高数第二学期期末考试试卷

课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ．0lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则题 号（型）一 二 三 四 核分人 得 分 总分评卷人(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰210cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设22x y x y z+-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 . 4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数33233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。

4. （本小题满分7分）将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。

5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x D由曲线σ及2-=x 围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域..四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛，证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛。

2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2fx x∂=∂， 证明曲线积分2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有(,1)(1,) (0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰⎰，求),(y x f 的表达式．参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =10(,)yee dyf x y dx ⎰⎰3. →→→-+-k j i 242 4 1(1)!n n n x n +∞=-∑ 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6--7分）1．解：222yx y x z +-=∂∂; (3分) y z∂∂=x y arctan +22yx xy + ( 6分).2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),(1,2)123f l∂=+∂ ( 7分) 4. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ( 2分)因为 ∑∞=+=-011)1(n nn x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅0)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x ，)6,0(∈x ， ( 7分)5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y∂⎧==⎪∂--⎪⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872=-+z z 即81,7z =-。

由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16(0,)7。

( 4分)由224128z x z y ∂=∂--，20z x y ∂=∂∂，224128z y z y ∂=∂--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。

( 5分)在(0,2)-点，1z =，因此 224015z x ∂=>∂，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分)在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-<∂，所以16(0,)7为极大值点，极大值为87z =-， ( 7分)6. 解：记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故σσσd y x d y x d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21)()()(222222 ( 4分) -=-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2321311222ππθdr r d dx y x dy 4π （7分）7. 解：L 所围区域D ：222ay x ≤+,由格林公式，可得⎰-Lxy x y xy d d 22=y x y y x x xy D d d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+Dyx y xd d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ωθθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 012π01( 4分) =⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π=⋅-r θ. (7分) 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞→∞==，（2分）Oxyz11O …………O …………O …………O …………故存在N ，当n N >时，222()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21()nn n uv ∞=+∑收敛。

（8分） 2．证明：因为2fx x∂=∂，且22()xy x y ∂=∂，故曲线积分 2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关．（4分）因此设)(),(2y g x y x f +=，从而(,1)1122 (0,0)2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（5分）(1,)1 (0,0)2(,)0[1()]()t t txydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（6分）由此得 12()t g y dy +⎰()tt g y dy =+⎰对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．（8分）。