河北狮州市2020届高三数学下学期周练试题2高补班
河北省石家庄第二中学2020届高三下学期4.15周测数学(文)试题(PDF版答案
分
因为 M、B、D 三点共线，得 y4 = y2 ------------------------6 分 −2 − 2 x2 − 2
( ) ( ) 所以
y4
=
y2 −2 − x2 −
2 2
= y2 −2 − 2 my2 − 1 − 2
①-------------7 分
( ) 同理，由 N、A、D 三点共线，得 y3 =
（Ⅱ）因为 cn
=
(3n
−
1)
1 2
n
所以 Tn = c1 + c2 + c3 + + cn
=2
1 2
1
+
5
1 2
2
+
8
1 2
3
+
+
(3n
−
1)
1 2
n
--------------7
分
1 2 Tn
=
2
1 2
2
+
5
1
3
2
+
+
(3n
−
4)
1 2
n
+
(3n
−
1)
1 2
n+1
A1
E
B1
同理 A1B1 ⊥ 平面A1C -----------------9 分
C
所以 V =V A1B1DCA D−A1AB1 + VD−AA1C --------------------------------10 分
A
B
= 1 1 22 3 + 1 1 231 = 2
32
2 32
【数学】河北狮州市2020学年高二数学下学期开学考试试题
【关键字】数学河北定州2016-2017学年第二学期高二数学开学考试一、选择题1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2006(x)＝（）A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx2．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[3．命题“”的否定是（）A．B．C．D．4．定义在上的函数满足且当时，，则等于A．B．C．D．5．已知，,集A=与B=若则实数所能取值为（）A 1BC -1或1D -1或0或16．与的等差中项为（）A．B．C．D．7．已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是() A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)8．将一个正方体金属块铸造成一球体，不计损耗，则其先后表面积之比值为（）A．1 B．C．D．9．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．11．已知圆C：（x－3）2＋（y－）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．6 B．．4 D．312．将“丹、东、市”填入如图所示的小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有A.288B.144C.576D.96二、填空题13．已知，则14．复数= .（是虚数单位）15．已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则．16．函数的定义域是三、解答题17．（本题10分）已知．（1）若，求函数的值域；（2）求证：函数在区间上单调递加．18．【选修4-1：几何证明选讲】如图，是的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连接、并延长交于点．（Ⅰ）求证：四点共圆；（Ⅱ）求证：．19．（12分）设,若将适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项．（Ⅰ）求的值及的通项公式；（Ⅱ）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求参考答案BDBCD BDDBD11．B错误！未找到引用源。
河北省沧州市2020届高三数学下学期模拟考试试题 理(含解析)
河北省沧州市2020届高三数学下学期模拟考试试题理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此进行集合的混合运算即可.【详解】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此可得.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数模的运算法则可知，据此确定复数的模即可.【详解】由复数模的运算法则可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.4.已知直线和平面，则是与异面的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，充分性不成立，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，不一定有与异面，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若变量满足则使取得最小值的最优解为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.在中，为的重心.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：,，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的最小正周期为，结合最小正周期公式可得，据此可得函数的解析式为，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.【详解】由可得，则函数的最小正周期为，即，故函数的解析式为，函数的解析式为，函数的对称轴满足：，即，令，，，，只有方程存在整数解，故函数的一条对称轴为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知函数，且满足，则的取值范围为（）A. 或B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式易知函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，据此脱去f符号求解不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式易知函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式即，结合偶函数的单调性可得不等式，求解绝对值不等式可得的取值范围为.本题选择B选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，，双曲线的离心率.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.在锐角三角形中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得，结合两角和差正余弦公式可知，利用余弦定理可得，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得，则，由余弦定理可得,则，结合平面向量数量积的定义可得：.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，其对应的几何体为三棱锥，建立空间直角坐标系，结合球的几何性质确定球心坐标，然后求解球的表面积即可.【详解】如图所示，在长方体中，，点分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥，很明显是以为斜边的直角三角形，且当平面，故外接球的球心O在直线上，以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，由有：，解得：,设外接球半径为，则：，外接球的表面积.本题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题.13.体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则_______．【答案】【解析】【分析】由题意可得：，据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【详解】由题意可得：，整理可得：，即,该方程存在唯一的实数根.故答案为： 0.4【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.14.在的展开式中的系数为______．【答案】【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，据此确定展开式中的系数即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，令可得，故展开式中的系数为.故答案为：．【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．15.点为抛物线的焦点，为其准线上一点，且.若过焦点且与垂直的直线交抛物线于两点，且，则______．【答案】【解析】【分析】由焦半径公式可得：，则，据此可得AB的方程为：，EF的方程为，结合题意由EF的长度得到关于p的方程，解方程即可求得实数p的值.【详解】由题意结合焦半径公式可得：，据此整理可得：，据此可知直线AB的方程为：，直线EF的方程为，令可得，则EF的长度为：，解得：.故答案为：1.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数满足：①当时，方程无解；②当时，至少存在一个整数使.则实数的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】首先绘制函数f(x)的图像，然后结合题意分类讨论和两种情况分别得到关于a的取值范围，最后求解所得取值范围的公共部分即可确定实数的取值范围.【详解】绘制函数的图像如图所示，函数恒过点，（1）当时，方程无解，考查临界情况，当时，，，设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为，切线过点，则：，解得：，故切线的斜率，据此可得，（2）当x≥0时时，点两点连线的斜率，时，，点两点连线的斜率，据此可得，综上可得，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可. 【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.成等差数列，（2）易知单调递减，当时，的取值范围为【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，在三棱台中，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.（1）平面平面，证明：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合几何关系可证得平面，据此可得题中的结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面的法向量为，平面的法向量为，据此求解平面与平面所成二面角的正弦值即可. 【详解】（1）几何体为棱台，平面平面平面，平面平面（2），则面积之比为相似比的平方，而过点作交于，由于侧面底面为交线，底面.在中，易求得为线段的四等分点，取的中点，则有，以为原点建立空间直角坐标系.设平面的法向量为可得设平面的法向量为故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间向量及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）参考数据：【答案】（1）见解析；（2）见解析，（3）收费标准约为元/日时，最大值约为元【解析】【分析】（1）由题意可知的所有可能取值为.分别计算相应的概率值确定分布列即可；（2）由散点图可知更适合于此模型.分别确定，的值即可确定回归方程；（3）由题意可得利用导函数研究年销售额的最大值即可.【详解】（1）的所有可能取值为.则，的分布列（2）由散点图可知更适合于此模型.其中，所求的回归方程为（3）令若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元. 【点睛】本题主要考查分布列的计算，非线性回归方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点（与在轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：与的交点在定直线上.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；（2）易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】（1）设解得椭圆方程为（2）易得，设直线与椭圆联立，得由得，设，直线的方程为①直线的方程为x ②联立①②消去，得从而命题得证【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）令，当时，证明：对，使.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意可得，分类讨论时，和三种情况确定函数的单调性即可；（2）此时原题目等价于.由函数f(x)的解析式可得,结合函数g(x)的性质证明即可证得题中的结论.【详解】（1）当时，由于，所以恒成立，在为增函数；当时，①若恒成立，在上为减函数；②若，令，得在上为增函数，上为减函数.综上：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为减函数.（2）此时原题目等价于.当时，，由（1）知在上为增函数，在上为减函数，,令.令，得，在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增.当时，，由于存在，使，即，在单调递减，在单调递增，，令恒成立，在上为减函数，从而命题得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系中，以为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为交曲线于两点.（1）把曲线化成直角坐标方程，并求的值；（2）若成等比数列，求直线的倾斜角.【答案】(1) 答案见解析 (2) 或【解析】【分析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程可得C的直角坐标方程为联立直线方程确定MN 的长度即可；（2）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程可得,结合韦达定理可知.据此得到关于的三角方程，解方程即可确定直线的倾斜角.【详解】（1）得，即曲线的直角坐方程为,直线为，代入，得.（2）直线的参数方程为（为参数），代入得:,即恒成立.设两点对应的参数分别为..由于成等比数列，,从而或.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知.（1）解不等式；（2）若，求实数的最大值.【答案】(1) 或 (2) 最大值为【解析】【分析】（1）由题意可得，分类讨论求解不等式的解集即可；（2）原问题等价于恒成立，考查函数的性质确定实数m的最大值即可.【详解】（1）或或得或无解或.所以不等式的解集为或.（2）恒成立恒成立令结合二次函数的性质分析可知，在上单调递减，在上单调递增..实数的最大值为.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
数学丨河北省2025届高三10月省级联测考试数学试卷及答案
2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2-C.{}2,3 D.{}0,1,2,3,42.已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A.1或2B.1C.2D.33.已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.()1,0- B.()1,0 C.()2,0- D.()2,04.已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A.14-B.34C.2D.65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B.16πC.64π3D.72π6.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A.55B.57C.87D.897.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A.(]2,2-B.(2,-C.2⎤⎦D.(8.已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A.2- B.2C.2026- D.2026二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A.若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B.若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C.()()12P X P Y >>>D.()()44P X P Y ≤<≤10.已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递增区间为()1,3B.函数()f x 的极大值点为1C.若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D.若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-11.已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,1在曲线G 上B.直线:l y x =-与曲线G 无交点C.设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D.直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.13.已知双曲线G22−22=1>0,>0的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C 的离心率为______.14.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC = ，求ABC V 的周长.16.已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.18.已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线=在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.19.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合1212,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2-C.{}2,3 D.{}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2.已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A.1或2B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3.已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.()1,0- B.()1,0 C.()2,0- D.()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4.已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A.14-B.34C.2D.6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B.16πC.64π3D.72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A.55B.57C.87D.89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列的通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A.(]2,2-B.(2,-C.2⎤⎦D.(【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A =，因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8.已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A.2-B.2C.2026- D.2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得1+2+3+4=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又=不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则+2=−，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数=的周期为4，由+2=−，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以1+2+3+4=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A.若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B.若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C.()()12P X P Y >>>D.()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10.已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递增区间为()1,3B.函数()f x 的极大值点为1C.若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D.若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以()h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11.已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,1在曲线G 上B.直线:l y x =-与曲线G 无交点C .设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D.直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因为当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点0,2，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=，因为曲线=在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13.已知双曲线G22−22=1>0,>0的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C 的离心率为______.【答案】173【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出3c a ==.【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3c a ==，所以双曲线C 的离心率173e =.故答案为：17314.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则31sin ,cos 22A A ==，因为ABC V 的面积113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=.16.已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠== ，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，,22DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得22AH =，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()2622226,,0,,,,,0,,,2222424B C P A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以)()226,,,,424DB DE DC ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111100424n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，222200424m DC m DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以()0,,2n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，则7cos ,7n m n m n m ⋅=== ，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则cos ,sin 77θθ===，故平面BDE 与平面CDE夹角的正弦值为7.18.已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线=在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）32,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =时，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得322a <-；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <或x >()()0,f x f x '>单调递增，当x <<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =时，()f x有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得322a <-，所以实数a 的取值范围为32,2∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax x x x x x x a k x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合1212,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）121212122222--+--+⨯≠+，故1212,22⎧---+⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】1112111,1224422-----+⨯==-+=-，因为121212122222--+--+⨯≠+，所以集合1212,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
【数学】河北狮州市2020学年高二数学下学期第一次月考试题承智班
【关键字】数学河北定州2016-2017学年第二学期高二承智班第一次月考数学试卷一、选择题1．给出以下四个命题：(1)在中，“”是“”的必要而非充分条件；(2)函数的最小正周期是；(3)在中，若，则为钝角三角形；(4)在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点其中正确命题的个数是（）A. 1B. . 3 D. 42．已知是定义在上的偶函数，那么（）A．B．C．D．3．函数与在同一坐标系中的图象只能是4．若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠．1＜a＜2 D．a≥25．（2015秋•岳阳校级期中）设函数f定义如表，一列数x0，x1，x2，x3…满足x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f（xn），则x2015的值为（）A．1 B．．4 D．56．函数的定义域为，若，，则（）A. B. C. D.7．函数图象的一条对称轴为，那么直线的倾斜角为（）A．B．C．D．8．若方程表示圆，则实数的取值范围是A．B．C．D．9．已知集合，定义映射，则从中任取一个映射满足由点构成且的概率为（）A. B. C. D.10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A．B．C．D．11．已知函数，．若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．二、填空题13．已知a>b，则下列不等式：中，你认为正确的是．（填序号）．14．．在△ABC中，AH为BC边上的高，＝，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为．15．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，其中x∈[－，a]．当a＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－，1]，则a的取值范围是________．16．设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题17．已知，，，函数，且函数的最小正周期为.（I）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在上的单调区间.18．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．19．如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数，（单位：千米）的图象，且图象的最高点为；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？20．已知函数，．（1）设，求的单调区间；（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围．参考答案BCCCC BDACD11．B12．B13．414．215．[－12，1] [6π，2π] 16．17．解：（I ） 2()(2cos sin )(cos sin )(cos sin )f x a b x x x x x x ωωωωωω=⋅=++- 因为函数()f x 的最小正周期为π，所以212ππωω=⇒=. ()2sin(2)4f x x π=+.（2）递增区间[0,]2π，递减区间[0,]2π 18．（1）22112x y +=；（2）112m -≤<-或112m <≤． （1）假设椭圆的方程为2222:1(0)y x C a b a b +=>>，由离心率可得22=a c ，由椭圆上的点到焦点的最短距离为21221-=-c a ，结合222b a c -=可求得b a ,，从而得到椭圆的标准方程；（2）因为直线l 的斜率未知，所以需要分类讨论，当斜率不存在时，3AP =PB 可求得m 的取值；当斜率存在时，可假设直线为m kx y +=，与椭圆方程联立可求得,A B 的坐标，结合3AP =PB 以及R k ∈来求m 的取值范围.试题解析：（1）设2222:1(0)y x C a b a b+=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知221c a c e a -===解得1,a b c ===C 的方程为：22112x y +=． （2）当直线斜率不存在时：12m =±， 当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ，∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-= ∴22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆-+-=-+>，（*） ∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 消去2x ，得212123()40x x x x ++=，∴2222213()4022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立：214m ≠时，2222241m k m -=-， ∴22222041m k m -=≥-时，∴112m -≤<-或112m <≤， 把2222241m k m -=-代入（*）得112m -<<-或112m <<， ∴112m -<<-或112m <<． 综上m 的取值范围为112m -≤<-或112m <≤． 19．（1）212,[0,6]4()315,(6,10]42x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩；（2）当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长． （1）曲线段OAB 过点O ，且最高点为(4,4)A ，可列出方程组，求解,,a b c 的值，可得当[0,6]x ∈上函数的解析式，后一部分为线段C B ，(6,3),(10,0)B C ，可得[]6,10x ∈上的解析式；（2）求出绿化带的总长度，可得二次函数即可得出结论．试题解析：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为(4,4)A0164442c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩ ，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩（也可以设成顶点式）所以，当[0,6]x ∈时，2124y x x =-+ 因为后一部分为线段BC ，(6,3),(10,0)B C ，当[6,10]x ∈时，31542y x =-+ ……6分 综上，212,[0,6]4()315,(6,10]42x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩ （2）设(02)OM t t =<≤，则22112,244MQ t t PN t t =-+=-+ 由213152442PN t t x =-+=-+， 得2181033x t t =-+， 所以点218(10,0)33N t t -+ 所以，绿化带的总长度PN QP MQ y ++=103161)1031131()241(2222++-=+-++-=t t t t t t ……13分 当1=t 时，661max =y 所以，当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长20．（1）单调增区间是1(0,)2a ，单调减函数是1(,)2a+∞；（2）1(,)2+∞. （1）()'()ln 22g x f x x ax a ==-+，再次求导得112'()2ax g x a x x-=-=，由于0a >，所以调增区间是1(0,)2a ，单调减函数是1(,)2a+∞；（2）()f x 在1x =处取得极大值，所以'(1)0f =．下面分成12a =，102a <<，12a >三类，讨论()f x 单调区间，由此得出a 的取值范围是1(,)2+∞． 试题解析：（1）∵2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，∴()'()ln 22g x f x x ax a ==-+，0x >， ∴112'()2ax g x a x x-=-=，0x >，当0a >时，在1(0,)2a 上'()0g x >，()g x 单调递增； 在1(,)2a+∞上'()0g x <，()g x 单调递减． ∴()g x 的单调增区间是1(0,)2a ，单调减函数是1(,)2a+∞． （2）∵()f x 在1x =处取得极大值，∴'(1)0f =．①当112a=，即12a =时，由（1）知，'()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴当0x >时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意；②当112a >，即102a <<时，由（1）知'()f x 在1(0,)2a 上单调递增， ∴当01x <<时，'()0f x <，当112x a<<时，'()0f x >， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1,)2a 上单调递增， ∴()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；③当1012a <<，即12a >时，由（1）知，'()f x 在1(,)2a +∞上单调递减， ∴当112x a<<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <， ∴()f x 在1(,1)2a上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当1x =时，()f x 取得极大值，满足条件．综上，实数a 的取值范围是1(,)2+∞．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020届河北省高三下学期3月联合考试数学（理）试题
2020届河北省高三下学期3月联合考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R （ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()RA B ⋂.【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)RA B ⋂=.故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3．已知向量a =（0，2），b =（x ），且a 与b 的夹角为3π，则x ＝（ ） A ．﹣2 B ．2C ．1D ．﹣1【答案】B【解析】根据平面向量数量积的定义和平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】∵向量a =（0，2），b =（x ），且a 与b 的夹角为3π，故选：B 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义和坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力.4．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±>，320x y +=可化为32y x =-，则32m =，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35【答案】C【解析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBAS ∆=⨯=()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ） 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C【解析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=.故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.7．将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，若g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）A ．3πB ．12π C ．18π D ．6π 【答案】C【解析】根据正弦型函数的平移解析式的变化规律求出函数g （x ）的解析式，再根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝3sin [﹣3（x 6π-）6π+]﹣2＝3sin （﹣3x 26ππ++）﹣2＝3cos （﹣3x 6π+）﹣2＝3cos （3x 6π-）﹣2， ∵x ∈[18π-，θ]，∴3x ∈[6π-，3θ]，∴3x 6π-∈[3π-，3θ6π-]， ∵g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，∴角3θ6π-大于等于0， 即3θ6π-≥0，即θ18π≥，即θ的最小值为18π， 故选：C 【点睛】本题考查了正弦型函数平移变换规律，考查了正弦型函数的单调性的应用，考查了数学8．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.9．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k=+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x kA pB =++=+. 同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
河北省保定市九校2024届高三下学期二模 数学试题(含解析)
高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足2i1iz，则z（）
A．1iB．1iC．1iD．1i
2．已知集合Z10Axx，Bxxa，若AB中有2个元素，则a的取值范围
是（）A．2,4B．1,2C．2,4D．1,2
3．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（）A．14292B．14359C．14426D．14468
4．若函数1yfx是定义在R上的奇函数，则101fff（）
A．3B．2C．2D．35．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A．12B．13C．14D．166．已知1
F，
2F
分别是双曲线222:104xyCbb的左、右焦点，是M双曲线C右支上的一
个动点，且“2212MFMF”的最小值是86，则双曲线C的渐近线方程为（）
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220|A x x x =-<，集合{}210|2x B x -=-≤，则A B ⋃=（）A ．{}|02x x <<B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x <D ．{}2|x x ≤【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,A B ,由集合的并运算即可求解.【详解】由于22021022202x x x x ---≤⇒≤⇒-≤⇒≤所以{}|02A x x =<<，{}|2B x x =≤，所以{}|2A B x x ⋃=≤.故选：D.2．已知复数1z ，2z ，“21z z >”是“211z z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若21z z >，可得复数1z ，2z 都为实数，当120z z <<时，211z z <，充分性不成立；反之，若211z z >取复数11i z =+，222i z =+，满足2121z z =>，但此时复数1z ，2z 均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，所以“21z z >”是“211z z >”的既不充分也不必要条件；故选：D.3．若函数923log ,14()1,123x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪++⎩，则523f f ⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎣⎛ ⎝⎦⎭⎥⎫（）A ．517B ．175C ．417D ．174【正确答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于5231>，所以5522935313log 34442f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故5211431217134f f f ⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+⎪⎭+⎛⎫ ⎝=，故选C.4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在[]50,100内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（）A ．70.2B ．72.6C ．75.4D ．82.2【正确答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得m 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得()0.0040.0540.0120.010101m ++++⨯=，则0.020m =，故得分的平均数为.()0.004550.020650.054750.012850.010951075.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：C5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221x y z a b c++=（0,z ≥，,,0a b c >，且a ，b ，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)m m π>的圆，给出下列结论：①a b =；②c m =；③2ac m =；④若ac m >，则1c >，其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据已知得a b m ==，结合题设判断各项正误即可.【详解】在2222221x y z a b c ++=中，令0z =可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221x y a b+=，由室内地面是面积为2πm (0)m >的圆，故a b =，①对；且22ππa m =，则a b m ==，又,,a b c 不全相等，故c m ≠，②错；若2ac m =，则2mc m =，可得c m =，与,,a b c 不全相等矛盾，③错；若ac m >，则0mc m >>，故1c >，④对.故选：B.6．已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A ．24B 33C 3D ．22【正确答案】A【分析】根据α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，利用二倍角公式整理得26sin sin 10αα--=，求得sin α，再利用基本关系求解.【详解】∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 1sin 3αα=--=-，∴2tan 4α=，故选：A.7．直线:40l ax by +-=与圆22:4O x y +=相切，则22(3)(4)a b -+-的最大值为（）A ．16B ．25C ．49D ．81【正确答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出,a b 的方程，根据方程分析利用22(3)(4)a b -+-表示的几何意义求解即可.【详解】由直线l 与圆O 相切可得：圆心()0,0O 到直线l 的距离等于圆的半径，2=，故224a b +=，即点(,)a b 在圆O 上，22(3)(4)a b -+-的几何意义为圆上的点(,)a b 与点(3,4)之间距离的平方，由224a b +=圆心为()0,0，因为22344+>，所以点(3,4)在圆224a b +=外，所以点(,)a b 到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，即27d r +=，所以22(3)(4)a b -+-的最大值为2749=.故选：C.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A ，B ，C 三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）A ．144种B ．162种C ．216种D ．288种【正确答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有24C 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有211342231C C C A 2方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有224222C C A 种分法，分给3名同学中的2名同学，有23A 种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有14C 种分法，共有2221423422C C A C A ⋅种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有222113214242233422C C 1C C C A A C 1442A +⋅=种.故选：A.二、多选题9．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π2，若12()()2f x f x =-，则（）A ．()f x 关于直线1x x =对称B ．()f x 关于点2(,0)x 对称C ．12x x +的最大值为π2D ．12x x +的最小值为π8【正确答案】AD【分析】根据辅助角公式化简()f x ，利用周期的公式求解4ω=，进而根据12()()2f x f x =-可判断12,x x x x ==为()f x 的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.【详解】由π()sin cos cos )4f x x x x ω=+=+的最小正周期为π2可得2ππ2ω=，即4ω=，故π())4f x x =+，由12()()2f x f x =-可得1()f x ，2()f x 分别为()f x 的最大值和最小值，故()f x 关于直线1x x =对称，不关于点2(,0)x 对称，故A 正确，B 错误；由()π4πZ 4x k k +=∈可得()1πZ 416x kx k =-∈，故()f x 的对称中心()1ππ,0Z 416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则121π1π2ππ,Z 41628x x n n n +=-=-∈，当0n =时，12x x +取得最小值π8，没有最大值，故C 错误，D 正确.故选：AD10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（）A ．若(,)P m n 且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为21mynx a -=B ．若(2,1)P ，直线l 的斜率为1C．若离心率e =2OAB S=△D ．若直线l 的斜率不存在，2AB =【正确答案】BCD【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A ，利用A 选项的求解可判断B ，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB 与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C ，根据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意1b =，双曲线222:1x C y a-=.对于A ，若(,)P m n ，则2221m n a-=，即2222m a n a -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221120x y a -=，222220x y a -=，利用点差法可得121222212122()2ABy y x x m m k x x a y y a n a n-+===-+=，所以直线l 的方程为y n -=2()mx m a n-，即2222a ny a n mx m -=-，所以22222mx a ny m a n a -=-=，即21mxny a -=，故A 错误；对于B ，若(2,1)P ，可得222211a -=,则a =l 的斜率为22121m a n ==⨯，即B 正确；对于C，若离心率222,2c e c a b a==+，可得2a =.则双曲线22:14x C y -=，其渐近线方程为2xy =±，设11(,)2x A x ，22(,2xB x -，直线()()121112:22x x x AB y x x x x +=-+-，令121220,x xy x x x ==+，则121221122212221OAB x x x x x x S x x +=+=△，由A 知AB 方程为14mxny -=，联立方程142mxny x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得142x m n =-，同理可得242x m n =+，所以1211442222OAB S x x m n m n ==⨯-+△2288244m n ===-，故C 正确；对于D ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以(,0)P a ±，双曲线的渐近线方程为1y x a=±，当x a =±时，代入渐近线方程易得A ，B 两点的纵坐标为1±，所以2AB =，故D 正确；故选：BCD.11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，点P ，Q ，M 分别为11A D ，11C D ，BC 的中点，下列结论正确的有（）A ．//AC 平面PQMB ．该四棱柱有外接球，则四边形ABCD 为正方形C ．BC 与平面PQM 不可能垂直D ．BD QM⊥【正确答案】ABC【分析】根据线线平行即可判断A ，利用外接圆的对角互补，则可判断B ，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C,D.【详解】对A ，连接11AC ，由点P ，Q ，分别为11A D ，11C D 可得11//ACPQ ，11111////.AA BB CC AA BB CC == ，所以四边形11A ACC 为平行四边形，则11//AC AC ，故//AC PQ ，AC ⊄平面PQM ,PQ ⊂平面PQM ,则//AC 平面PQM ，即A 正确；对B ，若四棱柱有外接球，则四边形ABCD 有外接圆，则ABCD 对角互补，则ABCD 为正方形，即B 正确；对C ，若BC ⊥平面PQM ，PQ ⊂平面PQM ,则BC PQ ⊥，由//PQ AC 可得BC AC ⊥，与条件矛盾，故BC 与平面PQM 不可能垂直，即C 正确；对D ，取CD 的中点N ，连接MN ，QN ，则//MN BD ，1//QN CC ,1CC ⊥ 平面ABCD ，QN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂ 平面ABCD ，QN MN ∴⊥，90QNM ∴∠=︒，则90QMN ∠<︒，故BD 与QM 不垂直，即D 错误.故选：ABC.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，2()f x x =，若方程()4log (5)(0,1)a f x x a a >=+≠在[]4,6-上恰有5个实数解，则（）A ．()f x 的周期为4B ．()f x 在[]8,10上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,2D ．711a <<【正确答案】AD【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A 、B ，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C ，画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象，数形结合，即可判断D.【详解】由()f x 的图象关于2x =对称可得(4)()f x f x +=-，再由()f x 为偶函数可得()()f x f x -=，故()(4)f x f x =+，即()f x 的周期为4，即A 正确；当[0,2]x ∈时，由2()f x x =，可得()f x 在[0,2]上单调递增，故()f x 在[]8,10上单调递增，即B 错误；又(0)0f =，(2)4f =，故()f x 的值域为[]0,4，即C 错误；在同一坐标系下画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象如图所示.由图可知，要使()y f x =与()4log (5)b g x x =+在[]4,6-上恰有5个不同交点，只需()()24641g g a ⎧<⎪>⎨⎪>⎩，即log 71log 1111a a a <⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得711a <<，即a 的取值范围为()7,11，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知O 为ABC 的外心，若2OA =，且75BAC ∠=︒，则OB OC ⋅=__________.【正确答案】23-【分析】由平面向量数量积公式进行求解.【详解】由圆的性质可得2150BOC BAC ∠=∠=︒，2OA OB OC ===，故cos 22cos15023OB OC OB OC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯︒= 故23-14．若函数4()ln 42mxf x x-=-的图象关于原点对称，则实数m 的值为__________.【正确答案】2-【分析】根据奇函数的性质根据()()f x f x -=-，即可求解.【详解】依题意，()()f x f x -=-，即44ln ln 4242mx mxx x-+=-+,所以442424mx x x mx +-=+-，解得2m =±，当2m =时，42()ln42xf x x-=-，定义域{}2x x ≠不关于原点对称，故舍去，当2m =-时，42()ln 42xf x x+=-，定义域为{}22x x -<<，符合要求，故2m =-，故2-15．函数33()sincos sin cos 2222x x x xf x =-的最小值为__________.【正确答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sin cos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故14-四、双空题16．如图，在三棱锥A BCD -中，AB CD ⊥，AD BC ⊥，且3BD AC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________，AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【正确答案】90︒10【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG AC ，//EG BD ，故EFG ∠或其补角为异面直线AC 与EF 所成的角，过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO ，则AO CD ⊥，又AB CD ⊥，且AB AO A = ，故CD ⊥平面AOB ，故BO CD ⊥，同理可得DO BC ⊥，即O 为BCD △的垂心，故BD CO ⊥，又AO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，故BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥，即AC 与BD 所成角为90︒；所以90EGF ∠=︒，由3BD AC =可得3EG FG =，故cos FG EFG EF ∠==即异面直线AC 与EF故①90︒，②10.五、解答题17．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a ，4a 的等比中项，1278S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)(1)31nn T n =-⨯+【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，即可得结果；（2）由（1）可得：1(21)3n n b n -=-⨯，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为2a 是1a ，4a 的等比中项，则2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又因为121121211782dS a =+⨯⨯=，整理得163339a d +=②由①②解得，11a =，1d =，所以()11n a n n =+-=.（2）由（1）知，()11213213n n n n b a n ---=⨯=-⨯，则021133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，可得12313133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得0123121323232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯16(13)1(21)313n n n --=+--⨯-(22)32n n =-⨯-，所以(1)31nn T n =-⨯+.18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占13，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为12.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列22⨯列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【正确答案】(1)表格见解析(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p ，再求出男职工中支持养宠物的人数；（2）根据卡方公式求解.【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为p ，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，∴111(1)(1)32p ---=，解得14p =，则男职工中支持养宠物的人数为1300745⨯=，22⨯列联表如下：支持养宠物不支持养宠物合计男职工75225300女职工50100150合计125325450（2）零假设为：0H ：性别与态度无关联；由于22450(7510022550) 3.462 3.841125325300150χ<⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.19．在ABC 中，4AB =，AC =点D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.【正确答案】(1)4-2【分析】（1）设BD DC x ==，由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=结合余弦定理求解即可求出x =ABC 中，由余弦定理即可求出答案.（2）在ABC 中，由余弦定理求出BC =ABD △中，由余弦定理求出AD =，连接BE ，在ABE 中，由余弦定理即可求出线段BE 的长.【详解】（1）因为1DE =，3AE DE =，所以2AD =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，设BD DC x ==，则222222022BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-+=⋅⋅，即224164802222x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得x =2BC BD ==在ABC 中，由余弦定理知，222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以2816242BC BC =+-⋅⋅⋅，化简得280BC -+=，解得BC =因为D 是BC 的中点，所以12BD BC ==在ABD △中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD ABC =+-⋅⋅∠16224102=+-⨯=，所以AD =，因为3AE DE =，所以32AE AD ==在ABD △中，由余弦定理知，222cos2AB AD BD BAE AB AD +-∠=⋅连接BE ，在ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅∠=351624222⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BE =20．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，若PAC △为等边三角形，ABC 为等腰直角三角形，且AC BC =，点E 为AC 的中点，点D 在线段AB 上，且4AB AD =.(1)证明：AB ⊥平面PDE ；(2)求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析4【分析】（1）作出辅助线，得到DE AB ⊥，由三线合一得到PE AC ⊥，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取AB 的中点G ，由AC BC =可得CG AB ⊥，由4AB AD =可得D 为AG 的中点，由E 为AC 的中点可得DE 为ACG 的中位线，∴DE CG ∥，∴DE AB ⊥，∵E 为AC 的中点，PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PE 在面PAC 内，∴PE ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥，又PE DE E = ，且PE DE ⊂，平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE .（2）以C 为原点，CA 、CB 为x 、y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，设4PA =.则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C，P ，则(2,0,PA =- ，()4,4,0AB =-，∴1(1,1,4PD PA AD PA AB =+=+=-，(2,4,PB =--，(2,0,PC =--，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由24020n PB x y z n PC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得0y =，令x =1z =-，故1)n =-，由（1）可知(4,4,0)AB =-为平面PDE 的一个法向量，∴cos,4ABAB nA nBn=⋅=-⋅，又平面PDE与平面PBC21．已知抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点为F，直线:(1)2(0)l y k x k=>--与C交于A，B 两点，当3k=时，28AF BF+=.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线:(1)2m y k x=---与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线AM，直线BN及y 轴围成的三角形为等腰三角形.【正确答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当3k=时，直线:3(1)235l y x x=--=-，与22x py=联立消去y，整理可得26100x px p-+=，由0∆>得236400p p->，即109p>.设11(,)A x y，22(,)B x y，可得126x x p+=，所以()12123101810y y x x p +=+-=-，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，根据抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+，所以121810191028AF BF y y p p p p +=++=-+=-=，解得2p =，满足0∆>，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）直线():12(0)l y k x k =-->与24x y =联立可得24480x kx k -++=，由0∆>得21616320k k -->，即2k >或1k <-（舍）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=；直线:(1)2m y k x =---与24x y =联立消去y ，整理可得24480x kx k +-+=，由0∆>得21616320k k +->，即1k >或2k <-（舍），故2k >，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344x x k +=-；因为2231313131314()4AMy y x x x xk x x x x --+===--，同理424BN x x k +=，所以123404AMBN x x x xk k ++++==，所以由直线AM ，直线BN 及y 轴围成的三角形为等腰三角形.22．已知函数()()2ln 2R f x ax x x x a =--∈.(1)若4a =，求()f x '的极值；(2)若函数()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，且21x ex >，求证.12ln ln 3a x x +>【正确答案】(1)极大值为4ln 22-，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的单调性，即可求出()f x '的极值；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-即112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，构建新函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，求导，利用导数证明()2t ϕ>即可.【详解】（1）2()ln 2f x ax x x x =--的定义域为(0,)+∞，当4a =时，()4ln 22f x x x '=-+，设()4ln 22g x x x =-+，则442()2xg x x x-'=-=，由()0g x =可得2x =，当02x <<时，()0g x '>，当2x >时，()0g x '<，∴()f x '在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴()f x '的极大值为(2)4ln 22f '=-，无极小值；（2）由()20f x x +=可得2 ln 0ax x x -=，即1ln xa x=.设ln ()(0)xh x x x=>，则21ln ()x h x x -'=.由()0h x '=可得e x =，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.∴()h x 有极大值1(e)eh =，当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >.要使()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，需有110ea <<，即e a >.∵1212ln ln 1x x a x x ==，由比例的性质可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，故121212122211111ln()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++==--，设21x t x =，由21e 0x x >>可得t e >，设函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-，设1()2ln s t t t t =--，则22211()110s t t t t ⎛⎫'=-+=-> ⎪⎝⎭，∴()s t 在(e,)+∞上单调递增，故1()(e)e 20es t s >=-->，故()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(e,)+∞上单调递增，故e 12()(e)12e 1e 1t ϕϕ+>==+>--，∴212e x x >，故312e ax x >，故312ln()ln e ax x >，即12ln ln 3a x x +>.关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出1212ln ln 1x x a x x ==，建立关系112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.。
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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 河北定州2016-2017学年第二学期高四数学周练试题（2） 一、单项选择题 1．若直线100axby(a,b(,))平分圆222220xyxy，则12ab的最小值是( ) A．42 B．322 C．2 D．5
2．直线32xy与双曲线1222yx相交于BA,两点，则AB=（ ）
A．57 4 B．257 C．357 D．457 3．已知x是函数f(x)=2x+ 11x的一个零点.若1x∈（1，0x），2x∈（0x，+），则 A．f(1x)＜0，f(2x)＜0 B． f(1x)＜0，f(2x)＞0 C． f(1x)＞0，f(2x)＜0 D． f(1x)＞0，f(2x)＞0
4．函数sin(),2yxxR （ ） A．在[,]22上是增函数 B．在[0,]上是减函数 C．在[,0]上是减函数 D．在[,]上是减函数 5．下列给出的赋值语句中正确的是（ ） A. 3=A B．d=d+5 C．B=A=2 D． x+y=0 6．不等式2230xx的解集为 A．3{|1}2xxx或
B．3{|1}2xx C．3{|1}2xx D．3{|1}2xxx或 7．已知函数y＝log2（ax－1）在（1,2）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A．（0,1] B．[1,2] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 8．若一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是（ ） 9．若抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ） A．y2=4x B．y2=6x C．y2=8x D．y2=10x 10．已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( ) (A)n⊥β (B)n∥β (C)n⊥α (D)n∥α或n⊂α 11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．33 B．3 C．233 D．32 12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为（ ） A．14 B．12 C．1 D．2 二、填空题 13．函数sin()xfxx的导函数为_________.
14．若直线y=k（x﹣4）与曲线有公共的点，则实数k的取值范围 ． 15．下表是我市某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 用水量y 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是axy7.0，则a___________．
16．设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为2，且过点（5,4），则其焦距为 三、综合题 17．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标
为22,4，曲线 C的参数方程为12cos2sinxy（为参数）． （1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程； 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. （2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围． 18．（本题15分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且ACABPA. （Ⅰ）求证：//PA平面QBC； （Ⅱ）若PQQBC平面，求二面角APBQ的余弦值.
19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212yx的焦点重合，过点(4,0)P且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于,AB两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求OAOB的取值范围. 20．在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且BEBC3=,CGCD3=.DE与BG交于
点O.
（1）求DEOE:；
（2）若平行四边形ABCD的面积为21，求BOC的面积.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 参考答案 BDBBB DCDCD 11．A 12．D 13．2cossin()xxxfxx
14．[﹣]． 15．5.25 16．26 17．（1）直线l的极坐标方程为sin2或4cos3sin140；（2）132,132． （1）由题意得点M的直角坐标为2,2，曲线C的一般方程为2214xy． 设直线l的方程为22ykx，即220kxyk，
∵直线l过M且与曲线 C相切，∴2221kk， 即2340kk，解得403k或k=-， ∴直线l的极坐标方程为sin2或4cos3sin140， （2）∵点N与点M关于y轴对称，∴点N的直角坐标为2,2，
则点N到圆心C的距离为2221213， 曲线C上的点到点N的距离的最小值为132，最大值为132 曲线 C上的点到点N的距离的取值范围为132,132
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）33. （Ⅰ）证明：过点Q作QDBC于点D， ∵ 平面QBC⊥平面ABC， ∴ QD平面ABC， 又 PA⊥平面ABC， ∴ QD∥PA， 又QD平面QBC且， 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. ∴ PA∥平面QBC； （Ⅱ）解：∵ PQ平面QBC， ∴ 90PQBPQC 又∵,PBPCPQPQ， ∴ PQBPQC ∴BQCQ， ∴ 点D是BC的中点，连结AD，则ADBC， ∴ AD平面QBC， ∴//PQAD，ADQD， ∴ 四边形PADQ是矩形，
设2PAa，则2PQADa，22PBa， ∴6BQa， 过Q作QRPB于点R，
∴266222aaQRaa，2222222PQaPRaPBa， 取PB中点M，连结AM，取PA的中点N，连结RN， ∵1142PRPBPM，12PNPA ∴MA∥RN， ∵PAAB ∴AMPB， ∴RNPB， ∴QRN为二面角QPBA的平面角，
连结QN，则222223QNQPPNaaa， 又∵22RNa，
∴222222313322cos2362222aaaQRRNQNQRNQRRNaa， 即二面角QPBA的余弦值为33. 19．（1）13422yx；（2）413,4 解：（1）由题意知22222211,24ccabeeaaa， 2243ab.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b，224,3ab，
椭圆的方程为22143xy. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 6文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. （2）若直线l的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4ABOAOB， 当直线l的倾斜角不为0时，直线l可设为4xmy， 2222
4(34)243603412xmymymyxy
，由
设1122(4,),(4,)AmyyBmyy，1212222436,3434myyyymm， 2116434m
，2134,(4,)4mOAOB，综上所述：范围为13[4,)4.
20．（1）71=DEOE;（2）23BOCS （1）由EOD,,三点共线设出)(=∈RλDEλOE，根据定比分点公以及G,O,B三点共线可得到EGmEBmEO)-1(+=，列出关于m,的方程组解出即可；（2）观察可知BDCBOC,的
底是相同的可根据（1）中DEOE:的比值即是BDCBOC,的高的比，进而求出BOC的面积. （1）设bAD,aAB==，据题意可得)(=∈RλDEλOEbaDE32-=，从而有bλaλbaλOE32-=)32-(=.由G,O,B三点共线，则存在实数m,使得EGmEBmEO)-1(+=，即
)31-32)(1-(+31=])-1(+-[=abmbmEGmEBmOEbmam32-3+3-1=
，由平面向量基本定理，
1323233mm
解得71=λ，从而就有71=DEOE(7分）
（2）由（1）可知71=ΔΔBDCBOChh,所以23221717171BDCBOCBDCBOCSSSS（13分）.