4.6 多目标规划

40 x1 + 30 x2 + 50 x3 + d1− − d1+ = 3200
目标约束： 具有更大的弹性，允许结果与 所制定的目标值存在正或负的 偏差。
优 化 模 型
40x1 + 30x2 + 50x3 ≥ 3200 x1 − 1.5x2 ≤0 x3 = 30 3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 200 2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 200 4 x1 + 5 x2 + x3 ≤ 360 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 300
max Z = 40 x1 + 30 x2 + 50 x3
s .t .
3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 200 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 ≤ 200 4 x1 + 5 x2 + x3 ≤ 360 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 300
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
产品 设备A 设备B 材料C 材料D
Z = ∑ xi
i =1
9
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
化
W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。
8
选课策略
用0-1变量表示策略选择是常用的方法 • “要选甲 (x1)必选乙 (x2)” 可用x1 ≤ x2描述. • “要选甲 (x1)必不选乙 (x2)” 怎样描述? 双(多)目标规划的处理方法 • 加权组合成一个新目标, 化为单目标规划. • 一个目标作为约束, 解另一个目标的规划.
40x1 + 30x2 + 50x3 ≥ 3200 x1 − 1.5x2 ≤0 x3 = 30 3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 200 2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 200 4 x1 + 5 x2 + x3 ≤ 360 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 300
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
Min {Z , − W }
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
6
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
• 以课程最少为目标，不 管学分多少。 • 以学分最多为目标，不 管课程多少。
优 化 模 型
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 模 型 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
4.6 多目标规划




前面讨论的线性规划、整数规划都只有一个目标函数。 但实际问题中往往需要考虑多个目标，而且在诸多目标中还 有主、次之分，有的相互补充，有的相互对立。 问题是如何处理复杂的甚至互相矛盾的多个目标，即在一定 的约束条件下，要从众多的方案中选择一个或几个较好的方 案，使多个目标都能达到满意的结果。 比如，设计一个新产品的工艺过程，希望产量高、成本低、 质量好、利润大。由于需要同时考虑多个目标，这类问题比 单目标问题要复杂得多。 多目标规划是上个世纪60年代初发展起来的运筹学的一个分 支。
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
化
优
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 优 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 模 型 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
增加约束
∑
9
i =1
x i = 6，
以学分最多为目标求解。 最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。 注意：最优解不唯一！ 可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
7
∗1 ∗ ∗2 ∗ ∗3 ∗ ∗ ∗ ∗
模 型 优 化
产品 设备A 设备B 材料C 材料D 甲 3 2 4 2 乙 1 2 5 3 丙 2 4 1 5 资源 200工时 200工时 360公斤 300公斤
利润(元/件) 40
30 5012Fra bibliotek 例2(1)利润不少于3200元；
(2)产品甲乙的产量比例尽量不超过1.5； (3)丙的产量达到30件； (4)最好不加班； x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 (5)受到资金的限制，只能使用现有材料而不能再购进。 解： 最优解是求下列一组不等式的解。
x3 ≤ x1 , x3 ≤ x 2
2 x3 − x1 − x 2 ≤ 0
x 4 ≤ x7 x4 − x7 ≤ 0
2 x 5 − x1 − x 2 ≤ 0 x6 − x7 ≤ 0
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
优
化
模
型
14
例2
(1)利润不少于3200元；
d 1−
d 1+ d1− × d1+ = 0
利润
3200 解： 引入一对偏差变量： 利润 3200 负偏差变量d1- = 利润不足目标值的差额值 ≥ 0
正偏差变量d1+ = 利润超过目标值的超出值 ≥ 0 当利润< 3200时， d1->0且d1+=0 ，有 40 x1 + 30 x2 + 50 x3 + d1− = 3200 当利润> 3200时， d1+>0且d1-=0 ，有 40 x1 + 30 x2 + 50 x3 − d1+ = 3200 = 3200 当利润= 3200时， d1+=0且d1-=0 ，有 40 x1 + 30 x2 + 50 x3 实际情况只有一种情况发生，因此将 三式合并为一个等式：
40x1 + 30x2 + 50x3 ≥ 3200 x1 − 1.5x2 ≤0 x3 = 30 3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 200 2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 200 4 x1 + 5 x2 + x3 ≤ 360 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 300
¾通过计算不等式无解。但在实际问题中，生产方案总是存 在的，无解只能说明在现有资源条件下，不可能完全满足5 个经营目标。 ¾目标规划是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可能使 得结果达到预定目标，即使不能达到目标，也要使得结果 离目标的差距为最小。这就是目标规划的求解思路。对应 的解称为满意解。
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
优 化 模 型
3
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
− d1+ = 3200
∴ 希望 min d 1− = 0
40 x1 + 30 x2 + 50 x3
≥ 3200
− ⎧ min d ⎪ 1 ∴⎨ − + 40 x 30 x 50 x d d + + + − ⎪ 1 2 3 1 1 = 3200 ⎩
1.引入偏差变量将目 标转化为目标约束； 2.极小化偏差变量实 现目标。
优 化 模 型
x8 − x5 ≤ 0
2 x9 − x1 − x 2 ≤ 0
5
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多
9
Min
Z = ∑ xi
i =1
Max W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
两目标(多目标)规划
甲 3 2 4 2
乙 1 2 5 3
丙 2 4 1 5
资源 200工时 200工时 360公斤 300公斤
X ∗ = (50, 30,10), Z ∗ = 3400
优 化 模 型
利润(元/件) 40
30 50
10
例2 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要 重新制定经营目标，目标的优先顺序如下：
化 模 型
2


优
例1 选课策略
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机 先修课要求
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
15
例2
(1)利润不少于3200元； 目标值(期望值) 目标约束 40x1 + 30x2 + 50x3 ≥ 3200 40 x1 + 30 x2 + 50 x3 + d1− − d1+ = 3200 性能指标 解：