2018秋九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材 (新版)新人教版
人教版九年级上册数学精品课件 第24章 圆 专题训练9 切线证明的常用方法
︵︵ (1)证明：连接AD，OD，∵ CD ＝ DB ，∴∠CAD＝∠DAB，∵
OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∵
DE⊥AC，∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，则DE为⊙O的
切线；
︵ (2)解：连接BD，∵ AC
＝︵ CD＝ Nhomakorabea︵ DB
，∴∠B＝60°，∵AB为⊙O
的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝30°，∴BD＝
1 2
AB＝3，由勾股定
理，得AD＝ AB2－BD2＝ 62－32＝3 3．
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为
︵ BC
的中点．过
点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
第二十四章
圆
专题训练(九) 切线证明的常用方法
• 方法一 有点连圆心，证垂直 • 1．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦 CD⊥AB，连接OD，PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切 证线明． ： 连 接 OC ， 令 AP 与 CD 交 于 点
E．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．∵∠ODC
• (2)解：在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝CF．在Rt△ABD和Rt△AFD 中，∵BD＝FD，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)．∴AB＝ AF．∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC．∴AC＝5＋3＝8．
⊙O的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OED＝90°，∴直线CD是⊙O的切
线．
• 方法二 无点作垂直，证半径 • 5．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心， OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，求证：CD与⊙O相切．
九年级数学上册第24章圆教材回归三有关切线的辅助线作法课件 新人教版
[2017·南充]如图 8，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径 作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 CF＝2，DF＝4，求⊙O 直径的长．
图8
(1)证明：如答图，连接 OD，CD.
∵PA＝PD， ∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．
[2017·资阳]如图 7，AB 是半圆的直径，AC 为弦，过点 C 作直线 DE 交 AB 的延长线于点 E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线 DE 与半圆相切； (2)若 BE＝3，求 CE 的长．
∵OA＝OB，CA＝CB，
图5
∴△OAB 是等腰三角形，OC 是底边 AB 上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB 是⊙O 的切线．
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点， 即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”； 如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到 直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到 “直径所对的圆周角是直角”这一性质．
(1)证明：如答图，连接 OC. ∵∠ACD＝60°，∠E＝30°，∴∠A＝30°. 又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°， ∴直线 DE 与半圆相切． (2)解：连接 OB. 在 Rt△OCE 中，∠E＝30°，∴OE＝2OC. 又∵OC＝OB，∴OE＝2BE＝6，∴OC＝3， ∴CE＝ OE2－OC2＝3 3.
图9
(1)证明：如答图(1)，连接 OC.
2018-2019学年九年级数学上册 第24章 圆教材回归(三)有关切线的辅助线作法课件 (新版)新
教材回归(三) 有关切线的辅助线作法
一 切线的性质 (教材 P101 习题 24.2 第 5 题) 如图 1 所示，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点．求证：AP＝BP.
图1
证明：连接 OP. ∵AB 是小圆的切线，∴OP⊥AB. 在大圆中由垂径定理，得 AP＝BP. 【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂 直是常用的辅助线作法．
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°＝∠BDC.
又∵E 为 BC 的中点，
∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
变形3答图
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°，∴DE 是⊙O 的切线．
(2)解：设⊙O 的半径为 x. 在 Rt△ODF 中，OD2＋DF2＝OF2， 即 x2＋42＝(x＋2)2. 解得 x＝3. ∴⊙O 的直径为 6.
∵PA＝PD， ∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．
[2017·资阳]如图 7，AB 是半圆的直径，AC 为弦，过点 C 作直线 DE 交 AB 的延长线于点 E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线 DE 与半圆相切； (2)若 BE＝3，求 CE 的长．
如图 2 所示，两个同心圆的半径分别为 4 cm 和 5 cm，大圆的一
条弦 AB 与小圆相切，则弦
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
图2
如图 3，在⊙O 中，点 C 是直径 AB 延长
线上的一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，连接 BD.
九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
最新2019九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材 (新版)新人教版
1 为判定切线支招同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．一、“连半径，证垂直”例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ．求证：AC 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知欲证的切线AC 与⊙O 有公共点D ，因此，连接OD ，再证明OD ⊥AC 即可．证明：如图1，连接OD ．∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠OBD ＝∠CBD.，∴∠CBD ＝∠O DB .∴OD ∥BC .∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC .∴AC 是⊙O 的切线．二、“作垂直，证相等”例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A ，B 两点.求证：PN 与⊙O 相切.分析：已知条件中没有说明直线PN 与⊙O 有无公共点，可由圆心O 向PN 作垂线OF ，通过证明OF 与⊙O 的半径相等，得出P N 与⊙O 相切. 证明：如图2，连接OE ，过点O 作O F⊥PN 于点F.∵⊙O 与PM 相切于点E ，∴OE ⊥PM.又∵PC 平分∠MPN ，OF ⊥PN ，OE ⊥PM ，∴OF=OE ，∴PN 与⊙O 相切.。
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线长定理和三角形的内切圆听课课件新版新人教
由于等边三角形的内心就是它的外心，可得
1
1
AD＝2AB＝1，∠OAB＝2∠CAB＝30°.
在 Rt△AOD 中，OA＝2OD，由勾股定理，得 OD＝ 33，
∴图中阴影部分的面积为 S△ABC－S⊙O＝ 43×22－π×( 33)2＝
π
3－ 3 .
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
【归纳总结】三角形内切圆半径的三种求法：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点________之间 线段的长，叫做这点到圆的切线长
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们切的线_长_______ 相等，这一点和圆心的连两线条切平线分的_夹_角______________
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
符号语 言表示
因为PA，PB是⊙O的两条切线， 所∠以APPOA＝＝_∠____BP__PBO_________＝12， ∠_A_PB______．
图 24－2－16
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
目标突破
总结反思
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
1．通过画图、折叠、度量、思考等过程，探索出切线长定理， 并能用切线长定理解决问题．
2．经历教材中“思考”的实践操作、交流过程，理解三角形 的内切圆，会画三角形的内切圆，并会求三角形内切圆的半 径．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目标突破
目标一 能用切线长定理解决问题
例 1 教材例 2 针对训练 已知：如图 24
－2－13 所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分 别是 A，B，Q 为A︵B上一点，过点 Q 作⊙O 的切 线，分别交 PA，PB 于点 E，F.已知 PA＝12 cm， ∠P＝70°.求：
最新人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结
最新人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结第二十四章圆12 24.1 圆34 24.1.1 圆56 知识点一圆的定义7 8 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。
固定的端点 O 9 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。
第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。
1011 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，12 也就确定了圆。
1314 知识点二圆的相关概念 1516 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
1718 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
19 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
20 21 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
22 23 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24 25 26 24.1.2 垂直于弦的直径2728 知识点一圆的对称性2930 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
31 知识点二垂径定理3233 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图所示，直径为 CD ，AB 是弦，且CD⊥AB， 3435CMAM=BM AB垂足为 MAC =BCAD=BDD36 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧37 如上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M ，3839 CD⊥AB AM=BM 40 AC=BC AD=BD41 42 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
初中数学人教九年级上册第二十四章圆与圆有关的位置关系(切线复习课)PPT
一.切线的定义：直线与圆有唯一公共点时称直线 和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫
切点。 二.切线的判断方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 2.距离法：如果圆心到直线的距离等于半径，那 么这条直线是圆的切线 3.判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 三.切线的证明规律： 1.有公共点时：连半径证垂直 2.无公共点时：作垂直证半径
例2；如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，CA于点
D，E，F．设圆O的半径为r，BC=a，CA=b，AB=c，
求证： S△ABC1r(abc) 2
思考：当∠C=90 °时，r与a， b， c又有 怎样的关系式？
r ab ,rabc
abc
2
练一练
1.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，⊙O分别切AB、AC于点D、F，点
作业：导学案45页，46页
谢谢指导
四.切线的性质
o
1.圆心到切线的距离等于半径
2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的C半径. A
D
（应用技巧：遇到切线：找切点连半径得垂直。）
3.切线长定理
A
.H
O
1
2P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何书写：
∵PA,P B是切线,A,B是切点 ∴OA ⊥ PA,OB ⊥ PB,PA=PB, ∠1= ∠2
P是优弧上一动点(点D、F除外)，若∠BAC=80°，则∠DPF=＿ ＿
A
50°
2、如图，AD、AE、CB均为⊙O的切
DO F
P
B
C
线，D、E、F分别为切点，AD=8，
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳超级精简版(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳超级精简版单选题1、如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠OAC=65°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．45°D．55°答案：A分析：由切线的性质得到直角，再利用等腰三角形的性质求解∠O，利用直角三角形两锐角互余可得答案．解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵OA=OC，∠OAC=65°，∴∠AOC=180°−65°×2=50°，∵OA⊥AB，∴∠B=90°-∠O=40°，故选A．小提示：本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质，熟悉这些性质是解题关键．2、在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是(4,0)，P点的坐标是(0,3)，则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A内B．点P在⊙A外C．点P在⊙A上D．不能确定答案：C分析：根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．解：∵点A的坐标为(4,0)，点P的坐标为(0,3)，∴AP=√(4−0)2+(0−3)2=5=半径，∴点P与⊙A的位置关系是：点P在⊙A上．故选：C．小提示：本题考查了勾股定理和点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．3、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．4、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：D分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=1AB=5，然后在2RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．5、用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线答案：C分析：根据三角形内心的定义解答．解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，∴用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，故选：C．小提示：此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．6、如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（）A ．√33πB ．2√33πC ．√3πD ．2√3π 答案：B分析：如图，作过A 、B 、F 作⊙O ，AFB⌢为点F 的轨迹，然后计算出AFB ⌢的长度即可． 解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O ，过O 作OG ⊥AB∵等边ΔABC∴AB =BC ，∠ABC =∠C =60°∵BD =CE∴△BCE ≌△ABC∴∠BAD =∠CBE∵∠ABC =∠ABE +∠EBC =60°∴∠ABE +∠BAD =60°∴∠AFB =120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB =120°∵OG ⊥AB ，OA =OB∴∠BOG =∠AOG =12∠AOB =60°，BG =12AB =32 ∴∠OBG =30°设OB =x ，则OG =12x ∴x 2−(x 2)2=(32)2，解得x =√3或x =-√3（舍）∴AFB ⌢的长度为120∘×2√3π360∘=2√3π3． 故选B小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．7、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．75°C．80°D．85°答案：C分析：直接利用圆周角定理求解．⌢，解：∵∠AOB和∠ACB都对AB∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√3cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm答案：C分析：先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；连接AC ，AO ，∵圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ， 当C 点位置如图1所示时，∵OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊥AB ，∴OM =√OA 2−AM 2=√52−42=3cm ，∴CM =OC +OM =5+3=8cm ，∴AC =√AM 2+CM 2=√42+82=4√5cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，∵OC =5cm ，∴MC =5−3=2cm ，在Rt △AMC 中，AC =√AM 2+CM 2=√42+22=2√5cm ．故选C ．小提示：本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．9、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A．2B．πC．√32πD．√22π答案：D分析：由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．解：如图，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =√2AC ，∴AC =2√2，∴OA =OC =√2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×√2180=√2π2故选：D ．小提示：本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G 的轨迹，属于中考常考题型．10、如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°答案：B分析：利用圆心角、弧、弦的关系得到DC⌢=BC ⌢，再利用圆周角定理得到∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD ＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB 的度数．解：∵BC ＝CD ，∴DC⌢=BC ⌢， ∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是AD⌢， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∴∠BAD =∠BAC +∠DAC =72°，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．小提示：本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．填空题11、如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．答案：√5分析：根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，∴AC=√32−22=√5，所以答案是：√5．小提示：本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．12、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形外接圆的半径为______．答案：52分析：先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径．解：x2-12x+35=0，(x−5)(x−7)=0，解得x1=5,x2=7，当x=7时，3+4=7不能构成三角形；当x=5时，32+42=25=52，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形，，∴该三角形外接圆的半径为52所以答案是：5．2小提示：本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键．13、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的半径为______．答案：4分析：过点O作OE⊥CD,连接OC,根据垂径定理可得CE=DE,根据∠APC=45°，得到EP=OE,对式子PC2+PD2=32进行变换，即可求出半径.解：设⊙O的半径为R过点O作OE⊥CD,连接OC,∴CE=DE,∵∠APC=45°，∴EP=OE,PC2+PD2=(CE+EP)2+(DE−EP)2,=CE2+2CE⋅EP+EP2+DE2−2DE⋅EP+EP2,=2CE2+2EP2,=2(CE2+EP2),=2(CE2+OE2),∴2R2=32,解得：R=4.所以答案是：4小提示：此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子PC2+PD2=32进行变形是解题的关键.14、如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=√5，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．答案：3分析：连接AC，易得AC为直径，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC，再在Rt△ACP中利用勾股定理算出PC．解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AC=√5，∠ABC=90°，∴AC是直径．∴∠APC=90°．在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√(√5)2+(√5)2=√10，在Rt△APC中，PC=√AC2−AP2=√(√10)2−12=3．所以答案是：3．小提示：本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．15、如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90∘，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合）OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为________．答案：√22分析：连接AB，如图，先计算出AB=√2，再根据垂径定理得到AC=PC，BD=PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．解：连接AB，如图，∵OA=OB=1，∠AOB=90°，∴AB=√2OA=√2，∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC =PC ，BD =PD ，∴CD 为△PAB 的中位线，∴CD =12AB =√22． 所以答案是：√22．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．解答题16、在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra 画出如下示意图小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB 旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．答案：不认同，理由见详解分析：根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．解：甲圆锥的底面半径为BC ，母线为AB ，S 甲侧=π×BC ×AB ，乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，S乙侧=π×AC×AB，∵AC≠BC，∴S甲≠S乙，故不认同小亮的说法．小提示：本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．17、如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF=13BC，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=CF；(2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=CF．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O为正五边形的外接圆，∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．∵点M在直线AO上，∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，∴CF与DG关于直线AO对称．∴DG=CF．（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；小提示：本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．18、阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C （a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．答案：（1）(x−3)2+(y−4)2=25；（2）点A在⊙C的内部．分析：（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可；（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），∴(x−3)2+(y−4)2=25，故答案为(x−3)2+(y−4)2=25；（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，∴圆心坐标为C（2，0），∵点A（3，﹣1），AC=√(2−3)2+(0+1)2=√12+12=√2＜2∴点A在⊙C的内部．小提示：本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．。
九年级数学上册第二十四章圆专题34知切线添半径课件新版新人教版
二、添加过切点的半径求线段长度
33
4．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作
BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为__
5
5．如图，在矩形A1B2C或D中4 ，AD＝8，E是边AB上一点，且AB＝4AE.⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于 点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F，且EG∶EF＝ ∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相
再见
最新中小学教学课件
(3)当DA在C.线∵段RtC△BA的BC延中长，线∠，C＝使9四0°边，形AACE＝OBDC为＝菱2，形∴时A，B＝C2D＝2_._∵_B_C__切_⊙_．O (于直D接，写∴出∠结ODB果＝)90°，
∠B＝45°，AO＝OD＝r，OB＝ 2r，又 OB＝2 2－r，∴ 2r＝2 2－r，∴r＝4－2 2，即⊙
切时，AB的长是________．
2 3.
6．(武汉元调)已知，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为射线CB上一动点，经过点A半径长
为r的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E.
(1)如图①，当点O在斜边AB上时，求⊙O的半径r；
(2)如图②，【当解D析在】线(1段)如BC图上①，，使连四接边OD形，A∵ODBEC为是菱⊙形O 的时切，线求，CD∴的OD长⊥；BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥
第二十四章 圆
专题34 知切线添半径
武汉专版·九年级上册
40° 一、添加过切点的半径求角度 1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，若∠C＝40°，则∠PAB ＝____．
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为判定切线支招
同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.
这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．
一、“连半径，证垂直”
例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D．求证：AC是⊙O的切线．
分析：由已知条件可知欲证的切线AC与⊙O有公共点D，
因此，连接OD，再证明OD⊥AC即可．
证明：如图1，连接OD．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD.
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠OBD＝∠CBD.，
∴∠CBD＝∠O DB.
∴OD∥BC.
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.
∴AC是⊙O的切线．
二、“作垂直，证相等”
例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意
一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A，B两点.求证：PN与⊙O相切.
分析：已知条件中没有说明直线PN与⊙O有无公共点，可由圆心
O向PN作垂线OF，通过证明OF与⊙O的半径相等，得出P N与⊙O相
切.
证明：如图2，连接OE，过点O作O F⊥PN于点F.
∵⊙O与PM相切于点E，
∴OE⊥PM.
又∵PC平分∠MPN ，OF⊥PN，OE⊥PM，
∴OF=OE，
∴PN与⊙O相切.。