平面向量的线性运算(含答案)
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平面向量的线性运算
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
2.设D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，CA的中点，则等于( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
第2页共7页 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
3.在△ABC中，，P是CR的中点，若，则m+n等于( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
4.如图，在△ABC中，，若，则的值是( ) 第3页共7页
A.B.
C.D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
5.已知点P是△ABC内一点，且，则的值是( )
A.B.
C.D. 第4页共7页
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点（不与M重合），则等于( )
A.B.
C.D.
答案：D
解题思路： 第5页共7页
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
7.若M是△ABC的重心，O为任意一点，，则n的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
8.在△ABC中，，，点P在AM上且满足，则的值是( )
A.B.
C.D. 第6页共7页
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义
9.设P是等边△ABC所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算
10.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直线，，则的值是( ) 第7页共7页
A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算
向量的线性运算技巧及练习题附解析
向量的线性运算技巧及练习题附解析
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，a是非零向量，那么ka＝0 B．如果e是单位向量，那么e＝1
C．如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a D．已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、如果k＝0，a是非零向量，那么ka＝0，错误，应该是ka＝0．
B、如果e是单位向量，那么e＝1，错误．应该是e＝1． C、如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b，正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
2．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由△ABC中，两条中线AE、CF交于点G可知，，求出的值即可解答.
【详解】
∵
∴
∵ ∴
故本题答案选B.
【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
3．下列判断正确的是( )
A．0aa
B．如果ab，那么ab
C．若向量a与b均为单位向量，那么ab
D．对于非零向量b，如果0akbk，那么//ab
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.
【详解】
A.
aa等于0向量，而不是等于0，所以A错误；
B. 如果ab，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B错误；
C.
若向量a与b均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C错误；
D. 对于非零向量b，如果0akbk，即可得到两个向量是共线向量，可得到//ab，故D正确.
专题06 平面向量 (解析版)
专题06 平面向量
【真题感悟】
1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设，
则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则
A．I１
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
故选C． 3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是________；最大值是_______.
【答案】(1)0 (2) 25
【解析】12345613562456ABBCCDDAACBDABAD
要使123456ABBCCDDAACBD的最小，只需要
135562460，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1
此时123456min0ABBCCDDAACBD
等号成立当且仅当1356,,均非负或者均非正，并且2456,,均非负或者均非正.
比如1234561,1,,1,1,11
则123456max2025ABBCCDDAACBD.
4.（2017年浙江卷）已知向量a,b满足1,2ab，则abab的最小值是___________，最大值是______.
【答案】
4
25
【解析】设向量,ab的夹角为，由余弦定理有： 2212212cos54cosab，
向量的线性运算知识点总复习含答案解析
向量的线性运算知识点总复习含答案解析
一、选择题
1．如果向量ar与单位向量er的方向相反，且长度为3，那么用向量er表示向量ar为（ ）
A．3aevv B．3aevv C．3eavv D．3eavv
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的定义解答即可．
【详解】
解：∵向量er为单位向量，向量ar与向量er方向相反，
∴3aerr．
故选：B．
【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．在中，已知是边上一点，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.
【详解】
解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，
则，
∴，故选A.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.
3．如果向量ar与单位向量er方向相反，且长度为12，那么向量ar用单位向量er表示为（ ）
A．12aerr B．2aerr C．12aerr D．2aerr 【答案】C
【解析】
由向量ar与单位向量er方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量ar与单位向量er方向相反，且长度为12，
∴12aerr．
故选C．
4．下列判断不正确的是（ ）
A．如果ABCD=uuuruuur，那么ABCD=uuuruuur
B．+＝+
C．如果非零向量ab(0)kk=坠rr，那么ar与br平行或共线
D．ABBA0+=uuuruuur
【答案】D
【解析】
【分析】
根据模的定义，可判断A正确；根据平面向量的交换律，可判断B正确；根据非零向量的知识，可确定C正确；又由0ABBA+=uuuruuurr可判断D错误
【详解】
A、如果ABCD=uuuruuur，那么ABCDuuuvuuuv，故此选项正确；
B、abbarrrr，故本选项正确；
最新初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1)
最新初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1)
一、选择题
1．对于非零向量ar、br，如果2|ar|＝3|br|，且它们的方向相同，那么用向量ar表示向量br正确的是（ ）
A．br＝32ar
B．br＝23ar C．br＝﹣32ar
D．br＝-23ar
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件得到非零向量ar、br的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|ar|=3|br|，∴|br|23|ar|．
又∵非零向量ar与br的方向相同，∴23barr．
故选B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
2．已知向量，若与共线，则( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.
【详解】
解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.
【点睛】
本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.
3．下列等式正确的是（ ）
A．ABuuur+BCuuur＝CBuuur+BAuuur B．ABuuur﹣BCuuur＝ACuuur
C．ABuuur+BCuuur+CDuuur＝DAuuur D．ABuuur+BCuuur﹣ACuuur＝0r
【答案】D
【解析】 【分析】
根据三角形法则即可判断.
【详解】
∵ABBCACuuuruuuruuur，
∴0ABBCACACACuuuuruuuruuuruuuruuurr ，
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.
4．已知233mabrrr，1124nbarrr，那么4mnrr等于（ ）
A．823abrr B．443abrr C．423abrr D．843abrr
向量的线性运算知识点总复习有答案
向量的线性运算知识点总复习有答案
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．()0aarr B．如果ar和br都是单位向量，那么abrr
C．如果||||abrr，那么abrr D．12abrr（br为非零向量），那么//abrr
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A、()aarr等于0向量，而不是0，故A选项错误；
B、如果ar和br都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错误；
C、如果||||abrr，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；
D、如果12abrr（br为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//abrr，故D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
2．下列各式中错误的是( )
A．()0aarr B．|ABBA|0uuuruuur C．()rrrrabab D．()()rrrrrrabcabc
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可.
【详解】
解：A. ()0aavvv，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
3．在矩形ABCD中，如果ABuuur模长为3, BCuuur模长为1，则向量（ABuuur+BCuuur+ACuuur）
的长度为（ ）
A．2 B．4 C．31 D．31
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出ACABBCuuuruuuruuur，然后2ABBCACACuuuruuuruuuruuur，利用勾股定理即可计算出向量（ABuuur+BCuuur+ACuuur）的长度为
向量的线性运算经典测试题附答案解析
向量的线性运算经典测试题附答案解析
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，如果ABa，ADb，那么ab等于（ ）
A．BD B．AC C．DB D．CA
【答案】B
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得BCb，然后由三角形法则，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ADb，
∴BCb，
∵ABa，
∴ab=AB+BC=AC．
故选B．
2．四边形ABCD中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )
A．是平行四边形 B．是梯形
C．是平行四边形或梯形 D．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB与CD是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.
【详解】
根据题意可得AB与CD是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形.
故答案为：C.
【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
3．如图，已知向量a，b，c,那么下列结论正确的是（ ）
A．abc B．bca C．acb D．acb
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
由平行四边形法则，即可求得：
解：∵CAABCB，
即acb
故选D．
4．下列各式中错误的是( )
A．()0aa B．|ABBA|0 C．()abab D．()()abcabc
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可.
【详解】
解：A. ()0aa，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
5．下列判断正确的是( )
向量的线性运算经典测试题含答案解析
向量的线性运算经典测试题含答案解析
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，若设ABa，ADb，则下列选项与1122ab相等的向量是（
）．
A．MA B．MB C．MC D．MD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形ABCD中, ABa，ADb，
∴ACABADab,BDADABba,M分别为AC、BD的中点,
∴11112222aMACabAb，故A不符合题意；
11112222MBBDbaab，故B不符合题意；
11112222aMACabCb，故C不符合题意；
11112222MDBDbaab，故D符合题意.
故选D.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误， D. 方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，正确；
故选D.
【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
3．在中，已知是边上一点，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.
【详解】
解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A.
平面向量(含答案)
试卷第1页，总3页 平面向量
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．.若向量(1,2),(4,5)BACA，则BC
A. (5,7) B. (3,3) C. 3,3 D. 5,7
2．已知向量2(1,1),(,2),xxab 若,ab共线,则实数x的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.1或2
3．已知向量(1,2),(2,)abm，若//ab，则|23|ab等于( )
A．70 B．35 C．45 D．25
4．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2ADDB，13CDCACB，则（ ）
A.23 B.13 C.13
D.23
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)OABCm，若//OBAC，则实数m的值为( )
A. 2 B. 12 C. 12 D. 2
6．已知||6a，||3b，12ab，则向量a在向量b方向上的投影是（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
7．已知向量(3,4)OA，(6,3)OB，(2,1)OCmm，若//ABOC，则实数m的值为（ ）
A．15 B．-3 C．35 D．17
2020年高考专题复习平面向量的线性表示(解析版)
考点12 平面向量的线性表示
【自主热身，归纳总结】
1、(2019无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是________．
【答案】. 梯形
【解析】、因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋－4a－b＋(－5a＋－3b)＝－8a－2b所以，AD→＝2BC→，即AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以，四边形ABCD是梯形．
2、（2017年苏州期末）设1e与2e是两个不共线向量，1232eeuuurAB，12eeuuurCBk，1232eeuuurCDk，若A，B，D三点共线，则k
．
【答案】.：49k
【解析】、12(3)(21)BDCDCBkkuuuruuuruuuree，设ABBDuuuruuur．则)3(3k且)12(2k，解得49k．
3、（2017徐州期末）在ABC中，若点D，E，F依次是边AB上的四等分点，设1euuurCB，2euuurCA，用1e，2e表示uuurCF，则uuurCF ．
【答案】.ee214143
【解析】、 在ABC中，12eeuuuvuuuvuuuvABACCB，34AFABuuuvuuuv，所以uuuvuuuvuuuvCFCAAF
21212331=+444eeeee．
4、（2016年南通一模）如图，在ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点. F为边AB上的点，且3ABAFuuuruuur，若ADxAFyAEuuuruuuruuur，,xyR，则xy的值为 .
【答案】：52
【解析】、：因为D为BC的中点，所以11332222ADABACAFAEAFAEuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，故3,12xy，52xy。
历年高三数学高考考点之平面向量的线性问题必会题型及答案
1 历年高三数学高考考点之必会题型及答案
体验高考
1.设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )
A.AD→＝－13AB→＋43AC→ B.AD→＝13AB→－43AC→
C.AD→＝43AB→＋13AC→ D.AD→＝43AB→－13AC→
答案 A
解析 ∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，
即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.
2.已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于( )
A.－8 B.－6 C.6 D.8
答案 D
解析 由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，
即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.
3.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A.4 B.－4 C.94 D.－94
答案 B
解析 ∵n⊥(tm＋n)，
∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
又4|m|＝3|n|，
∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
4.在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.
答案 12 －16 2
解析 MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，
∴x＝12，y＝－16.
高考必会题型
题型一 平面向量的线性运算及应用
例1 (1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是( )
A.0，12 B.0，13 C.－12，0 D.－13，0