2015-2016学年湖北省黄冈中学高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年湖北省黄冈中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．（5.00分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=3．（5.00分）下列各组向量中可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（1，2），=（3，4）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）4．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移5．（5.00分）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．86．（5.00分）如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸运点”有多少个（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5.00分）已知函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．（5.00分）若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（）A．B．或0C．0 D．以上答案都不对9．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，记a=f（0），b=f（），c=f（），则有（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．（5.00分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 11．（5.00分）设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b ∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）12．（5.00分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（）①h（x）=2016x②h（x）=|x|③h（x）=x+sin．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知角α的终边过点（﹣1，），则tanα=．14．（5.00分）若函数f（x）=的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域为．15．（5.00分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．16．（5.00分）已知a=log827，则2a+2﹣a=．三、解答题（本大题共有6题，满分70分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（10.00分）已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值？18．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求sinx+cosx的值．19．（12.00分）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？20．（12.00分）如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．21．（12.00分）若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．（1）函数f（x）=是否是“可拆函数”？请说明理由；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围：（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．22．（12.00分）已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}设函数f（x）=（a，b为常数）．（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．2015-2016学年湖北省黄冈中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．2．（5.00分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=【解答】解：y=cosx是偶函数，不满足条件．y=sinx既是奇函数又存在零点，满足条件．y=lnx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y=是奇函数，但没有零点，不满足条件．故选：B．3．（5.00分）下列各组向量中可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（1，2），=（3，4）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：由题意可知=（1，2），=（3，4）不共线，可以作为基底．故选：B．4．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．5．（5.00分）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=cosB=|BC|2=8．故选：D．6．（5.00分）如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸运点”有多少个（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：当x=1时，对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，故M（1，1），N（1，2），一定不是幸运点，当y=1时，指数函数y=a x（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，故P（2，1）也一定不是幸运点，而Q（2，2）是函数y=x与y=的交点；G（2，）是函数y=x与y=log4x的交点；故幸运点有2个，故选：C．7．（5.00分）已知函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【解答】解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选：B．8．（5.00分）若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（）A．B．或0C．0 D．以上答案都不对【解答】解：∵sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，∴sin2θ+cos2θ===1，解得k=﹣7或k=1（舍），∴sinθ===，cosθ===，∴tanθ==．故选：A．9．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，记a=f（0），b=f（），c=f（），则有（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵f（x）的周期为π，∴ω=2，∵A＞0，当x=时，函数f（x）取得最小值，∴sin（+φ）=﹣1，∴+φ=﹣+2kπ，即φ=﹣+2kπ，∵φ是锐角，∴φ=．∴f（x）=Asin（2x+）．令A=1，作出f（x）在一个周期内的大致函数图象，由图象可知f（x）在[0，]上单调递增，∴f（0）＜f（），∵f（x）关于x=对称，∴f（0）=f（），∴f（0）=f（）＜f（）．故选：A．10．（5.00分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C．11．（5.00分）设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b ∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，则有=，即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，又∵a≠﹣2，∴a=2；则函数f（x）=lg，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤∴a b=2b∈（1，]，故选：A．12．（5.00分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（）①h（x）=2016x②h（x）=|x|③h（x）=x+sin．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①h（x）=2016x的定义域为R；∵cosh（x+π）=cos[2016（x+π）]=cos（2016x+2016π）=cos（2016x）=cosh（x），∴h（x）是以π为周期的余弦周期函数；②h（x）=|x|的定义域为R；∵cosh（x+2π）=cos（|x+2π|）=cos（|x|）=cosh（x），∴h（x）是以2π为周期的余弦周期函数；③h（x）=x+sin的定义域为R；∵cosh（x+6π）=cos（x+6π+sin）=cos（x+sin）=cosh（x），∴h（x）是以6π为周期的余弦周期函数；故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知角α的终边过点（﹣1，），则tanα=﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，），∴tanα==﹣．故答案为：．14．（5.00分）若函数f（x）=的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域为[0，1）．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解得0≤x≤1，因此函数g（x）=的定义域满足：，可得0≤x＜1．∴函数g（x）=的定义域为：[0，1）．故答案为：[0，1）．15．（5.00分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：16．（5.00分）已知a=log827，则2a+2﹣a=．【解答】解：a=log827=log23．2a+2﹣a==．故答案为：．三、解答题（本大题共有6题，满分70分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（10.00分）已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值？【解答】解：由A∩C=A知A⊂C；又A=α，β，则α∈C，β∈C．而A∩B=∅，故α∉B，β∉B．显然A即属于C又不属于B的元素只有1和3．不仿设α=1，β=3对于方程x2+px+q=0的两根α，β应用韦达定理可得p=﹣4，q=3．18．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求sinx+cosx的值．【解答】解：（1）因⊥，所以sinx﹣cosx=0 …（2分）所以tanx=1 …（5分）（2）因为与的夹角为，，所以①…（7分）设sinx+cosx=a②由①2+②2得a2=…（10分）因x是锐角，所以a为正值，所以a=…（12分）19．（12.00分）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【解答】解：（1）当0≤x≤30时，L（x）=2+0.5x；当x＞30时，L（x）=2+30×0.5+（x﹣30）×0.6=0.6x﹣1，∴（注：x 也可不取0）；（2）当0≤x≤30时，由L（x）=2+0.5x=35得x=66，舍去；当x＞30时，由L（x）=0.6x﹣1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）=0.58x，当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，∴25＜x≤30；当x＞30时，由L（x）＜F（x），得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，∴30＜x＜50；综上，25＜x＜50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．20．（12.00分）如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．【解答】解：（1）以O为原点建立如图所示的直角坐标系．由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t （s）满足函数关系，∵水轮每分钟旋转4圈，∴．∴．∵水轮半径为4 m，∴A=4．∴．当t=0时，y=0．∴．∴．（2）由于最高点距离水面的距离为6，∴．∴．∴．∴t=5+15k（k∈Z）．∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．21．（12.00分）若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．（1）函数f（x）=是否是“可拆函数”？请说明理由；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围：（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=0，是“可拆函数”；当k≠0时，f（x+1）=，f（1）=k，故=+k，即x2+x+1=0，方程无解，故f（x）=不是“可拆函数”；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，则方程f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+b+2x+1=2x+b+2x+2+b+2有解，即b=2x﹣2有解，故b＞﹣2；（3）证明：令f（x+1）=f（x）+f（1），即cos（x+1）=cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx=cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1=cos1，故存在θ，故cos（x+θ）=cos1，即cos（x+θ）=cos1，即cos（x+θ）=，∵cos21﹣（2﹣2cos1）=cos21+2cos1﹣2＜cos2+2cos﹣2=+﹣2＜0，故0＜＜1，故方程cos（x+1）=cosx+cos1有解，即f（x）=cosx是“可拆函数”．22．（12.00分）已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}设函数f（x）=（a，b为常数）．（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．【解答】解：（1）举反例即可．f（x）=，由f（﹣1）==，f（1）==﹣，可得f（﹣1）≠﹣f（1），即有f（x）∉M；（2）由f（x）∈M，可得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣对x∈R恒成立，即有（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0，即为，解得或，由f（x）的定义域为R，可得舍去，故a=1，b=2，即有f（x）==﹣+，由2x＞0，可得1+2x＞1，即0＜＜1，则f（x）∈（﹣，），由对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，可得sinθ≥，解得2kπ+≤θ≤2kπ+，k∈Z．。