22.3 第1课时 二次函数与图形面积问题用
(人教版)最新九年级数学上册教材配套教学课件：22.3.1 实际问题与二次函数(一)——几何图形的最大面积
t/s
动中的最大高度是 45 m．
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化 而变化.当l是多少时，场地的面积S最Байду номын сангаас？
1.矩形面积公式是什么？ 2.如何用l表示另一边？ 3.面积S的函数关系式是什么？
l 30-l
S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30).
速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 3 秒，
C 四边形APQC的面积最小.
Q
A P 图1 B
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形
的面积最大？最大值是多少？
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 (8 x )，
依题意得：
S 1 x(8 x) 2
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
32
5.如何求最值？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x(14≤x＜30)
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，
这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
1.变式2与变式1有什么异同？
当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ．
2a
4a
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h/m
40
h= 30t - 5t 2
h
4ac b2 4a
302 4 （ 5）
45．
20
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运 O 1 2 3 4 5 6
22_3 第1课时 二次函数与图形面积问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(2)S＝72－12(6－t)·2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6).
(3)因为S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63,
所以当t＝3时,S有最小值,最小值为63.
谢 谢 观 看！
与 围成一个矩形场地ABCD,求该矩形场地的最大面积.
应
用 解：设矩形场地的面积为S m2,平行于墙的
一边BC的长为x m.由题意,得
图22－3－1
S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800,
所以当 x＝40 时,S 最大值＝800,12(80－x)＝20,符合题意.
探 究
所以当所围成的矩形场地ABCD的长为40 m,宽为20 m时,其
故当所围成的矩形场地ABCD的长为30 m,宽为25 m时,其面积最
大,最大面积为750 m2.
探 究
变式 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图J22－3
与 －1所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个
应
用 矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙
CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含
1.用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 S cm2 的矩形,S 的
小 检
值不．可．能．为( D )
测 A.20
B.40
C.100
D.120
随 [解析] 设矩形的一边长为x cm,则S＝x(20－x)＝－x2＋20x＝－
堂
小 (x－10)2＋100.
检 测
可见S的最大值是100,
所以S的值不可能为120.
探 归纳总结
究 与
应用二次函数解决面积最值问题的“三个关键点”
应 用
人教版九年级数学上册 22.3.1 实际问题与二次函数--最大面积教案
1 / 223.3.1实际问题与二次函数——图形面积的最值问题一、教学目标：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。
二、教学重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。
三、教学过程：课前准备：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1） (配方法) (2) （公式法） 问题1 二次函数的最值由什么决定？ 归纳：实数范围内二次函数的最值在 顶点 取得， 即当时，求下列函数的最大值和最小值求函数最值的方法归纳（1）当自变量的范围没有限制时，二次函数的最值在顶点取得 （2）当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定1. 转化为顶点式求出顶点坐标及对称轴2. 判断x 的取值范围与对称轴的位置关系.3. 根据二次函数的性质，确定当x 取何值时函数有最大或最小值.4. 然后根据x 的值，求出函数的最值.例1：用总长为20m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长x 的变化而变化。
当x 是多少时，场地的面积S 最大？A BD2 / 2 变式：1、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长14米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？2、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长8米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？课堂小结（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？ 拓展练习1：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从A 始向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始向C 以2cm/s 的速度移动。
22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题
R·九年级上册
新课导入
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？何图形相关的实际问题. (2)会用二次函数的图象和性质解决实际问题.
课堂小结
2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
推进新课
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m.
∴0<x≤18.
综合应用
3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面 积为y，则DG=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。
但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。
三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.学会利用二次函数解决实际面积问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。
2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。
3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题
的 因此，当 t ＝ - =- ＝ - 时，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值 。
2．已知 0≤x≤ ，那么函数 y ＝－2x 2＋8x －6 的最大值是（B ） 4．二次函数 y ＝2x 2－6x ＋1，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围是- ≤y≤21 . 第 1 课时 利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之 间的关系式是 h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值． b 30 2a 2 ⨯ (-5)= 3 时，h 有最大值 4ac - b 2 = -302= 45. 4a 4 ⨯ (-5)也就是说，小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m.一般地，当 a>0(a<0)时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当 xb 2a 4ac - b 2 4a例题：1．二次函数 y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为 0，则 c 的值为（B ）A.2B.4C.-4 D .161 2A. -6B.-2.5C.2 D ．不能确定3．已知 y ＝－x （x ＋3－a ）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在 1≤x≤5 时，若 y 在 x ＝1 时取得最大值，则实数 a 的取值情况是（D ）A.a=9B.a=5C ．a≤9D ．a≤57 25．若二次函数 y ＝x 2＋ax ＋5 的图象关于直线 x ＝－2 对称，且当 m≤x≤0 时，y 有最大值 5， 最小值 1，则 m 的取值范围是－4≤m≤－2 .所以另一边长⎛ 60 2 - l ⎪ 因此，当 l ＝ - =- = 15 时， 2.几何面积的最值问题：总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是 多少米时，场地的面积 S 最大？解：矩形场地的周长是 60 m ，一边长为 l m ，⎫ ⎝ ⎭ 为 m ． 场地的面积 S ＝l(30－l)，即 S ＝－l 2＋30l(0<l<30)．b 30 2a 2 ⨯ (-1)4ac - b 2 -302 = = 225. 4a 4 ⨯ (-1)S 有最大值也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同. 利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1．已知一个直角三角形两直角边长之和为 20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（B ） A ．25cm 2 B ．50cm 2 C ．100cm 2 D ．不确定2．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 2 的长方形，a 的值不可能为（D ）A.20B.40C.100 D .1203．如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，从较短边 AD 上找一点 E ，过这点剪下两个正 方形，它们的边长分别是 AE ，DE 的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选 在（A ）A ．AD 的中点B.AE:ED=( 5 -1):2C.AE:ED= 2 :1D.AE:ED=( 2 -1):24．（2016 兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠 墙（墙长 50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m 2．5．如图，线段 AB ＝6，点 C 是 AB 上一点，点 D 是 AC 的中点，分別以 AD ，DC ，CB 为边作正方形，则当 AC ＝4 时，∵a=-2＜0，- =- = . ∴当 x ＝ 时，y 有最大值，y 三个正方形的面积之和最小。
22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30
15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点 利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解
九年级数学上册 第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的面积问题试题
22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题知识要点基础练知识点利用二次函数求图形面积的最值1.用长60 m的篱笆围成一个矩形花园,则围成的花园的最大面积为(D)A.150 m2B.175 m2C.200 m2D.225 m22.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4平方米.4.手工课上,小明准备做个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积为S,随其中一条对角线的长x的变化而变化.(1)求S与x之间的函数解析式.(不要求写出取值范围)(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大的面积是多少?解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm2.综合能力提升练5.合肥寿春中学劳动课上,老师让学生利用成直角的墙角(墙足够长),用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S m2与它一边长a m的函数解析式是S=-a2+10a ,面积S 的最大值是25.6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.7.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为3cm.9.在美化校园的活动中,巢湖一中初三一班的兴趣小组利用如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m长的藤条圈成一个长方形的花圃ABCD(藤条只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花圃的面积为252 m2,求x的值;(2)正好在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,如果把将这棵桃树围在花圃内(含边界,不考虑树的粗细),老师让学生算一下花圃面积的最大值是多少?解:(1)因为AB=x,则BC=32-x,所以x(32-x)=252,解得x1=14,x2=18,故x的值为14 m或18 m.(2)因为AB=x,所以BC=32-x,所以S=x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256,因为在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,所以,所以8≤x≤15,所以当x=15时,S取到最大值为S=-(15-16)2+256=255,故花圃面积S的最大值为255 m2.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)t为何值时S最小?求出S的最小值.解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.则AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.运动开始后第2秒或第4秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)第t秒时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.∵S矩形ABCD=6×12=72,∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63 cm2.11.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm,底面积为12 dm2.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.拓展探究突破练12.(安徽中考)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a,由题意得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴y=AB·BC=a·x=x,即y=-x2+30x(0<x<40).(2)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300,∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.13.如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间函数关系.(2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围?如果不能请说明理由.(3)当院墙可利用最大长度为40米,篱笆长为77米,中间建n道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正方形,且x为正整数时,请直接写出一组满足条件的x,n的值.解:(1)由题意得:S=x×=-x2+8x(0<x≤10).(2)由S=-x2+8x=45,解得x1=15(舍去),x2=9,所以x=9,AB==5,又S=-x2+8x=-(x-12)2+48,0<x≤10,因为当x≤10时,S随x的增大而增大,所以当x=10米时,S最大,为平方米>45平方米,所以平行于院墙的一边长为10米时,就能围成面积比45平方米更大的花圃.(3)根据题意可得,则n=4,x=35或n=2,x=33.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
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（2）①∵AD＝2r，AD＋CD＝8， ∴CD＝8－AD＝8－2r， 1 2 1 2 ∴S＝ πr ＋AD· CD＝ πr ＋2r（8－2r） 2 2 1 ＝2π－4r2＋16r.
第1课时 二次函数与图形面积问题
②由①知 CD＝8－2r.∵2 米≤CD≤3 米， ∴2≤8－2r≤3，∴2.5≤r≤3. 1 由①知 S＝ π －4 r2＋16r 2 1 2 × 3.14 － 4 ≈ r ＋16r 2 ＝－2.43r2＋16r 800 2 6400 ＝－2.43r－ ＋ . 243 243 ∵－2.43<0，∴函数图象为开口向下的抛物线． 800 又∵函数图象的对称轴为直线 r＝ ≈3.3， 243 而 2.5≤r≤3，结合函数图象的性质知，在对称轴的左侧， S 随 r 的增大而增大， ∴当 r＝3 时，S 有最大值， 1 S 最大值≈ ×3.14－4 ×32＋16×3 2 ＝26.13≈26.1(平方米)． 答：隧道截面的面积 S 的最大值约为 26.1 平方米．
3.将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方
形，则这两个正方形面积之和的最小值是
cm题
例1：如图所示，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪
下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE.要使剪下的两个正
方形的面积和最小，点E应选在何处？
200
100
O
5 10 15 20 25 30
l
即l是15m时，场地的面积S最大. （S=225㎡)
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 b 最低（高）点，所以当 x 时，二次函数 2a
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
第1课时 二次函数与图形面积问题
一、知识准备 ab 1．矩形的两边长分别为a，b，则它的面积是________ ； 1 ah ； 2．三角形的底边长为a，底边上的高为h，则面积是________ 2 3．在解决最值问题时，主要利用二次函数的哪些性质？ 顶点 来解决最值问题； (1)利用二次函数图象的________ 增减性 来解决最值问题． (2)利用二次函数在某个范围内的________
解析式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取 3.14，结果精确到0.1平方米）.
第1课时 二次函数与图形面积问题
AD 1 2 2 1 解：（1）当AD＝4米时，S半圆＝ π · ＝ π ×2 ＝ 2 2 2 2π （平方米）， 答：隧道截面上部半圆O的面积为2π 平方米.
第1课时 二次函数与图形面积问题
例2： 一条隧道的截面如图22－3－2所示，它的上部是一个以
AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.
第1课时 二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径 为 r米 . ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随 矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最 大？ 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为
60 S=l(30-l) m ，场地的面积 : ( l) 2
即S=-l2+30l (0<l<30)
图22－3－3
第1课时 二次函数与图形面积问题
［解析］ 将DE的长设为x，两正方形的面积和为y，寻找出y
与x之间的函数关系，再求解. 解： 不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a－x. 那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. －2a 1 当 x＝－ ＝ a 时， 2×2 2 1 1 1 2 2 2 y 最小＝2× a －2a× a＋a ＝ a . 2 2 2 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正 方形的面积和最小.
第1课时 二次函数与图形面积问题
2．在一块长30 m，宽20 m的矩形地面上修建一个正方形花 台，设正方形的边长为x m，除去花台后，矩形地面的剩余 面积为y m2，则y与x之间的函数关系式是y＝ ________ － x2＋600，自 20 0<x≤20 ；当x＝________ 变量x的取值范围是________ 时，y有最小 200 ． 值为________
2 y=ax2+bx+c有最小（大）值 4ac b .
4a
第1课时 二次函数与图形面积问题
图 22－3－1 1．如图 22－3－1 所示，用两堵相邻的足够长的墙和一段长为 20 m 的篱笆(图中虚线部分)围成矩形花圃． (20－x) m，矩形的 (1)设矩形的长为 x m，则矩形的宽为________ x(20－x) m2. 面积 y＝________ (2) 要使所围成的矩形花圃面积最大，则长和宽分别为 10 10 m，________ ________ m.
请同学们画出此函数的图象
s
可以看出，这个函数的图 象是一条抛物线的一部分， 这条抛物线的顶点是函数 图象的最高点，也就是说， 当l取顶点的横坐标时，这 个函数有最大值.
b 30 因此，当l 15时 2a 2 (1)
4ac b 2 302 S有最大值 225. 4a 4 (1)