2020.5镇海中学高考数学仿真测试(pdf无答案)
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{}1,2,3,4A =，{}33B x N x =∈-≤≤，则AB =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}3,2,1,0,1,2,3,4---C ．{}1,2,3D ．{}1,22．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A ．y ±4x ＝0 B ．y ±2x ＝0C ．x ±2y ＝0D ．x ±4y ＝0 3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则31S S 的值为（ ）A ．94B ．94-C ．32D ．32- 4．设 a R ∈，则“0a >”是“2a a+≥( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数ln(cos2y x x =⋅的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.87．已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A ．2BCD ．18．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22x f x x =- B ．()()22f x x bx b R =+-∈ C ．()12f x x =-- D ．()sin x x x f -=9．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）AB- CD ．510．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ）A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．76633()a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、双空题11．设i 为虚数单位，给定复数()411i z i +=+，则z 的虚部为________，z =________．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．13．已知x ，y 满足条件0,40,10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是_____，原点到点(),P x y 的距离的最小值是_____．14．小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.三、填空题15．在ΔABC 中，∠BAC =120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB =2AC ，则AB AD =___________．16．若函数21()()3f x x a x b =+++在[1,1]-上有零点，则23a b -的最小值为____． 17．如图，椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第一角限内任意一点，()0OQ OP λλ=>，0FQ OP ⋅=，若e λ<，则e 的取值范围是_______．四、解答题18．已知函数()sin cos )222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()f B =，且b =求22a c +的取值范围． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，PC 垂直平面ABCD ，AB AD ⊥，AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 的中点.（Ⅰ） 证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值.20．在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-. （Ⅰ）证明数列{}1n+n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的n ∈N *都有1n nS m a ≥+，求实数m 的取值范围.21．已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 22．已知函数23()x f x x e =（1）若0x <，求证：1();9f x < （2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】求出B 后可得A B .【详解】 {}3,2,1,0,1,2,3B =---，故{}1,2,3A B =，选C.【点睛】在集合的交并补的运算中，注意集合元素的属性，本题为基础题.2．C【解析】【分析】直接在双曲线的方程中把1变为0，可求得渐近线方程.【详解】 由双曲线的方程为双曲线2214x y -=. 则令2204x y -=，得2x y =±，即20x y ±= 所以双曲线的渐近线方程为：20x y ±=.故选：C【点睛】本题考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属于基础题.3．A【解析】【分析】由2314a a a =可以得到等差数列的基本量1,a d 的关系，再用基本量表示31,S S 可得它们的比值.【详解】设公差为d ，由2314a a a =得到()()111232a d a a d =++，整理得到2140a d d +=，因0d ≠，故14a d =-，31339S a d d =+=-，所以319944S d S d -==-，故选A. 【点睛】 等差数列或等比数列问题基本的处理策略有两类：（1）基本量方法，即把数学问题归结关于基本量1,a d 或1,a q 的关系式来处理；（2）利用等差数列或等比数列性质来处理，解题时需结合数列下标的特点或和式的特点来找合适的性质.4．C【解析】【分析】根据充要条件的定义进行判断即可．【详解】由0a >得，2a a +≥=； 由2a a+≥0a >，所以是必要条件， 故“0a >”是“2a a+≥C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的定义，不等式的性质，属于基础题．5．D【解析】【分析】判断函数()f x 的奇偶性，结合图象的对称性进行判断即可．【详解】解：因为()(ln cos 2y f x x x ==⋅，定义域为R ，((()cos(2)2cos 2()f x ln x x x ln x x f x -=-+-==-=-， 则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，C ，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，进行排除是解决本题的关键，属于基础题．6．B【解析】【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x 和y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x 和y 之间的一个关系式，联立方程，解得y 的值.【详解】由题意可知：0.10.3170.8 2.7108.9x y x y +++=⎧⎨+++=⎩， 解得0.20.4x y =⎧⎨=⎩. 故选：B.【点睛】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题． 7．D【解析】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE 中，BE DE BD ====BD 边上的高2==，所以122BDE S =⨯=1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 133⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离8．D【解析】【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．【详解】A 选项：令3na n nb a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'又cos 1≤x ，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”．本题正确选项：D【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题． 9．A 【解析】 【分析】由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果． 【详解】解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则221x y +=，从而(2322x +++-=+a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 10．C 【解析】 【分析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-，76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．11．2 【解析】 【分析】先将复数化简，然后可结果． 【详解】解：因为()43231(1)133221i z i i i i i i+==+=+++=-++所以z 的虚部为2，z ==故答案为： (1). 2 (2). 【点睛】此题考查复数的运算，求复数的虚部、模，属于基础题． 12．14412π- 1686π+ 【解析】 【分析】由三视图可知，此几何体是从一个长方体中挖去一个圆锥，体积等于长方体的体积减去圆锥的体积，表面积等于长方体5个面的面积加上圆锥的侧面积，再加上正方形减去圆的面积差． 【详解】解：由三视图可知此几何体是从一个长为6，宽为6，高为4的长方体中挖去一个底面半径为3，高为4的圆锥，所以此几何体的体积为2166434144123ππ⨯⨯-⨯⨯⨯=-表面积为2166644(663)23516862πππ⨯+⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯=+． 故答案为： (1). 14412π- (2). 1686π+ 【点睛】此题考查的是求组合体的体积和面积问题，属于基础题．13．6【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，通过平移动直线20x y t +-=求目标函数的最大值，而原点到点P 的距离的最小值就是原点到点A 的距离．【详解】不等式组对应的可行域如下：当动直线20x y t +-=过B 时，2x y +有最大值，又()2,2B ，故2x y +的最大值为6．原点到P 的距离的最小值即为OA ==6．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率. 14．32 15【解析】 【分析】超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，用排列组合知识分别计算即可.如果掏出4张共计50元，则有3张10元，1张20元一种情况，用古典概型公式可求概率. 【详解】超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，如果掏出纸币50元，则2张20元，1张10元，或3张10元，1张20元，共有2131333312C C C C +=； 如果掏出纸币60元，则2张20元，2张10元，或3张20元，共有22333310C C C +=； 如果掏出纸币70元，则3张20元，1张10元，或2张20元，3张10元，共有312333336C C C C +=； 如果掏出纸币80元，则3张20元，2张10元，共有32333C C =； 如果掏出纸币90元，则3张20元，3张10元，共有32331C C =；综上，共有32种.设“如果不放回的掏出4张，刚好是50元”为事件A，则所有的基本事件的总数为4 615C=，A中含有的基本事件的总数为3，故()1 5P A=.所以分别填1 32,5.【点睛】此类问题为取球模型，通常运用排列组合的知识求不同种类的个数，注意计算时根据问题的特征合理分类或分步.同时还应注意是有放回还是无放回.古典概型的概率计算关键是确定基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，注意每个基本事件是等可能发生的. 15．3【解析】【分析】假设AC=m，通过SΔABD+SΔACD=SΔABC列出与AD有关的方程，求解出AD的长度，从而得到ABAD的值。
浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月校模拟考试数学试卷(含答案)
浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月模拟考试数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =−，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i − D ．43i −− 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x −=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y −+≥⎧⎪≤⎨⎪+−≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =−+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]−B ． 1[2,]2−C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2−7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )2552.[,].[,1).[,31].[31,1)2332A B C D −−9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x −−>=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ． 22D ． 23第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y −=的渐近线方程为___▲__，设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>经过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++−=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ．MA BCQD13．随机变量X 的分布列如下：X －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>−<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF−的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC −的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)
A. sinx
B. cosx
C. sin2x
D. cos2x
3. 满足线性约束条件
，的目标函数 z=x+y 的最大值是（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
4. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C. 4
D.
5. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如 图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP，练车时间为 t，则函数 θ=f（t） 的图象大致为（ ）
出答案． 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能 力．属于中档题．
5.答案：D
解析：【分析】 根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项． 本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题． 【解答】 解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基 本保持不变，然后又减小，最后又快速增大， 故选：D．
且项数为偶数，设 n=2k，k∈N*，等差数列的公差设为 d，不妨设
，
则 a1＜0，d＞0，且 ak+1≤0，ak-1＜0 即 ak≤-1， 由 ak+1-1≥0， 则-1+kd≥ak+kd≥1，即 kd≥2， 即有 d≥2， 则|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+…+a2k
解析：【分析】 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的奇偶性，为中档题． 分别把四个选项中的值代入 f（x）·sinx，逐一进行验证即可． 【解答】 解：若 f（x）=sinx，则 f（x）·sinx=sin2x 为偶函数，不符合题意；
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果.
详解： ，
，故选C.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意 和 运算的准确性，否则很容易出现错误.
3．已知直线 ,其中 在平面 内.则“ ”是“ ”的
【详解】
取 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，根据题意以 为原点，
， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
点 在侧棱 上，设 ，点 在 上，设 ，
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据补集概念求解出 ，然后根据并集的概念求解出 的结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易.
所以其体积为 ，故选C．
5．记 ，则 的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
【答案】C
【解析】令 ，求得 ，再求 即可求得结果.
【详解】
中，
令 ，得 .
∵ 展开式中
∴
故选： .
【点睛】
二项式通项与展开式的应用：
（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.
（2）展开式的应用：
所以此时共有 种方案，
综上，可得甲不到 景点的方案有 种方案.
故选：B.
【点睛】
浙江省宁波市镇海中学2023届高三第二学期模拟考试数学含答案
2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。
浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题
浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集=R U ，集合{}|0A x x =>，{}|01B x x =<<，则()U A B =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}1|0x x <<C ．{}|0x x ≤D ．R2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为（ ） A ．2i +B ．43i +C ．43i -D ．43i --3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3πB ．83πC ．103π D ．113π 5．记77017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为（ ） A ．1B ．2C ．129D ．21886．已知不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1[0,]2D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有（ ）A ．18种B ．12种C ．36种D ．24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．[2 B．[3C．1]2D．1,1)-9．已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．310．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）． A ．2 B ．4C．D．二、双空题11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点()4,1，且与C 具有相同渐近线，则C 的方程为_____.12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．{}n a 的通项n a =________，数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和是________．13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X ==________，方差的最大值是________． 14．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．三、填空题 15．若实数、满足114422xy xy ，则22x y S 的取值范围是 ．16．已知抛物线24y x =，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则2||||AF BF -的最小值为________． 17．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．四、解答题18．已知锐角ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.19．在三棱锥A BCD -中，2,2AB AD BD BC DC AC ======.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC =，求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.20．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式.22．我们称满足：21(1)()k n n na k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”. （1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.参考答案1．A 【解析】 【分析】先根据补集概念求解出UA ，然后根据并集的概念求解出()U AB 的结果.【详解】因为{}|0A x x =>，所以{}U 0A x x =≤，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}U1A B x x ⋃=<，故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易. 2．C 【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果. 详解：()()()2i,12i 2i 12i 43i z z =-∴+=-+=+，43i z ∴=-，故选C.点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3．B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 【详解】若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选：B . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 4．C 【解析】由三视图可知，该几何体是由14个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体， 其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为2， 所以其体积为221111022224233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C ． 5．C 【解析】 【分析】令0x =，求得017a a a +++，再求7a 即可求得结果.【详解】727017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++++中， 令0x =，得70172128a a a =+++=.∵77(2)[3(1)]x x -=-+展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a +++=-=故选：C . 【点睛】二项式通项与展开式的应用：（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. （2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法. 6．A 【解析】 【分析】由不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出其表示的平面区域然后根据函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移,利用数形结合法求解.【详解】不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域D 为三角形ABC 及内部部分，如图所示：因为函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，所以由图知：将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移，当经过点()1,2A -时，m =-2, 当函数|1|y x m =-+的最低点在BC 上时，m =1， 因为函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点， 所以21m -≤≤， 故选：A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及函数图象的变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B 、C 景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有22326C A =种情况，所以此时共有2612⨯=种方案； （2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B 、C 景点中任选1个，有11326C C =种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有222A =种情况，所以此时共有6212⨯=种方案，综上，可得甲不到A 景点的方案有121224+=种方案. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 8．A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==.【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以c e a ==⎣⎦，所以离心率的取值范围是23⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．C 【解析】令t=f(x),则方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦等价于()3202f t t --=,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+32的图象,由图象可得有两个交点,且()3202f t t --=的两根分别为10t =和212t <<,当()10t f x ==时,解得x=2,当()()21,2t f x =∈时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为4,故选C.点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题. 10．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设(0,1,)M a -、)N b 、(0,1,)Q c ，不妨设c b a <<，则MNQ ∠为直角，所以0MN QN ⋅=推出()()20b a b c --+=，利用基本不等式即可求得斜边||MQ 的最小值. 【详解】取D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，连接1DD ，DB ，根据题意以D 为原点，DB ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，点M 在侧棱1AA 上，设(0,1,)M a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设(0,1,)Q c ，不妨设，则， ．因为为直角三角形，由，得为直角，所以0MN QN ⋅=，即()()20b a b c --+=，斜边||MQ ==≥==当且仅当a b b c -=-时取等号. 故选D ．【点睛】本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题．11．2x y =± 221123y x -=【解析】 【分析】令224x y -=，求得12y x =±，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到2a b =，，得出222214x y b b-=，将点()4,1代入方程，求得22,a b 的值，即可求得双曲线的标准方程.【详解】由题意，双曲线2214x y -=，令2204x y -=，解得224x y =，即12y x =±， 即双曲线的渐近线的方程为12y x =±， 由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和双曲线2214x y -=相同的渐近线，可得12b a =，即2a b =，所以222214x y b b-=，将点()4,1代入方程222214x y b b-=，即2216114b b -=，解得23b =，所以22412a b ==，所以所求双曲线的方程为221123y x -=故答案为：12y x =±，221123y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．221n - 221n n + 【解析】 【分析】由当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①，得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②，①-②求出n a ，注意验证1a 是否满足该通项公式，然后利用裂项求和法求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①， 得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②， ①-②得(21)2n n a -=， 即221n a n =-， 当1n =时也满足此式， 所以数列{}n a 的通项221n a n =-；因为221(21)(21)n a n n n ==+-+112121n n --+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和11111111335212121S n n n =-+-++-=--++ (221)nn =+， 故答案为：221n -，221n n +． 【点睛】本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题． 13．23 23【解析】 【分析】在离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得(||1)P X =；由均值计算公式表示，进而由方差计算公式表示方差，最后由二次函数性质即可求得最值. 【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，又1a b c ++=，所以23a c +=，13b =， 所以(||1)(1)(1)P X P X P X ===+=-23a c =+=； 因为()101E X abc c a =-⨯+⨯+⨯=-，所以221()(1)(0)3D X a c a c a =--++-++222(1)()3c c a a c -+=--+， 所以当13a c ==时，()D X 取得最大值23．故答案为：23，23【点睛】本题考查等差数列的性质、离散型随机变量的分布列与方差，属于简单题． 14．6π-3π【解析】【分析】由图象得出A 和周期，结合周期公式得出ω，把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，得出6πϕ=-，根据三角函数的平移变换，得出第二空的答案. 【详解】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度． 故答案为：6π-；3π 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质、三角函数图象的平移变换，根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 15．24S <≤ 【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤ 16．2 【解析】 【分析】分直线l 斜率存在不存在两种情况分类讨论，当斜率存在时，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得A ,B 两点横坐标间的关系，由抛物线定义可得2||||AF BF -的表达式，转化为一个变量，求最值即可，当斜率不存在时，由通径的长可求解. 【详解】因为抛物线24y x =， 所以(1,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则121x x ⋅=．由抛物线的定义可得1||1AF x =+，2||1BF x =+，所以1222||1||1AF x BF x -=+-=+()()212122222222221121111111x x x x x x x x x x x ++-++===-+++++． 令21(1)x t t -=≥，则21x t =+， 所以2||||AF BF-21112111112222tt t t t==≥===+++++++（当且仅当t =时等号成立）；当直线l 的斜率不存在时，||||2AF BF ==, 所以2||1||AF BF -=．综上，2||||AF BF -的最小值为2．故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用，属于中档题． 17．0 【解析】 【分析】 【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解． （2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．18．（1）3π；（2）(3,23⎤ 【解析】 试题分析：（1）由sin sin sin B A b c C a b --=+及正弦定理得222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，由此可求角A 的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得()2sin sin 3b c B C B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，利用正弦函数的性质即可得b c +的取值范围. （1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C== 2sin 3==， ()2sin sin b c B C +=+ 22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，∴(b c +∈.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点E ，连接,AE CE ，然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥，从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；（2）以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面ACD 的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）证明：取BD 的中点E ，连接,AE CE ， ∵2AB AD BD ===，∴AE BD ⊥， 同理可得CE BD ⊥， 又AECE E =，∴BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥.（2）∵2,AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形，且1AE CE ==，∴222AE EC AC +=，∴2AEC π∠=，即AE EC ⊥，又AE BD ⊥，且BD EC E ⋂=，∴AE ⊥平面BCD ，∴以E 为坐标原点，EC 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),B D C A -， 设()000,,P x y z，∵3,(1,0,4AP AC AC ==，(000,,AP x y z =-，∴(00033,,(1,0,,0,44x y z ⎛-== ⎝⎭，∴0003,40,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩∴3,0,44P ⎛ ⎝⎭，∴3,1,44BP ⎛= ⎝⎭，又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-， 设()111,,n x y z=是平面ACD 的法向量，则11110,0,00,n DA y n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =，得111,3y z ==，∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭， 设直线BP 与平面ACD 所成角为θ， 则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=7==，∴直线BP 与平面ACD 【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．20．（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21．（1）2212x y +=；（2）3DE k k =. 【解析】【分析】（1）将点1,2P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程中，结合2e =和222a b c =+可得答案； （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-，联立直线AD 、BE 与椭圆的方程消元，然后用00,x y 表示出点D E ，的坐标，然后可得答案.【详解】（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得221112a b +=，a =， 又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-， 代入C ：2212x y +=，得()()22220000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为220012x y +=，代入化简得()()22000023210x y x y y y +-+-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023y y y x -=+，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-，· 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-， 所以00001200012002323232323y y x x y y =x y y y y x x -++-++=----+-+ 所以12120012120011DE y y y y k x x x x y y y y --==+---()120120121200001211y y x y y x y y y y y y y y y y -==++-++⋅- 000000133213y k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，考查了学生的计算能力和分析转化能力，属于较难题.22．(1)43111117a a -=-- ,23111113a a -=-- ;（2）72-；(3)见解析．【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出201814a a -构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过21n n n a a a +=-，利用累加法求出11n n s a a +=-，通过两边同除1n n a a +可得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈，累加求1n a +的范围，从而得出结论. 试题解析：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以()211n n n a a a +-=--，当n=2,3,4,时，代入可求得2343111111,113117a a a a -=-=----； （2）由条件可得：111111n n n a a a +=---， ∴ 1220171201811111211a a a a a +++=-=-- 解得12018112111322232a a a a -==+⨯-- ∴ 20181111111742(32)626223222a a a a -=+⨯+--≥+-=-- 当且仅当154a =时取等号. （3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-①又由21n n n a a a +=-得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈ 累加得：11112n n n a a +≤-≤， 所以 1112(1)2n a n n +≤≤++② 由①②得()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.。
镇海中学高三数学试题及答案2024
镇海中学高三数学试题及答案2024一、选择题1. 下列和式中，正确的是：a)$2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$b)$- \\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$c)$2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$d)$-2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$答案：a) $2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$2. 已知等腰三角形底边的长为6cm，顶角的大小为$60^\\circ$，则该等腰三角形的周长为：a)$6\\sqrt{3}$ cmb)$12\\sqrt{3}$ cmc)$9\\sqrt{3}$ cmd)$18\\sqrt{3}$ cm答案：b) $12\\sqrt{3}$ cm二、填空题1.共有5个白球和3个红球，现从中随机取出3个球，则其中至少有1个红球的概率为 \\\\\_。
答案：0.8752.方程2x2−5x−3=0的实数根之和为 \\\\\_。
答案：2.5三、解答题1.求函数y=2x2−4x+3的顶点坐标。
解：首先，函数y=2x2−4x+3是一个抛物线，求顶点坐标即求抛物线的最低点或最高点，即y的最小值或最大值。
抛物线的顶点坐标为$(\\frac{-b}{2a}, c - \\frac{b^2}{4a})$。
代入a=2,b=−4,c=3可得：顶点横坐标$x=\\frac{-(-4)}{2 \\cdot 2} = 1$顶点纵坐标$y=2 \\cdot 1^2 - 4 \\cdot 1 + 3 = 1$所以，函数y=2x2−4x+3的顶点坐标为(1,1)。
2.若一边长为a的正方体的体对角线长为$\\sqrt{20}$，求该正方体的边长。
解：已知体对角线长为$\\sqrt{20}$，根据勾股定理，设正方体的一边长为a，则有a2+a2=20。
(精选3份合集)2020届浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷
D．[Co(NH3)6]Cl3中Co的化合价是+3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
A．质量数为32，中子数为27的钴原子，应该表示为： ，A错误；
B．H2O2为共价化合物，原子间形成共用电子对，没有电子的得失，B错误；
C．NH3存在氮氢共价键，NH4Cl存在铵根离子和氯离子间的离子键，氮氢原子间的共价键，C错误；
1.任何两个直接相连的原子在同一直线上。
2.任何满足炔烃结构的分子，其所有4个原子在同一直线上。
3.苯环对位上的2个碳原子及与之相连的2个氢原子共4个原子一定在一条直线上。
4.典型所有的原子一定共平面的有：CH2=CH2、CH CH、苯；可能共平面的有：CH2=CH—CH=CH2、 。
5.只要出现CH4、—CH3或—CX3等，即只要出现饱和碳原子，所有原子肯定不能都在同一平面上。
B．种出的钻石的结构、性能与金刚石无异，则种出的钻石和金刚石的晶体类型相同，均为原子晶体，故B正确；
C．甲烷是最简单的有机物，1个分子中只含有4个C-H键，并且符合烷烃通式为CnH2n+2，即甲烷是最简单的烷烃，故C正确；
D．甲烷分子式为CH4，具有可燃性，是可燃性气体，故D正确；
故选：A。
7．下列指定反应的离子方程式正确的是（）
C．273K、101kPa下，22.4L由NO和O2组成的混合气体中所含分子总数为NA
D．100g34%双氧水中含有H－O键的数目为2NA
【答案】B
【解析aOH溶液中发生反应：Cl2+2NaOH=NaCl+NaClO+H2O，这是一个歧化反应，每消耗0.1molCl2转移电子数为0.1mol，A项错误；
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试卷及解析
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则M N ⋃=（ ） A. {}1,2,3,4 B. {}3,4 C. {}1,4 D. {}2,3【答案】A 【解析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{1,2,3,4}M N ．故选：A ．2.已知复数z 满足()1210z i +-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.12B. 12-C. 12iD. 12i -【答案】B 【解析】由复数的综合运算求出z 后可得其虚部． 【详解】由题意210i iz +-=，21(1)112222i i i z i i i --===--，其虚部为12-．故选：B ．3. 在△ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题解析：必要性在△ABC 中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A ＜B ，若B 不是钝角，显然有“sinA＜sinB”成立，若B 是钝角，因为A+B ＜π，故有A ＜π-B ＜2π，故有sinA ＜sin （π-B ）=sinB综上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”： 充分性：由“s inA ＜sinB”若B 是钝角，在△ABC 中，显然有0＜A ＜B ＜π，可得，“cosA＞cosB”若B 不是钝角，显然有0＜A ＜B ＜2π，此时也有cosA ＞cosB综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立 故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件4.若0a >，0b >，且11a b +=，则22a b +的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D.【答案】C 【解析】已知等式应用基本不等式得到ab 的最小值，然后再在待求式应用基本不等式可得结论．【详解】∵0,0a b >>，∴11a b +=2ab ≥，当且仅当a b =，即a b ==等号成立，∴2224a b ab +≥≥，当且仅当a b =时等号成立， 综上22a b +的最小值是4． 故选：C ．5.设m ，n 是两条异面直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 B. 过m 且与n 平行的平面有且只有一个C. 过空间一点P 与m ，n 都平行的平面有且只有一个D. 过空间一点P 与m ，n 都垂直的平面有且只有一个 【答案】B 【解析】根据异面直线的概念、线面平行的判定、线面垂直的性质逐项判断.【详解】A 选项，设过m 的平面为β，若n β⊥，则n m ⊥，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故不正确；B 选项，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，则m 与l 确定一平面α，由l α⊂，n α⊄，故//n α，正确；C 选项，当点P 在m 或n 上，满足条件的平面不存在，故错误；D 选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，则//m n ，与m ，n 是两条异面直线矛盾，错误. 故选：B6.已知数列{}n a 满足11a =，24a =，且11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈，则n a n 的最大值为（ ）A. 4924B. 1C. 2D. 53【答案】C 【解析】首先根据题意和递推公式，可知()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈,，由此即可证明数列{}n na 是以1为首项，7为公差的等差数列，求出76n na n =-，进而求出276,*n a n nn N n =-∈，再根据二次函数的性质和数列的特点，即可求出最值. 【详解】因为11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈， 所以()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈, 所以数列{}n na 是等差数列，又11a =，24a =，所以数列{}n na 是以1为首项，212721a a -=-为公差的等差数列， 所以76n na n =-，所以22276761749=6+,*1224n n n N n n n a n n -⎛⎫==---∈ ⎪⎝⎭， 所以当2n =时，n a n 取最大值，最大值为76224-=. 故选：C.7.一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成4部分，若n 条直线把平面分成最多()f n 部分，则1n +直线把平面分成最多()1f n +为（ ） A. ()2f n n +- B. ()1f n n +- C. ()f n n + D. ()1f n n ++【答案】D 【解析】只要考虑第1n +条直线与前n 条直线的交点个数即可得．【详解】第1n +条直线与前n 条直线的交点个数最多是n ，这n 个交点把第1n +条直线分成1n +个部分（有两条射线，其余都是线段），每个部分把它所在原来的区域分成两部分，因此共多了1n +个部分，即(1)()1f n f n n +=++． 故选：D ．8.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱上有一点P ，满足1||||PB PD +=有（ ） A. 6个 B. 9个 C. 12个 D. 18个【答案】A 【解析】P 应是椭圆体与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 的中点满足条件，由此能求出结果．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1BD ∴=1||||PB PD +=∴点P 是以2c =为焦距，以2a =为长半轴，以2为短半轴的椭圆体，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 上的中点．故选：A.9.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ） A. 151+15 C.1415 【答案】A 【解析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2c e a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a a '''''=++--+-=+， ∴2212358e e +=， ∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为14+．故选：A ．10.若实数a ，b 满足22ln(2)l 422n a b a b +≥+-，则（ ）A. 14a b +=B. 124a b -= C. 23a b +> D. 241a b -<【答案】A 【解析】由题得2ln 220a b -≥，构造函数()ln 2(0)g x x x =->，求出函数()g x 最大值即得解.【详解】由题得2222+84+84ln ln ln(2),2222b b a a b a a b -≥∴≥≥-+，所以2ln 220a b -≥ 当且仅当28a b =时取等.令()ln 2(0)g x x x =->，则()0g x ≥，所以11()g x x x '==， 所以函数在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=， 所以()0g x =，所以221a b =， 又28a b =，所以1,24b a ==.所以124a b +=+.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11.281(1)()x x x x -++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________．【答案】 (1). 256 (2). 126 【解析】令1x =，即可得出展开式的各项系数和，由二项式的展开式的通项，即可得出常数项.【详解】令1x =，则281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为()288111(11)2256-++==81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()818288r r r r rC x x C x ---= 令820r -=，解得4r =，此时0x 的系数为488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯令821r -=-，解得92r =，由于[]0,8r ∈且r Z ∈，则92r =不成立令822r -=-，解得=5r ，此时2x -的系数为58876545654321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯所以281(1)()x x x x -++的展开式的常数项为170156126⨯+⨯=故答案为：256；12612.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．【答案】 (1).643(2). 32162+【解析】根据三视图还原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式可求得该几何体的体积，四个直角三角形面积与一个正方形面积和为此几何体的表面积.【详解】该几何体为图中四棱锥B CDEF -，其中底面EFCD 是边长为4的正方形，4BE =，所以该几何体的体积为164444=33⨯⨯⨯，表面积为11442442423216222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故答案为：643；32162+13.已知点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线:2p x =-的垂线，垂足为B ，则p =__________，BAF ∠的平分线所在的直线方程为__________ 【答案】 (1). 2 (2). 240x y -+= 【解析】代入A 点坐标可求得p ，BAF ∠的平分线据直线即为直线AF 的倾斜角的平分线所在直线，由此易得其斜率．【详解】∵点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，∴2424p =⨯，∴2p =，则(1,0)F ，44413AF k ==-， 设直线AF 的倾斜角为θ，则22tan42tan 31tan 2θθθ==-，解得1tan 22θ=（tan 22θ=-舍去）， 因为AB l ⊥，所以//AB x 轴，所以AF 的倾斜角的平分线所在直线即为BAF ∠的平分线所在的直线，所以其方程为14(4)2y x -=-，即240x y -+=．故答案为：2；240x y -+=．14.某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）【答案】 (1). 720 (2). 288【解析】根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空；分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.【详解】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有66720A=种不同的排法当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A=⨯=种不同的排法当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A=⨯=种不同的排法则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有722364288⨯+⨯=种不同的排法故答案为：720；28815.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________．【答案】2平方厘米【解析】利用扇形的弧长公式以及面积公式求解即可.【详解】设扇形的半径为r 厘米，弧长为l 厘米1l r r ∴=⨯=（厘米）扇形的周长是6厘米2236r l r r r ∴+=+==（厘米），即2r（厘米）1122222S lr ∴==⨯⨯=（平方厘米）故答案为：2平方厘米16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与正方体的各条棱相切，P 为球O 上一点，Q 是1AB C 的外接圆上的一点，则线段PQ 长的取值范围是__________．【答案】2222-+⎣⎦【解析】先求出与正方体的各条棱都相切的球半径22r 和正方体的外接球半径R ，在根据题意即可求解.【详解】解：设与正方体的各条棱都相切的球的球心为O ，其半径2r，正方体的外接球的球心为'O ，则1AB C 的外接圆为正方体的外接球的一个小圆，且正方体的外接球半径R ，又因为点P 在与正方体的各条棱都相切的球面上运动，点Q 在1AB C 的外接圆上运动，所以线段PQ 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各条棱都相切的球的半径，线段PQ 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各条棱都相切的球的半径，由此可得线段PQ 的取值范围是2222-+⎣⎦.故答案为：22⎣⎦17.设O 为ABC 的外心，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，且032OA BC OB CAOC AB ⋅⋅++⋅=，则cos B 的最小值为_________________．【答案】【解析】先证明221=)2BC OA c b -（，221()2OB CA a c -=，221()2OC AB b a =-，再利用余弦定理和基本不等式即得解.【详解】由平面向量数量积的定义可知，211||||cos ||||||22AB AO AB AO BAO AB AB AB =∠==， 同理可得，21||2AC AO AC =，∴221()(||||2)BC AO AC AB AO AC AB =-=-，所以22221(||||1)=)22BC AB AC OA c b -=-（， 同理：22221(||12|)()|2BCOB CA BA a c =-=-，22221(||1)()||22OC AB CA CB b a -==-.由题得2360OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅=，所以2222223()3()02c b a c b a -+-+-=，所以2223144b ac =+，由余弦定理得222221344cos 22a ca cb B ac ac ++-==≥=. 当且仅当a =时取等. 所以cos B . 故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）．（Ⅰ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（Ⅱ）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X的分布列和数学期望()E X．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，期望为32．【解析】（1）用列举法写出所有基本事件，确定所求概率事件所含有的基本事件，计数后可得概率．（2）X的可能值1，2，3，分别计算概率得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】（1）连续取两次，求取出的两球上标号可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10个，其中都是奇数或都是偶数的有13,15,35,24共4个，所求概率为42105P==；（2）由题意X的所有可能值是1,2,3，13153(1)5CP XC===，233(2)5410P X⨯===⨯，2231(3)54310AP X⨯===⨯⨯，所以X的分布为X 1 2 3P353101103313()123510102E X=⨯+⨯+⨯=．19.如图，22AB BE BC AD====，且AB BE⊥，60DAB∠=︒，//AD BC，（1）若BE AD⊥，求证：面ADE⊥面BDE;（2）若CE =AD 与平面DCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析，（1【解析】（1）由2,60AB AD DAB =∠=︒，可得AD DB ⊥，结合BE AD ⊥可得AD ⊥平面BDE ，再利用面面垂直的判定可证明；（2）由余弦定理求出AC =B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值． 【详解】解：证明：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ，所以BD ==， 所以222AD BD AB +=，所以AD DB ⊥， 因为BE AD ⊥，BE BD B ⋂=, 所以 AD ⊥平面BDE ， 因为AD ⊂平面ADE ， 所以面ADE ⊥面BDE ;（2）解：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ，所以AC ==以B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)B A E , 设(,,)(0)C x y z z >，因为2AC CE BC ===,所以222222222(2)12(2)64x y z x y z x y z ⎧-++=⎪+-+=⎨⎪++=⎩，解得11,,22x y z =-==，所以11,,22C ⎛- ⎝⎭，因为2BC AD =,//AD BC ,所以11111(,,)224AD BC ==-，15111(,,)2244DC DA AB BC AB BC =++=+=-,311(1,,)22CE =-，设平面DCE 的法向量为(,,)n a b c =，则51110244311022n DC a b c n CE a b c ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，令1c =，则1111(,,1)84n =，设直线AD 与平面DCE 所成角为α，因为//AD BC ，所以直线BC 与平面DCE 所成角为α， 所以211sin 119n BC n BCα⋅==， 所以直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值为21111920.已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析． 【解析】（1）用累乘法求得通项n a ；（2）求出23,b b 满足不等式，从43b b -开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．【详解】（1）由题意11n n a n a n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合． 所以n a n =（*n N ∈）； （2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．21.已知椭圆22221x y a b +=()1,1P 是椭圆上一点，直线13y x m =+与椭圆交于A ，B 两点（B 在A 的右侧且不同于P 点） （Ⅰ）求椭圆方程;（Ⅱ）若直线PA 的斜率为1，求直线PB 的斜率; （Ⅲ）求||||PA PB 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）223144x y +=（Ⅱ）12-（Ⅲ）(1,)+∞ 【解析】（Ⅰ）根据椭圆的性质，列出方程，求解即可；（Ⅱ）求出点A 的坐标，确定直线AB 的方程，再得出点B 的坐标，由斜率公式，即可得出直线PB 的斜率;（Ⅲ）联立直线AB 与椭圆方程，结合韦达定理得0PA PB k k +=，进而得出121||||1x PA PB x -=-，由判别式大于0确定m 的范围，讨论m 的值，确定2x 的值，由2212123x x x x ++=，得出||||PA PB 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由题意可知22222111c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得242,,3a b c ===所以椭圆方程为223144x y +=（Ⅱ）直线:PA y x =，联立椭圆方程得2234x x +=，解得1x =（舍）或1x =-，即(1,1)A --113m -=-+，23m ∴=-，12:33AB y x ∴=-联立直线AB 与椭圆方程得出220x x --=，解得1x =-或2x =，即(2,0)B 所以011212PB k -==-- （Ⅲ）先证0PA PB k k +=，设()()1122,,,A x y B x y 直线AB 与椭圆联立得22469120x mx m ++-=所以21212394,212m x x m x x -+=-=①()()()()122112121211111111331111PA PBx m x x m x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=---- ()()()121212242(1)3311x x m x x m x x ⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭=-- ()()212343332(1)232011m m m m x x --⎛⎫--+⋅- ⎪⎝⎭==--所以121||||1x PA PB x -=- 又因为直线AB 椭圆有两异于P的交点，所以21081920113m m ⎧∆=-+>⎪⎨≠+⎪⎩解得4233m -<<或2433m <<当4233m -<<时，212x <≤，由①得12,x x 满足2212123x x x x ++=②记121||||1x PA k PB x -==-，则121x k kx =+-，代入② 得()222221(12)(1)220k k x k k x k k -++-+++-=，所以222221k k x k k +-=-+所以2222121k k k k +-<≤-+，解得1k >当2433m <<时，211x -<<，此时记121||||1x PA t PB x -==-，则121x t tx =-+ 代入②得()222221(12)(1)220t t x t t x t t ++++-+--=，所以222221t t x t t --=++所以2222111t t t t ---<<++，解得1t > 故||(1,)||PA PB ∈+∞ 22.已知函数2l ()n 2n l f x x a ax a a =-+； （Ⅰ）求证：2()3f x a ≤-；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得只有唯一的正整数a ，对于(0,)x ∈+∞恒有：()f x ea k ≤+，若存在，请求出k 的范围以及正整数a 的值;若不存在请说明理由．（下表的近似值供参考）【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a = 【解析】（Ⅰ）利用导数证明函数()f x 的单调性求出最值，所证不等式转化为ln 1a a ≤-，再次利用导数证明函数()1ln h a a a =--的单调性及最值，由()()1ln 1h a a a h =--≥即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求不等式等价于(1)ln 2k a a ea ≥+--，利用导数证明函数()(1)ln 2g a a a ea =+--的单调性，再推出(3)(5)(4)g g g >>即可求得k 的范围及a 的值.【详解】（Ⅰ）111(),()0()0f x x f x x f x x a a'''==<>><，，， 所以()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以()()11ln 2f x f a a a ⎛⎫≤=+- ⎪⎝⎭，下面证明：()21ln 23a a a +-≤-，等价于证明：ln 1a a ≤-，设()1ln h a a a =--，则()11h a a'=-，令()0h a '=，解得1a =， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当()1,a ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增， 所以()()1ln 10h a a a h =--≥=，则ln 1a a ≤-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()max 1ln 2f x a a =+-，所以不等式(1)ln 2a a ea k +-≤+只有唯一的正整数解，即(1)ln 2k a a ea ≥+--， 设()(1)ln 2g a a a ea =+--，1()ln a g a a e a+'=+-， 10,(1)20g g e e ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又22111()a g a a a a -''=-=，所以()g a '在0,1上单调递减，在1,上单调递增，结合()()4050g g ''<>，知存在0(4,5)a ∈满足()00g a '=，所以()g a 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在01,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,a +∞上单调递增，(3)4ln 332g e =--，(4)5ln 442g e =--，(5)6ln 552g e =--，因为(3)(5)(4)g g g >>，所以[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a =.。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,2,1,0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1,0}B. {2,1,0}C. {3,2,1}D. {2,1}2. 已知函数f(x)=axsinx +xcosx(a ∈R)为奇函数，则f(−π3)=( )A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π63. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0且目标函数z =2x +y 的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca = ( )A. 2B. 1C. −1D. −24. 如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. 32B. 3C. 23D. 435. 函数f(x)=xx 2+1的图象大致是( )．A.B.C.D.6. 将函数f (x )=cos (4x −π3)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图像，则g(x)的最小正周期是( )A. π2 B. π C. 2π D. 4π7. 在△ABC 中，已知|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. −2C. 2√3D. −2√38. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，P 是第一象限C 上的点，Q 为第二象限C 上的点，O 是坐标原点，若OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. [2,2√3)D. (√3,2)9. 函数f(x)=e x sin x 在区间[0,π2]上的值域为( )A. [0,e π2]B. (0,e π2) C. [0,e π2) D. (0,e π2] 10. 设数列{a n }的通项公式为a n =2n −7(n ∈N ∗)则|a 1|+|a 2|+⋯+|a 7|=( )A. 7B. 0C. 18D. 25二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11. 已知复数z 满足(1+2i )z =3−4i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |=________． 12. 已知随机变量X 的分布列如表：若EX =2，则a =_____．13. 已知ab >0 , a +b =5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．14. 若(2x +1x )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______．15. 已知椭圆C ：x 216+y 2b 2=1(4>b >0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，若P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2面积为______16. 2019年国际篮联篮球世界杯于8月31日到9月15日在8个城市的场馆举行，甲、乙、丙、丁四位同事拟购票去看比赛，该比赛的某购票点为他们提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，甲、乙、丙、丁购票后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．17.在四面体P−ABC中，若PA=3，PB=4，PC=5，底面△ABC是边长为2√3的正三角形，O为△ABC的中心，则∠PAO的余弦值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，C−A=π2，sinB=13．(1)求sin A的值；(2)设AC=√6，求△ABC的面积．19.如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，∠BAD=∠CDA=90∘,AB=AD=DE=12CD，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．(1)证明：BE//平面MAC；(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．20.已知数列{a n}为等差数列，a2=5，a6=13，{b n}为等比数列，b2=a4，b n+1=3b n．(1)求通项公式a n，b n；(2)求{a n⋅b n}前n项和S n．21.在平面直角坐标系xOy中，P(x0,y0)(y0≠0)是椭圆C：x22λ2+y2λ2=1(λ>0)上的点，过点P的直线l的方程为x0x2λ2+y0yλ2=1．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)当λ=1时，设直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，求△OAB面积的最小值；(Ⅲ)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．22.已知函数f(x)=(ax+1)lnx−x2+1．(1)令g(x)=f′(x)，判断g(x)的单调性；(2)当x>1时，f(x)<0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集运算，根据集合A，B，得到其交集，属于基础题．【解答】解：由题意可得：A∩B={0,1}．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦、余弦函数，函数的奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性可求出a的值，进而可得答案．【解答】解：因为f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，所以，即，所以a=0，所以，所以．故选A．3.答案：D解析：【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．【解答】解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A(1,−1)，B(3,1)，∴直线AB的方程是：x−y−2=0，∴则a+b+ca=−2．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图以及三棱锥的体积公式，属于基础题.如图所示：三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求得其值．【解答】解：如图所示：正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为3，M，N分别为AB，DD1的三等分点，且BM=D1N=1.三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，V=13×(12×1×3)×3=32，故选A．5.答案：A解析：【分析】本题考查由解析式选择函数的图象，解题关键是研究函数的性质，如单调性、奇偶性等，研究图象的特殊点，函数的值正负及变化趋势．【解答】解：由f(x)=xx2+1，当x >0时，f(x)>0，x <0时，f(x)<0，只有A 符合． 故选A ．6.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数图像的伸缩变换． 【解答】解：由题意得g (x )=cos (12×4x −π3)=cos (2x −π3)，∴T =2π2=π．故选B ．7.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题8.答案：B解析： 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及双曲线的性质． 【解答】解：由已知F (c,0),P (x 1,y 1)，因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的平行四边形法则，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0F ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q (−x 1,y 1) 所以(2x 1,0)=(c,0)，2x 1=c,x 1=c2，因为P 是第一象限C 上的点，所以x 1>a, 即c2>a,所以e =ca >2． 故选B ．9.答案：A解析：【分析】利用导数判断函数f(x)在[0,π2]上是增函数，由此能求出函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域．【解答】解：∵f(x)=e x sinx，∴f′(x)=e x(sinx+cosx)，∵x∈[0,π2]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[0,π2]上是增函数，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(π2)=eπ2．∴函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域为[0,eπ2].故选A．10.答案：D解析：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)，∴由a n=2n−7≥0，得n≥72，∴|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7=−(2×1−7)−(2×2−7)−(2×3−7)+2×4−7+2×5−7+2×6−7+2×7−7=25．故选：D．|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7，由此能求出结果．本题考查数列的前7项的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式的合理运用．11.答案：−2；√5解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．【解答】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−2i，∴z的虚部是−2，|z|=√5．故答案为−2；√5．12.答案：0解析：【分析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．【解答】解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，故答案为0．13.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=1(3+2(b+1)+a+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．14.答案：1120 解析：【分析】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．由已知求得n值，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴(2x+1x )n=(2x+1x)8，其展开式的通项T r+1=C8r⋅(2x)8−r⋅(1x)r=28−r⋅C8r⋅x8−2r，令8−2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为T5=24⋅C84=1120．故答案为1120．15.答案：4解析：【分析】本题考查了椭圆的定义、勾股定理、三角形的面积计算公式，属于中档题．先根据离心率求出b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n.在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2，利用椭圆的定义可得m+n=2a，联立解得mn即可．【解答】解：椭圆C：x216+y2b2=1(4>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，∴e2=c2a2=1−b2a2=1−b216=(√32)2，∴b2=4，∴c=2√3，∴|F1F2|=2c=4√3，设|PF1|=m，|PF2|=n．在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2=48，又|PF1|+|PF2|=2a，∴m+n=8．则mn=(m+n)2−(m2+n2)2=8．∴△F1PF2的面积S=12mn=4．故答案为：4．16.答案：26解析：【分析】本题主要考查分类计数原理，考查排列与组合的应用，属于中档题．根据题意结账方式可分为三3类：第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，再根据分类计数原理相加即可得结果．【解答】解：甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，可分为三3类，第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择： ①当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式，第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择： ①当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式．第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，根据分类计数原理可得共有7+7+12=26(种)结账方式．17.答案：136解析：【分析】本题考查了空间线线角的计算，重点考查了余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：如图：在△ABC中，连接AO并延长交BC于D，∵O为△ABC的中心，∴AD为BC边上的中线，又AB=BC=AC=2√3，∴AD=3．在△PBC中，∵PB=4，PC=5，BC=2√3，由余弦定理，在△PDC中，由余弦定理=52+(√3)2−2×5×√3×2120√3=352，在△PAD中，由余弦定理，故答案为136．18.答案：解：(1)因为C−A=π2且C+A=π−B，所以A=π4−B2，所以，即，又sinA>0，所以sinA=√33；(2)由题意可知A为锐角，故，又，∴A>B，则B为锐角，，由正弦定理得ACsinB =BCsinA，所以BC=AC·sinAsinB=3√2，又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×2√23+√63×13=√63，所以．解析： 【分析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是中档题．(1)要求sin A 的值，应该用题目中的已知条件，将A 表示出来，可以得到A =π4−B2，进一步可以求出sin A ；(2)已知AC 的长度，可以根据正弦定理求出BC 的长度，再根据三角形面积公式，即可求得答案．19.答案：解：(1)连接BD ，交AC 于N ，连接MN ，由于AB =12CD ，所以DNNB =2，所以MN//BE ，由于MN ⊂平面MAC ，BE ⊄平面MAC ， 所以BE//平面MAC.(2)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD,CD,DE 两两垂直，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ． 设AB =1则C (0,2,0),M (0,0,23),F (0,2,1),B (1,1,0),A (1,0,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−23),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0).设平面MAC 的法向量n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −23z =0n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，令z =3，得平面MAC 的一个法向量n⃗ =(2,1,3)，而BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设所求角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=√4221， 故直线BF 与平面MAC 所成的角的正弦值为√4221．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． (1)连结BD ，交AC 于N ，连结MN ，推导出MN//BE ，由此能证明BE//平面MAC ；(2)推导出DE ⊥平面ABCD ，从而AD ，CD ，DE 两两垂直，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)∵数列{a n }为等差数列，a 2=5，a 6=13，设公差为d ，∴{a 1+d =5a 1+5d =13， 解得a 1=3，d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1． ∵{b n }为等比数列，b 2=a 4，b n+1=3b n ． ∴b 2=2×4+1=9，q =b n+1b n=3，∴b 1=3，∴b n =3n ． (2)a n ⋅b n =(2n +1)·3n ，S n =3·3+5·32+7·33+⋯+3n ·(2n +1)①3S n =3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n +1)⋅3n+1，② ①−②，得：−2S n =9+2(32+33+⋯+3n )−(2n +1)·3n+1=9+2×9×(1−3n−1)1−3−(2n +1)·3n+1=3n+1−(2n +1)·3n+1， ∴S n =n ·3n+1．解析：(1)由已知条件利用等差数列的通项公式，求出a 1=3，d =2，从而a n =2n +1.由{b n }为等比数列，结合已知条件求得b n =3n ．(2)由a n ⋅b n =(2n +1)⋅3n ，利用错位相减法能求出{a n ⋅b n }前n 项和S n ．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.答案：(本小题满分14分)解：(Ⅰ)依题a =√2λ，c =√2λ2−λ2=λ， 所以椭圆C 离心率为e =√2λ=√22.…(3分) (Ⅱ)依题意x 0≠0，令y =0，由x 0x 2+y 0y =1，得x =2x 0，则A(2x 0,0)．令x =0，由x 0x 2+y 0y =1，得y =1y 0，则B(0,1y 0)．则△OAB 的面积S △OAB =12|OA||OB|=12|2x 0y 0|=1|x0y 0|．因为P(x 0,y 0)在椭圆C ：x 22+y 2=1上，所以x 022+y 02=1． 所以1=x 022+y 02≥00√2，即|x 0y 0|≤√22，则1|x 0y 0|≥√2．所以S △OAB =12|OA||OB|=1|x0y 0|≥√2．当且仅当x 022=y 02，即x 0=±1,y 0=±√22时，△OAB 面积的最小值为√2. …(8分)(Ⅲ)由y 02λ2=1−x 022λ2>0，解得−√2λ<x 0<√2λ． ①当x 0=0时，P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，此时k F 2P =−1，k F 2Q =−1． 因为k F 2Q =k F 2P ，所以三点Q ，P ，F 2共线． 当P(0,−λ)时，也满足．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，得：x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=0．设直线F 1Q 的斜率为k ，则k =nm+λ=2y 0x 0，所以2y 0m −x 0n +2y 0λ=0.由{x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=02y 0m −x 0n +2y 0λ=0，解得m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，n =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02．所以Q(2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ,4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02)．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，把x 0=λ，y 02=λ22代入m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，得m =λ，则P ，Q ，F 2三点共线．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标不相等时，直线F 2P 的斜率为k F 2P =yx 0−λ．由−√2λ≤x 0≤√2λ，x 0≠−2λ． 所以直线F 2Q 的斜率为k F 2Q =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 022x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−2λ=4x 0y 0λ+8y 0λ22x 02λ+4x 0λ2−8y 02λ−2x 02λ=4x 0y 0λ+8y 0λ24x 0λ2−8y 02λ=x 0y 0+2y 0λx 0λ−2y 02=y 0(x 0+2λ)x 02+λx 0−2λ2=y 0(x 0+2λ)(x 0−λ)(x 0+2λ)=y 0x 0−λ．因为k F 2Q =k F 2P ，所以Q ，P ，F 2三点共线． 综上所述Q ，P ，F 2三点共线．…(14分)解析：(Ⅰ)利用椭圆方程，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率； (Ⅱ)由x 0x 2+y 0y =1，求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，表示三角形的面积，通过P(x 0,y 0)在椭圆C 上，利用基本不等式求解三角形OAB 面积的最小值． (Ⅲ)由x 22λ2+y 2λ2=1，求出−√2λ<x 0<√2λ.①当x 0=0时，求出P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，证明三点Q ，P ，F 2共线．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，求出Q 坐标，通过点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，说明P ，Q ，F 2三点共线．点P 的横坐标与点F2的横坐标不相等时，证明k F2Q =k F2P，说明Q，P，F2三点共线．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)由f(x)=(ax+1)lnx−x2+1，则g(x)=f′(x)=alnx+1x−2x+a，所以g′(x)=−2x2+ax−1x(x>0)．①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；②当a>0时，若a2−8≤0，即0<a≤2√2时，g′(x)≤0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；若a2−8>0，即a>2√2时，由g′(x)=0有两根，得x1=a−√a2−84>0，x2=a+√a2−84>0，∴在x∈(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在x∈(x1,x2)上g′(x)>0，g(x)为增函数；在x∈(x2,+∞)上，g′(x)<0，g(x)为减函数．综上：当a≤2√2时，g(x)为(0,+∞)上的减函数；当a>2√2时，g(x)在(0,x1)和(x2,+∞)为减函数，在(x1,x2)上为增函数；(2)由(1)知，对a讨论如下，①当a≤0时，g′(x)<0，则f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，故f(x)为(1,+∞)上的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即a≤0时满足题意．②当a>0时，由于f′(1)=−1+a，对其讨论如下：(A)若f′(1)=−1+a≤0，即a≤1，则由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，所以f(x)为(1,+∞)的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即0<a≤1时满足题意．(B)若f′(1)=−1+a>0，即a>1，则由(1)知，当1<a≤2√2时，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e a所以存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，因为f(1)=(a+1)ln1−12+1=0，所以f(x)>f(1)=0，即1<a≤2√2时不满足题意．当a>2√2时，由于x1<1，所以对x2与1的大小关系讨论如下，1)如果x2≤1，即2√2<a≤3时，由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e则存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即2√2<a≤3时不满足题意．2)如果x2>1，即a>3，那么由(1)知，f′(x)为(1,x2)上的增函数，则当x∈(1,x2)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x2)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即a>3时不满足题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．。
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绝密★启用前
2020年5月镇海中学高考仿真测试
数学·试题卷
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名。
考场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第Ⅰ卷·选择题部分(共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}22B x x =-≤≤，则()()A
B C A B = A ．()1,2- B ．()2,4- C ．[][]2,12,4-- D ．[)(]2,12,4--
2．椭圆22
1610
x y +=的焦点坐标是 A ．(2,0)± B ．(4,0)± C ．(0,2)± D ．(0,4)±
3．设复数z 的共轭复数为z ，若232i z z +=-+(i 是虚数单位)，则z =
A ．1 B
C
D ．5
4．已知m 是正实数，则“16m ≥”是“圆221x y +=与圆22(4)(3)x y m -++=有公共点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设,x y ∈R 且满足约束条件24240x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩
，则3z x y =-
A ．有最大值16，最小值83
- B ．有最大值16，最小值0 C ．有最大值83，最小值0 D ．有最大值83，最小值43
- 6．若函数()f x 满足()a f x b ≤≤()a b <，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数
中值域跨度不为．．2的是
A ．()cos 21f x x =+ B
．()f x =C ．()1f x x x =-- D ．32()32x x
x x f x -=+ 7．在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩,,,A B C D ，其中D 型口罩仅剩1只(其余3种库存足够)．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有
A ．330种
B ．345种
C ．360种
D ．375种
8．在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点(不包括端点)，记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则
A ．123θθθ<<
B ．213θθθ<<
C ．321θθθ<<
D ．231θθθ<<
9．设,a b ∈R ，已知函数34e e ,(),x x x a f x x x a
⎧-<=⎨≥⎩，()()g x f x b =+，()[()]h x f f x b =+，
记函数()g x 和()h x 的零点个数分别是,M N ，则
A ．若3N =，则2M =
B ．若2M =，则3N =
C ．若2N =，则1M =
D ．若1M =，则2N =
10．已知数列{}n a 满足12a =，2a a =，{}{}
121max ,min ,n n n n n a a a a a +++=*()n ∈N ，给出下列两个命题，则 命题①：对任意()2,a ∈+∞和*n ∈N ，均有n a a ≤
命题②：存在0a >和*m ∈N ，使得当n m ≥时，均有1n n a a +≤
A ．①正确，②正确
B ．①正确，②错误
C ．①错误，②正确
D ．①错误，②错误
注：{}max ,a b 和{}min ,a b 分别表示a 与b 中的较大和较小者．
第Ⅱ卷·非选择题部分(共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)
11．秦九韶是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个k 次多项式写成k 个一次式相组合的形式，如可将5432()421020T n n n n n n =---++写成
()((((1)4)2)10)20T n n n n n n =---++，由此可得(5)T = ▲ ．
12．已知某柱体的三视图如图所示(单位：cm )，则该柱体的
体积是 ▲ 3cm ，表面积是 ▲ 2cm ．
13
．已知二项式12n
x ⎫⎪⎭的展开式中存在常数项52，则正 整数n 的值是 ▲ ，所有项的二项式系数之和是 ▲ ． 14．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，22sin (6)sin 22sin cos ab A ac B b A C +-=，
则ac = ▲ ，若△ABC 的面积1S =，则cos 24B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
▲ ． 15．已知随机变量ξ的分布列如下表，其中[],,0,1a b c ∈．
若,,a b c 依次成等差数列，则()D ξ的最大值为 ▲ ，若,,a b c 依次成等比数列，则()E ξ的最大值为 ▲ ．
16．设1m >-，函数22()321f x x mx m =-++()x m <，若存在4
k θπ≠
+π，使得(sin )(cos )f f θθ=，则m 的取值范围是 ▲ ．
17．已知平面向量,,,a b c d 满足1===a b c ，10-⋅⋅=⋅=>⋅a b a c b c a d ，0⋅=c d ，若平面向量x y =+s a b (,0x y >且1)xy =，则2++-s c s d 的最小值是 ▲ ．
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（本小题满分14分）已知函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． (Ⅰ)若函数()y f x a b =++(,)4
a b π≤∈R 是奇函数，求,a b 的值； (Ⅱ)求函数()y f x =的单调区间．
19．（本小题满分15分）如图，已知多面体EF ABCD -，其底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，2FB FC BC ===，3AB =，G 是CF 的中点． (Ⅰ)证明：BG 平面AEF ；
(Ⅱ)求直线AE 与平面BDEF 所成角的余弦值．
20．（本小题满分15分）已知正项．．
等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11a =，24b =，且2a 既是11a b +和33b a -的等差中项，又是其等比中项． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)记21,21,2n n n n n
n k a a c a b n k +⎧=-⎪=⎨⎪⋅=⎩，其中*k ∈N ，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ． 21．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点与抛物线22:8C y x =的焦点F
重合，其离心率2e =．过F 作两条相互垂直的直线1l 与2l ，且1l 交抛物线2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点C ． (Ⅰ)求OA OB ⋅的值；
(Ⅱ)求△ABC 面积的最小值．
22．（本小题满分15分）已知实数0a ≠，设函数2()ln a f x x x
=-． (Ⅰ)当(]0,1a ∈，1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，证明：()2x f x a a ≥-； (Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，证明：2121212
()()e ()2e 0f x f x x x x x --++>-．。