数学分析教学改革谈 ——省级精品课程《数学分

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为此，我们对照中外数学分析(微积分）教学改革的现状，结合我院的实际情况深入探讨，以吸取新的经验,从而进一步改善我们的教学,提高教学质量，培育高素质人才。

1我国近年来数学分析教学改革状况70年代末，我国数学界迎来了科学的春天。

改革开放以后，人们对国际数学研宄的学术动向有了新的了解与认识,看到了我国数学落后的现状，看到了我国数学教育与欧美等国的差异，开始了对我国数学教育的反思。

这时，整个数学界比过去更加关注数学教育的改革。

在改革开放初期,数学界对数学教育和数学分析有许多的议论。

这些议论归纳起来有两点:一是课程设置与学时问题，反映分析类课程（包括实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基础课程中数学分析的课时太多。

相比而言,几何类、代数类的课程过少，学生在代数、几何方面的修养较差，应当有所增加。

后来大多数学校数学系的数学分析课由4个学期减为3个学期。

其二，对数学分析课程内容本身有较广泛的批评，主要来自“外部”（即非数学分析教师），来自当时的一些老数学家。

批评重点是两条：⑴内容太多，过深、过难，过于形式化；⑵“大头分析”，即本末倒置、难易倒置。

后者主要指，传统的讲法，初学者在一开始就面临着一大堆抽象艰深的讨论：“戴德金分割法”、“e-5”、“实数完备性的8大定理”、“一致连续性”等，一般要花上12周或13周时间，而学生不知道所为何来，这种教学体系远离了微积分的主题和基本精神，而在实数与极限上大做文章，形成本末倒置,使数学分析像一个身子瘦小，而头很大的“大头娃娃”。

这样，在反思与批评中，数学分析课程开始了挣脱旧传统框架的改革之途。

这些年来，数学分析教材改革的努力和讨论，主要集中在以下几个问题上：11淡化“实数理论”。

有的教材放弃了用戴德金分割法定义实数的方法，而以十进制小数来表示实数，并在此基础上说明或证明了单调有界的序列有极限的定理。

其它有关实数的定理则由此推出，对于实数的运算则不加定义。

有的教材则干脆不讨论什么是实数，对实数不加定义,而引出实数所应满足的一系列公理，作为今后讨论的平台。

当然，对此也有不同的声音与做法。

有人认为“数学专业的学生不应该不知道戴德金分割”,有的教材不仅讲实数，还添加了新的内容（度量空间、可数、实数的不可数性等)。

12“e-5”训练的问题。

所有目前出版的数学分析教材毫无例外地都坚持使用了“e-5”语言来陈述极限，大多数人不赞成取消或不使用“e-5”的作法，大家认为作为数学专业的学生,熟练掌握它依然是必要的。

大多数教师已经认识到对于“e-5”的训练应有一个过程,不宜一开始要求过高，也不宜在开始时做过多专门训练的题目，而是应该让学生随着教学不断地使用它，而逐步熟悉、逐步达到熟练应用它。

13分散处理有关实数与连续函数性质的讨论。

很多教材已经注意到大头极限的问题,大家采取了不同方式来着手解决它。

比如,有的教材把这些定理只列出，暂时不加证明，留到以后第3学期再讲证明；有的教材则把有关实数完备性的7个（或8个）定理不集中在一开头讲述，而是把它们打散到各个适当的地方再讲;有的教材把一致连续的概念与闭区间上连续函数一致连续性与其它连续函数的其它性质分开，单独出来，放在讨论函数的黎曼可积的讨论之前讲。

这些安排不仅分散了难点，同时也有利于学生更清楚地看清实数的有关定理以及连续函数性质的意义。

14关于内容现代化问题。

在近年来的教材中，有的做了如下尝试:有的教材在多元微积分中讲述了外微分形式（不借助于外代数），并给出了一般形式的斯托克斯公式，以统一解释场论中各个积分公式；有的教材引入了现代数学的一些概念、术语和词汇，如引入了勒贝格测度和勒贝格积分等。

对此看法不一,有一些争议。

15理论联系实际的问题。

由于外国教材的传入，受其影响，人们更加重视微积分的应用，并努力在教材或习题中举出一些较为生动的例子或题目，以便使读者明了微积分的价值。

有的教材把利用微积分从开普勒（IKej-ler)定律导出万有引力公式,作为应用写进课文。

16改变单一的教学方式，调动学生学习积极性，培养学生的独立阅读、独立思考和善于表达的能力。

改革开放以来，单一的教学方式有所改变，以此来调动学生在教学过程中的主动性。

有的学校的数学系，已多年在低年级(一年级下）开办“讨论班”或“读书班”,学生自愿,教师指导，不记学分。

这是调动学生学习积极性的好途径，效果显著。

2美国近几年微积分教学改革状况在美国微积分是最大的一门课。

美国共有5785所大学，总计1600万学生，在这些学生当中，每年约有50万人在他们上大学的第一学年要学习微积分，其中40万人是来自四年制的大学，10万人来自两年制的大学。

此外，每年还有25万高中生学习大学的微积分课程。

数学、自然科学、工程、医学和生物学等学科的学生都要学习微积分。

对于商学院和经济系的学生而言，微积分是必修课。

另外文科学生中的一部分，如心理学、社会学、人类学等学科的学生也要学习一年左右的微积分。

其它如音乐、英语和法律的学生，虽然没有强调必须修读微积分,但仍有不少人自愿选修这门课程。

如此多的学生学习微积分的一个重要原因是微积分能教会学生如何解决问题。

在微积分教材中有很多习题，学生必须根据他们所学的知识进行解答。

对很多学生来说,微积分可能是他们学过的惟一一门教他们如何进行逻辑思维的课程。

尽管有的人可能在工作以后再也用不到微积分，但他们仍能从解答习题中获益。

加州大学经济系主任曾经说他们在录取研宄生的时候，衡量学生是否适合研读经济学博士，以及将来的发展如何的惟一依据就是他们的微积分成绩。

也就是说,从学生在微积分这门课上的表现可以预测他们继续深造经济学的潜力。

在美国讲授微积分的方式是多样的，有多种微积分课程。

第一种称为数学分析，对数学的处理非常严谨，是面向那些基础扎实，非常优秀的大学生。

这门课在美国不是很普遍，只有在少数几所著名的大学里可以找到,大概只占1%,但在俄罗斯、欧洲和中国非常普遍。

最普遍的一种微积分称为传统微积分。

传统微积分包括一定量的理论证明和大量物理学和工程学的应用题。

另一种微积分则更侧重于应用，主要面向贸易、经济类以及生物学和医学的学生。

这种课比较普遍，对数学处理不是那么严谨，理论和证明部分很少，现实性生活中的应用题比较多，在教学中不断尝试新的技术、新的方法。

有的课是按照微积分教学改革的宗旨来设计的，与传统微积分相比,这些课有着不同的教学理念。

比如,有人认为学生应该组成学习小组来学习；有人认为应该使用所谓的发现法，如果知识点是学生自己发现的，他们学习起来更有兴趣。

科技对微积分教学的影响主要有三个方面。

一是对教学方法的影响，比如很多教师将课程相关的内容放在网上，用计算图形软件制作课件，用PoverpoiU 制作讲义，围绕Mahemalica设计课程等。

二是计算机对教学内容的影响，比如牛顿方法越来越重要,有了像Mahemalica这样强大的计算工具和专门的计算方法，求积分的重要性不如以前了。

三是微积分的用途，对那些工作中要用到微积分的人来说，计算机相当重要。

在美国规模较大的学校里，微积分课堂人数很多，一般是100至400人，每周都会布置家庭作业，有的甚至是每天。

批改作业需要大量的时间，一个做法是聘请研宄生助教来帮助批改;另一个作法是布置作业但不批改，这样学生可能不做;第三个是越来越多被采用的做法,即得用Mymalh]dbWeAssignWAworks等计算机家庭作业软件，学生在网上登录,直接完成作业，教师很快就能得到全班的成绩单。

有的学生经常会把习题答案放在网上，使用这些软件可以随机安排题目，让不同的学生得到不同的题目，这样可以避免他们投机取巧，从网上抄袭答案。

在网上做作业的另一个益处是学生可以立即得到反馈。

当学生遇到困难,传统作法是去找老师、同学或研宄生助教寻求帮助，但这样花费很多的时间。

在线家庭作业可以立即给学生反馈，比如举出一些类似的例子，给出相关的参考书等。

经试用，效果非常不错。

3俄罗斯近几年数学分析教学改革状况在俄罗斯很多高校中，数学分析这门课的教学情况都十分相似，当然，不同的大学对这个问题有不同的阐释。

在长期的教学过程中，形成了讲授数学课程的传统和方法。

其中起重大作用的知名数学家有欧拉、奥斯特洛夫斯基、切比雪夫、马尔可夫等。

他们对数学工作都倾注了大量的心血。

下面，简单地介绍关于数学教学研宄的观点和方法。

菲赫金哥茨教授所著的三卷（八分册）套著作《微积分教程〉影响数学分析课程教研长达几十年。

这位著名的学者和他的学生们在圣彼得堡大学任教多年，那些年代的教学风格和讲授方法清楚地记录在著名的三卷套著作《微积分教程》中。

这套书至今仍为广大教师所采用，被视为微积分教学的丰富源泉。

在许多有着深厚数学基础的技术类院校里，所有年级的数学教程都是在科学院院士斯米诺夫的具有重大价值的五卷套著作〈高等数学教程〉!的基础上编写的。

二十世纪中叶，重新审视数学教学并使其满足现代化需求已成为必然。

在苏联的一些领军高校里，均需在不同程度上解决该问题。

当然，用数学的观点来看，全世界范围内都反映出了一些深刻的变化。

新方向（拓扑学、泛函分析等）的发展，促使了新课题的出现。

在当时的一些经典教材的知识结构框架内，大学生所学到的知识是无法解决这些新课题的。

因此，在全世界各个教学研宄中心，几乎同时期很大程度地进行数学教学改革。

这导致了高等数学中许多科目，特别是数学分析课程的变化。

这些变化首先表现在微积分的表述上。

在进行任何教学改革的过程中，都不可能在有限时间内既讲完传统课又讲述完未来的专家们所必须熟悉的新课题。

理想的情况是,在尽可能短的时间内阐明过去已有的经验结果。

但在很多情况下,不得不做出某些牺牲，即某些传统课题讲解得不够详细，而另外一些新课题则完全没涉及。

时间对任何教学工作来讲都是重要原因。

因此，在系统讲授数学分析课程前，必须考虑时间因素。

为不同专业的大学生讲述的数学分析课应该是有区别的。

但是对数学专业学生讲授的应该是最详细的数学分析教程。

下面介绍圣彼得堡国立大学数学系为数学专业大学生讲授的数学分析教程的情况。

讲授时间是五个学期,在此期间内由同一位教授同时给所有大学生讲授(前四个学期每周两次课,第五学期每周15次课）。

不同教师在为期两年半的教学过程中数学分析教程的章节目录及授课先后顺序可能有些差别，但总体上应包括如下题目。

第一学期：引言（集合理论基础、映射的概念、实数），极限和连续性，实数轴上的微分运算，不定积分。