刚体的角动量及守恒定律
刚体角动量守恒定律
转动动能定理、角动量守恒原理一，转动动能定理：1， 力矩的功设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(所以力矩的功为：⎰⎰==21ϕϕϕMd dA A2， 转动动能定理设M 为作用刚体上的合外力矩。
将转动定律应用于功的定义中：222121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：222121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量221ωJ E K =为刚体在t 时刻的转动动能。
是时刻量。
（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。
【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。
解：取细棒为研究对象，视之为刚体。
细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。
由功的定义：2cos 2)90sin(2900l mg d l mg d lmg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ由转动动能定理：lgml J l mg 331210212222=∴⎪⎭⎫⎝⎛=-=ωωω二，角动量守恒定律设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：dtdLdt J d dt d J J M ====)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为00L L dL Mdt LL tt -==⎰⎰特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
即刚体定轴转动角动量守恒定律为：常矢==L M 0说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。
（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。
（3）⎩⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
17定轴转动刚体的角动量守恒定律
m2 vl = Iω − m2ul
1 细棒绕O转动的转动惯量为 I = m1l 2 3 3(v + u )m2 代入上式求得 ω = m1l
m2
u
v
A
O
m1
9
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例4：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2，角速度分 别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同的角速度 ω 。啮合 过程机械能损失。 过程机械能损失。 J1 J2 两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度 合 外力矩为0，系统角动量守恒。 外力矩为 ，系统角动量守恒。 L0 = L = C
5
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
dω d(Iω) dL = = 刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律： M = Iβ = I dt dt dt 定轴转动刚体角动量 dL ∴M = 定理微分形式 dt
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。 对时间的变化率。 dL 两边同时乘以dt并积分 并积分， 将M = 两边同时乘以 并积分，得： dt r
7
人与转盘的转动惯量J 例2：人与转盘的转动惯量 0=60kgm2,伸 伸 臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人 ， 。 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 的哑铃。 每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转 的哑铃 动角速度 ω1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 ω2 。 求收臂时的角速度 解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒， 整个过程合外力矩为 ，角动量守恒，
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
刚体的角动量及守恒定律
一、选择题
1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。
在该人把此二哑
铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的
是： 。
A.机械能守恒，角动量守恒；
B.机械能守恒，角动量不守恒；
C.机械能不守恒，角动量守恒；
D.机械能不守恒，角动量不守恒；
2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
(A) 刚体不受外力矩的作用．
(B) 刚体所受合外力矩为零．
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今
有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，
在碰撞中守恒的量是 。
(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量．
(C) 机械能． (D) 动量．
4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细
杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同
速率v 相向运动，如图所示。
当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与
杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。
(A)
L 32v ． (B) L
54v ． (C) L 76v ． (D) L
98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O
旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。
(A) 只有机械能守恒．
(B) 只有动量守恒．
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒．
(D) 机械能、动量和角动量均守恒．
6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直
光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地
面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向
分别为 。
(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作
系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
O
v
俯视图
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
8、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为23
1ML 。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2
1，则此时棒的角速度应为 。
(A) ML m v ． (B) ML
m 23v ． (C) ML
m 35v ． (D) ML m 47v ． 9、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，
(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变．
(B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小．
(C) 它受热或遇冷时，角速度均变大．
(D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大． 10、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转
动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反
并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω 。
(A) 增大． (B) 不变．
(C) 减小． (D) 不能确定．
二、填空题
1、力矩的定义式为______________________________________________。
在力
矩作用下，一个绕轴转动的物体作__________________________运动。
若系统所
受的合外力矩为零，则系统的________________________守恒。
2
、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s 转一周，转台对轴的转动惯量为1200 kg ·m 2。
质量为80kg 的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心2m 时， 转台的角速度为__________________。
3、如图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而
嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的
______________守恒，原因是_______________木球被击中后棒和球升
高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的__________守恒。
4、有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度
转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转
台和人一起转动的角速度ω2＝______________。
5、在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 21，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO ＇轴转动，如图所示。
若在转动过程中细线被拉断，
套管将沿着杆滑动．在套管滑动过程中，该系统转动的角速度ω
与套管离轴的距离x 的函数关系为_______________。
(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为231ml )
俯视图
m m 1
6、质量为m 、长为l 的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴O 在水平面内自由转动(转动惯量J ＝m l 2 / 12)．开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m ，在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度ω ＝_____________________。
7、一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________。
8、长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为231Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA ＝2l / 3，
则子弹射入后瞬间杆的角速度ω ＝____________________。
三计算题
1、如图所示，一半径为R 的匀质小木球固结在一长度为l
的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一质量为m ，速度为0v 的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心，且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O 的水平轴的转动惯量的总和为J ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
2、一均匀木杆，质量为m 1 = 1 kg ，长l = 0.4 m ，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m 2 = 10 g 的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v 0 = 200 m/s ，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s ，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m 1l 2 / 12)
3、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一
粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过
其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为
m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘
边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) m 0 俯视图。