第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
例题1 ：质点作直线运动的角动量。 解： 广义的转动： 质点位置矢量的方向发 生了变化─转动
y
r
o
L
zL mLeabharlann r sin mvr r
p
x
L mvr rP
L mvr
例题2 ： 地球公转（圆轨道）的角动量。 解： 地球的轨道半径是 R 1.5 1011 m 24 m 6.0 10 kg 它的质量是 地球每年 (T 365d) 运动一周 (2 rad) 因此可得，它绕太阳的角速率 2 2 / T 2.0 107 rad/s (365d)(24h/d)(3600s/h)
二 开普勒第二定律的证明
动画中，行星在一段时间内从 A 点运动到B点，位 矢扫过的面积是ds1；在另一段相同的时间间隔内从 C点运动到 D点，这时位矢扫过的面积是 ds2 。开 普勒观测的结果是 ds1=ds2。
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
开普勒发现行星绕太阳的轨道是 椭圆形的，他把二十余年观测的 几千个数据归纳总结，提出了开 普勒三定律，开普勒为此欣喜若 狂。
二 质点的角动量定理
dv dP d F mv m 类比质点的动量定理 dt dt dt 考查质点角动量 L r mv 的变化率： dL d d (mv ) dr mv （r mv） r dt dt dt dt
冲量矩
t
t0
Mdt L L0 —角动量定理的积分形式
质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。
比较
dP t 冲量 Fdt P P0 F t0 dt 与动量定理在形式、结构上一致。
力矩和角动量必须都是对同一固定点的。
三 力矩 M r F M M rF sin 其中θ为 r 和 F 的夹角
mvr mr 2
末态 角动量守恒
mr 2 mr020
r0 2 2 0 r
r0 v v0 r
所以
或
□
运用动能定理，可计算这个力的功：
1 1 1 2 r0 2 2 2 W Ek mv mv0 mv0 [( ) 1] 0 2 r 2 2
可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程 中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。
n
dL ——等式左边 Li dt i 1 n n ri Fi ri fij i 1 i 1 j i
n
M ext M int
——等式右边
n ——各质点所受外力矩的矢量和。 M ext ri Fi i 1
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
上式也称为力对轴的力矩。 ③有心力对力心的力矩为零。 始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。
5.2 质点系的角动量定理
一 质点系对固定点的角动量 质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点 的角动量的矢量和。
n n L Li ri pi i 1 i 1
只是开普勒尚不理解，他所发现 的三大定律已传达了重大的“天 机”。 由于角动量正比于位矢的掠面速 度，因此开普勒第二定律意味着 角动量守恒。
行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引 力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平 行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。
所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量保持 不变。 L 角动量的方向不变，表明 位矢和速度所决定的平面 A 的方位不变，行星就在这 r v A 个平面内运动，它的轨道 是二维的。 证明： 设在 t 时刻，行星位于A 点，
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
经dt 时间运动到 A点，
在此时间间隔内， 行星转过角位移 d ， 扫过的面积为
1 1 2 dS rd r r d 2 2
因此面积的变化率
dS 1 2 d 1 2 r r dt 2 dt 2 L 1 2 mr 2m 2m
有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。□
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj fij
f ji fij
M
M rF sin
0
r
rF
M Fr sin r F
力对某一固定点的力 矩的大小等于此力和 力臂的乘积。
F
r
r
F
F
程试 中问 ，： 对企 于鹅 从 点 的做 角自 动由 量落 为体 多运 少动 ？的 过
A
参 照 点落 的体 角运 动动 量中 和质 力点 矩对 同 一
d
由于各三角形具有公共高线 OH =d，因此掠面速 度相等。 所以有：
1 v t d 1 1 dS 2 vr sin vd 常量 2 2 dt t
由上式可得： 写成矢量式：
mvr sin 常量
r mv 常矢量 rP
r mv 称为质点(关于O点)的角动量
讨论
关于角动量
①角动量与位矢有关，位矢与参考点有关。 谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。 ②当质点作圆周运动时，θ= π / 2 角动量大小为： L mvr sin mvr mr 2
当质点作一般平面运动时， 角动量为：
ˆ i LrP x Px
ˆ j y Py
所以地球绕太阳公转的角动量大小是
L mR 2 (6.0 1024 )(1.5 1011 )2 (2.0 107 )
2.7 1040 kg m2 /s
嫦娥二号卫星飞行路径
嫦娥二号卫星质量为2480千克, 绕月球飞行的圆轨 道高度为100公里, 周期为118分钟, 月球直径约3476 公里, 质量约7.349×1022 千克. 可求得嫦娥二号卫 星绕月球转动的角动量为 7.4351×1012 kg∙m2/s。
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
角动量的定义：
L
0
r
L r mv (矢量)
r 和 mv 的夹角为 θ ， L 的大小为： L L rmv sin
mv
L 的方向：由 r 和 mv 按照右手螺旋法则确定。
角动量是状态量； 是描述质点对固定点的转动状态的物理量。
星系的形状可能与此有关。 星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质 量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什 么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像 银河系这样的星系呈扁平状。
This is 我们的太阳！
银河系
仙女座星系 (220万光年)
例题5 一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s， 远地点327km，求卫星在该点的速率。
若 M 0
则有： L 常矢量
若质点(系)所受外力对某固定参照点的力矩矢量和 为零，则质点(系)对该固定点的角动量守恒。 —角动量守恒定律
讨论
关于守恒条件
• 质点(系)所受的合外力为零； • 合力矩为零。 • 在有心力的作用下,质点(系)对力心的角动 量都是守恒的； • 匀速直线运动的质点(系)对任意固定点的 角动量都是守恒的。 □
二 质点系的角动量定理
研究方法：先对每个质点应用角动量定理，然后 对所有质点求和。
对质点i应用角动量定理： n dLi M i ri Fi f ij dt j 1, j i 对质点系中所有质点求和，则有
Fj O
d Li d dt i 1 dt
ˆ k ˆ 0 ( xPy yPx )k 0
③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
ˆ i LrP x Px
ˆ j y Py
ˆ k z Pz
Lx ( yPz zPy ) Ly ( zPx xPz ) Lz ( xPy yPx )
④角动量的单位为: kg ∙ m2/s
O
例题3 ：一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。 解：
F F
M 2Fd
F
F
M 2 RF
—力偶矩
讨论
关于力矩
①力矩的单位为： N∙m ②在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：
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45--质点的角动量-角动量守恒定律
v0 r0 r1
A
1 2
mv12
1 2
mv02
1 2
mv02
r02 r12
1
6
质点的角动量 角动量守恒定律
1
一.角动量
质点对一固定参考点的
角L动量r：
P
r
mv
L o r m
θ P
p
大小：L＝ r m v sin
方向：右手螺旋定则判定
L
r
p
注意：
a) 必须指明是对谁的角动量；
LP or
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
d)质点的角动量又称为动量矩。
2
二.质点角动量定理
力对一固定参考点的力矩
M
r
F
r是P点相对于固定点O的位矢。
M or
d
F
θ
p
大小：M＝F r sin
方向：右手螺旋定则判定
M
r
F
将角动量对时间求导，有：
dL dt
ddt(r
mv)
dr dt
mv
r
dmv dt
r
F
得到
M
dL
dt
F
dP
dt
3
将
M
dL
两边同时乘以 dt ，得：
5
例、质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过 光滑水平面上一小孔，使小球限制在水平面上 运动。先使小球以速度v0绕小孔作半径为r0的 圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小
为r1，求：（1）小球距管心r1时的速度；（2） 由r0缩短到r1过程中拉绳作的功。
解：角动量守恒
质点系角动量守恒定律
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
质点的动量守恒与角动量守恒的条件
质点的动量守恒与角动量守恒的条件动量守恒与角动量守恒是物理学中重要的守恒定律之一，它们描述了质点在运动过程中的特定物理性质守恒的条件。
本文将分别介绍质点的动量守恒和角动量守恒的条件，并探讨它们在实际运用中的意义。
一、质点的动量守恒质点的动量是描述质点运动状态的一个重要物理量，它是质点质量与质点速度的乘积。
根据动量守恒定律，当一个质点在一个封闭系统中运动时，其动量在运动过程中保持不变。
即质点受到的合外力为零时，质点的动量守恒。
要满足质点的动量守恒，需要满足以下条件：1. 封闭系统：质点的动量守恒条件只适用于封闭系统，即系统内外没有外力作用。
在封闭系统中，质点的动量在运动过程中保持不变。
2. 合外力为零：质点在运动过程中，受到的合外力为零。
这意味着没有外部力对质点产生作用，质点的动量不会发生改变。
质点的动量守恒条件在实际应用中具有重要意义。
例如，在碰撞问题中，根据动量守恒定律可以计算出碰撞前后质点的速度和质量，从而研究碰撞过程中的能量转化和动量转移。
此外，在火箭发射、导弹飞行等领域，动量守恒定律也被广泛应用于动力学分析和设计中。
二、质点的角动量守恒角动量是描述质点绕某一固定轴旋转的特定物理性质，它是质点质量与质点相对于轴的距离的乘积。
根据角动量守恒定律，当一个质点绕一个固定轴旋转时，其角动量在旋转过程中保持不变。
即质点受到的合外力矩为零时，质点的角动量守恒。
要满足质点的角动量守恒，需要满足以下条件：1. 固定轴：质点的角动量守恒条件只适用于绕一个固定轴旋转的情况。
在固定轴旋转的过程中，质点的角动量保持不变。
2. 合外力矩为零：质点在旋转过程中，受到的合外力矩为零。
这意味着没有外部力矩对质点产生作用，质点的角动量不会发生改变。
质点的角动量守恒条件在实际应用中也具有重要意义。
例如，在天体运动中，行星、卫星等绕恒星或者行星旋转，根据角动量守恒定律可以推导出行星的轨道半径和角速度之间的关系，从而研究天体运动的规律。
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
第5章 质点(系)的角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
第5章角动量角动量守恒定律
任一行星和太阳之间的联线,在相等 的时间内扫过的面积相等, 即掠面速 度不变.
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
第五章 质点的角动量 角动量守恒定1
第五章 质点的角动量 角动量守恒定理§5-1 质点的角动量 角动量定理一 质点的角动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有用的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量而v 是质心的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为角动量。
下面就单个质点这一特殊情况来定义角动量，以后推广到质点系统。
假设 有一质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置矢量为r 如图()15-所示图 ()15-定义这个质点对原点0的角动量为v r p r L m ⨯=⨯= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置矢量2）其大小 θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹角，它的方向垂直与r 与p 所组成的平面，并由右手螺旋法则确定,见图（5-1）3） 我们也可将L 的大小表示为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故角动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的角动量与位置矢量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。
5） 在国际单位制中，角动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表示为J ·s二质点的角动量定理质点在运动时导致角动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ⨯= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dtd r=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的角动量随时间变化率dtd L等于位置矢量r 和质点所受的合外力F 的矢量积。
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ 和Ⅱ ， 半径分别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别 为J1、J2。Ⅰ 轮转动的角速度为，Ⅱ 轮不转 动。移动Ⅱ 轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平 行，由于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定 后，两轮的角速度各为多少？ 辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定 理。 解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f 1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的 力T2，以及摩擦力f 、轮Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。f1和f2大小相等、方向相反，对轮Ⅰ2 和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总和轮Ⅱ 组成的系统来说，f 1 角动量。轮Ⅰ 、轮Ⅱ 系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2 或者O2的角动量都不守恒。所以应对轴的合外力矩皆不为零，这个系统对O 1 轮Ⅰ 、轮Ⅱ 分别运用角动量定理。 对Ⅰ 轮，设顺时针转动为正向 （1） 对Ⅱ 轮，设逆时针转动为正负 （2） 联立（1）、（2）两式可得 （3）
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不 计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质 点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 m v组成的平面垂直）。 角动量的大小为
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不 计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质 点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 m v组成的平面垂直）。 角动量的大小为
5--角动量 角动量守恒定律x
t=0
刚体定轴转动
ω ω
v
v
4. 线量与角量关系
dS = r ⋅ dθ
பைடு நூலகம்r a
切向分量 法向分量
dv dω at = = r = rα dt dt v2 an = = rω2 r
匀变速定轴转动
v v v v =ω×r
z
ω
v
20
r
O
dS
dθ P
匀变速直线运动
dS v= dt dv a= dt
v = v0 + at 1 2 S = v0t + at 2 2 v2 − v0 = 2aS
一对内力的力矩互相抵消 一对内力的力矩互相抵消 力矩
v v v v dL 量 M外 = 0时 = 0 L = ∑Li = 常 dt v M外 = 0 讨论; 不要求系统孤立, 讨论 1) 不要求系统孤立 只要求 v 2) 矢量式有 个分量式 即 M 的某个分量 矢量式有3个分量式 个分量式,即 的某个分量=0, 则相应角 外
v m ri i
∑
∑
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
猫尾巴的功能
已知：轻绳， 忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：m1= m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 先到； 先到；
m1≠ m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 若m1< m2 先到； 先到；
由角动量定理
r N
以向纸 内为正
O R
M外
dL r (爬) (不爬 mg 不爬) r 不爬 若 m1 > m2 : < 0, ∴ L < 0 m2g 爬 1 dt 轻的升得快； 有 m1v1 − m2 v2 < 0, ∴ v1 < v2 轻的升得快；