4＝4m －1，∴两数列共同的项需3n ＋2＝4m －1， ∴n ＝43m －1，而n ∈N*，m ∈N*∴设m ＝3r(r ∈N*)，得n ＝4r －1.⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r≤100，1≤4r －1≤100. ∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．解法二：设两数列共同项组成新数列{Cn}，则C1＝11， 又an ＝3n ＋2，bm ＝4m －1，由题意知{Cn}为等差数列，且公差d ＝12， ∴Cn ＝11＋(n －1)×12＝12n －1. 又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn ＝12n －1≤302，由n ∈N*得n≤25， ∴两数列有25个共同的项．点评 可以看出，新数列的公差应是原来两数列的公差的最小公倍数.变式迁移6在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解析 设{an}为[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数由小到大组成的数列， 由题意知{an}为等差数列，且首项a1＝1005，公差d ＝12， ∴an ＝1005＋(n －1)×12＝12n ＋993. ∵an≤2000，即12n ＋993≤2000， 解得n≤831112，由n ∈N*得n≤83，∴数列项数为83，即符合题意的整数共有83个.题型七 数据表中的等差数列 例7在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格中的数是________.*742y 186 y 103 0x2x解析 记aij 为从上到下第i 行，从左到右第j 列的空格中所填的数，则a52＝x ，a41＝y.由第3行得a33＝2y ＋1862，由第3列得a33＝2×103－2x ，所以2x ＋y ＝113. ① 由第2行得a23＝2×74－3y ，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x ，所以148－3y ＝3×103－4x ， 整理得4x －3y ＝161. ② 联立①②解得x ＝50，y ＝13. 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x ＝172， a13＝2a33－a53＝112，故a14＝a13＋a152＝142.答案 142点评 数据表数列问题均有一 定的规律，破解数据表数列问题的关键就是要能够敏锐地捕捉数据表数列分组信息中的规则，合理巧妙地运用由特殊到一般及由一般到特殊的思想解决问题.变式迁移7下表给出一个“ 4 7 () () () … a1j … 7 12 () () () … a2j … () () () () () … a3j … () () () () () … a4j … … … … … … … … … ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … …………………(1)写出a45的值；(2)写出aij 的计算公式；(3)证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积． 解析 (1)该等差数阵的第一列是首项为4，公差为3的等差数列，∴a41＝4＋3×(4－1)＝13，第二列是首项为7，公差为5的等差数列，∴a42＝7＋5×(4－1)＝22，故第四行是首项为13，公差为9的等差数列，∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，∴a1j ＝4＋3(j －1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，∴a2j ＝7＋5(j －1)，…，第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此aij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i(2j ＋1)＋j.(3)证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N ＝i(2j ＋1)＋j ，从而2N ＋1＝2i(2j ＋1)＋2j ＋1＝(2i ＋1)(2j ＋1)，即正整数2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积． 充分性：若2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N ＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得2N ＋1＝(2k ＋1)(2l ＋1)，从而N ＝k(2l ＋1)＋l ＝akl ，可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.方 法 路 路 通1．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量a1、d(或q)、n 、an 、Sn.“知三求二”是一类最基本的运算题．方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法．2．判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法是这两类数列的定义．特别地，当判断三个实数a ，b ，c 成等差数列时，常用a ＋c ＝2b.3．在求等差数列前n 项和的最大(小)值时，常利用函数的思想和方法加以解决． 4．数列{an}为等差数列，前n 项和为Sn ，数列{|an|}的前n 项和为Tn. ①若ak ＞0，ak ＋1＜0，即先正后负，则Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧Sn n≤k2Sk －Sn ， n≥k ＋1.②若ak ＜0，ak ＋1＞0，即先负后正，则Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧－Sn n≤kSn －2Sk ， n≥k ＋1.5．两等差数列间的关系若{an}，{bn}分别是公差为d1和d2的等差数列，则 ①设它们的前n 项和分别是Sn 和Tn ， 则有an bn ＝S2n －1T2n －1②数列{k1an ＋k2bn}(其中k1、k2为常数)是公差为k1d1＋k2d2的等差数列.正 误 题 题 辨例已知数列{an}的通项公式是an ＝4n －25，求数列{|an|}的前n 项和． 错解 错解一：∵an ＝4n －25 an ＋1＝4(n ＋1)－25 an ＋1－an ＝4 a1＝4×1－25＝－21所以，数列{an}是以－21为首项，以4为公差的等差数列．从而可得数列{|an|}是以21为首项，以－4为公差的等差数列，其前n 项和Sn ＝21n ＋n n －12×(－4)＝－2n2＋23n错解二：an ＝4n －25；an ＋1＝4(n ＋1)－25；an ＋1－an ＝4；a1＝4×1－25＝－21. 所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧an ＝4n －25＜0 ①an ＋1＝4n ＋1－25≥0 ② 由①得n ＜614由②得n≥514所以n ＝6即数列{an}的前6项为负值，从第7项起以后各项均为非负值． 所以数列{|an|}的前6项是首项为21，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列． |a7|＝a7＝4×7－25＝3所以数列{|an|}的前n 项和为 ⎩⎨⎧21n ＋n n －12－4 n≤63n ＋n n －12×4 n≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2＋23n n≤62n2＋n n≥7点击 错解一中把数列{an}各项的符号都看成了负号，事实上是不可能的，因为首项为负，而公差为正．错解二对数列前n 项和Sn 的含义认识不深刻，得出数列{|an|}前n 项和的表达式，当n≥7时的情况，忽略了数列的前6项，因而导致错误． 正解 an ＝4n －25 an ＋1＝4(n ＋1)－25 an ＋1－an ＝4 a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧an ＝4n －25＜0 ①an ＋1＝4n ＋1－25≥0 ② 由①得n ＜614；由②得n≥514所以n ＝6即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列． 而|a7|＝a7＝4×7－25＝3设{an}和{|an|}的前n 项和分别为Sn 、Tn 则Tn ＝⎩⎨⎧21n ＋n n －12×－4 n≤6－S6＋3n －6＋n －6n －72×4n≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2＋23n n≤62n2－23n ＋132 n≥7。
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与简单表示A版公开课PPT课件
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2．2 等差数列
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第1课时 等差数列的概念与简单表示
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评
1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
[基础·初探] 教材整理 1 等差数列的含义 阅读教材 P36～P37 思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项 的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的 公差 ， 公差通常用字母 d 表示． (2)符号语言：an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)．
[小组合作型] 等差数列的判定与证明
已知数列{an}的通项公式 an＝pn2＋qn(p，q∈R，且 p，q 为常数)． (1)当 p 和 q 满足什么条件时，数列{an}是等差数列？ (2)求证：对任意实数 p 和 q，数列{an＋1－an}是等差数列． 【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明 an＋1－an 为一个常数即可．
等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝________. 【解析】 ∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】 6－2n
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第二单元数列的概念和等差数列
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列{}n a 满足10a =且*
12()n n a a n n N +=+∈,则4a 等于
A.4
B.7
C.9
D.11
2.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若336,12a S ==,则公差d 等于
A.1
B.
5
3
C.2
D.3 3.在等差数列{}n a 中,2343,9a a a =+=,则16a a 的值是
A.14
B.18
C.21
D.27
4.数列2,6,12,20,的一个通项公式是
A.42n a n =-
B.1
23n n a -=⋅ C.1
n n a n
+=
D.(1)n a n n =+ 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若369,36S S ==,则789a a a ++等于
A.63
B.45
C.36
D.27
6.在正项数列{}n a 中222*
12111,2,2(,2)n n n a a a a a n N n +-===+∈≥,则6a 等于
A.16
B.8
C.7.在等差数列{}n a 中,31734a a +=,则此数列的前12项和等于
A.12
B.26
C.8
D.16
8.设数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,已知1472899,62a a a a a ++=+=,若对任意*n N ∈,都有n k S S ≤成立,则k 的值是 A.19B.20C.21D.22
9.若数列{}n a 的通项公式为*1241,()n
n n a a a a n b n N n
++
+=-=∈,则数列{}n b 的前n 项和n
T 等于 A.2
n B.(1)n n + C.(2)n n + D.(21)n n +
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若249a a a ++为一个确定的常数,则下列各个和中,也为确定的常数的是
A.8S
B.9S
C.12S
D.13S
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1,m >且2
1121,38m m m m a a a S -+-+==,则m 等于
A.38
B.20
C.10
D.9
12.已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-,那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k 的值
A.有3个
B.有2个
C.有1个
D.不存在
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,其中263,15a a =-=,则6S = 14.若2
10lg lg lg 110x x x ++
+=,则x =
15.已知等差数列{}n a 的公差不为零,其前n 项和为n S ,若268a a a +=,则5
5
S a = 16.已知数列{}n a 满足:112,1n n a a a +-==,数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为18
37,则n = 三、本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)若1101,100a S ==,求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若2
6n S n n =-,求n n S a -的最小值.
18(本小题满分12分)
设{}n a 是一个公差为2的等差数列,且2
214a a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)数列{}n b 满足2n a
n b =,求12
n b b b (用含n 的式子表示)
19(本小题满分12分)
设数列{}n a 是首项为4,公差为1的等差数列,n S 为数列{}n b 的前n 项和,且2
2.n S n n =+ (Ⅰ)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记,(),n n a n f n b n ⎧=⎨
⎩为正奇数
为正偶数
,是否存在*k N ∈,使(27)4()f k f k +=成立?若存在,求出k 的值,
若不存在,请说明理由.
20(本小题满分12分)
在数列{}n a 中,*11121,1,()421
n n n n a a b n N a a +==-=∈-. (Ⅰ)求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n c 满足:-1*3124234(1))212121212+1
n n n n c c c c c
b n N =-+-++-∈++++（,求数列{}
n c 的通项公式.
21(本小题满分12分)
在数列{}n a 中,11a =,当2n ≥时,前前n 项和n S 满足2
1
()2
n n n S a S =-.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)令21
n
n S b n =
+,求数列{}n b 的前n 项和n T .
22(本小题满分12分)
已知函数2
()f x x x =+,当*
[,1]()x n n n N ∈+∈时,()f x 的值中所有整数值的个数记为()g n . (Ⅰ)求(2)g 的值;
(Ⅱ)设32
*23()()
n n n a n N g n +=
∈,求数列1{(1)}n n a --的前n 项和n T .。