高二数学余弦定理训练题-word
(完整版)余弦定理练习题及答案
积累巩固1.已知a ,b ,c 是∆ABC 中角A ,B ,C 的对边,若a =21，b =5,c =4,则A ＝.3,b =3,c =30︒,则A ＝.2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a =3.在△ABC 中，三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为．4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5.在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7，B ＝60°，求边C ．延伸拓展6.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．7.已知a 、b 、c 分别是∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若∆ABC 面积S∆ABC=3,c =2,A =60︒,求a 、b 的值．28.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若a ⋅cos 2．C A 3+c ⋅cos 2=b ，求证：2229.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知b +c =a +3bc ，求：（1）A 的大小；（2）2sin B cos C -sin(B -C )的值．10.设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，且A=60o ，c=3b.求：（1）222cos B cos C a的值；（2）的值.+c sin B sin C 创新应用11.在△ABC 中，a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，且2cos(A +B )=1.求：（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.12.已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2cos B cos C -sin B sin C =1．2（1）求A ；（2）若a =23,b +c =4，求∆ABC 的面积．13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要走多少海里？参考答案b 2+c 2-a 21=，∠A =60o ．1.60解析：cos A =2bc 2o 2.解：由余弦定理可得c 2=3+9-2⨯3⨯3cos30o =3,解得c =a =3⇒A =C =30o (或)．616+36-99+36-1616+9-36613.解：由余弦定理，所求式=++=．22224.解：设顶角为C ，因为l =5c ,∴a =b =2c ，由余弦定理得πa 2+b 2-c 24c 2+4c 2-c 27cos C ===．2ab 2⨯2c ⨯2c 85.解：由余弦定理得(7)2＝1＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3．6.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝(2)2＋c 2－22c cos45°，∴c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)；∴c ＝1＋3．c 2＋a 2－b 222＋（1＋3）2－（2）23又cos B ＝＝＝，且B 为三角形内角；2ca 22×2×（1＋3）∴B ＝30°；∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．7.解：ΘS∆ABC=1bc sin A =3，∴1b ⋅2sin 60︒=3，得b =12222由余弦定理得a =b +c -2bc cos A =1+2-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3，∴a =2222223．8.证明：由已知得：，∴，∴，∴，即222．9.解：(1)由余弦定理得a b c2bccosA,b2c2a23bc3故cosA,所以A.2bc2bc26(2)2sinB cosC sin(B C)2sin B cos C(sinB cos C cos B sinC)sinB cos C cos B sinC1sin(B C)sin(A)sin A.210.解：（1）由余弦定理得1117a7 a2b2c22b cosA(c)2c22g cg cg c2.3329c3（2）由余弦定理及（1）的结论有72212c c(c)a c b539. cosB2ac7272g cg c3222故sin B1cos2B1253. 282772122c c ca2b2c2919,同理可得cosC2ab71272g cg c33sin C1cos2C1133. 2827从而cosB cosC5114333. sinB sin C39911.解：(1)∵2cos(A +B )=1，∴cos C =-21，∴角C 的度数为120°.2(2)∵a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，∴由求根公式计算得a +b =23，ab =2,222由余弦定理得c =a +b -2ab cos C =(a +b )-2ab (cos C +1)＝12－2＝10.2∴c =10.(3)S =13ab sin C =.2212.解：（1）Θcos B cos C -sin B sin C =又Θ0<B +C <π，∴B +C =22211，∴cos(B +C )=；223；ΘA +B +C =π，∴A =π2π．3（2）由余弦定理得a =b +c -2bc ⋅cos A ，∴(23)=(b +c )-2bc -2bc ⋅cos 222π，3即12=16-2bc -2bc ⋅(-)，∴bc =4；12∴S∆ABC=113bc ⋅sin A =⋅4⋅=3．222o o o 13.解：在△ABC 中，∠BAC =90+30=120，∴BC =AB 2+AC 2-2AB g AC cos A =202+102-2⨯20⨯10cos120o =107．答：乙船直接赶往B 处救援最少要走107海里．。
高中数学正、余弦定理练习题(含答案)
高中数学正、余弦定理练习题(含答案)高中数学正弦、余弦定理练题（含答案）知识点、方法：正弦、余弦定理及其应用、三角形形状判定、三角形的面积、正弦、余弦定理的实际应用。
一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2014南阳高二期末）在△ABC中，A=60°，BC=3，则△ABC的周长为（D）A) 4sin(B)+3B) 4cos(B)+3C) 6sin(B)+3D) 6cos(B)+3解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，BC=3，得b+c=2sinB，即b+c=6cosB。
故选D。
2.（2014宁德质检）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a²=b²+c²-bc，则角C为（D）A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°解析：cosA=(b²+c²-a²)/2bc=cosC，代入c=2bsinC得sinC=2sinBsinC，代入sin²B+sin²C=1得sinB=√3/2，B=60°，C=π-A-B=90°。
故选D。
3.（2014珠海高二期末）在△ABC中，若c·cosB=a，则△ABC是（C）A) 等腰三角形B) 等腰三角形或直角三角形C) 直角三角形D) 等边三角形解析：c²=a²+b²-2abcosC，代入c·cosB=a得a²+b²=c²，即△ABC为直角三角形。
故选C。
4.（2014菏泽高二期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=60°，b=4，若0<a≤4或a=6，则a的取值为（C）A) 0<a<4B) a=6C) a≥4或a=6D) 0<a≤4或a=6解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，b=4，得a/√3=c/2，即a≥4sin60°=2√3.又∵a²=b²+c²-2bccosA，代入A=60°，b=4，得c²-4c+4=0，即c=2或c=2b=8.故a≥4或a=6.故选C。
余弦定理40道基础题必练题含详解
利用余弦定理可求 ab 的值，从而可求三角形的面积.
【详解】
因为 C 120 ，故 c2 a2 b2 2ab cos120 a2 b2 ab ，
而 a b2 c2 4 ，故 c2 a2 b2 2ab 4 a2 b2 ab ，
故 ab 4 ，故三角形的面积为 1 ab sin120 3 4 3 ，
由余弦定理可得： cos A b2 c2 a2 16 36 28 1
2bc
246 2
又 A 0, 所以 A
3
故选：C
4．C
【分析】
答案第 1页，总 21页
利用余弦定理即可求解. 【详解】
在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 2bc 2 ，
【详解】
依题意，由正弦定理得 c2 2a bb a b a ，
c2 2ab b2 a2 ab ， a2 b2 c2 ab ， a2 b2 c2 1 ，
2ab
2
即 cos C 1 .由于 0 C ，
2 所以 C 2 .
3
故选：C
3．C
【分析】
由余弦定理求解可得结果. 【详解】
则C （ ）
A． 6
B．
或
2
33
C． 2 3
D．
6
或
5 6
3．在 ABC 中，若 AC 4 ， AB 6 ， BC 2 7 ，则 A （ ）
A． 6
B．
4
C．
3
4．在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，则 A （ ）
D．
2
A． 90
B．150
C．135
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题(最新整理)
，则 b=___________．
27．在 AC 中，已知 A 4 3 ， AC 4 ， 30 ，则 AC 的面积是
．
28．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，设 S 为△ ABC 的面积， S 3 (a2 b2 c2 ) ，则 C 的
4 大小为___________.
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4， b 4 3, A 30 ，则 B 等于（ ）
A．30°
B．30° 或 150°
C．60°
D．60°或 120°
2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．已知 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 (2a c) cos B b cos C 0 ，则角 B 的大小为（ ）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
4．在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 sin C =2， b2 a 2 3ac ，则 B =( )
sin A
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5 ，c=10，A=30°，则 B 等于（ ）
5
在△ABC 中，由余弦定理得，
=，
化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c）， 则 c2=a2+b2， ∴△ABC 为直角三角形， 故选：B． 12．C 【解析】 试题分析：由 A 的度数求出 sinA 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，由 b 小于 a，得到 B 小于 A， 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数． 解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，
余弦定理练习题及答案
余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。
2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。
解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。
再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。
根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。
解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。
代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。
解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。
余弦定理习题及练习
❖ 2．余弦定理的应用
❖ 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题：
❖ 1已知三边,求三个角； ❖ 2已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进
而求出其他角．
❖ 解：由于a＋b＋cb＋c－a＝3bc,
❖ 所以a2＝b2＋c2－bc,
❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA,
❖ 又∵sinA＝sinB＋C ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC, ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC, ❖ 即sinB－C＝0,∴B＝C, ❖ 又B＋C＝120°,∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
❖ 例 3 在 △ ABC 中 , 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC,试判断三角形的形状．
❖ 分析 由题目可获取以下主要信息：
❖ ① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
❖ ②确定三角形的形状．
❖ 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后 由三角恒等式进行化简,得出结论；也可先 由余弦定理及同角三角函数关系转化成边 之间的关系,然后由边的关系确定三角形形 状．
❖ 例4 在△ABC中,C＝2A,a＋c＝10,cosA ＝ ,求b.
❖ 点评 1本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c,再利 用余弦定理求出b的值,通过正、余弦定理的完美结合求得 结果．
❖ 2正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解 三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实 际情况可以选择地运用,也可以综合地运用,要注意以下关 系式的运用：
(完整版)余弦定理练习含答案
课时作业2余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1.在△ABC 中，已知 a = 5, b =4,Z C = 120°.则 c 为()A. 41B. , 61C. 41 或 61D. , 21【答案】 B【解析】 c = ” a 2 + b 2 — 2abcosC=52 + 42 — 2X 5X 4X — 2 = 61.2.^ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足 b 2 = ac ，且 c = 2a ,则 cosB =( )3B. 3C.【答案】 B【解析】 由b 2 = ac ，又c = 2a ,由余弦定理3. 在厶ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a = 3、b = 4、c = 6,贝卩 bccosA + cacosB + abcosC =A*_ a 2 + c 2 — b 2 cosB = 2ac a 2+ 4a 2 — a x 2a 3 2a 2a — 4.b 2 +c 2— a 2bccosA + cacosB + abcosC = bc •c 2 + a 2 — b 2 a 2 + b 2 — c 2 1 1 1 ca -20c + ab • 2ab = 2(b 2 + c 2— a 2) + 2(c 2 + a 2 — b 2) + ^(a 2 + 1 61b 2—c 2) = 2(a 2 + b 2+ c 2)=亍4. 在△ ABC 中：(1) a = 1, b = 1,Z C = 120° 求 c ; (2) a = 3, b = 4, c = 37,求最大角； (3) a:b:c = 1: 3 :2,求/ A 、/ B 、/ C. 【分析】(1)直接利用余弦定理即可； (2) 在三角形中，大边对大角； (3) 可设三边为x ， 3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC 1=12+ 12 — 2X 1 x 1 x (—刁=3,「・c = 3. (2) 显然/C 最大，a 2+b 2 —c 2 32+ 42— 37 1/cosC = —2ab — = 2x 3x 4 = — 2.AzC = 120°(3) 由于 a:b:c = 1: 3 :2, 可设 a = x , b = V3x , c = 2x(x>0).b 2+c 2 — a 2 3x 2 + 4/ — x 2 百由余弦定理，得 cosA = —2bc — = 2 • 3X 2X = ~2,/./\= 30 °【答案】 612 【解析】1同理cosB=2 cosC= O.「./3= 60 ,ZC= 90 .12,【规律方法】1. 本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦 定理的结构特征.2. 对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求 出/A ,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/ B ,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）ABC 中，下列结论：① a 2>b 2 + &,则厶ABC 为钝角三角形; ② a 2= b 2 + c 2 + be,则/ A 为 60° ③ a 2+ b 2>e 2，则△ ABC 为锐角三角形;④ 若/ A:Z B: / C = 1:2:3，贝卩 a:b:e = 1:2:3, 其中正确的个数为（）A . 1B . 2 C. 3 D . 4【答案】 A•••么为钝角，正确;b 2 + e 2— a 2【解析】 ① eosA = b 2+ c 2—a 2 —2bc —<°，②eosA=—2be—12,a 2+b 2—c 2③ cosC = 2ab >0，•••©为锐角，但/ A 或/B 不一定为锐角，错误;④ Z A = 30 ° ZB = 60 ° ZC= 90 °a:b:c = 1: 3 :2,错误.故选 A.2.A ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ,设向量p =(a + c , b), q = (b — a , c — a).若 p// q ,则/ C 的大小为( )人nA~6nB.3nc.2【答案】 B【解析】 Tp = (a + c , b), q = (b — a , c — a)且 p 〃q , • .(a + c)(c — a) — b(b — a) = 0n zC= 3.冗 ,△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,/ A =3 a=7, b = 1,则 c 等于()A . 2 2B . 3 C/ 3 + 1 D . 2 3【答案】 B【解析】 由余弦定理得，a 2= b 2 + c 2— 2bccosA ,即 a 2+ b 2— c 2= ab , 「•cosC = a 2+ b 2—c 2=_ab =1 2ab = 2ab =2.所以(7)= 1 + c2—2x 1 x e x cog.即c2—c—6= 0,解得c= 3 或c= —2（舍）.故选 B.4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+ c2,则/ A 的取值范围是（）A.（扌，n ）B. （n, nC.（n，f）D. （0, n【答案】C【解析】因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A> ZB,/A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为Z B+ Z C= n-Z A,所以2ZA> n—Z A, 即Z Ag因为a2<b2+ c2,所以cosA=葺b—2>0,所以0<从W综上,n /A n3<zA<25. 在△ ABC 中，已知 a = 4,b= 6,Z C= 120° 则si nA 的值为() A语D「I?【答案】【解析】由余弦定理得c = a2+ b2—2ab cosC = 42+ 62—2X4X 6( —2)= 76,••c= 76.由正弦定理得轟=sinC,即蠢=sinLZQ ,4sin120。
高中数学：正弦定理和余弦定理练习及答案
高中数学：正弦定理和余弦定理练习一、选择题1．在△ABC 中，已知b ＝4，c ＝2，∠A ＝120°，则a 等于……………….( )A ．2B ．6C ．2或6D ．2 2．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于…..( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知在△ABC 中，sin A △sin B △sin C ＝3△5△7，那么这个三角形的最大角是…( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则△C 等于………………….( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60°5．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )6*．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则的值为……………………( )A ．79B ．69C ．5D ．-5二、填空题7．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是________．3321213615+⋅14139．在△ABC 中，△C ＝60°，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，则＝________．10*．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．三、解答题11．已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12．在△ABC 中，cos2，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径．13．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 和面积S 满足S ＝a 2-(b -c )2，且b ＋c ＝8，求S 的最大值．ca b c b a +++5109310922=+=c c b A14*．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题A D C D D D二、填空题7． 8．- 9．1 10．4或5三、解答题11．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49． △ b ＝7，S △＝ac sin B ＝×3×2×＝．12．解：△ c ＝5，，△ b ＝4 又cos 2 △ cos A ＝ 又cos A ＝△△ b 2＋c 2-a 2＝2b 2△ a 2＋b 2＝c 2 5771332321213212331092=+c c b c c b A A 22cos 12+=+=c b bc a c b 2222-+c b bc a c b =-+2222△ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝＝3△ △ABC 的内切圆半径r ＝(b ＋a -c )＝1．13．解：△ S ＝a 2-(b -c )2 又S ＝bc sin A △ bc sin A ＝a 2-(b -c )2△ (4-sin A )△ cos A ＝(4-sin A )△ sin A ＝4(1-cos A )△ 2sin △ tan △ sin A＝△ c ＝b ＝4时，S 最大为 14．解：△ a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0由上述两式相加，相减可得c ＝(a 2＋3)，b ＝(a -3)(a ＋1)△ c -b ＝(a ＋3)△ a ＋3＞0，△ c ＞bc -a ＝(a 2＋3)-a ＝(a 2-4a ＋3)＝(a -3)(a -1)△ b ＝(a -3)(a ＋1)＞0，△ a ＞3△ (a -3)(a -1)＞0△ c ＞a△ c 边最大，C 为最大角 22b c -212121412222=-+bc a c b 412sin 82cos 22A A A =2A 41=178)41(14122tan 12tan 222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bcA bC S Θ17644141214141414141△ cos C ＝△ △ABC 的最大角C 为120°ab c b a 2222-+21)1)(3(412)3(161)1()3(16122222-=+-⋅+-+-+=a a a a a a a。
(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细
正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。
余弦定理练习题
余弦定理练习题余弦定理是三角学中的重要定理之一，它可以用来计算一个三角形的边长或角度。
在本文中，我们将提供一些余弦定理的练习题，以帮助读者更好地理解和应用这个定理。
题1：已知一边长和两个角度，求另两边长。
解：设三角形的边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。
根据余弦定理，我们有以下等式：a² = b² + c² - 2bc*cos(A)假设已知边长b=5，角度A=30°，角度B=45°。
我们可以将这些已知值代入上述等式，然后求解未知边长a和c。
a² = 5² + c² - 2*5*c*cos(30°)= 25 + c² - 10c*cos(30°)我们还需要知道cos(30°)的值，根据三角函数表可知，cos(30°) = √3/2。
将该值代入原等式，我们得到：a² = 25 + c² - 10c*(√3/2)= 25 + c² - 5√3c这是一个关于c的二次方程，我们可以将其化简为标准形式：c² - 5√3c + (25 - a²) = 0接下来，我们可以使用二次方程的求解方法，求解出c的值。
题2：已知两边长和对应角度，求另一边长的范围。
解：设三角形的边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。
根据余弦定理，我们有以下等式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)假设已知边长a=3，边长b=4，角度C为可变角度。
c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(C)= 9 + 16 - 24*cos(C)= 25 - 24*cos(C)在余弦定理中，边长的平方小于等于两边长之和的平方，即c² ≤ (a + b)²。
所以我们可以得到以下不等式：25 - 24*cos(C) ≤ (3 + 4)²25 - 24*cos(C) ≤ 49-24*cos(C) ≤ 24cos(C) ≥ -1根据余弦函数的定义域，-1 ≤ cos(C) ≤ 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学余弦定理训练题
高二数学余弦定理训练题
高二数学余弦定理训练1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120，则边c的值是()
A.8
B.217
C.62
D.219
解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246cos 120=76，c=219.
2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120，则sin A的值为()
A.5719
B.217
C.338
D.-5719
解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C
=22+32-223cos 120=19.
c=19.
由asin A=csin C得sin A=5719.
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.
解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a222a2a=78.
答案：78
4.在△ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断△ABC的形状. 解：法一：根据余弦定理得
b2=a2+c2-2accos B.
∵B=60，2b=a+c，
(a+c2)2=a2+c2-2accos 60，
整理得(a-c)2=0，a=c.
△ABC是正三角形.
法二：根据正弦定理，
2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.
又∵B=60，A+C=120，
C=120-A，
2sin 60=sin A+sin(120-A)，
整理得sin(A+30)=1，
A=60，C=60.
△ABC是正三角形.
课时训练
一、选择题
1.在△ABC中，符合余弦定理的是()
A.c2=a2+b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
D.cos C=a2+b2+c22ab
解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.
2.(2019年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则
最大角的余弦值是()
A.1213
B.513
C.0
D.23
解析：选C.∵ca，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.
3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
解析：选B.∵42=1622+32=13，边长为4的边所对的角是钝角，△ABC是钝角三角形.
4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为()
A. B.6
C.2
D.3或23
解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，
cos A=b2+c2-a22bc=-12，
又∵0
5.在△ABC中，下列关系式
①asin B=bsin A
②a=bcos C+ccos B
③a2+b2-c2=2abcos C
④b=csin A+asin C
一定成立的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.
6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于()
A.14
B.34
C.24
D.23
解析：选B.∵b2=ac，c=2a，
b2=2a2，
cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a
=34.
二、填空题
7.在△ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则AC=________.
解析：由余弦定理，
得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，
即49=25+AC2-25AC(-12)，
AC2+5AC-24=0.
AC=3或AC=-8(舍去).
答案：3
8.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是
方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.
解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-24512=21，第三边长是21.
答案：21
9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.
解析：由正弦定理，
得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.
不妨设a=5k，b=7k，c=8k，
则cos B=5k2+8k2-7k225k8k=12，
B=3.
答案：3
三、解答题
10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.
解：A为b，c的夹角，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，
16=9+c2-635c，
整理得5c2-18c-35=0.
解得c=5或c=-75(舍).
由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-25243=0，
∵0
11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若
(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.
解：由题意可知，
(a+b+c)(a+b-c)=3ab，
于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，
即a2+b2-c22ab=12，
所以cos C=12，所以C=60.
12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状. 解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，
得c=aa2+c2-b22ac，c2+b2=a2，
△ABC是以A为直角的直角三角形.
又∵b=asin C，b=aca，b=c，
△ABC也是等腰三角形.
综上所述，△ABC是等腰直角三角形.。