高考文科数学复习直线、平面平行的判定与性质

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3．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点， 则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为________．
答案：平行
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[全析考法]
考法一 线面平行的判定
[例 1] 如图，空间几何体 ABCDFE 中，
四边形 ADFE 是梯形，且 EF∥AD，P，Q 分
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴O 是 AC 的中点，
又 M 是 PC 的中点，∴AP∥MO.
又 MO⊂平面 BMD，AP⊄平面 BMD，∴AP∥平面 BMD.
∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
且 AP⊂平面 PAHG，∴AP∥GH.
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[方法技巧]
线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条 与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合 理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、 寻找比例式证明两直线平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
∵MN⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB，∴MN∥平面 PAB.
在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，∴CN∥平面 PAB.
又 CN∩MN＝N，∴平面 CMN∥平面 PAB.
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
质 则过这条直线的任一平面与 定 此平面的 交线与该直线平行
l∥α，l⊂β， α∩β＝b⇒l∥b
理 (线面平行⇒线线平行)
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行．
()
(2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线
有无数条．
()
(3)空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则
EF∥平面 BCD.
()
答案：(1)× (2)× (3)√
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二、填空题 1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关
系是________________． 答案：平行、相交或异面 2．若直线 a∩直线 b＝A，a∥平面 α，则 b 与 α 的位置关 系是____________________． 解析：因为 a∥α，∴a 与平面 α 没有公共点，若 b⊂α， 则 A∈α，又 A∈a，此种情况不可能．∴b∥α 或 b 与 α 相交． 答案：b∥α 或 b 与 α 相交
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突破点二 平面与平面平行的判定与性质
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
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符号语言
一个平面内的两条 相交 判定平面平行
(线面平行⇒面面平行)
a∥β，b∥β，a∩b ＝P，a⊂α，b⊂α ⇒α∥β
∴FM∥平面 ABE，
在矩形 ACC1A1 中，E，M 都是中点，
∴C1M∥AE，而 C1M⊄平面 ABE，AE⊂平面 ABE， ∴C1M∥平面 ABE，∵C1M∩FM＝M， ∴平面 ABE∥平面 FMC1，又 C1F⊂平面 FMC1， 故 C1F∥平面 ABE.
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2.[考法二]如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包括 A，
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法二：如图，连接 EQ 并延长， 与 AD 的延长线交于点 H，连接 BH.
因为 EF∥DH，所以∠EFQ ＝ ∠HDQ ，
又 FQ ＝Q D，∠EQ F＝∠DQ H， 所以△EFQ ≌△HDQ ，所以 EQ ＝Q H. 在△BEH 中，BP＝PE，EQ ＝Q H，所以 PQ ∥BH. 又 PQ ⊄平面 ABCD，BH⊂平面 ABCD， 所以 PQ ∥平面 ABCD.
面平行．
()
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平
行或异面．
()
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
()
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二、填空题 1．设 α，β，γ 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ. 其中能推出 α∥β 的条件是________．(填上所有正确的序号) 答案：②
平面 DCE，所以 AB∥平面 DCE，
因为 AB∩AF＝A，AB⊂平面 ABF，AF⊂平面 ABF，所
以平面 ABF∥平面 DCE.
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法二：利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明 因为 DE⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD， 所以 DE∥AF， 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB∥CD. 又 AF∩AB＝A，DE∩DC＝D， 所以平面 ABF∥平面 DCE. 法三：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明 因为 DE⊥平面 ABCD， 所以 DE⊥AD，在正方形 ABCD 中，AD⊥DC， 又 DE∩DC＝D，所以 AD⊥平面 DEC. 同理 AD⊥平面 ABF. 所以平面 ABF∥平面 DCE.
如果两个平行平面同时 性质
和第三个平面 相交 ，那 定理 么它们的 交线 平行
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
[基本能力]
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一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个
平面平行．
()
(2)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平
[集训冲关]
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1.[考法一]在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，
E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．证明：
C1F∥平面 ABE. 证明：取 AC 的中点 M，连接 C1M，
FM，在△ABC 中，FM∥AB，
而 FM⊄平面 ABE，AB⊂平面 ABE，
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2．已知平面 α∥β，直线 a⊂α，有下列命题： ①a 与 β 内的所有直线平行； ②a 与 β 内无数条直线平行； ③a 与 β 内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________． 解析：由面面平行和线面平行的性质可知，过 a 与 β 相 交的平面与 β 的交线才与 a 平行，故①错误；②正确； 平面 β 内的直线与直线 a 平行，异面均可，其中包括异 面垂直，故③错误． 答案：②
⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD，DE＝3AF＝3.
证明：平面 ABF∥平面 DCE. [证明] 法一：应用面面平行的判定定理证明
因为 DE⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD，
所以 DE∥AF，因为 AF⊄平面 DCE，DE⊂平面 DCE，
所以 AF∥平面 DCE，
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB∥CD，因为 AB⊄
别为棱 BE，DF 的中点．求证：PQ ∥平面 ABCD.
[证明] 法一：如图，取 AE 的中
点 G，连接 PG，Q G. 在△ABE 中，PB＝PE，AG＝GE，
所以 PG∥BA，又 PG⊄平面 ABCD，BA ⊂平面 ABCD，
所以 PG∥平面 ABCD.
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在梯形 ADFE 中，DQ ＝Q F，AG＝GE，所以 GQ ∥AD， 又 GQ ⊄平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， 所以 GQ ∥平面 ABCD. 因为 PG∩GQ ＝G，PG⊂平面 PQ G，GQ ⊂平面 PQ G， 所以平面 PQ G∥平面 ABCD. 又 PQ ⊂平面 PQ G，所以 PQ ∥平面 ABCD.
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3．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与 α， β 分别交于 CD，AB，若 PC＝2，CA＝3， CD＝1，则 AB＝________.
解析：∵α∥β，∴CD∥AB，则PPAC＝CADB， ∴AB＝PAP×CCD＝5×2 1＝52. 答案：52
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[典例] 如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE
第三节 直线、平面平行的 判定与性质
[考纲要求]
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行 关系的简单命题．
Contents
1 突破点一 直线与平面平行的判定与性质 2 突破点二 平面与平面平行的判定与性质 3 课时跟踪检测
考法二 线面平行性质定理的应用
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[例 2] 如图所示，四边形 ABCD 是
平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过
G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH. [证明] 如图所示，连接 AC 交 BD 于
点 O，连接 MO，
(2)∵FA⊥平面 ABCD，∴FA⊥AB.
又 AB⊥AD，且 FA∩AD＝A，
∴AB⊥平面 ADEF，即 CN⊥平面 ADEF.
连接 AC，则多面体 ABCDEF 的体积 VABCDEF＝VF-ABC＋
VC-ADEF＝13×12×2×1×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝83.
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“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测” (四十二) (单击进入电子文档)
D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B. 证明：在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1⊂平面 BB1D，CC1⊄平面 BB1D，所以 CC1∥平面 BB1D. 又 CC1⊂平面 CEC1，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG， 所以 CC1∥FG. 因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG. 而 BB1⊂平面 AA1B1B，FG⊄平面 AA1B1B， 所以 FG∥平面 AA1B1B.