3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示
答案
向量 a 的横坐标不为 0，其余均为零；向量 b 的
纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为零，其 余均为 0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.5
→ → → (2)设 O 为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝ (2,1,2)，OP＝ → → (1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动， 则当QA· QB取得最小值时， 求点 Q 的坐标．
→ 1 → 1 1 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2，CF＝2，－2，0，CG＝1，0，2， 1 1 1 1 1 1 → → → CE＝0，－1， ∵EF· CF＝2×2＋2×－2＋－2×0＝0， 2
3.1.5
3 2 ，
1 ＋0
2
2
1 2 ＋ 2 ＝
5 2 1 4
→ → EF· CG → → ∴cos〈EF，CG〉＝ ＝ → → |EF||CG|
15 ＝ 15 . 3 5 × 2 2 15 EF 与 CG 所成角的余弦值为 15 .
人教版高中数学教案-空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.5空间向量运算的坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．2、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．3、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
三、教学重点：夹角公式、距离公式．四、教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择： 六、教学方法： 七、教学过程1、自主导学：2、合作探究 (一)、复习引入1). 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2). 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） (二)、新课讲授1) 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模. ｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2) 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞ ∴1122a b a b++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3) 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)Bx y z ，则A B d =、A B d 、表示A 与B 两点间的距离． 4) 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 例题讲解:课本96页：例5、例63、巩固训练：课本97页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： （1）向量的模（2）两个向量的夹角公式（3）空间两点间的距离公式八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 10 九、板书设计：。
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 隐含着它们都不是 0 。
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
（3）一个基底是指一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关连的不同概念。
新知探究：空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 特殊的： i, j, k两两垂直时 OP OQ zk. OQ xi y j.
定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
给定一个空间坐标系和向量
p ,且设
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
p xe1 ye2 ze3
x 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
新探究：空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
F1 E1 B1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.5空间向量运算的坐标表示(一)
练习 1 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ⑵ Rt △ ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ____; ⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a与 （2）当 cos a , b 1 时，
思考：当 0 cos a , b 1
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
d AB
2 2 2 | AB | ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a 2 b2 a3 b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a 2 2 a3 2 b12 b2 2 b3 2
一、向量的直角坐标运算
a ( a1 , a 2 , a 3 ), ( R ) ; a b a1 b1 a 2 b2 a 3 b3 ;
a // b a b a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ( R ) ; a b a b 0 a1b1 a 2 b2 a 3 b3 0 ;
D (0, 0, 0), A (1, 0, 0), D1 (0, 0,1) 1 1 F (0, , 0), E (1,1, ) 2 2 1 AD (0,0,0) (1,0,0) (1,0,0), D1F (0, , 1) 2 1 AD D1 F (1, 0, 0) (0, , 1) 0 D1F AD 2 1 1 1 1 1 又 AE (0,1, ) AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0 2 2 2 2 2 D1F AE 又 AD AE A D1F 平面ADE
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
化简,得
5������2 + 2������ = 2-2������2 = 0,
3,解得 λ=-1.
因此,a=(0,1,-2).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三空间向量夹角与模的计算
例3 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(2)若点
M
满足������������
=
1 2
������������
+
3 4
������������ ,求点
M
的坐标;
(3)若 p=������������,q=������������,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运
算的坐标运算法则进行计算求解. 解(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
答案(-1,-1,1) (5,-11,19) 168
课前篇自主预习
2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); (2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.
,
1 2
,-
19 4
.
������
=
-
19 4
,
(3)由(1)知,p=������������=(-1,0,9),q=������������=(-4,5,5).
3.1.5空间向量的坐标运算
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 3×
5＝
15 15 .
22
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为 1155.
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋212＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运 算求解夹角和距离问题.
题型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的 中点. (1)求证：EF⊥CF； 证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，21，0，G1，1，12. 所以E→F＝12，21，－21，C→F＝12，－12，0，C→G ＝1，0，12，C→E＝0，－1，12. 因为E→F·C→F＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以E→F⊥C→F，即 EF⊥CF.
高中数学选修2-1精品教案5：3.1.5空间向量运算的坐标表示教学设计
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．2．过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．空间向量线性运算的坐标表示问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?【答案】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.空间向量线性运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?【答案】a·b＝a1b1＋a2b2.2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？ 【答案】 求向量的模、夹角等． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝_a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)a ≠0，b ≠0，cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 ； (4)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题解析例1 如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中，11B E =11114A B D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则13(1,1,0),(1,,1),4B E 11(0,0,0),(0, 1).4D F ，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1),44BE =-=-u u u u r111(0, 1)(0,0,0)(0, 1).44DF =-=u u u u r ，，11111500()11,4416BE DF =⨯+-⨯+⨯=u u u u r u u u u r g11||,||.BE DF ==u u u u r u u u u r1111111515cos ,.17||||44所以BE DF BE DF BE DF <>===⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g u u u ur u u u u r 例2 如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 分别是BB 1，D 1B 1的中点， 求证EF ⊥DA 1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA uuu r ，DC u u u r ，1DD u u u u r为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,1,)2E ，11(,,1)22F 所以111(,,)222EF =--u u u r .又1(1,0,1)A ，(0,0,0)D ，所以1(1,0,1)DA =u u u u r所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=u u u r u u u u r ，因此1EF DA ⊥u u u r u u u u r，即1EF DA ⊥.课堂检测一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2)C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132【解析】 AB 的中点M (2，32，3)，∴CM →＝(2，12，3)，故|CM |＝|CM →|＝22＋122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A4．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12 B.22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6(n －12)2＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A 二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2， AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴AB →，AC →＝60°. 【答案】 60°7．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(b,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，a ＝t b .于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6t ，0＝t 2μ－1，2λ＝2t .解之可得⎩⎨⎧λ＝t ＝15，μ＝12.故λ＋μ＝15＋12＝710.【答案】7108．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313y ＝413z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313y ＝－413z ＝－1213.【答案】 (313，413，1213)或(－313，－413，－1213)三、解答题9．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，求cos 〈b ，c 〉． 解 (3a －2b )·c ＝3a ·c －2b ·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 又a ·c ＝2，∴b ·c ＝－3，由c ＝(－2,1,2)知|c |＝3.∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－34×3＝－14. 10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为(－65，－145，25)．图3－1－3211．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1用向量法解： (1)求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)证明：A 1B ⊥AC 1； (3)求AC 1的长度．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz . 设棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴A 1B →＝(0,1，－1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴A 1B →·B 1C →＝(0,1，－1)·(－1,0，－1) ＝0＋0＋1＝1.|A 1B →|＝0＋1＋1＝2，|B 1C →|＝1＋0＋1＝ 2.∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝12.∵〈A 1B →，B 1C →〉∈[0°，180°]， ∴A 1B 与B 1C 夹角为60°.(2)由(1)知A 1B →＝(0,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)， ∴A 1B →·AC 1→＝0＋1－1＝0， ∴A 1B ⊥AC 1.(3)∵AC 1→＝(－1,1,1)， ∴|AC 1→|＝1＋1＋1＝ 3. 即AC 1的长度为 3. 课堂小结1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算． 2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．。
教学设计2:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一．创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的 坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(=k二．新课讲授1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，332211b a b a b a b a ++=⋅112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈；00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a b a b a 212||a a a a a a =⋅=++21cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （2）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示优秀教案 新人教A版选修2-1
空间向量运算的坐标表示学习目标：1、 掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。
2、 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。
3、 掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。
学习重点：1、 利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。
2、 利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。
学习难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。
学习方法：类比法和启发探究 学习过程： 一、复习回顾 平面向量坐标运算a =(1x ,1y )，b =(2x ,2y )，写出以下向量的坐标表示 a +b =(1x +2x ，1y +2y ) a -b =(1x -2x ，1y -2y )λa =(1x λ，1y λ)a •b =1212x x y y + a //b ⇔1221x y x y -=0a ⊥b ⇔1212x x y y +=0设(,)x y =a ，那么222||a x y =+或2||a x y =+如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么1||(a x =-平面内两点间的距离公式)co s θ =||||a ba b ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=〔πθ≤≤0〕二、新授：我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对(x ，y)表示，在空间那么可用有序实数组{},,x y z 表示。
类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。
空间向量的直角坐标运算：1．设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.上述运算法那么怎样证明呢？〔将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可〕2．两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a //b⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==；⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=练习1：()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋b . ⑵3a －b ；⑶6a . ； ⑷a ·b . 练习2：()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，那么x ＝.练习3： ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，那么〔 〕A. 1,13x y == B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-3．向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，那么｜a 222123a a a ++利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4．空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，点111222(,,),(,,)A a b c B a b c ，那么A ，B 两点间的距离222212121()()()AB d AB a a b b c c ==-+-+-5、两个向量夹角公式cos ,||||⋅<>=⋅a b a b a b 112233222222123123=++⋅++a a a b b b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个公式，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向； 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．练习：()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.三、典型例题例5. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系O-xyz ，那么13(1,1,0),1,,1,4⎛⎫⎪⎝⎭B E11(0,0,0),0, 1.4⎛⎫⎪⎝⎭，D F1311,,1(1,1,0)0,,1,44⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BE1110, 1(0,0,0)0, 1.44⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，DF1111150011,4416⎛⎫=⨯+-⨯+⨯= ⎪⎝⎭BE DF111717||,||.4==BE DF 111111151516cos ,.17||||1717<>===⋅⨯BE DF BE DF BE DF因此1BE 与1DF 所成的角的余弦值是1517。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标重点: 空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示.难点：如何建立适当的坐标系及空间向量的坐标的确定和运算. 知识点：掌握空间向量坐标运算的规律.能力点：通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题,进一步培养学生的观察能力和探索能力,总结一般性方法.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过必修4平面向量的坐标运算,用类比的方法研究空间向量问题,教会学生准确的建立坐标系，用空间向量坐标解决空间几何的线面关系.自主探究点：通过平面向量运算的有关方法,引出空间向量的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系.如何建立坐标系,求解坐标才更简单.考试点：证明线线、线面的平行与垂直,求角和距离(模)等问题.易错易混点：借助与向量夹角求解异面直线的夹角最后有的学生不会转化. 拓展点：借助于向量求解线线、线面、面面的平行、垂直、夹角、距离等问题.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课复习平面向量的坐标运算 若a 11(,)x y =，b 22(,)x y =，则 (1)+a b ),(2121y y x x ++=， (2)-a b ),(2121y y x x --=， (3)λa (,x y λλ=(4)∙=a b 1212x x y y +（5）//a b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= （6）⊥a b ⇔02121=+y y x x（7）||=a1122(,),(,)A x y B x y ,AB =OB OA -),(2121y y x x --=||(AB d AB x ==（8）cos ,<>=ab +若设a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,【设计意图】通过回顾平面向量的坐标运算,可以自然的引出本节课课题,进一步让学生体会二维空间与三维空间的关系.思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 【设计意图】带着思考去学习,更能体现学习的目标性,提高学生的注意力.二、探究新知设a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,则则(1) a +b 112233(,,)a b a b a b =+++ a -b 112233(,,)a b a b a b =---λa 123(,,)()a a a R λλλλ=∈ ∙=a b 122233a b a b a b ++教师可以选择某一个坐标运算向学生证明它的正确性,加深学生对运算的理解: 如证明向量的数量积运算设,,i j k 为单位正交基底,则=a 1a i +2a j +3a k ,=b 1b i +2b j +3b k . 所以∙=a b (1a i +2a j +3a k )∙(1b i +2b j +3b k )利用向量运算的分配律以及1,0,∙=∙=∙=∙=∙=∙=i i j j k k i j j k i k 即可得出∙=a b 122233a b a b a b ++【设计意图】通过向学生展示向量的数量积运算求解过程,让学生进一步明确结论的正确性,加深了对空间向量坐标运算的理解.类似平面向量运算的坐标表示,我们还可以得到:(2) a //⇔b =a λb (b ≠0)即112233,,a b a b a b λλλ===()λR ∈⊥a b ⇔∙=a b 1122330a b a b a b ++=(3) ||a ==在空间坐标系中,已知点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ,则212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=--- 即,A B 两点间的距离||(AB d AB x==cos ,<>=a b a b a b a b ++【设计意图】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅可以解决线面的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题 ,而且为下进一步解决立体几何问题提供了方便.三、理解新知1.与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已,即由(,)x y 变成了(,,)x y z .以下两个充要条件在解题中经常使用,要熟练掌握.若a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =，则a //⇔b =a λb (b ≠0)即112233,,a b a b a b λλλ===()λR ∈;⊥a b ⇔∙=a b 1122330a b a b a b ++=.思考:若a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,则“312123a a ab b b ==”是“//a b ”的什么条件? 分析:当312123a a a b b b ==成立时, //a b 一定成立;但//a b 成立312123a a ab b b ==不一定成立,原因是123,,b b b 有为零的情况.2. 对利用向量处理平行和垂直问题的考查，主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题．对于垂直，主要利用0⊥⇔∙=a b a b 进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.二是对利用向量处理角度问题的考查,利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角),其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式cos θ||||∙=a ba b 进行计算.3.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置,建立适当、正确的空间坐标系,难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标,只有正确表示出已知点的坐标,才能通过向量的坐标运算,实现几何问题的代数化解法．【设计意图】培养学生总结归纳的能力，让学生知道利用空间向量所要解决的问题,及解决问题的一般性方法.四、运用新知题型一:空间向量的坐标运算例1.设a (2,1,6)=,b (8,3,2)=--,计算: （1）23+a b ;（2）34-a b ;（3）12∙b a ;（4）若λa +b μ与y 轴垂直,求,λμ所满足的关系式. 分析: （1）（2）（3）直接利用向量的坐标运算解决即可, （4）需要找一下λa +b μ与y 轴方向向量的关系.教师板书例题求解过程:（1）232(2,1,6)3(8,3,2)(4,2,12)(24,9,6)(20,7,18)+=+--=+--=--a b . （2）343(2,1,6)4(8,3,2)(6,3,18)(32,12,8)(38,15,10)-=---=---=a b （3）1337(4,,1)(2,1,6)421162222∙=--∙=-⨯-⨯+⨯=-b a . （4）λa (28,3,62)+=--+b μλμλμλμ,取y 轴的方向向量为(0,1,0). 所以30-=λμ,即,λμ所满足的关系式为30-=λμ.【设计意图】通过本题可以让学生先熟悉一下空间向量运算的坐标表示,可以为下面的题目做好知识、运算的铺垫.题型二:空间向量平行与垂直的判断例2. 已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设a =AB ,b =AC . （1）设||3=c ,//c BC 求c ;（2）若k +a b 与k 2-a b 互相垂直,求k .分析: 通过(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---及a =AB ,b =AC ,首先把,a b 表示出来.（1）由//c BC 则借助共线向量基本定理,可设=c λBC 这样c 的坐标中只含有一个参数λ,再利用||3=c 把λ求出即可.这种做法比直接设=c (,,)x y z 要简便的多.（2）首先把k +a b 与k 2-a b 的坐标表示出来,再利用两向量垂直时的坐标关系求出参数k 即可. 教师板书例题求解过程:（1）因为(2,1,2)BC =--,且//c BC ,设=c (2,,2)()λBC λλλλR =--∈.所以||=c 3||3λ==.解得1λ=±,所以||(2,1,2)=--c 或||(2,1,2)=-c .（2）因为a =(1,1,0)AB =,b =(1,0,2)AC =-.所以k +=a b (1,,2)k k -与k 2-a b (2,,4)k k =+-, 由k +a b 与k 2-a b 互相垂直,所以(k )+∙a b (k 2)0-=a b ,即(1,,2)k k -∙2(2,,4)2100k k k k +-=+-=,解得2k =或52k =-. 方法小结:解决空间向量平行与垂直的思路:（1）若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设=a (,,)x y z ;（2）在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知//a b ,则引入参数λ,有a λ=b ,再转化为方程组求解;（3）选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的.【设计意图】通过本例一是让学生进一步熟悉向量坐标的运算,二是体会坐标运算在解决空间平行垂直问题中的作用,并提炼利用向量坐标解决空间平行、垂直问题的一般性方法. 变式训练1: 已知向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，(2,,4)c x =-． （1）判断a 与b 的位置关系； （2）若//a c ，求|c |；（3）若b c ⊥，求c 在a 方向上的投影. 教师板书求解过程:（1）(2,4,4)2(1,2,2)2b a =--=--=-,所以,//a b ;（2）//,a c 12224x -==-,得4,x=(2,4,4),||6;c c ∴=-∴== （3）,0b c b c ⊥∴⋅=,得5x =-,(2,5,4)c ∴=--,所以c 在a 方向上的投影为2108||cos ,||0||||3a c c a c c a c ⋅-+<>=⨯==⨯.【设计意图】通过此变式训练可以让学生进一步熟练两个空间向量平行与垂直的向量坐标表示,及向量的投影问题.题型三:利用坐标运算解决夹角、距离问题例3．如图在直三棱柱(侧棱与底面垂直)111ABC A B C -中,1CA CB ==,90BCA ∠=,棱12,AA N =为1AA 的中点.（1）求BN 的长；（2）求1A B 与1B C 所成角的余弦值；分析：首先结合直三棱柱的几何特征选择C 点作为直角顶点建立 空间直角坐标系根据各个棱长写出相应点的坐标,借助与向量的 坐标运算可求解模（长度）及夹角等问题；同样本题也可借助几 何的方法解决.教师板书例题求解过程:如图建立空间直角坐标系C xyz -，由1CA CB ==,90BCA ∠=, 棱12,AA N =为1AA 的中点.则（1）(0,1,0),(1,0,1)B N ,所以(1,1,1)BN =-,2||1BN ==即:线段BN（2）依题意得11(1,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A C B ,所以11(1,1,2),(0,1,2)BA CB =-=, 且11(1,1,2)(0,1,2)3BA CB ∙=-∙=,11||6,||5BA CB ==, 所以11111130cos ,10||||BA CB BA CBBA CB ∙<>==. 故1A B 与1B C 所成角的余弦值为10. 注意:异面直线夹角的范围(0,]2π与向量夹角的范围[0,]π不同,所以再利用向量方法求解异面直线夹角的最后需要转化,即异面直线的夹角的余弦值只能是零或正数.方法小结:利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤: （1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点） （2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化） （3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）【设计意图】通过此例题可以让学生明确在特殊几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的yz特点,以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.变式训练2:在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1,D D BD 的中点,G 在棱CD 上,且14CG CD =,H 为1C G 的中点. （1）求证:1EF B C ⊥；（2）求EF 与1C G 所成角的余弦值； （3）求FH 的长；分析:本题很好找到直角顶点建系,但是在正方体中求出,G H 的坐标是关键,三问分别是线线垂直、线线角、及空间中直线 的长度均较常规. 教师板书求解过程:解:（1）证明:如图,建立空间直角坐标系D xyz -,D 为坐标原点,则有11111371(0,0,),(,,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(0,,0),(0,,)222482E F C C B G H则1111(,,),(1,0,1)222EF B C =-=--,所以1111(,,)(1,0,1)0222EF B C ∙=-∙--=所以1EF B C ⊥,即1EF B C ⊥. （2）11117(0,,1)||4C G C G =--∴=, 又由1111130()(1)22428C G EF ⎛⎫∙=⨯+⨯-+-⨯-= ⎪⎝⎭,且3||EF =, 所以11151cos ,||||EF C G EF CG EF C G ∙<>==即异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值为17. （3）1171(,,0),(0,,)2282F H ,所以131(,,)282FH =-, 即||(FH =-=所以FH 的长为8. 小结:求空间中点的坐标方法:（1）把所求点分别向,,xoy xoz yoz 平面做投影,先找投影点的坐标;y（2）可借助于中点坐标公式求解,如题目中的点,F H ；也可借助与向量关系如:已知,A B 两点坐标求P 点坐标，可以用34AP AB =的坐标关系. 【设计意图】通过题型三,一是加强学生熟悉空间向量解决立体几何问题 ,二是进一步明确求解空间中点的坐标的一般方法.五、课堂小结1.知识:（1）空间向量的坐标运算；（2）利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. （3）利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤:①建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）; ②将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）; ③经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）. 2. 思想方法:（1）类比思想;（2）数形结合思想【设计意图】通过课堂小结，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题:1.根据条件求值:（1）已知(4,1,3),(2,5,1)A B -,C 为线段AB 上一点,且13AC AB =,求点C 的坐标; （2）已知向量(1,1,0)=a 与(1,0,2)=-b 且k +a b 与2-a b 互相垂直,求k 的值; （3）已知向量=a (1,21,0)t t --与=b (2,,)t t ,则求||-b a 的最小值. 2.已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --. （1）求以,AB AC 为边的平行四边形的面积;（2）若向量a 分别与,AB AC垂直，且||=a a 的坐标. 3.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱都相等,P 为1BA 上的点,11A P λA B =,且PC AB ⊥.求： （1）求λ的值；（2）求异面直线1C A 与PC 所成角的余弦值；必做题答案: 1. （1）107(,1,)33C -（2）75k =（32. （1）2）(1,1,1)=a 或(1,1,1)=---aB1B1A1CACp3. （1）12λ=（2）2选做题：1. 已知三个力1(1,2,3)=f ，2(1,3,1)=--f ，3(3,4,5)=-f ，若123,,,f f f 共同作用于一物体上，使物体从点1(1,2,1)M -移动到点2(3,1,2)M ，求f 合力所做的功W .2. 已知向量(5,3,1)=a 与=b 2(2,,)5t --，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.3．正四棱锥S ABCD -E 是SA 的中点,O 为底面ABCD 的中心. （1）求CE 的长；（2）求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值； 选做题答案：1.16 2. 6652(,)(,)5515-∞-⋃-. 3. （1（2）12. 【设计意图】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用空间向量的坐标解决一些平行、垂直、夹角、距离(模)等问题；二是让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.七、教后反思1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生借助于平面向量运算的坐标表示去引导探究空间向量运算的坐标表示,在此基础上进一步探讨空间向量的平行、垂直、夹角、距离(向量的模)等问题,以及空间直角坐标系的建立和空间点坐标的求法等问题.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学基本上掌握空间向量运算的坐标表示等相关问题.2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:一是对于求解空间终点的坐标学生仍是个难点;二是求解异面直线的夹角与向量的夹角的转化上有的同学一是不理解二是容易忘在下一步的教学中应多进行加强.八、板书设计。