高中数学 第1章 算法初步1.4 算法案例目标导引素材 苏教版必修3
高中数学苏教版必修三《第1章 算法初步 1.4 算法案例》课件
90=45×2 明显45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
摸索1：从上面的两个例子可以看出运 算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复实行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一
完全的进程 8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0 明显37是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最大 公约数
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90
苏教版 高中数学
算法案例
第一课时
1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数
（1） 5 25 35 57
所以，25和35的最大公约数为5
（2） 7 49 63 79
所以，49和63的最大公约数为7
2、求8251和6105的最大公约数
辗转相除法（欧几里得算法）
视察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的进程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105 的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
高中数学 1.4 算法案例课件 苏教版必修3
栏
的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是 目
链
除法运算，即辗转相除；而更相减损(jiǎn sǔn)术进行的是 接 减法运算，即辗转相减，但实质都是一个不断的递归过 程．
辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r(a＞b) r＝a －nb得a，b与b，r有相同的公约数；更相减损(jiǎn sǔn)术 的理论依据是：由a－b＝r(a＞b) a＝b＋r得a，b与b，r
都是前两项相除(小的除大的)所得的余数，余数
0的前一个rn即为a和b的最大公约数．
第二十七页，共49页。
典例 剖析
解析： 算法如下：
S1 输入两个(liǎnɡ ɡè)正整数a，
栏
b(a＞b)；
目 链
S2 r←a÷b的余数；
接
S3 a←b，b←r；
S4 如果r≠0，转S2；
S5 输出最大公约数b.
第二十八页，共49页。
栏
目
链
分析正：方体的所有棱长都相等，故必须将钢筋剪裁成长
接
度相等的钢筋条，又必须不浪费，这就说明必须剪后无剩
余，于是(yúshì)为了保证正方体的体积最大，剪的钢筋
的最大长度为360 cm和780 cm的最大公约数，可用更
相减损术求最大公约数．
第三十三页，共49页。
典例 剖析
解析： 根据更相减损术求780和360的最大公约数的步骤
减去较小的数(用b表示)，每次操作后所得的两数与前两
数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减小，经过 栏
用．
栏
(1)剩余问题．
目
高中数学 第一章 算法初步 1.4 算法案例(3)教案 苏教版必修3(2021年最新整理)
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1。
4 算法案例（3）教学目标：1．了解这种方法是求方程近似解的一般方法，能利用计算器求精确到0．01的实数解．2．理解二分法求方程近似解的算法，进一步理解函数与方程的关系．3．能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的二分法求方程近似解的流程图并写出其伪代码．4．培养学生利用计算工具的能力．教学重点：1．利用二分法求给定精确度的方法近似解．2．能写出二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学难点：1．利用二分法求方程的近似解．2．二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学方法:1．通过模仿二分法求方程近似解，体会古人计算构思的巧妙．2．通过二分法求方程近似解的方法与步骤,了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算计算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用．教学过程:一、问题情境在前面一节课中，我们已经学习了一些简单的算法，如不定方程的解、欧几里得辗转相除法求两个正整数的最大公约数等问题，对算法已经有了较为深刻的了解，下面，我们还将通过一个具体的算法案例，继续体会算法的思想．这就是我们本节课所要研究的问题—二分法求方程近似解．二、学生活动写出用区间二分法求解方程310x x --=在区间[1,1.5]内的一个近似解（误差不超过0．001)的一个算法．（1）算法设计思想:如图，如果估计出方程()0f x =在某区间[,]a b 内有一个根*x ,就能用二分法搜索求得符合误差限制c 的近似解．（2）算法步骤可以表示为：1S 取[,]a b 的中点20b a x +=，将区间一分为二； 根*x 在0x 的左2S 若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判断侧还是右侧；若0()()0f a f x >，则*0(,)x x b ∈,以0x 代替a ;若0()()0f a f x <，则*0(,)x a x ∈，以0x 代替b ;转1S ．3S 若||a b c -<,计算终止，此时*0x x ≈，否则三、建构教学伪代码1:R ea d a ，b ，c02a b x +← 结束 开始While ||a b c -≥ And 30010x x --≠If 3(1)a a --⨯300(1)x x --〈0 Then0b x ←Else0a x ←End If 02a bx +←End WhilePrint 0x伪代码2：Read ,,a b c0()2a b x +←3()1f a a a ←--3000()1f x x x ←--If 0()0f x = ThenGoTo 120If 0()()0f a f x < Then0b x ←Else0a x ←End IfIf ||a b c -≥ ThenGoTo 20Printx二分搜索的过程是一个多次重复的过程，故可以用循环结构来处理（代码1），课本解法是采用GoTo语句实现的（代码2)．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．二分法的算法和用伪代码表示该算法；2．GoTo语句的使用；3．解决实际问题的过程：分析－画流程图－写伪代码．。
(教师用书)高中数学 第一章 算法初步教案 苏教版必修3
第一章算法初步§1.1算法的含义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能：了解算法的含义，体会算法的思想；能够设计解决具体问题的算法；理解算法应满足的要求．2．过程与方法：让学生感悟人们认识事物的一般规律：由具体到抽象，再由抽象到具体，培养学生的观察能力，表达能力和逻辑思维能力．3．情感态度与价值观：对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力．●重点难点重点：初步理解算法的含义，体会算法思想，能够用自然语言描述算法．难点：用自然语言描述算法．引导学生一起回顾如何解二元一次方程组，并引导他们归纳二元一次方程组的求解步骤，从而让学生经历算法分析的基本过程，培养思维的条理性，引导学生关注更具一般性解法，形成解法向算法过渡的准备，为建立算法概念打下基础而化解难点．引导学生回顾解一般的二元一次方程组的步骤，分析解题过程的结构，写出求一般的二元一次方程组的解的算法，并把它编成程序，让学生输入数据，体验计算机直接给出方程组的解．目的是让学生明白算法是用来解决某一类问题的，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，从而强化重点．(教师用书独具)●教学建议算法这部分的应用性很强，与日常生活联系紧密，虽然是新引入的章节，但很容易激发学生的学习兴趣．建议教师通过多媒体辅助教学，采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：宋丹丹的小品中要把大象关冰箱总共分几步？⇒引导学生结合所提出的问题归纳，分析，总结算法的含义．⇒通过引导学生回答所提问题理解算法的特点及能够解决的问题．⇒通过例1及其变式训练，使学生理解算法的含义及特征．⇒通过例2及其变式训练，使学生能设计算法(直接应用数学公式的算法)．⇒通过例3及其变式训练，使学生明确解方程或方程组的算法并掌握其设计的方法和策略．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识并分层布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.宋丹丹的小品中有一个问题，把大象关进冰箱里需要几步．【提示】总共分三步：第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行，可以得到确定的结果，而不是模棱两可．(3)不惟一性：求解某一个问题的算法不一定是惟一的，可以有不同的算法，当然这些算法有繁简之分、优劣之别．(4)普遍性：很多具体的问题，都可以设计出合理的算法去解决.下列叙述能称为算法的个数是________．①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③3x >x ＋1；④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12…. 【思路探究】 根据算法的特征逐一作出判断．【自主解答】 ①②都是算法；③中没有给出一个确定的逻辑步骤来确定下一步做什么，不符合算法的确定性；④中的步骤是无限的，与算法的有限性矛盾．故应填2.【答案】 21．算法的定义是一个描述性定义，而算法的特征：明确性、有限性、可行性等揭示了算法的内涵，因此对于算法的了解，应从其特征入手．2．算法与普通数学问题的求解步骤是共性与个性的统一，但不能认为算法就是数学问题的求解步骤，它是解决一类问题的求解方法．下列语句中是算法的有________个．①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； ②利用公式S ＝12ah ，计算底为1、高为2的三角形的面积；③方程2x 2－x ＋1＝0无实数根；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线所在直线的方程，可先求直线MN 的斜率，再利用点斜式求得方程．【解析】 算法是解决某类问题而设计的一系列可操作或可计算的步骤，通过这些可有效地解决问题，显然四个语句中，①②④都是算法，③不是算法．【答案】 3设计一个算法，求底面边长为42，侧棱长为5的正四棱锥的体积．【思路探究】 由底边长可求底面积．由底面边长及侧棱长可求出正四棱锥的高，然后代入体积公式即可．【自主解答】S1 取a ＝42，l ＝5； S2 计算R ＝2·a2；S3 计算h ＝l 2－R 2； S4 计算S ＝a 2； S5 计算V ＝13Sh ；S6 输出运算结果．1．设计算法的步骤为：(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法； (2)借助有关的变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将各个步骤表示出来，即为该具体问题的算法．2．设计算法要做到以下几点：(1)写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用；(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少；(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．(2013·潍坊高一检测)求两底面半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法．【解】S1 取r 1＝2，r 2＝4，h ＝4； S2 计算l ＝r 2－r 12＋h 2；S3 计算S ＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)·l ； S4 计算V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ；S5 输出S 、V .写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．【思路探究】 解一元二次方程可用因式分解法和分式法，根据这两种方法写出算法． 【自主解答】 法一 S1 移项，得x 2－2x ＝3①； S2 将①两边同时加上1，并配方，得(x －1)2＝4②； S3 将②两边开平方得x －1＝±2③； S4 解③得x 1＝3，x 2＝－1.法二 S1 计算判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)；S2 将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，得x 1＝3，x 2＝－1.1．对于这类解方程(或方程组)的问题，设计其算法时，一般按照数学上解方程(或方程组)的方法进行设计．2．设计时要注意全面考虑方程(或方程组)的解的情况，即先确定方程(或方程组)是否有解，有解时，还需确定几个解，然后按照求解的步骤设计．写出求方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝14， ①x ＋y ＝－2， ②的解的算法．【解】 法一 S1 ②×2＋①，得5x ＝14－4③； S2 解方程③，得x ＝2④； S3 将④代入②，得2＋y ＝－2⑤； S4 解⑤得y ＝－4； S5 得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.法二 S1 由②式移项可得x ＝－2－y ③； S2 把③代入①，得y ＝－4④； S3 把④代入③，得x ＝2；S4 得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.忽视算法的确定性致错给出将1 573分解成奇因数的乘积的形式的一个算法．【错解】 算法步骤如下： S1 判断1 573是否为素数：否；S2 寻找1 573的最小奇因数；不是2，不是3…….【错因分析】 第二步的结果是不确定的，“不是2，不是3……，到底有多少不确定”． 【防范措施】 算法的每一步都要有明确具体的结果，设计算法时要明确每一个步骤，只能有一个确定的后续步骤并且得到确定的结果，不能模棱两可．【正解】 算法步骤如下： S1 判断1 573是否为素数：否；S2 确定1 573的最小奇因数：11，即1 573＝11×143； S3 判断143是否为素数：否；S4 确定143的最小奇因数：11，即143＝11×13； S5 判断13是否为素数：是； S6 1 573＝11×11×13.算法的含义要明确以下两点：1．算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定有结果，答案可以由计算机解决．2．算法没有固定的模式，但有以下几个要求．(1)符合运算规则，计算机能操作．(2)每一个步骤都有一个明确的计算任务．(3)对重复操作步骤返回处理．(4)步骤个数尽可能少．(5)每个步骤的语言描述要准确，简明.1．给出以下叙述：①过河要走桥或乘船；②老师提出的问题能回答正确；③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热等几个步骤；④学习通常需要预习、听讲、质疑、练习、复习巩固等步骤．其中能称为算法的是________．【解析】①②具有不确定性，③④与实际相符，每一步都具有确定性和可执行性，都可称为一个算法．【答案】③④2．在教材中的“猜数”游戏中，主持人告诉竞猜者某商品的价格低于4 000元，而该商品的实际价格为1 500元，则竞猜者用二分搜索法猜数时第一次的报数为________，按照教材中的规则，此人需要________次即可猜中．【解析】每次报数都是取中间值，所以第一次报数应该取0与4 000的中间值2 000，第二次报数0与2 000的中间值1 000，第三次报1 000与2 000的中间值1 500.【答案】 2 000 33．下面给出了一个计算圆的面积的算法：S1 取R＝5；S2 计算S＝πR2；S3 输出S.则S＝________.【解析】S＝π×52＝25π.【答案】25π4．已知直角三角形两直角边长a，b，设计求斜边长c的一个算法．【解】S1 输入直角三角形的两直角边长a、b的值；S2 计算c＝a2＋b2；S3 输出斜边长c的值.一、填空题1．看下面的三段话，其中不是解决问题的算法的是________．①解一元二次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.②方程x2＝4有两个实根．③求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，最后计算6＋4＝10，最终结果为10.【解析】结合算法的含义知②不是解决问题的算法．【答案】②2．下列关于算法的描述正确的是________．①算法与求解一个问题的方法相同②算法只能解决一个问题，不能重复使用③算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切④设计算法要本着简单可行的原则【解析】根据算法的含义及特点，只有③④正确．【答案】③④3．下列所给问题中，其中不能设计一个算法求解的是________．①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)； ②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积； ④证明y ＝x 2为偶函数．【解析】 根据算法特征知①②③都可以设计算法求解，而④不可以． 【答案】 ④4．用电水壶烧开水的一个算法过程如下： S1 打开电水壶的盖子，加水后盖上盖子； S2 接通电源；S3 在水开后，断开电源． 对于上述算法，有以下几种说法： ①顺序不能改变；②第一步与第二步可以互换； ③第二步是必须具有的步骤；④第三步可以变为“在水开后，倒出开水”． 其中说法正确的是________．【解析】 ①③正确，②④的说法不符合安全用电常识． 【答案】 ①③5．(2013·广州高一检测)完成不等式－2x －5>x ＋1的算法过程． S1 移项并合并同类项，得________．S2 在不等式的两边同时除以x 的系数，得________． 【解析】 依据解一元一次不等式的步骤进行． 【答案】 －3x >6 x <－26．已知一个学生的语文成绩是89，数学成绩是96，外语成绩是99，求他的总分和平均分的一个算法如下，请补充完整：S1 取A ＝89，B ＝96，C ＝99； S2 计算总分S ＝________； S3 计算平均分M ＝________； S4 输出S ，M .【解析】 总分S ＝89＋96＋99； 平均分M ＝89＋96＋993＝S3.【答案】 89＋96＋99 S37．(2013·西宁高一检测)对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，设计解此方程组的算法时，第一步为________．【解析】 由于未知数的系数不确定，故该方程组不一定有解，当a 1b 2＝a 2b 1时，该方程组无解，故第一步应为验证a 1b 2与a 2b 1是否相等．【答案】 验证a 1b 2＝a 2b 1是否成立8．有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学利用科学的算法，最多两次利用天平找出了这颗最轻的珠子，则这堆珠子最多的粒数是________．【解析】 最多是9粒，第一次是天平每边3粒，若平衡，则所求在剩余的3粒中，在这3粒中选出两粒，再放在天平的两边，若平衡，余下的一颗即为最轻的珠子，若不平衡，则天平高的一边即为最轻的珠子；若第一次天平不平衡，则在轻的一边选出两粒，再放在天平的两边，同样可以得到最轻的珠子．【答案】 9 二、解答题9．写出求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的一个算法． 【解】 算法如下：S1 计算Δ＝b 2－4ac ； S2 若Δ<0，则方程无实根；S3 若Δ≥0，则x (1,2)＝－b ±b 2－4ac2a.10．已知平面直角坐标系中点A (－2,0)，B (3,1)，写出求直线AB 的方程的一个算法． 【解】 法一 算法步骤如下． S1 求出直线AB 的斜率k ＝1－03－－＝15； S2 选定A (－2,0)，用点斜式写出直线AB 的方程y －0＝15[x －(－2)]；S3 将第二步的运算结果化简，得到方程x －5y ＋2＝0. 法二 算法步骤如下．S1 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ；S2 将A (－2,0)，B (3,1)代入第一步设出的方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝1；S3 解第二步所得的方程组，得到k ＝15，b ＝25；S4 把第三步得到的结果代入第一步所设的方程，得到y ＝15x ＋25；S5 将第四步所得的结果整理，得到方程x －5y ＋2＝0.11．试写出一个判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法． 【解】 S1 输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A 、B 、C ； S2 计算Z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； S3 计算Z 2＝A 2＋B 2； S4 计算d ＝|Z 1|Z 2；S5 若d >r ，则相离；若d ＝r ，则相切，若d <r ，则相交.(教师用书独具)实际问题的算法设计有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．【思路探究】 本题实质上是考查交换两个变量值的算法．要交换两个变量的值，要先寻找第三个变量作为中间变量，再进行交换．【规范解答】 S1 找一个大小与蓝和黑两个墨水瓶相同的空瓶子A ； S2 将蓝墨水倒入空瓶子A 中；S3 将黑墨水倒入原来装蓝墨水的瓶子中； S4 将蓝墨水倒入原来装黑墨水的瓶子中．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？请写出你设计的渡河的算法．【解】 S1 两个小孩同船渡过河去； S2 一个小孩划船回来；S3 一个大人独自划船渡过河去；S4 对岸的小孩划船回来；S5 两个小孩再同船渡过河去；S6 一个小孩划船回来；S7 余下的另一个大人独自划船渡过河去；S8 对岸的小孩划船回来；S9 两个小孩再同船渡过河去．§1.2流程图1．2.1 顺序结构(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能：掌握顺序结构的特点，设计方法．2．过程与方法：学会用算法分析问题；能够使用顺序结构编写简单的程序解决具体问题．3．情感态度与价值观：体会用结构化方法解决数学问题的便捷性；明确结构化在程序设计中的重要作用；激励尝试使用多种方法解决问题；培养良好的编程习惯和态度．●重点难点重点：各种图框的功能，会用算法图框表示顺序结构．难点：对顺序结构的概念的理解；利用图框表示流程线顺序结构．(教师用书独具)●教学建议从知识结构上来说，学生在本章第一节已经了解了一些算法的基本思想，这是本节课的重要知识基础，从能力上来说，这个阶段的学生已经具有一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，思维比较活跃但缺乏严谨性．因此，在设计教学中不仅要充分调动学生的学习积极性，更要注意培养学生严谨的数学思维和语言组织能力．由于学生首次接触算法图框，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取问题导入式教学，即“创设情境，提出问题——讨论问题，提出方案——交流方案，解决问题——模拟练习，运用问题——归纳总结，完善认识”，通过对问题的探究过程让学生掌握新知识，同时在解决问题的过程中掌握新知识的应用和解题过程，提高学生独立解题的能力．在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，从问题入手，通过分析问题、交流方案、解决问题、运用问题的探索过程，让学生全程参与到问题的探索中而突破难点．通过学生对常见的图框及功能的理解和认识，结合典型例题及变式训练，使学生初步掌握顺序结构的流程图的设计而强化了重点．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何形象直观的表示算法？⇒引导学生结合前面学习过的算法的含义理解常见的图框及功能，把握流程图的概念．⇒通过引导学生回答所提问题理解顺序结构的特点及能够解决的问题．⇒通过例1及其变式训练，使学生对流程图能够正确的认识和理解．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握较顺序结构流程图的画法．⇒通过例3及其变式训练，使学生明确顺序结构在实际生活中的应用并掌握求解策略．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．如何形象直观的表示算法？【提示】图形方法．2．用图形方法表示算法有何优点？ 【提示】 简洁、直观．1．流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．常见的图框、流程线及功能顺序结构有何特点？【提示】 任何一个算法都离不开顺序结构，顺序结构是最简单、最基本的结构．依次进行多个处理的结构称为顺序结构．如图1－2－1，虚线框内是一个顺序结构，其中A 和B 两个框是依次执行的．顺序结构是一种最简单、最基本的结构．图1－2－1关于流程图的图形符号的理解正确的是______．(填序号)①流程图是描述算法的图形语言．②输入框可以在起始框后，也可以在判断框后．③判断框是唯一一个具有超过一个出口的图形符号．【思路探究】根据流程图的规则和每个框图所表示的功能逐一判断．【自主解答】①正确，由流程图的定义知．②正确，输入框可以在任何需要输入、输出的地方出现．③正确，判断框是具有多个出口的唯一符号．【答案】①②③正确理解流程图的概念，对构成流程图的各种图形符号的功能要准确把握，具体应用时注意其特点．掌握流程图的画法规则，画流程图的规则如下：(1)使用标准的图形符号；(2)一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框外，大多数流程图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；(4)判断框分两大类：一类判断框是“Y”与“N”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果；(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．下列说法正确的是________．①任何一个流程图都必须有起止框；②流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连结图框；③一个自然语言描述的算法只能对应一个流程图；④流程图中的流程线可以箭头不朝下．【解析】一个自然语言描述的算法，可能有多个流程图与之对应．【答案】①②④(2013·连云港高一检测)利用梯形的面积公式计算上底长为2、下底长为4、高为5的梯形的面积，设计解决该问题的一个算法，并画出流程图．【思路探究】 根据梯形的面积公式S ＝12(a ＋b )·h ，其中a 为上底长，b 为下底长，h为高，只要令a ←2，b ←4，h ←5，代入公式即可．【自主解答】 算法如下： S1 a ←2，b ←4，h ←5； S2 S ←12(a ＋b )·h ；S3 输出S . 流程图如下：1．画流程图时，应先根据题意设计算法，再画流程图，一般不直接画流程图． 2．应用顺序结构表示算法的步骤：(1)仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法； (2)梳理解题步骤；(3)用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量； (4)用流程图表示算法过程．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4.利用海伦公式设计一个算法，求出该三角形的面积，并画出流程图．(海伦公式：已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝pp －a p －bp －c ，其中p ＝a ＋b ＋c2)【解】 先将三角形的各边长赋值，求出三角形周长的一半，然后利用公式求解． 算法如下：S1 a ←2，b ←3，c ←4；S2 p ←a ＋b ＋c2；S3 S ←p p －a p －b p －c ；S4 输出S .流程图如图所示．如图1－2－2所示是为解决某个问题而绘制的流程图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：图1－2－2(1)该流程图解决的是怎样的一个问题？(2)若最终输出的结果y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时输出的结果5a ＋b 的值应该是多少？ (3)在(2)的前提下，输入的x 值越大，输出的ax ＋b 是不是越大？为什么？ (4)在(2)的前提下，当输入的x 值为多大时，输出结果ax ＋b 等于0?【思路探究】 先分析流程图的功能，然后根据函数关系式中变量间的关系依次解答，同时还要注意流程图中不同形式的图框的功能．【自主解答】 (1)该流程图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题． (2)y 1＝3，即2a ＋b ＝3，y 2＝－2， 即－3a ＋b ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，－3a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.∴当x 取5时，5a ＋b ＝f (5)＝5＋1＝6.(3)输入x 值越大，输出的函数值ax ＋b 越大．因为函数为增函数．(4)令f (x )＝x ＋1＝0，得x ＝－1，因此，当输入x 的值为－1时，输出的函数值为0.1．已知流程图，回答问题，首先应理清流程图的结构，本例中的流程图为——顺序结构．2．已知流程图的函数问题，将框图所表示的算法翻译成自然语言，是由用自然语言表达的算法画出流程图的逆向过程．对这两种语言的互译有助于熟练掌握算法的设计，而将流程图翻译成自然语言相对而言比较陌生，是一个难点．阅读如图1－2－3所示的流程图，回答下面的问题．图1－2－3(1)图框①中x ←4的含义是什么？(2)图框②中y 1←x 3＋2x ＋3的含义是什么？计算y 1(3)图框④中y2←x2－2x的含义是什么？计算y2【解】(1)图框①的功能是初始化变量，令x＝4.(2)图框②中y1←x3＋2x＋3的含义：该图框是在执行①的前提下，即当x＝4时，计算x3＋2x＋3的值，并令y1等于这个值，y1＝43＋2×4＋3＝75.(3)图框④中y2←x2－2x的含义：该图框是在执行③的前提下，即当x＝－1时，计算x2－2x的值，并令y2等于这个值，y2＝(－1)2－2×(－1)＝3.混淆构成流程图的符号及作用致误已知x＝4，y＝2，画出计算W＝3x＋4y的值的流程图．【错解】流程图如图(1)所示．(1) (2)【错因分析】输出框用平行四边形，而此题的错解中用了矩形框．【防范措施】 1.流程图中特定的符号表示特定的含义，不能乱用．2．熟练掌握流程图中的常见符号的含义及功能，掌握画流程图的技巧和方法．【正解】如图(2)画流程图时所遵循的规则如下：(1)使用标准的图形符号；(2)一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框外，大多数流程图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；(4)判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一类是多分支判断，有几种不同的结果；(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.1．下列是流程图的一部分，表示合理的是________．【解析】③是输入、输出框，不合要求，①②均可．【答案】①②2．流程图的图框“”可完成下列中的________．①输入a←10②判断a>10③输出a←10④赋值a←10【解析】图框为矩形框，其功能为计算或赋值，故④正确．【答案】④3．下列流程图1－2－4中输出S的值为________．图1－2－4【解析】该流程图的功能是求半径为r的圆的面积又r＝5，∴S＝25π.【答案】25π4．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求出圆柱体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图．【解】算法如下：S1 输入R、h；S2 V←πR2h；S3 输出V.流程图如图．一、填空题1．下列关于流程线的说法．①流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连结图框；②流程线只要是上下方向就表示自上向下执行可以不要箭头；③流程线无论什么方向，总要按箭头的指向执行；④流程线是带有箭头的线，它可以画成折线．其中正确的有________．【答案】①③④2．流程图中表示判断的图框是________．【解析】由各种图框的符号及含义表示可知一般用菱形框表示判断框．【答案】3.图1－2－5(2013·苏州高一检测)如图1－2－5所示，A杯原来装酒，B杯原来装油，C杯原来空杯，则流程图运行结果为(每次操作都全部倒完)A杯为______，B杯为________，C杯为________．【解析】运行结果为先把酒放到空杯C中，此时A杯空着，然后把B中的油放到A杯中，此时B杯空着，最后将C杯中的酒放到B杯中，此时C杯空着，此时A杯中为油，B 杯中为酒，C杯为空杯．【答案】油酒空杯4．如图1－2－6所示的流程图的输出结果P＝________.图1－2－6【解析】P＝m＋5＝2＋5＝7.【答案】75.图1－2－7(2013·宿迁高一检测)给出如图1－2－7所示流程图，若输出结果为12，则①处的图框中应填的是________．【解析】由b＝a－3＝12知a＝15，∴3x－3＝15即x＝6，∴①中应填x←6.【答案】x←66．下列图1－2－8中的算法功能为________．(a>0，b>0)图1－2－8【解析】 d ＝a 2＋b 2，c ＝d ＝a 2＋b 2故可根据几何意义填，答案不唯一． 【答案】 求以a ，b 为直角的直角三角形斜边的长度7．图1－2－9(2)是计算图1－2－9(1)的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________．图(1) 图(2)图1－2－9【解析】 设阴影部分面积为M ，则M ＝x 2－π·(x 2)2＝(1－π4)x 2.【答案】 M ←(1－π4)x 28.图1－2－10如图1－2－10是一个算法的流程图，已知a 1＝3，输出的结果为7，则a 2的值为________． 【解析】 由输出的结果为7易知a 1＋a 2＝14，又a 1＝3，∴a 2＝11. 【答案】 11。
高中数学第1章算法初步本章综述素材苏教版必修3(2021年整理)
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第1章算法初步本章综述工厂里,自动生产线在有条不紊地运转;天空中，波音飞机在平稳而快速地飞翔；宇宙间，人造卫星在规定的轨道内游弋；……机器生产、飞机飞行、卫星转动，这些都是我们生活中司空见惯的现象，它们是靠什么控制的呢？它们是在电子计算机的控制下工作的.而利用电子计算机解决问题又要依赖于算法。
算法思想是数学的一种基本思想，是探求解决问题的一般性方法，它能将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述，主要作用是使计算机能代替人完成某些工作.本章的重点是掌握流程图的画法及判断，掌握伪代码的编写；难点是掌握与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写．在学习算法中，要了解4种框（终端框、输入输出框、处理框和判断框），要掌握3种结构（顺序结构、条件结构和循环结构）。
掌握输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句等四种语句，循环语句又分当型循环和直到型循环两种.这些都是算法的核心内容，内容虽然不多，但是已能充分体现算法的实质及其思想方法。
算法内容的设置为高中数学贯注了新鲜的血液，同时也对广大数学爱好者解放思想、摆脱陈旧观念的束缚,从而跟上时代步伐提出了新的要求，它是高中数学的主线之一.学习本章，应回顾并掌握已学的解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等.通过生活实例和数学常见问题的求解来学习、体会算法思想;通过模仿、操作、探索，学习运用算法思想构造常见问题的算法；通过自己动手实践，去设计几个问题的算法.。
苏教版必修3全套练习第一章 算法初步.docx
第一章算法初步1.1算法的含义【新知导读】1.什么是算法？试从日常生活中找3个例了，描述它们的算法.2.我们从小学到初中再到高中所学过的许多数学公式是算法吗?【范例点睛】例］.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤.从下列选项中选出较好的一种算法A.第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播.B.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播.D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶. 思路点拨：从四个答案所给出的步骤是否合理、最少需要花费多少时间入手，进行判断.易错辨析：选择A很大程度上是受人们的通常的习惯所影响，即起床后首先应该洗脸刷牙再做其他的事情.方法点评：作为完成过程的算法来说，要讲究一个优劣之分，也即完成这个过程用时最少的是一个好算法，所以.应选C.例2. —位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元.你能用天平(不用舷码)将假银元找出来吗？思路点拨：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元. 这种算法最少要称1次，最多要称7次，是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：1.把银元分成3组，每组3枚.2.先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平平衡，则假银元就在未称的第3组里.3.取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元.方法点评：经分析发现，这种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法.从以上两个问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好. 在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作.【课外链接】1.设计一个算法，求840与1764的最大公因数.思路点拨：该算法是在对自然数进行素因数分解的基础上设计的•解答这个问题需要按以下思路进行.首先，对两个数分别进行素因数分解：其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.接着,确定公共素因数的指数:对于公共素因数2,2?是1764的因数，2彳是840的因数,因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样，可以确定出公因 数3和7的指数均为1.这样，就确定了 840与1764的最大公因数为22X 3X 7 = 84【随堂演练】1.算法是指()A.为解决问题而编写的计算机程序B.为解决问题而采取的方法和步骤C.为解决问题而需要采用的计算机程序C.为解决问题而采用的计算方法 2.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（)（A ）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达（B ）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为1（C ） 方程/-1=0有两个实根（D ） 求 1+2+3+4+5 的值，先计算 1+2=3,再求 3+3=6, 6+4=10, 10+5=15,最终结果为 15 4. 买一个茶杯1. 5元，现要写出计算买n 个茶杯所需要的钱数的一个算法，则这个算法中必须要用到的一个表达式为 ___________________5. 设计算法，判断97是否为素数.6. 设计算法，求1356和2400的最小公倍数.7. 有两个瓶子A 和B,分别盛放醋和酱油，要求将它们互换（即A 瓶原来盛醋，现改盛酱 油；B 瓶则相反）[2x + 3y = 7 [3x +4y = 10的 解 集 是 ________________________________&设计算法,将三个数按从大到小的顺序排列.9.有13个球看上去一模一样，但其中一个质量不同（它比其他12个略重），现在有一个天平（没有確码），要求给出一种操作方法，把这个球找出来.1.2.1顺序结构【新知导读】1.什么是流程图，它有哪些常用符号？2.顺序结构的流程图是什么?【范例点睛】例1.尺规作图，确定线段AB的一个5等分点.思路点拨：确定线段AB的5等分点，是指在线段AB上确定-点M,使得AM因此解决这个问题的方法是：第一，从A点出发作一条与原直线不重合的射线；第二，任取射线上一点C,并在射线上作线段AD,使AD =5AC;第二，连接并过C点作的平行线交AB于M,M就是要找的5等分点.这个实现过程用流程图表不:易错辨析：有些同学想直接从已的。
高中数学第1章算法初步1.4算法案例教材梳理导学案苏教版必修3
1.4 算法案例庖丁巧解牛知识·巧学1．几个常用函数符号求余函数Mod(m,n)：Mod(m,n)表示取m除以n余数.如：m被3除余2，可表示为Mod(m,3)=2.取整函数Int(x) :表示取不大于x最大整数.如：Int(2)=2,Int(2.3)=2,Int(2.6)=2.误区警示不要与四舍五入相混淆Int(-2.3)=-3.可用mInt(m/n)*n表示m除以n余数，如m被3除余2，可表示为mInt(m/3)*3=2.2．算法典型案例案例1：韩信点兵——孙子问题?孙子算经?中载有“物不知数〞这个问题:今有物不知其数,三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？答曰“二十三〞.这就是著名孙子问题(记载于中国古代约公元3世纪成书?孙子算经?,是原书卷下第26题).这个问题可以简单地用一句话描述，即“一个正整数，被3，5，7除，余数分别为2，3，2”.设这个数为m，那么可列关于x,y,z 方程组表示：联想发散这一类问题解法可以推广成解一次同余式组一般方法．秦九韶给出了理论上证明，并将它定名为“大衍求一术〞.这个问题通用解法称为“中国剩余定理〞.秦九韶〔公元1202—1261年〕，南宋数学家，著?数书九章?十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类.其中对“大衍求一术〞〔一次同余组解法〕与“正负开方术〞〔高次方程数值解法〕等有十分深入研究.“大衍求一术〞，在世界数学史上占有崇高地位.计算机解决：从2开场，让m依次去除，直到满足要求为止.这样，只要使用循环，由小到大依次搜索，直到找出满足条件数即可.流程图如图1-4-1：图1-4-1案例2：辗转相除法求最大公约数辗转相除法又称欧几里得算法，就是对于给定两个数，用较大数除以较小数，假设余数不为零，那么将余数与较小数构成一对新数，继续上面除法，直到余数为零，此时除数就是所求两数最大公约数.误区警示这是一个反复执行步骤，要用循环构造实现.注意循环条件设置，此处可用直到型循环，条件为r=0，对于循环体局部，需要反复执行是r=m MOD n.要实现上述算法，在重复执行之前，要对m，n两个变量重新赋值〔m=n，n=r〕，注意体会理解该递归思想.〔1〕算法步骤：以求正整数m，n〔m＞n〕最大公约数为例.第一步：输入两个正整数m，n〔m＞n〕；第二步：判断m,n大小，让m表示较大数，n表示较小数；第三步：计算m/n余数r；第四步：如果r≠0，那么把n赋值给m，把r赋值给n，返回第二步；否那么，执行下一步；第五步：输出最大公约数m.〔2〕流程图如图1-4-2图1-4-2伪代码如下：m←2While Mod(m,3)≠2或Mod(m,5)≠3或Mod(m,7)≠2m←m + 1End WhilePrint m更相减损术更相减损术是中国古代算书?九章算术?中一个优秀算法；更相减损术可以求最大公约数：对于给定两个数，以其中较大数减去较小数，然后将差与较小数构成一对新数，再用较大数减去较小数，反复执行以上步骤直到差数与较小数相等，此时相等两数即为所求最大公约数，最后该最大公约数再乘以2即为所求.学法一得所求两数都是偶数时，可先除以2，再求除以2后两数最大公约数.〔1〕算法步骤：以求正整数m,n最大公约数为例，第一步：输入两个正整数m,n(m＞n)；第二步：r←m-n;第三步：如果r<n,那么m←n，n←r，否那么，m←r;第四步：如果m≠n，那么返回第二步，否那么执行下一步；第五步：输出m.〔2〕程序框图如图1-4-3图1-4-3案例3：二分法求方程近似解二分法是方程求根一种常用方法，其过程表达就是算法思想.理论依据：我们知道，假设函数f(x)在区间［x1,x2］两端点函数值异号，即f(x1)f(x2)<0，那么在区间［x1,x2］内方程f(x)=0至少有一个根.二分法是说：如果在区间［x1,x2］内f(x)=0仅有一个根x，那么可以取x1与x2中点x3=(x1+x2)/2进展判断，假设f(x3)与f(x1)异号，说明有一个根在区间［x1,x3］中，否那么在区间［x2,x3］中.然后按上述方法逐渐缩小有根区间，从而逼近方程f(x)=0根.当有根区间小到一定程度时，把这个区间中点x值当作方程近似根.用二分法设计求方程f(x)=0近似根算法根本步骤：〔1〕确定近似根所在根底区间［a,b］与近似根准确度c；〔2〕求有根区间中点,判断是否满足精度要求；〔3〕求区间端点函数值f(a),f(b)；〔4〕判断f(a)f(b)符号，改变有根区间下限或上限；〔5〕循环求近似根；〔6〕输出根近似值.进位制进位制是一种记数方式，用有限数字在不同位置表示不同数值.可使用数字符号个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进展记数.对于任何一个数，我们可以用不同进位制来表示.一般地，假设k是一个大于一整数，那么以k为基数k进制可以表示为：a n a n-1…a1a0(k)(0<a n<k,0≤a n-1, …,a1,a0<k)，a n a n-1…a2a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a2×k2+a1×k+a0.而表示各种进位制数时一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.把二进制数110011(2)化为十进制数：110011(2)=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+ 2+1=51.把八进制数7348〔8〕化为十进制数：7348〔8〕=7*83+3*82+4*81+8*80=3584+192+32+8=3 816.十进制数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表数值都是一样.典题·热题知识点一利用辗转相除法与更相减损术解题例1 分别用辗转相除法与更相减损术求以下两数最大公约数:261，319.思路分析：使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止，亦可用如下方法，直到余数为0；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止.解：〔1〕辗转相除法：319÷261=1〔余58〕；261÷58=4〔余29〕；58÷29=2〔余0〕.∴319与261最大公约数是29.更相减损术：319-261=58；261-58=203；203-58=145；145-58=87；87-58=29；58-29=29.∴319与261最大公约数是29.深化升华通过上例可以发现用辗转相除法与更相减损术求得最大公约数是一样，但用辗转相除法步骤较少，而用更相减损术运算简易，却步骤较多，在解题时应灵活运用.知识点二利用函数与方程思想——二分法解题例2 x5+x4+2x3-5x2+3x-1=0在区间［0,1］上有唯一实数根.试求出根近似值.要求: (1)用伪代码表示算法;(2)根误差绝对值要小于0.005.思路分析：回忆二分法解方程过程，并假设所求近似值与准确解差绝对值不超过0.005.这就是循环语句终止条件.解：S1 a←0;S2 b←1;S3 c←0.005;S4 x0←(a+b)/2;S5 f(a)←a5+a4+2a3-5a2+3a-1;S6 f(x0)←x05+x04+2x03-5x02+3x0-1;S7 If f(x0)=0 Then GoTo 140;S8 If f(a)f(x0)<0 Then;S9 b←x0;S10 Else;S11 a←x0;S12 End If;S13 If |a-b|≥c ThenGoTo 4;S14 Print x0.方法归纳对于给定一元方程f(x)=0,要求准确度为ε近似解算法如下:1.确定有解区间［a,b］(f(a)·f(b)<0).2.取［a,b］中点.3.计算函数f(x)在中点处函数值f().4.判断函数值f()是否为0.(1)如果为0,x=就是方程解,问题就得到了解决.(2)如果函数值f()不为0,那么分以下两种情况:①假设f(a)·f()<0,那么确定新有解区间为(a,);②假设f(a)·f()＞0,那么确定新有解区间为(,b).5.判断新有解区间长度是否小于误差ε:(1)如果新有解区间长度大于误差ε,那么在新有解区间根底上重复上述步骤;(2)如果新有解区间长度小于或等于误差ε,那么取新有解区间中点为方程近似解.深化升华(1)循环变量与初始条件设两个变量a,b,分别表示有解区间左端点与右端点,初始值分别为0与1.(2)循环体算法中反复执行局部是判断函数值f()是否为0:①如果f()=0,输出.②如果f()不为0,那么判断f(a)·f()符号:(ⅰ)如果f(a)·f()<0,b←;(ⅱ)如果f(a)·f()＞0,a←.(3)终止条件①f()=0;②b-a<ε.误区警示将终止条件b-a<ε当成循环体是错误.问题·探究交流讨论探究问题如何求两个数最大公约数，有几种方法？探究过程:同学甲：可用辗转相除法与更相减损术.辗转相除法理论根据是：由m=nq+r可以看出，m,n与n,r有一样公约数.更相减损术理论依据为：由m-n=r，得m=n+r，可以看出，m,n与n,r有一样公约数，即二者“算理〞相似.同学乙：辗转相除法与更相减损术区别：〔1〕都是求最大公约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数区别较明显.〔2〕从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果是以相除余数为0得到，而更相减损术那么以减数与差相等而得到.同学丙：正如累数加法，可以直接用乘法替换，事实上，减法也可以理解为除法前身，所以我们应该为中国人骄傲.探究结论：利用辗转相除法与更相减损术皆可求最大公约数，我们应分清它们区别与联系，才能在解题过程中得心应手.。
高中数学第一章算法初步1.4算法案例3教案苏教版必修320170717119
1.4 算法案例（3）教学目标：1．了解这种方法是求方程近似解的一般方法，能利用计算器求精确到0．01的实数解．2．理解二分法求方程近似解的算法，进一步理解函数与方程的关系．3．能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的二分法求方程近似解的流程图并写出其伪代码．4．培养学生利用计算工具的能力．教学重点：1．利用二分法求给定精确度的方法近似解．2．能写出二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学难点：1．利用二分法求方程的近似解．2．二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学方法：1．通过模仿二分法求方程近似解，体会古人计算构思的巧妙．2．通过二分法求方程近似解的方法与步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算计算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用．教学过程：一、问题情境在前面一节课中，我们已经学习了一些简单的算法，如不定方程的解、欧几里得辗转相除法求两个正整数的最大公约数等问题，对算法已经有了较为深刻的了解，下面，我们还将通过一个具体的算法案例，继续体会算法的思想．这就是我们本节课所要研究的问题—二分法求方程近似解．二、学生活动写出用区间二分法求解方程310x x --=在区间[1,1.5]内的一个近似解（误差不超过0．001）的一个算法．（1）算法设计思想：如图，如果估计出方程()0f x =在某区间[,]a b 内有一个根*x ，就能用二分法搜索求得符合误差限制c 的近似解．（2）算法步骤可以表示为：1S 取[,]a b 的中点20b a x +=，将区间一分为二； 2S 若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判断根*x 在0x 的左侧还是右侧；若0()()0f a f x >，则*0(,)x x b ∈，以0x 代替a ；若0()()0f a f x <，则*0(,)x a x ∈，以0x 代替b ；3S 若||a b c -<，计算终止，此时*0x x ≈，否则转1S ． 三、建构教学伪代码1：R ea d a ，b ，c02a b x +← While ||a b c -≥ And 30010x x --≠If 3(1)a a --⨯300(1)x x --<0 Then0b x ←Else0a x ←End If 02a bx +←End WhilePrint 0x伪代码2：Read ,,a b c0()2a b x +←3()1f a a a ←--3000()1f x x x ←--If 0()0f x = ThenGoTo 120If 0()()0f a f x < Then0b x ←Else0a x ←End IfIf ||a b c -≥ ThenGoTo 20xPrint二分搜索的过程是一个多次重复的过程，故可以用循环结构来处理（代码1），课本解法是采用GoTo语句实现的（代码2）．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．二分法的算法和用伪代码表示该算法；2．GoTo语句的使用；3．解决实际问题的过程：分析－画流程图－写伪代码．。
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1.4 算法案例
一览众山小
诱学·导入
材料：有一个故事是讲唐代大官杨埙提拔官员的经过.他让两个资格职位相同的候选人回答下面这个问题,谁先答出就提拔谁.“有人在林中散步,无意中听到几个强盗在商量怎样分配抢来的布匹.若每人分６匹,就剩５匹;若每人分７匹,就差８匹.问共有强盗几人？布匹多少？”
问题：你能用一个简单算式求出强盗人数和布匹数吗？
导入：这个问题可看作二元一次方程组问题列方程组求解.问题的特点是给出两种分配方案,一种分法分不完,一种分法不够分.中国古代《九章算术》一书中搜集了许多这类问题,各题都有完整的解法,后人称这种算法为——“盈不足术”.
这种算法可以概括为两句口诀:有余加不足,大减小来除.
公式:(盈+不足)÷两次所得之差=人数
每人所得数×人数+盈=物品总数
求得强盗有(8+5)/(7-6)=13(人),布匹有6×13+5=83(匹).
用a表示盈余数（5），b表示不足数（8），c表示盈所得数（6），d表示不足所得数，x表示强盗数，y表示布匹数，可列方程组对照求解.本节的内容是算法案例分析，我们将特别介绍中国古代的几个著名算法案例，进一步体会“算法”的概念.
温故·知新
本节课是经典的几个算法案例，为了不仅停留在一个了解的层面上，我们应该准备些什么？
“孙子问题”的思想即列不定方程组求解，借助计算机的快速性、准确性，很快就能得到答案.辗转相除法不难掌握，并且由于其规律性很强，每次都重复执行相同的步骤，执行次数由余数是否为0决定，所以很容易用计算机实现.有关二分法的问题，在学习前首先要对二分法求方程近似解的过程回顾一下，必要时把解题的过程简单描述出来，找出重复执行的部分，用循环结构来实现即可.
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