2019-2020年高三复习理科数学(人教A)三管齐下：38直接证明与间接证明 含解析

2019-2020年高三复习理科数学（人教A ）三管齐下：38直接证明与间接证明 含解析导学目标： 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理 1．直接证明 (1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件，Q 表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明 反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”的假设内容应是( ) A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b3．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －c |≤|a －b |＋|c －b |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC.a ＋3－a ＋1<a ＋2－aD ．|a －b |＋1a －b≥24．(2010·广东)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )等于( ) A ．a B ．bC ．cD ．d5．(2011·东北三省四市联考)设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2探究点一 综合法例1 已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .变式迁移1 设a ，b ，c >0，证明： a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .探究点二 分析法 例2 (2011·马鞍山月考)若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．变式迁移3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·上海改编)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1)若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .多角度审题 (1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解． (2)第(2)小题，实质是证明不等式|a 3＋b 3－2ab ab |>|a 2b ＋ab 2－2ab ab |成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】(1)解 由题意得||x 2－1＞1，即x 2－1＞1或x 2－1＜－1.[2分]由x 2－1＞1，得x 2＞2，即x ＜－2或x ＞2；由x 2－1＜－1，得x ∈∅. 综上可知x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[4分](2)证明 由题意知即证||a 3＋b 3－2ab ab ＞||a 2b ＋ab 2－2ab ab 成立．[6分]∵a ≠b ，且a 、b 都为正数，∴||a 3＋b 3－2ab ab ＝||(a 3)2＋(b 3)2－2a 3b 3＝||(a 3－b 3)2＝(a a －b b )2，||a 2b ＋ab 2－2ab ab ＝||ab (a ＋b －2ab )＝ab (a －b )2＝(a b －b a )2，[8分]即证(a a －b b )2－(a b －b a )2＞0，即证(a a －b b －a b ＋b a )(a a －b b ＋a b －b a )＞0， 需证[](a －b )(a ＋b )[](a －b )(a ＋b )＞0，[10分]即证(a ＋b )(a －b )2＞0，∵a 、b 都为正数且a ≠b ，∴上式成立．故原命题成立．[12分] 【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a 3＋b 3－2ab ab |与|a 2b ＋ab 2－2ab ab |中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法． 3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 2．(2011·济南模拟)a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．b >a >cD ．a >c >b3．设a 、b 、c ∈(0，＋∞)，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2010·上海普陀2月统考)已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( )A.ba<1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b5．(2011·厦门月考)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是______________________________．7．对于任意实数a ，b 定义运算a *b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，给出以下结论： ①对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b ＋c )＝(a *b )＋(a *c )； ②对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b *c )＝(a *b )*c ；③对于任意实数a ，有a *0＝a .则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)8．(2011·揭阳模拟)已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中命题正确的是________(填序号)．三、解答题(共38分)9．(12分)已知非零向量a 、b ，a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2.10．(12分)(2011·宁波月考)已知a 、b 、c >0，求证：a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．11．(14分)(2011·宁波月考)已知a 、b 、c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.38 直接证明与间接证明自主梳理1．(1)①推理论证 成立 (2)①要证明的结论 充分条件 2．不成立 矛盾 自我检测1．A [由分析法的定义可知．] 2．D [因为3a >3b 的否定是3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a <3b .]3．D [D 选项成立时需得证a －b >0.A 中|a －b |＋|c －b |≥|(a －b )－(c －b )|＝|a －c |，B 作差可证；C 移项平方可证．]4．A [由所给的定义运算知a ⊕c ＝c ，d ⊗c ＝a .]5．C [a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥6，因此a 、b 、c 至少有一个不小于2.]课堂活动区例1 解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，再进一步得出结论．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca ) ＝(a ＋b ＋c )2.∴a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2；∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca ) ≥ab ＋bc ＋ca ＋2(ab ＋bc ＋ca )， ∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )． ∴原命题得证．变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式， 有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 例2 解题导引 当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果)因为a ，b ，c 是不全相等的正数， 则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ca >0. 且上述三式中的等号不全成立， 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果)所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．例3 解题导引 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．变式迁移3 证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，① 又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0， ∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.课后练习区 1．B2．C [由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a ，可排除A 、D ，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52，可知C 可能成立．]3．C [必要性是显然成立的，当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P >0，Q <0，R <0，则Q ＋R ＝2c <0，这与c >0矛盾，即充分性也成立．]4．D [ba <1⇔b －a a<0⇔a (a －b )>0.∵a >b ，∴a －b >0.而a 可能大于0，也可能小于0，因此a (a －b )>0不一定成立，即A 不一定成立；a 2>b 2⇔(a －b )(a ＋b )>0，∵a －b >0，只有当a ＋b >0时，a 2>b 2成立，故B 不一定成立； |a ＋b |>|a －b |⇔(a ＋b )2>(a －b )2⇔ab >0， 而ab <0也有可能，故C 不一定成立； 由于1ab 2>1a 2b ⇔a －ba 2b2>0⇔(a －b )a 2b 2>0.∵a ，b 非零，a >b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确．]5．D [由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．] 6．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12”7．②③解析 按新定义，可以验证a *(b ＋c )≠(a *b )＋(a *c )； 所以①不成立；而a *(b *c )＝(a *b )*c 成立， a *0＝(a ＋1)(0＋1)－1＝a . 所以正确的结论是②③. 8．① 解析由三视图知，在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 又SA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面SAC . 所以命题①正确．由已知推证不出②③命题正确．故填①. 9．证明 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.(2分)要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证：|a |＋|b |≤2|a －b |，(4分)平方得：|a |2＋|b |2＋2|a||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a·b )，(8分) 只需证：|a |2＋|b |2－2|a||b |≥0，(10分)即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证. (12分) 10．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b 、c >0， ∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )，(3分)∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2ab (a ＋b )＝2a 2b ＋2ab 2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.(6分)同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2， 将三式相加得，2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2.(9分)∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋b 2a ＋b 2c )＋(c 3＋c 2a ＋c 2b )＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)．∴a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．(12分)11．证明 方法一 假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，(3分)∵a 、b 、c ∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164.(8分) 又(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14，(10分)同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确．(14分)方法二 假设三式同时大于14，∵0<a <1，∴1－a >0，(2分) (1－a )＋b2≥ (1－a )b >14＝12，(8分) 同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12，(10分)三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确．(14分)。