江苏省通东中学2015-2016第一阶段高三数学月考试卷
江苏省通东中学2016届高三上学期第一阶段月考数学试题 含解析
一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
设1{1,1,,3}2a ∈-,则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的a 的集合为 。
【答案】{1,3}考点：函数的定义域、函数的奇偶性.2.设集合{|31,}M x x m m Z ==+∈，{|32,}N x x n n Z ==+∈，若a M ∈，b N ∈，则a b - N ；ab N.【答案】a b N -∈，ab N ∈ 【解析】试题分析：∵a M ∈，b N ∈，∴31a m =+,32b n =+，∴3()13(1)2a b m n m n -=--=--+,∵1m n Z --∈,∴a b N -∈,而(31)(32)(963)23(32)2ab m n mn m n mn m n =++=+++=+++，∵32mn m n Z++∈，∴ab N ∈。
考点:元素与集合关系的判断。
3。
a ，b 为实数,集合{,1}b M a=，{,0}N a =，:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x,则a b += . 【答案】1 【解析】试题分析:∵:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，∴10a b a=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩，∴1a b +=. 考点：映射的概念。
4。
定义在R 上的函数()f x 满足 ()(2)f x f x -=-+，当1x >时，()f x 单调递增,如果122x x+>且12(1)(1)0x x --<,则 12()()f x f x +与0的大小关系是 . 【答案】12()()0f x f x +>【解析】试题分析：∵()(2)f x f x -=-+,∴函数()f x 的图象关于(1,0)对称，∵当1x >时，()f x 单调递增，∴函数()f x 在R 上单调递增且(1)0f =，∵122x x+>，∴12(1)(1)0x x -+->，∵12(1)(1)0x x --<，∴不妨设12xx <，则11x <，21x >，且21|1||1|x x ->-，由函数的对称性，∴12()()0f x f x +>.考点：函数的单调性.5。
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次月考数学试卷
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．(★★★★)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1 ．2．(★★★★)抛物线y=4x 2的焦点坐标是．3．(★★★)若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．4．(★★★★)椭圆+y 2=1的离心率是．5．(★★★★)双曲线-y 2=1的渐近线方程为．6．(★★★★)抛物线y 2=8x的焦点到准线的距离是 4 ．7．(★★★)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为．8．(★★★★)已知l，m表示两条不同的直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．9．(★★★)过点M（1，1）且与椭圆+ =1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为 x+4y-5=0 ．10．(★★★★)椭圆+ =1的离心率为，则k= - 或21 ．11．(★★★)若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．12．(★★★★)已知动圆圆心在抛物线y 2=4x上，且动圆恒与直线x=-1相切，则此动圆必过定点（1，0）．13．(★★)设F是椭圆+ =1的右焦点，点，M是椭圆上一动点，则当取最小值时，M点坐标为（，1）．14．(★★)在抛物线y 2=4x上有两动点A，B，满足AB=3，则线段AB中点M的横坐标的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)已知p：|1- |≤2；q：x 2-2x+1-m 2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．(★★★★)设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lgax 2+（a-2）x+ 的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．(★★★)已知过抛物线y 2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x 1，y 1）和B（x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．(★★★)已知数列{a n}满足a n+a n+1=2n+1（n∈N *），求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是a 1=1．19．(★★★)已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M ，N；求（1）离心率e；（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a 及P坐标，若不存在，说明理由．20．(★★)已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S 1，S 2，求的最大值．。
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析
江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。
2015-2016学年江苏省泰州中学高三(上)第一次月考数学试卷
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{-1，0，1}【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}，∴C u A={x|x＜2}，又B={-1，0，1，2，3}，则（C u A）∩B={-1，0，1}．故答案为：{-1，0，1}由全集U=R，以及A，找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2.已知幂函数f（x）的图象过，，则f（4）= ______ ．【答案】【解析】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，，∴，解得a=-，∴，故f（4）==．故答案为：．设幂函数f（x）=x a，由幂函数f（x）的图象过，，知，解得a=-，由此能求出f（4）．本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知log a2+log a3=2，则实数a= ______ ．【答案】【解析】解：∵log a2+log a3=2，∴log a6=2，∴a2=6，a＞0，且a≠1，解得a=．故答案为：．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．4.函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为______ ．【答案】（- ，）【解析】解：由2x2-3＞0，得x＜或x＞．∵内函数t=2x2-3在（- ，）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为（- ，）．故答案为：（- ，）．由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．5.若函数f（x）=是奇函数，那么实数a= ______ ．【答案】1【解析】解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）==0，解得a=1．故答案为：1．利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0解决问题．本题考查奇函数定义中的特殊值．6.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为______ ．【答案】-e【解析】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），整理得y=（lnx0+1）x-x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=-e．故答案为：-e设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．7.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为______ ．【答案】y=-2cos4x【解析】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）=-2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=-2cos4x的图象，故答案为：y=-2cos4x．由条件利用诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的______ 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．【答案】充要【解析】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b⇔α＞β成立，由正弦定理=得α＞β⇔sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．9.已知函数f（x）=x2-2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是______ ．【答案】1≤a≤2【解析】解：∵函数f（x）=x2-2x+3是开口向上的抛物线，对称轴x=1当x=1时函数取得最小值f（1）=1-2+3=2∵y=x2-2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1当x=0时y=3函数y=x2-2x+3在（1，+ ）上是增函数，当x=2时y=4-4+3=3，当x＞2时y＞3∵函数y=x2-2x+3在[0，a]上最大值为3∴a≤2综上所述1≤a≤2．故答案为：1≤a≤2先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时y=3，根据对称性可知当x=2时y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．10.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是______ ．【答案】（- ，-）【解析】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故＜＜，即＜＜，解得：m∈（- ，-），故答案为：（- ，-）若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得＜＜，进而可得m的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．11.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（2，2+）【解析】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=2+有两个解．故所求的k的取值范围为（2，2+），故答案为（2，2+）．由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f （x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f （）+f（）的值为______ ．【答案】-8058【解析】解：在f（x）=x+sinπx-3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）-6=2+sin（x1π）+sin（2π-x1π）-6=-4，∴f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（-4）+f（）=-8056+（1+sinπ-3）=-8058．故答案为：-8058．由已知得f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．13.已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为______ ．【答案】，【解析】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x-2），则，化为，解得．∴的取值范围为，．故答案为：，．实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（-），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为______ ．【答案】-【解析】解：因为f（a）=f（-），所以|lg（a+1）|=|lg（-+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1．从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg[6（b+2）+]=4lg2，故6（b+2）+=16．解得b=-或b=-1（舍去）．把b=-代入（a+1）（b+2）=1解得a=-．所以a=-，b=-．a+b=-．故答案为：-．根据题目给出的等式f（a）=f（-），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知0＜＜＜β＜π，且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．【答案】解：（1）把tan=代入tanα=，求得tanα==，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得sinα=，cosα=．（2）由0＜＜＜β＜π，可得＜α+β＜，再根据sin（α+β）=，可得α+β∈（，π），∴cos（α+β）=-，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-（-）×=．【解析】（1）由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得cosα的值．（2）由条件同角三角函数的基本关系求得cos（α+β），再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）-α]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．16.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sin B=2sin A，求a，b的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．=sin2x--=sin（2x-）-1∴T==π∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1∵0＜C＜π，∴C=∵sin B=2sin A，∴由正弦定理可得b=2a①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3②由①②可得a=1，b=2．【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润，，（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率第个月的利润第个月前的资金总和，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【答案】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率，，；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵＞，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【解析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入第个月的利润第个月前的资金总和即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式＞，＞，且时取““可得，解答如下：本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．18.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．【答案】解：（1）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为，令，＞，＜，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=，，＜＜，，令，，，，则a=-3，a=-2，a=2.，， ， ， ．①当a＜-3时，＜，＞．则h（x）max=max{h（-1），h（1）}=h（1）=0．①-3≤a≤-2时，＜＜，＜＜．则h（x）max=max{h（-2），h（1），h（2）}，因为h（-2）=3a+3＜0，h（1）=0，h（2）=3+a≥0，所以h（x）max=h（2）=3+a．③当-2＜a＜2时，＜＜，＜＜．则， ， ，因为， ＜ ．若-2＜a＜0，h（-2）=3a+3＜h（2）=3+a．所以h（x）max=h（2）=3+a．若0≤a＜2，h（-2）=3a+3＞h（2）=3+a．所以h（x）max=h（-2）=3a+3．④当a≥2时，，．则h（x）max=max{h（-2），h（-1），h（2）}=h（-2）=3a+3．综上所述，当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0；当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．【解析】（1）运用参数分离，讨论①当x=1时，②当x≠1时，求出右边函数的取值范围，即可得到a的范围；（2）将h（x）写成分段函数的形式，再由二次函数的最值求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到最值．本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查含参的函数的最值，注意运用分类讨论的思想方法，以及二次函数的单调性，结合对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．19.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【答案】∴．当x∈（-1，0）时，g （x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；当x∈（0，+ ）时，g （x）＜0，则g（x）在（0，+ ）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h （x）＞0；当x∈（e，+ ）时，h （x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+ ）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．【解析】（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证20.已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+ ））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数＜若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．【答案】解：（1）f（x）为单调减函数．（1分）证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）==．由=，（4分）且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+ ）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）（2）①若m≤0，由x1≥2，，x2＜2，＞，所以g（x1）=g（x2）不成立．（7分）②若m＞0，由x＞2时，＜，所以g（x）在[2，+ ）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即，．（9分）（a）若m≥2，由于x＜2时，，所以g（x）在（- ，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即，．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜，即＜成立即可．由于函数在[2，+ ）的单调递增，且h（4）=0，所以2≤m＜4．（12分）（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，＜＜所以g（x）在（- ，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜成立，即成立即可．由0＜m＜2，得＜，＞．故当0＜m＜2时，恒成立．（15分）综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）【解析】（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立”分别可求出g（x1）、g（x2）的值域，使g（x1）的值域为g（x2）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．。
江苏省南通中学2015-2016学年高一3月月考数学试题(教师版) 含答案
江苏省南通中学20152016学年下学期第一次月考高一数学试题2016．3（试卷满分 160分，考试时间 120分钟)一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写 在答．卷．相应位置上．．．．．．）1．计算:sin 21cos39cos 21sin 39︒︒︒︒+= ▲ ．2．求值:sin15cos15︒︒= ▲ ．3．在ABC ∆中，若222sin sin 1sin A BC +=，则ABC ∆的形状一定是▲ ．4．ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，若2223bc a bc +-=,则角A = ▲ ．5．ABC ∆中，若tan 2B =，tan 3C =，则角A = ▲ ．6．在ABC ∆中，内角A ,B ，C 的对边依次为a ，b ,c ,若3a =，3b =3A π=,则角B =▲ ．7．如图，一勘探队员朝一座山行进,在前后A ，B 两处观察山顶C 的仰角分别是30︒和45︒，两个观察点A 、B 之间的距离是200米，则此山CD 的高度约为 ▲米． （取62sin15︒-=3 1.732=，结果四舍五入取整数）．8．已知数列ln 3，ln 7,ln11，ln15，…，则2ln 5ln 3+是该数列第 ▲ 项．9．等差数列{}na 中，15a=，23a =，则数列{}n a 前n 项和n S 取最大值时的n 的值为A B CD▲ ．10．等差数列{}na 的前n 项和2213nSn n =-,则数列{}||n a 的前10项和等于▲ ．11．已知{}na 是等差数列，616a=，128a =-,记数列{}n a 的第n 项到第5n +项的和为n T ,则||nT 取得最小值时的n 的值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中,角60A C ︒==，2AD BC ==,且AB CD ≠，则四边形ABCD 面积为▲ ．13．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且13a =,123n n n a S -=+（n N *∈且2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为na = ▲ ．14．数列{}na 的前n 项和123n a aa a ++++可简记为1ni i a =∑．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++, n N ∈,则201520161()k k k a a =-=∑▲ ．二、解答题:（本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答．卷．指定区域内作答．．．．．．．,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．已知20παβ<<<,且135cos =α，54)cos(=-βα.（Ⅰ)求cos()4πα+的值；（Ⅱ）求sin()αβ-的值。
江苏省南通市启东中学高三数学上学期第一次月考试题
江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则AB = ．2．命题“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 10．函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当(0,3)x ∈时，()xx f 2=，则(5)f -= ．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x ⑶3()cos )f x x x =+；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x x f x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC = ．13．已知直线l 与曲线1y x=-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a =，求A B ；⑵若A B A =，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．17．(本小题满分14分)已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒，||2c =，求||a ，||b ．18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足的条件；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t为常数)． ⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ．⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a的取值范围．江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题参考答案一、填空题1．{}1,2； 2．[0,)x ∀∈+∞，23x ≤； 3．27； 4．125-； 5．1； 6．[1,)-+∞（(1,)-+∞也对）； 7．16； 8．210；9．13； 10．2-； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．二、解答题15．解：由题意知，(1,2)A =-；⑴当1a =时，[1,2]B =， [1,2)A B ∴=； …………………………………………………………6分⑵A B A =，A B ∴⊆；①当2a =时，{}2B =，不符合题意； …………………………………………………8分②当2a <时，[,2]B a =，由A B ⊆得：1a -≤； ………………………………………11分③当2a >时，[2,]B a =，此时A B ⊄，不符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． …………………………………………14分16．解：⑴由正弦定理，得：b a b cc b a--=+， 整理，得：222a b c bc =+-， ………………………………………………………4分由余弦定理，得：1cos 2A =，A 是ABC ∆的内角，π3A ∴=； ………………………………………………………7分⑵a ，c ，b 成等差数列，2c a b ∴=+，由⑴可知，222a b c bc =+-，222(2)c b b c bc ∴-=+-，整理，得：2330c bc -=， (12)分由0c >，得b c =，a b c ∴==，∴ABC ∆是等边三角形．……………………………………………………………14分（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）17．解：由0a b c ++=得：22222222a b c a b a b cb c a b c b c a ⎧⎧+=-++⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⋅=⎪⎪⎩⎩， ………………………5分2222||||2||||cos1504||422||cos120||a b a b b b a ︒︒⎧++=⎪∴⎨++⋅⋅=⎪⎩， …………………………………………10分解之，得：||23a =，||4b =． (14)分（注：本题可先判断a c ⊥，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）18．解：⑴3S ，9S ，6S 成等差数列，9362S S S ∴=+，∴9693()()0S S S S -+-=，即789789456()()()0a a a a a a a a a ++++++++=， …………………………………4分34564562()()0q a a a a a a ∴+++++=， …………………………………………6分24564(1)0a a a a q q ++=++≠，312q ∴=-；………………………………………8分⑵存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． ………………………………………10分671114a a q a ==，341112a a q a ==-，7142a a a ∴=+；……………………………12分一般地，当6n m =+，且3p m =+时，有m a ，n a ，p a 成等差数列． …………16分（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比q 是否等于1，不讨论者扣3分）19．解：⑴由题意知，21111(*)24n n n S a a -+=-，21111124n n n S a a ++∴+=-，两式相减，得：22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥， …………………………2分整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥，0n a >，12(2)n n a a n +∴-=≥， …………………………………………4分数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=， …………………………………………6分由(*)得：212211124a a a +=-，11a ∴=10a >，11a =；……………………………………………………8分⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n+++-=-≥， ………………………………10分 设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分 11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分20．解：⑴2()()()e (1)x F x f x g x x ax =⋅=++，()e (1)(+1)0x F x x x a '∴=++= ，得1x =-或1x a =--， ……………………………………………………………2分列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分 ⑵设12x x <，()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；ln 2min ()(ln 2)e 2ln 222ln 2h x h ∴==-=-，22ln 2a ∴-≤； …………………………………………………………12分②由1221()()()()g x g x f x f x -<-得：1122()()()()g x f x f x g x +<+， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =+=+++在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=+=++≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴--≥在[0,2]上恒成立；函数e 2x y x =--在[0,2]上单调递减，∴当0x =时，0max e 201y =--⋅=-，1a ∴≥-，综上所述，实数a的取值范围为[1,22ln2]--．…………………………………………16分。
高三数学月考试题及答案-南通中学2015届高三12月月考
江苏省南通中学2015届高三12月月考I 必做题部分参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．） 1．设复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅= ▲ .【答案】5-2．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ . 【答案】123．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ . 【答案】134．为了调查城市 2.5PM 的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6、12、18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .【答案】45．设集合{}1,2M =、{}2N a=，则“1a =”是“N M ⊆”的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写） 【答案】充分不必要条件 6．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数； 小前提：3-是整数；结论：3-是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 ▲ 错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）. 【答案】大前提 7．关于x 的不等式22230(0)x ax a a --<<的解集为12(,)x x ，且2112x x -=，则实数a 的值等于 ▲ . 【答案】3-8．已知抛物线28y x =的焦点是双曲线22213x y a -=（0a >）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 ▲ . 【答案】12x =9．设x 、y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且ay x z -=的最小值为7，则实数=a ▲ .【答案】3-10．在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，角120A ︒=，2AB AC ⋅=-，则||AM 的最小值为 ▲ . 【解析】设AB c =、AC b =，由1A B A C ⋅=-，120A ︒=得4bc =，倍长AM 至D ，则60ABD ︒∠=，由余弦定理得22224AD b c bc bc bc bc =+-≥-==，即22AM AD =≥，1AM ≥即||AM 最小值为1.【答案】1.11．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(,0)B m （0m >），若圆上存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最小值为 ▲ .【解析】显然2AB m =，因为90APB ︒∠=，所以12OP AB m ==，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为5OC =，所以min ()4OP OC r =-=，即m 的最小值为4. 【答案】4. 12．如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 ▲ .【解析】/22(1)(1)()0(1)x x f x x -+-==+得1x =为极大值点，且1(1)2f =，设A 、B 的纵坐标为1(0)2k k <<，则由21x k x =+得 20kx x k -+=，1A B x x k+=，1A B x x ⋅=，所以||A B AB x x =-==2V k π===24π≤，当且仅当k =时取“=”，此时0∆>，故旋转体体积的最大值为4π.【答案】4π.13．设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 ▲ .【解析】方法1：设1a ，2a ，3a 依次为a d -，a ，a d +，因为12a a >，所以0d <，因为12b b >，所以01q <<，又2213b b b =，所以422222()()()a a d a d a d =-+=-，则222a d a =-或222a a d =-（舍），所以d =.若d =，则222222222111()()1)31b a a a q b a a a d =======+>-（舍）；若d =，则22222222111()()(2)b a a a q b a aa d ======<-，所以3q =-方法2:易知422213a a a =，则2213a a a =±，若2213a a a =，则123a a a ==（舍），若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，所以22113360a a a a ++=，所以23311()610a a a a +⋅+=，则3132a a =-±又2223332111()b a a q b a a ===且01q <<，所以3q =-【答案】3q =-14．已知函数()af x x x=-，且对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .【解析】因为2(1)(1)(1)11a a x f x x x x ---=--=--，所以对任意(0,1)x ∈，都有 22(1)11a x a x x x---⋅≥-即 22()[(1)](1)a x a x x x -⋅--≥-恒成立，整理得222(1)(21)(1)()0x x a x x a a -+--+-≥，令(1)x x t -=，则104t <≤，问题等价于22(21)()0t a t a a +-+-≥对104t <≤恒成立，令 22()(21)()g t t a t a a =+-+-，因为22(21)4()10a a a ∆=---=>，所以211241()04a g -⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或 2102(0)0a g -⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩，即21416830a a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩或2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，所以141344a a ora ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或1201a a ora ⎧≥⎪⎨⎪≤≥⎩，所以 14a ≤-或1a ≥.另解1：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0t a t a +⋅++≥，所以1t a ≥-+或t a ≤-，由题意得10a -+≤或14a -≥即14a ≤-或1a ≥. 另解2：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0a t a t +⋅++≥，所以1a t ≥-+或a t ≤-， 因为104t <≤，所以3(1)14t ≤--<或104t -≤-<，由题意得14a ≤-或1a ≥. 另解3：()[(1)]11a a x x x x ---≥-，设1x m x n =⎧⎨-=⎩，则01011m n m n <<⎧⎪<<⎨⎪+=⎩，又2212m n mn +=-，所以()()1a a m n m n --≥即2()10a n m a mn mn m n-++-≥，即2(21)(1)0a mn a mn mn +-+-≥，即 ()(1)0a mn a mn ++-≥，所以a mn ≤-或1a mn ≥-+，因为104mn <≤，所以由题意得14a ≤-或1a ≥. 【答案】14a ≤-或1a ≥.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠= （0θπ<<），点C 坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（Ⅰ）求t OA OQ S =⋅+的最大值； （Ⅱ）若CB ∥OP ，求sin(2)3πθ-． 【解析】（Ⅰ）∵(1,0)OA =，(cos ,sin )P θθ，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+， ∴1cos OA OQ θ⋅=+，而12||||sin sin 2S OA OP θθ=⋅⋅⋅⋅=，所以1cos sin 1)4t OA OQ S πθθθ=⋅+=++=++，………………………………4分∵0θπ<<，∴当4πθ=时，t OA OQ S =⋅+取得最大值为17分 （Ⅱ）(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=，由CB ∥OP 得cos 2sin θθ=，又0θπ<<，结合22sin cos 1θθ+=得sin 5θ=，cos 5θ=4sin 25θ=，3cos 25θ=，……………………11分所以sin(2)3πθ-sin 2cos cos 2sin 33ππθθ=⋅-⋅=14分 16．（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 、F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）求四面体CDFN 体积的最大值．（翻折前） （翻折后）【解析】（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，∴MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ，又∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ；………………………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NE x =，则4EC x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN 的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=-21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-， 即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2．…………………………………………14分17．（本题满分14分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，103PQ =km ，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场Q ，已知游船以10/km h 的速度沿方位角θ的方向行驶，3sin 5θ=．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小艇先到达湖岸南北大道M 处，然后乘景区电动出租车到停车场Q 处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车）．游客甲乘小艇行驶的方位角是α，电动出租车的速度为70/3km h ．（Ⅰ）设4sin 5α=，问小艇的速度为多少/km h 时，游客甲才能与游船同时到达点Q ； （Ⅱ）设小艇速度为10/km h ，请你替该游客设计小艇行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．【解析】（Ⅰ）方法一：如图，作PN AB ⊥，N 为垂足，3sin 5θ=，4sin 5α=， 在Rt PNQ ∆中，103sin 235PN PQ θ=⋅=⋅=（km ）， cos QN PQ θ=⋅=1048353⋅=（km ）．在Rt PNM ∆中， 23tan 23PN MN α===（km ）．76QM Q N M N =-=， 5cos 2NM PM α==，………………………………………4分 设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M到Q 所用时间为2t h ，则1101310103PQ t ===（h ）， 设小艇的速度为1/v km h ，则2111755162707022033PM MQ t v v v =+=+=+（h ），由已知得21120t t +=，即 15111220203v ++=，∴1757v =，∴小艇的速度为75/7km h 时，游客甲才能与游船同时到达Q ；………………………………………………8分（Ⅰ）方法二：如图，∵3sin 5θ=，4sin 5α=，∴4c o s 5θ=，3cos 5α=，sin sin()QPM αθ∠=-=sin cos cos sin αθαθ⋅-⋅725=，由正弦定理得sin()sin()QM QP αθπα=--，所以76QM =， sin sin()PM PQθπα=-，所以52PM =．下同方法一； （Ⅱ）在Rt PNM ∆中，∵2sin sin PN PM αα==（km ），2c o s t a n s i n PN MN ααα==（km ）． ∴82cos 3sin QM QN MN αα=-=-（km ），所以143cos 70105sin 3535sin 3PM QM t ααα=+=+-173cos 435sin 35αα-=⨯+． ………………………………………………………………………11分 ∵2/2213sin (73cos )cos 37cos 35sin 35sin t αααααα---=⨯=⋅，∴令/0t =得3cos 7α=．当3cos 7α<时，/0t >；当3cos 7α>时，/0t <．∵cos y α=在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角α满足3cos 7α=时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． ………………………………14分18．（本题满分16分）已知函数21()ln 2f x x a x =-⋅（a R ∈），2()24g x x mx =-+（m R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求实数a 与b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调减区间；（Ⅲ）当1a =时，若对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）/()a f x x x =-，由/(2)212a f =-=得2a =，∴21()2ln 2f x x x =-，(2)22ln 2f =-，即切点为(2,22ln 2)-，代入方程y x b =+得2ln 2b =-；……………………………………5分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2/()a x af x x x x-=-=，①当0a ≤时，/()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()f x 无减区间；②当0a >时，由/()0f x <得0x <<()f x 减区间为；…………………………………………………………10分（Ⅲ）由题意可得[1,2]x ∈时，min min ()()f x g x ≥． ……………………………………………12分 ∵1a =时，/1(1)(1)()0x x f x x x x +-=-=>，()f x 在[1,2]x ∈为增函数，∴min 1()(1)2f x f ==， 222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-．①当1m <时，()g x 在区间[1,2]上递增，所以min 1()(1)522g x g m ==-≤，由1522m -≤解得94m ≥，舍去；②当12m ≤≤时，2min 1()()42g x g m m ==-≤，解得m ≤m ≥2m ≤≤； ③当2m >时，()g x 在区间[1,2]上递减，所以min 1()(2)842g x g m ==-≤，由1842m -≤解得158m ≥，∴2m >.综上，m ≥…………………………………………………………………………16分 19．（本题满分16分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线:l103x =分别交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段MN 长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TBE ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）令0x =得1y =，所以(0,1)D ，所以1b =，令0y =得2x =-，所以(2,0)A -，所以2a =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；……………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为(2)y k x =+（0k >），联立得(2)103y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1016(,)33k M ，由22(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=， 显然16∆=，由求根公式得222216282(14)14k k x k k --==++或222216282(14)14k k x k k---==++（舍），所以 222284(,)1414k k E k k -++，从而直线BE 的方程为1(2)4y x k =--，联立得1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 101(,)33N k -，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当14k =时取“=”，因此，线段 MN 长度的最小值为83；………………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，14k =时线段MN 的长度最小，此时64(,)55E，5BE =，因为TBE ∆的面积为S =15，所以点T 到直线BE的距离为24S d BE ==，因为直线BE 的方程为20x y +-=，设过点T 且与直线BE 平行的直线m 的方程为0x y t ++=(2)t ≠-，由两平行线之间距离为44=，解得32t =-或52t =-，当32t =-时，直线m 的方程为302x y +-=，联立得 2230244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得251250x x -+=，显然判别式0∆>，故点T 有2个；当52t =-时，直线m 的方程为502x y +-=，联立得2250244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得2520210x x -+=，显然判别式0∆<，故点T 不存在．所以，椭圆C 上存在两个点T ，使得TBE ∆的面积为15．…………………………………………16分 20．（本题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，221n n a a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的m N *∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为{}m b ．①求数列{}m b 的通项公式； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 前m 项的和为m T ，求出所有使得等式111m m t T t T t c +-=-+成立的 正整数m ，t ．【解析】（Ⅰ）设公差为d ，首项为1a ，则由423S S =得114(41)2(21)43[2]22a d a d ⋅-⋅-+⋅=+⋅， 即123d a =；由221n n a a =-得21n n a nd a +=-，∴1n a nd =+，将123d a =代入 1n a nd =+得1213n na a =+，令1n =得13a =，从而2d =，故21n a n =+；…………4分 （Ⅱ）①令22212mmn <+<，则121112222m m n ---<<-，即121221m m n --≤≤-， ∴21122m m m b --=-；………………………………………………………………………………8分②2211221()222m m m m m c b ---===-，显然数列{}m c 是首项为2，公比为12的等比数列，前m 项 的和为m T 14(1)2m =⋅-，由111m m t T t T t c +-=-+取倒数得11m m t m T c t c T t ++-=+-，即111m t m c c T t++=+-，即 1221()12()2(4)()2m t m t ---=--化简得221(4)242m t t -=-⋅-即1(4)242m t t --⋅-=，即1(4)242mt t --⋅=+，∵1240t -+>，∴(4)20m t -⋅>，∴4t <，又t N *∈，∴1t =或2t =或3t =．……………12分当1t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得325m⋅=，显然无正整数解；当2t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得226m⋅=，即23m=，显然无正整数解； 当3t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得28m=，显然3m =为正整数解．综上，存在符合条件的正整数3t =，3m =．…………………………………………………………………………………………………16分Ⅱ 附加题部分21．【选做题】 B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 方程． 【解析】由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin = 上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）已知直线l 的参数方程为2122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点 为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值． 【解析】（Ⅰ）直线l cos()14πθ+=-，曲线C 的普通方程为2y x =；（Ⅱ）将122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．另解：显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 得210x x --=，所以1122x =+、212x =13(22A，13(22B ++，则32MA =、32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-+=．【选做题】22．（本题满分10分）如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都为M 、N 分别在线段PA 、BD 上，且13PM BN PA BD ==．（Ⅰ）求证：MN AD ⊥；（Ⅱ）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底边长都为∴3OA =，3OP =，则(3,0,0)A ，(0,3,0)B 、(0,3,0)D -，(0,0,3)P ，所以(1,0,2)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2)0MN =--≠，(3,3,0)0AD =--≠，∴(1)(3)1(3)(2)00MN AD ⋅=-⋅-+⋅-+-⋅=，所以MN AD ⊥；（Ⅱ）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(3,0,3)AP =-，由00n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330330x y x z --=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则1x =，1y =-，即(1,1,1)n =-，则11cos ,||||n MN n MN n MN ⋅-⨯<>==⋅ 3=-MN 与平面PAD 所成角为θ，22sin |cos ,|3n MN θ=<>=，MN 与平面PAD 所成 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)M ，P 是动点，且POM ∆的三边所在直线的斜率满足OM OP PM k k k +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）点N 在直线41y x =-上，过N 作（Ⅰ）中轨迹C 的两切线，切点分别为A 、B ，若ABN ∆ 是直角三角形，求点N 的坐标．【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，由OM OP PM k k k +=得212y y x x -+=-，即22x y =，所以P 点的轨迹C 的方程 是22x y =(0x ≠且2)x ≠；（Ⅱ）因为212y x =，所以'y x =，设2111(,)2A x x ，2221(,)2B x x （12x x ≠），(,)Nab，则1AN k x =，2BNk x =，由于AN 是曲线的切线，所以211112x bx x a-=-，即211220x ax b -+=，同理222220x ax b -+=，两式相减得121212()()2()0x x x x a x x +---=，又12x x ≠，故122x x a +=．1︒ 若AN BN ⊥，则1AN BNk k =-，所以121x x =-，由⎧⎪⎨⎪⎩211222122202201x ax b x ax b x x -+=-+==-得 221212()2()40x x a x x b +-++=即2121212[()2]2()40x x x x a x x b +--++=即2(2)22240a a a b +-⋅+=，所以12b =-，又41b a =-，所以18a =，此时11(,)82N -；2︒ 若AN AB ⊥，则1AN ABk k =-，即222112111221x x x x x -⋅=--，化简得121()20x x x ++=，即。
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三(上)开学数学试卷
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．(★★★★)已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4 ．2．(★★★★)函数y=|x-1|+|x+4|的值域为 5，+∞）．3．(★★★★)函数f（x）=lg（x 2-ax-1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是 a≤0 ．4．(★★★★)已知方程x 2-4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．5．(★★★)设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为 3 ．6．(★★)定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在-1，0上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在0，1上是增函数；④f（x）在1，2上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．7．(★★★)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M （x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 4 ．8．(★★★★)圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．9．(★★★)设 P点在圆x 2+（y-2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是 1+ ．10．(★★)若函数f（x）= （k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1 ．11．(★★)已知数列{a n}满足，，则=．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．(★★★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a 2+b 2的取值范围．13．(★★)某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．(★★)已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x= （a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．15．(★★)已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12-a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．(★★)已知函数f（x）=a x+x 2-xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x 1，x 2∈-1，1，使得|f（x 1）-f（x 2）|≥e-1，试求a的取值范围．。
2015-2016学年江苏省扬州中学高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．(★★★★)已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N= （0，1）．2．(★★★★)若复数是纯虚数，则实数a的值为 1 ．3．(★★★)不等式|x+1|（2x-1）≥0的解集为 {-1}∪，+∞）．4．(★★★★)函数f（x）= +a （x≠0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）5．(★★★★)m为任意实数时，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5必过定点（9，-4）．6．(★★★★)已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k + ）∥（-3 ），则实数k的取值为 - ．7．(★★★)已知方程cos 2x+4sinx-a=0有解，则a的取值范围是 -4，4 ．8．(★★★★)已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 4 ．9．(★★★)已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，3 ．10．(★★★)已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+ = ，且| |= ，那么•= 3 ．11．(★★★)已知函数f（x）=mx 2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．12．(★★★)已知函数f（x）= ，若存在x 1，x 2∈R且x 1≠x 2，使得f（x 1）=f（x 2）成立，则实数a的取值范围是 a＜4 ．13．(★★★★)将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．14．(★★)已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈1，3时，f（x）=lnx，若在区间，3内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，）．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(★★★★)已知直线l 1：（m+2）x+（m+3）y-5=0和l 2：6x+2（2m-1）y=5．问m为何值时，有：（1）l 1∥l 2？（2）l 1⊥l 2？16．(★★★★)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）= ，f（B）= ，求△ABC的面积．17．(★★★)已知| |=3，| |=2，与的夹角为120o，当k为何值时，（1）k - 与-k 垂直；（2）|k -2 |取得最小值？并求出最小值．18．(★★)如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（Ⅱ）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE=θ（0≤θ≤），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．19．(★★)已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x 2-4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在2，3上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x 2-5x- ，若存在x 0∈1，e，使得f （x 0）＜g（x 0）成立，求实数a的取值范围．20．(★★)已知常数a＞0，函数f（x）= ax 3-4（1-a）x，g（x）=ln（ax+1）- ．（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）在（- ，+∞）上存在两个极值点x 1、x 2，且g（x 1）+g（x 2）＞0，求常数a的取值范围．一、附加题：（考试时间：30分钟总分：40分）选修4-2：矩阵与变换21．(★★★)已知矩阵A=（1）求A -1；（2）满足AX=A -1二阶矩阵X．选修4-4：坐标系与参数方程22．(★★★)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．23．(★★★)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=AC=4，AA 1⊥平面ABC； AB⊥AC，（1）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D，使得AD⊥A 1B，求的值．24．(★★)（1）证明：①C +C =C ；②C =2C （其中n，r∈N *，0≤r≤n-1）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为p（p＞），首先赢满n+1局者获胜（n∈N *）．①若n=2，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．。
高三数学月考试题及答案-南通市直中学2015届高三上学期调研测试
江苏省南通市市直中学
2015届高三年级调研测试数学试题一、填空题：本大题共
14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位
置上．1．已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，则A
B ________．2．若复数
z 满足(1i)2i z ，则复数z ________．3．抛物线
24y x 的焦点坐标为________．4．函数22()cos sin f x x x 的最小正周期为________．
5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
则两个数的和是奇数的概率为________．6．某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为________．
7．如图所示的算法中，输出的结果是________．
8．若直线y x m 与曲线ln y x 相切，则实数m 的值为________．
9．如图，各条棱长均为
2的正三棱柱111ABC A B C 中，M 为11AC 的中点，则三棱锥1M ABC 的体积为________．。
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江苏省通东中学2015-2016第一阶段高三数学月考试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的a 的集合为 。
2．设集合M ＝{x |x ＝3m ＋1，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，若a ∈M ，b ∈N ，则a －b N ；ab N 。
3．a ，b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b = 。
4．定义在R 上的函数 f (x )满足 f (－x )＝－ f (x ＋2)，当x >1时， f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则 f (x 1)＋ f (x 2)与0的大小关系是5． 定义在实数集上的函数f （x ），对一切实数x 都有f （x ＋1）＝f （2－x ）成立，若f （x ）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为 。
6． 设f （x ）定义在正整数集上，且f （1）=1，f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ）＋xy ． f （x ）= 。
7．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ，则11()()20162016f f +-= ． 8．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为 。
9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ 若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 。
11． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2016)＝________.12．已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 。
13．已知函数f(x)=|x 2+3x|,x ∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 ________________. 14．使得函数的值域为的实数对有 对.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的值域．（1）求函数y =x +12+x 的值域．（2） 求函数y =434322+++-x x x x 的值域．（3）求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1)，x ∈[0，1]的值域．16．设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，使它们的差集为单元素集合； (2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？请说明理由； (3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x ||x |＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明)17．对定义域分别为D f 、D g 的函数y ＝f (x )、y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x 当x ∈D f 且x ∈D g f x 当x ∈D f 且x ∉D gg x 当x ∉D f 且x ∈D g(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域．18．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f m ＋f n m ＋n >0.(1)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )；(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．19．若函数f (x )对定义域中任意x 均满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则称函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋mx的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；(2)已知函数g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋ax ＋1，求函数g (x )在(－∞，0)上的解析式；(3)在(1)(2)的条件下，当t >0时，若对任意实数x ∈(－∞，0)，恒有g (x )<f (t )成立，求实数a 的取值范围．20．设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a≠0)满足条件：①当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ；②当x ∈(0,2)时，f(x)≤2)21(+x ③f(x)在R 上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x江苏省通东2015-2016第一阶段月考高三数学答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1，3}2． a －b ∈N ，ab ∈N 3． 14． f (x 1)＋f (x 2)>0 5.30326. f （x ）=2)1(+x x （x ∈N +）7． 08． ]69．－4≤a ≤－110． (－1,0)∪(1，＋∞) 11. 1212． (3，＋∞) 13． (0,1)∪(9,+∞)14． 2二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的值域．（1）求函数y =x +12+x 的值域．【解】 y =x +12+x =21[2x +1+212+x +1]-1=21(12+x +1)-1≥21-1=-21. 当x =-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-21，+∞）．（2） 求函数y =434322+++-x x x x 的值域．【解】由函数解析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ①当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根．所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0，解得71≤y ≤1.又当y =1时，存在x =0使解析式成立，所以函数值域为[71，7]．（3）求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1)，x ∈[0，1]的值域．【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0，1]，所以2≤u 2=2+221x -≤4，所以2≤u≤2，所以222+≤22+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y =22+u ，u 2∈[2+2，8]．所以该函数值域为[2+2，8]．16．设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，使它们的差集为单元素集合； (2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？请说明理由； (3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x ||x |＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明) 16．【解】(1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．(2)不一定相等．由(1)，B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，B －A ≠A －B ，只有当A ＝B 时，A －B ＝B －A ，∴A －B 与B －A 不一定相等．(3)A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6＜x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4＜x ＜6}， B －(B －A )＝{x |4＜x ＜6}．由此猜测一般的对于两个集合A ，B ： 有A －(A －B )＝B －(B －A )成立．17．对定义域分别为D f 、D g 的函数y ＝f (x )、y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x 当x ∈D f 且x ∈D g f x 当x ∈D f 且x ∉D gg x 当x ∉D f 且x ∈D g(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域． 17．【解】(1)∵f (x )的定义域D f ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)， g (x )的定义域D g ＝(－∞，＋∞)，所以h (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈ －∞，1 ∪ 1，＋∞ 1， x ＝1. (2)当x ≠1时，h (x )＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2.若x >1，则x －1>0，∴h (x )≥2 x －1 ·1x －1＋2＝4.当且仅当x ＝2时，等号成立．若x <1，则x －1<0，∴h (x )＝－[－(x －1)－1x －1]＋2≤－2＋2＝0，当且仅当x ＝0时取等号．当x ＝1时，h (x )＝1，综上知h (x )的值域为{y |y ≤0或y ＝1或y ≥4}．18．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f m ＋f n m ＋n >0.(1)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )；(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f x 2 ＋f －x 1x 2＋ －x 1·(x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x⇔0≤x <14，即不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )的解集为⎣⎡⎭⎫0，14. (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段，∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2×－1 ×t ≥0，t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2，⇔t ≤－2，或t ＝0，或t ≥219．若函数f (x )对定义域中任意x 均满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则称函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋mx的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；(2)已知函数g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋ax ＋1，求函数g (x )在(－∞，0)上的解析式；(3)在(1)(2)的条件下，当t >0时，若对任意实数x ∈(－∞，0)，恒有g (x )<f (t )成立，求实数a 的取值范围． 19．【解】(1)由题设可得f (x )＋f (－x )＝2， 即x 2＋mx ＋m x ＋x 2－mx ＋m －x＝2，解得m ＝1.(2)当x <0时，－x >0且g (x )＋g (－x )＝2， ∴g (x )＝2－g (－x )＝－x 2＋ax ＋1.(3)由(1)得f (t )＝t ＋1t＋1(t >0)，其最小值为f (1)＝3.g (x )＝－x 2＋ax ＋1＝－(x －a 2)2＋1＋a 24，①当a 2<0，即a <0时，g (x )max ＝1＋a24<3，得a ∈(－22，0)；②当a2≥0，即a ≥0时，g (x )max <1<3，得a ∈[0，＋∞)；由①②得a ∈(－22，＋∞)．21．设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a≠0)满足条件： ① 当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ； ②当x ∈(0,2)时，f(x)≤2)21(+x ③ f(x)在R 上的最小值为0。