(湖北专用)2020届高考数学一轮复习 阶段检测五直线、圆及其位置关系 圆锥曲线与方程 理 新人教A版

阶段检测五 直线、圆及其位置关系 圆锥曲线与方程(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( )． A ．3x －4y ＋4＝0 B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0 C ．3x －4y ＋16＝0 D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝02．过点A (0,3)，被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线的方程是( )．A ．y ＝－43x ＋3B ．x ＝0或y ＝－43x ＋3C ．x ＝0或y ＝43x ＋3 D ．x ＝03．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )．A ．m ＜1B ．－3＜m ＜1C ．－4＜m ＜2D ．0＜m ＜14．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 5．若曲线x 225＋y 29＝1与曲线y 2a ＋x 29＝1的离心率互为倒数，则a 等于( )．A ．16B ．－16C ．8116D ．－81166．已知双曲线16y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2＝0(a 为常数)被y 轴所截得的弦为AB ，若弦AB 所对圆心角为π2，则实数a ＝( )．A ．1B ．±1C.22D ．±228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 59．(2012辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )． A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 10．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴的两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )．A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 29－y 24＝1D.y 29－x 24＝1 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上)11．“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝__________”．12．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且过点A (6,82)的双曲线的标准方程为__________．13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点．若CB →＝3BF →，则直线l 的斜率为__________．14．已知抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，设过点N (2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线C 相交于点S ，T ，若S ，T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，则Q 点横坐标的取值范围为__________．15．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．17．(12分)(2012天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．18．(12分)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．19．(12分)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．20．(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝42x 的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M ：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆相交于A ，B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．21．(14分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x ＞0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案1．D 解析：设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0. 由|m －1|5＝3，解得m ＝16或m ＝－14.即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0.2．B 解析：当过点A (0，3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23，此时，弦所在直线方程为x ＝0；当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l 的方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0. 因为弦长为23，圆的半径为2，所以弦心距为22－（3）2＝1，由点到直线距离公式得|k ＋3|k 2＋（－1）2＝1，解得k ＝－43. 综上，所求直线方程为x ＝0或y ＝－43x ＋3.3．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0， 即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，令Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)＝4m 2－8m ＋4－4×2m 2＋8＝－4m 2－8m ＋12＞0，则m 2＋2m －3＜0，解得－3＜m ＜1.所以所求的一个充分不必要条件是集合{m |－3＜m ＜1}的真子集，故D 正确．4．C 解析：设P (x ，y )，PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝c 2，所以，x 2＋y 2＝2c 2.又x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x 2＋b 2－b 2a2x 2＝2c 2， 整理得x 2＝3c 2a 2－a 4c 2，而0≤x 2≤a 2， 故0≤3c 2a 2－a 4c 2≤a 2，解得33≤e ≤22.5．D 解析：∵曲线x 225＋y 29＝1的离心率为c a ＝45，∴曲线y 2a ＋x 29＝1的离心率为54＞1，∴该曲线为双曲线，a ＜0.∴e ＝9－a 3＝54，解得a ＝－8116.6．C 解析：双曲线的标准方程为y 2116－x 21m2＝1，一个顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，渐近线方程为y＝±m4x ，取其中一条mx ＋4y ＝0.由点到直线的距离1m 2＋16＝15，又m ＞0，解得m ＝3.7．D 解析：将已知圆的一般方程配方得(x －a )2＋(y －1)2＝1，由弦AB 所对圆心角为π2，可得|AB |＝2R ＝2，从而可得圆心(a ，1)到y 轴的距离为d ＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22，故a ＝±22. 8．B 解析：双曲线左顶点A (－a ，0)，渐近线方程y ＝±b ax (a ＞0，b ＞0)；抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p2(p ＞0)．由题意知|AF |＝4，∴a ＋p2＝4. 又∵点(－2，－1)既在渐近线上又在抛物线的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，则a ＝2.又－1＝b a·(－2)，a ＝2，∴b ＝1，∴在双曲线中，c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.9．C 解析：圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0可化为标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1，2)．因此可通过代入法，看哪一条直线过圆心(1，2)即可．经检验，选项C 满足条件．故选C.10．C 解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3，0)，A 2(3，0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)．∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②解得x 0＝9x ，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.11．－2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－2×3＝0，（a －1）×1≠2×1，得a ＝－2，∴两直线平行的充要条件是“a ＝－2”．12.y 264－x 236＝1 解析：设方程为x 29－y 216＝λ，将A 点代入可得369－64×216＝λ. ∴λ＝－4，即y 264－x 236＝1.13．±2 2 解析：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离|BB 1|，在△CBB 1中，sin∠BCB 1＝|BF ||BC |＝13，故直线l 的斜率为k ＝±2 2. 14．(－∞，－6) 解析：设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y 2＝－8x 联立消元得ky 2＋8y ＋16k ＝0，则有y 1＋y 2＝－8k，y 1y 2＝16.因为直线l 交抛物线C 于两点，则Δ＝64－64k 2＞0，再由y 1＞0，y 2＞0，则－8k＞0，故－1＜k ＜0，可求得线段ST 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋2，－4k ，所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4k2－2，令y ＝0，得点Q 的横坐标为x Q ＝－2－4k2＜－6，所以Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．15.102 解析：由题意可得，抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p 2， 设点M 坐标为(x M ，y M )．由抛物线定义可得，x M －⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝2p ，∴x M ＝3p 2.将x M ＝3p2代入抛物线方程得y M ＝±3p ，∴点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，±3p . 又∵抛物线准线经过双曲线的左顶点，∴－a ＝－p 2，即a ＝p2.将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，±3p ，a ＝p 2代入双曲线方程得，b 2＝3p 28，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋3p 28p 24＝102.16．解：由题意可知，l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1. 所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1， 又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3，所以所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.17．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得 x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.① 由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.18．解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －2），x 2a 2＋y 2b2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2（2＋2a ）3a 2＋b2， y 2＝－3b 2（2－2a ）3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2（2＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（2－2a ）3a 2＋b 2， 得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.19．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有（x －2）2＋y 2|x －22|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1＞y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0，即6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1＞y 2，则y 1＞0，y 2＜0，∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.20．解：(1)∵椭圆C 的离心率e ＝22， ∴c a ＝22，即a ＝2c . ∵抛物线y 2＝42x 的焦点F (2，0)恰好是该椭圆的一个顶点，∴a ＝2，∴c ＝1，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时．∵直线l 与圆M 相切，故其中的一条切线方程为x ＝63. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝63，x 22＋y 2＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－63， 则以AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －632＋y 2＝23.②当直线l 的斜率为零时．∵直线l 与圆M 相切，故其中的一条切线方程为y ＝－63. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－63，x 22＋y 2＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫63，－63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63，则以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋632＝23.显然以上两圆的一个交点为O (0，0)．③当直线l 的斜率存在且不为零时． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1·x 2＝2m 2－22k 2＋1.所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝3m 2－2k 2－22k 2＋1.① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2＝63，整理得m 2＝23(1＋k 2)．②将②式代入①式，得OA →·OB →＝0，显然以AB 为直径的圆经过定点O (0，0)． 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0，0)．21．解：(1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0，3)，所以b 2＝a 2＋9.则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1.因为x ＞0，所以S △MOF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1，4)． 因为M (1，4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0.进而得到x 1＋x 2＝－8m 18，x 1x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)＞0，化简得m 2＜162，解得－92＜m ＜9 2. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以OA →·OB →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2，x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2＝17（m 2－18）18－32m 218＋m 2＝0.解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.。