矩形菱形正方形及其性质判定
菱形、矩形、正方形的性质及判定
特殊
四边
边
形
菱
形
菱形、矩形、正方形的性质判定
性
质
角
对角线
面积
对称性
判定
边
角
对角线
矩 形
正 方 形
【例题精讲】
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE :∠BAE = 3 :1, 求∠EAC的度数。
【拓展练习】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，交 BC 于 E，求 ∠BOE的度数
C.AD//BC，∠A =∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
13,.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且 CE=DE，若 AB=2AD，则∠ADE 等于（
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
14.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（
A.16
8.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 1:2，此菱形的面积为（
）
A.4 3
B.8 3
C.10 3
D.12 3
9.已知 E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点，那么 SΔ AED =
S矩形ABCD （
）
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
4
5
6
10.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
6.已知菱形 ABCD，AE⊥BC 于 E，若 S菱形ABCD = 24 ，且 AE=6，则菱形的边长为（
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
ABCD EFO矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC ，AC=BD∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴COF AOE COD AOB S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积33221=⨯⨯=点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.二、菱形知识的应用例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 23=，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积.分析： 因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中，∵ DE ⊥AB ，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形.∴ ∠ABD=60° .∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.(2)在菱形ABCD 中 ，AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt △ABO 中，a AO 23=a a AO AC 32322=⨯==∴ (3)由(1)知a AB BD ==，∴a a S ⋅⨯=⋅=321BD AC 21菱形 .232a = 点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用21AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.三、正方形知识的应用例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.解：HG HB =. 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.∴90B G ∠=∠=°.由题意知AG AB =，又AH AH =.DCAB GHFEDC AB GHFERt Rt()∴△≌△，AGH ABH HL=∴.HG HB证法2：连结GB.，都是正方形，∵四边形ABCD AEFG∠=∠=∴°.ABC AGF90由题意知AB AG=.∴.∠=∠AGB ABG∴.∠=∠HGB HBG∴.=HG HB点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或HBG∠即可.=HGB∠练习：1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.求证：四边形CDC′E是菱形.3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.参考答案1.AB AD AC BD，等.=⊥2.证明：根据题意可知DE∆≅C∆CDE'则'''，，=∠=∠=CD C D C DE CDE CE C E∵AD//BC ∴∠C′DE=∠CED∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.(2) 不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC 边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分.(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有BE=DF.。
矩形、菱形、正方形的性质与判定(2)
11.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）学习过程：一、情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条 件结 论四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O四边形ABCD 是平行四边形二、探索活动问题一 你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？ 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。
问题二 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
问题三 你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四 你认为“在四边形ABCD 中，如果OA=OC ，OB ≠OD ，那么四边形ABCD 不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？分析：假设四边形ABCD 是平行四边形，那么OA=OC ，OB=OD ，这与条件OB ≠OD 矛盾，所以四边形ABCD 不是平行四边形。
假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。
三、例题教学例1 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F 。
求证：四边形AECF 是平行四边形。
分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC ，再证OE=OF 即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。
四、练习P 20 练习 1、2OABCDE FHG ABCDE F五、小结1、如图，AD∥BC，AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，图中有哪些四边形是平行四边形？说说你的理由。
2、“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？如果正确证明你的结论。
3.矩形、菱形、正方形及其性质、判定1
(20070911184130515992)第42题. （2007江苏常州课改，9分）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E G H ，，分别在正方形ABCD 边AB CD DA ，，上，2AH =，连接CF ． （1）当2DG =时，求FCG △的面积；（2）设DG x =，用含x 的代数式表示FCG △的面积； （3）判断FCG △的面积能否等于1，并说明理由．答案：解：（1） 正方形ABCD 中，2AH =，4DH ∴=． 又2DG =，因此HG =EFGH的边长为 在AHE △和DGH △中，90A D ==∠∠，2AH DG ==，EH HG ==AHE DGH ∴△≌△．AHE DGH ∴=∠∠．90DGH DHG += ∠∠，90DHG AHE ∴+= ∠∠， 90GHE ∴= ∠，即菱形EFGH 是正方形．同理可以证明DGH CFG △≌△．因此90FCG =∠，即点F 在BC 边上，同时可得2CF =，从而14242FCG S =⨯⨯=△． 2分（2）作FM DC ⊥，M 为垂足，连结GE ， AB CD ∥，AEG MGE ∴=∠∠， HE GF ∥，HEG FGE ∴=∠∠． AEH MGF ∴=∠∠．在AHE △和MFG △中，90A M ==∠∠，HE FG =，AHE MFG ∴△≌△．2FM HA ∴==，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2．因此12(6)62FCG S x x =⨯⨯-=-△． 6分（3）若1FCG S =△，由6FCG S x =-△，得5x =，此时，在DGH △中，HG =相应地，在AHE △中，6AE =>，即点E 已经不在边AB 上． 故不可能有1FCG S =△．9分另法：由于点G 在边DC 上，因此菱形的边长至少为4DH =，当菱形的边长为4时，点E 在AB边上且满足AE =E 逐渐向右运动至点B 时，HE的长AADH AH（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为HE =此时，DG =0x ≤≤ 而函数6FCG S x =-△的值随着x 的增大而减小，因此，当x =FCG S △取得最小值为6-又因为661->-=，所以，FCG △的面积不可能等于1． 9分(20070911184131703993)第43题. （2007江苏连云港课改，3分）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形答案：Ｄ(20070911184135625633)第44题. （2007江苏泰州课改，9分）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD BC ，的中点，G H ，分别是BD AC ，的中点，AB CD ，满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论． 答案：（1）当AB CD =时，四边形EGFH 是菱形．（2）证明： 点E G ，分别是AD BD ，的中点，12EG AB ∴ ∥，同理12HF AB ∥，EG HF ∴ ∥．∴四边形EGFH 是平行四边形12EG AB = ，又可同理证得12EH CD =，AB CD = ， EG EH ∴=，∴四边形EGFH 是菱形．9分（用分析法由四边形EGFH 是菱形推出满足条件“AB CD =”也对）(20070911184136828118)第45题. （2007江苏无锡课改，7分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E F ，分别是边CD ，AD 的中点．求证：AE CF =．Ａ ＦＣＤＢＥ答案：证明：菱形ABCD 中，AD CD =． 1分E F ，分别是CD AD ，的中点，1122DE CD DF AD DE DF ∴==∴=，，．3分 又ADE CDF ∠=∠ ，AED CFD ∴△≌△． 5分AE CF ∴=． 7分(20070911184137906587)第46题. (2007江苏徐州课改，7分)如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC BD ，的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定是．．．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD 必须．．满足．．怎样的条件？答案：（1）矩形，菱形，菱形； 3分 （2）当平行四边形EFGH 是矩形时，四边形ABCD 必须满足：对角线互相垂直； 5分 当平行四边形EFGH 是菱形时，四边形ABCD 必须满足：对角线相等． 7分(20070911184138703236)第47题. （2007辽宁大连课改，3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若2OA =，则BD 的长为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：A(200709111841414686)第48题. （2007江西课改，3分）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点AECD BFA H G CEB D AD O B CC 落在C '处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：B(20070911184143875855)第49题. （2007辽宁大连课改，7分）如图－1，小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：“在正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且FAE EAD ∠=∠，那么EF AE ⊥”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图－2、图－3、图－4），其他条件不变，发现仍然有“EF AE ⊥”的结论．你同意小明的观点吗？若同意，请给结合图11－4加以证明；若不同意，请说明理由．答案：解：同意．方法一：证明：如图①，延长AE 交BC 的延长线于点G四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，D ECG ∴∠=∠．E 为DC 的中点，∴DE EC =，又DEA CEG ∠=∠ ，(ASA)ADE GCE ∴△≌△． 3分∴AE GE DAE G =∠=∠，．FAE DAE ∠=∠ ，FAE G ∴∠=∠．5分 ∴FA FG =． EF AE ∴⊥．7分方法二：证明：如图②，在AF 上截取AG AD =， 连接EG GC ，．FAE EAD ∠=∠，AE AE =，(SAS)AEG AED ∴△≌△．DE GE ∴=，AGE D ∠=∠，12∠=∠．点E 是DC 的中点，EC DE ∴=，EC GE ∴=．四边形ABCD 是平行四边形，180AD BC BCD D ∴∴∠+∠= ∥．180EGF AGE ∠+∠= ，BCD EGF ∴∠=∠．3分C 'DE D E C C BF 图—1 图—2 图—3 图—4F②①EG EC = ，EGC ECG ∴∠=∠．FGC FCG ∴∠=∠．GF FC ∴=．又EF EF = ，(SSS)GEF CEF ∴△≌△．6分34∴∠=∠．1123(1234)1809022AEF ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=⨯= ． EF AE ∴⊥．7分(20070911184149031398)第50题. （2007辽宁大连课改，12分）两个全等的Rt ABC △和Rt EDA △如图放置，点B A D ，，在同一条直线上．操作：在图中，作ABC ∠的平分线BF ，过点D 作DF BF ⊥，垂足为F ，连结CE ． 探究：线段BF CE ，的关系，并证明你的结论．说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt ABC △和Rt EDA △”改为“两个全等的等腰直角ABC △和等腰直角EDA △（点C A E ，，在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得．．．2．分．．答案：解：操作如图①， 结论：BF CE ⊥，12BF CE =．………………2分 方法一：证明：如图②，设CE 交BF 于点N ，交BD 于点M ． Rt Rt ABC EDA △≌△，90ABC EDA ∴∠=∠=，AC AE =，12∠=∠． BC DE ∴∥，BCE DEC ∴∠=∠． AC AE = ，34∴∠=∠，513∠=∠+∠ ，24DEC ∠=∠+∠，545DEC DME ∴∠=∠=∠= ．545BCE ∴∠=∠=．………………………………4分 BC BM ∴=．CBAEDC BA ED②GM N 15 324 FCB AED①F又BF 平分ABC ∠，MN ∴12CM =，BF CE ⊥．………………6分 过点D 作DG CE ⊥，垂足为G ．45DME DEM ∠=∠= ，DM DE ∴=．12MG ME ∴=． DF BF ⊥ ，BF CE ⊥，DG CE ⊥，90FNG DGN F ∴∠=∠=∠= ，∴四边形FNGD 为矩形．8分∴111222FD NG MN MG CM ME CE ==+=+=．又BF 平分ABC ∠，DF BF ⊥，90ABC ∠=，45FBD FDB ∴∠=∠= ，BF DF ∴=，12BF CE ∴=．12分方法二：证明：如图③，过点C 作CG DE ⊥，交ED 的延 长线于点G ，BF 交CE 于点N ．90ABC BDG G ∠=∠=∠= ，∴四边形BDGC 为矩形． ∴DG BC =，BD CG =．Rt Rt ABC EDA △≌△，AB DE AD CB ∴==，．AB AD DE DG ∴+=+．即BD EG CG ==．∴CEG △为等腰直角三角形．………………………………4分∴sin 45CGCE ===． 6分BF 平分ABC ∠，90ABC ∠= ，45FBD ∴∠= ．DF BF ⊥ ，BDF ∴△为等腰直角三角形．sin 45BFBD ∴==，)2CE BF ∴===，12BF CE ∴=．10分又 45FDB GEC ∠=∠=，FDG GEC ∴∠=∠．FD CE ∴∥，180FNE DFN ∴∠+∠= ．90DFN ∠= ，90FNE ∴∠= ．BF EC ∴⊥．12分 方法三：证明：如图④，设BF 交CE 于点N ，延长BF ， ED 交于点G ，连结CF 并延长交EG 于点H ．BF 是ABC ∠的平分线，90ABC ∠= ，C BADFGN H12 C BAED③FG N1245∴∠=∠= ．90BDG ∠= ，145G ∴∠=∠= ，BD GD ∴=．…………4分DF BF ⊥ ，FD FB FG ∴==．245G ∠=∠= ，CFB HFG ∠=∠，BCF GHF ∴△≌△（ASA ）． 6分CF HF ∴=，BC GH =．Rt Rt ABC EDA △≌△，BC DA AB ED ∴==，． AD GH ∴=，AB DH =，DE DH ∴=．8分FD CE ∴∥，且12FD CE =．90180FNE DFN FNE ∠+∠=∠+= ，90FNE ∴∠= ． BF CE ∴⊥，12BF CE =． 12分改变条件：选“两个全等的等腰直角ABC △和等腰直角EDA △（点C A E ，，在同一条直线上）”． 证明：如图⑤，连结CF AF ，．90ABC ∠= ，BF 是ABC ∠的平分线，45DBF ∴∠=．DF BF ⊥ ，BFD ∴△为等腰直角三角形．Rt Rt ABC EDA △≌△，AB AD ∴=，CA AE =． AF AB ∴⊥，AF AB =．ABC △为等腰直角三角形，BC AB ∴⊥，BC AB =，BC AF∥． ∴四边形BAFC 是正方形．∴BF CE ⊥，BF CA =．∴12BF CE =． 2分(20070911184150031933)第51题. （2007内蒙赤峰课改，4分）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，15ABE ∠=，且AB AE =，则DE = cm ．答案：3(20070911184151484619)第52题. (2007浙江台州课改,8分)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想．C BAED 25题⑤FCDED C A BG H F答案：解：HG HB =． 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形． ∴90B G ∠=∠=°．由题意知AG AB =，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△， HG HB =∴． 证法2：连结GB ．∵四边形ABCD AEFG ，都是正方形， 90ABC AGF ∠=∠=∴°． 由题意知AB AG =． AGB ABG ∠=∠∴． HGB HBG ∠=∠∴． HG HB =∴．(20070911184152296701)第53题. （2007辽宁12市课改，10分） 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．答案：解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴∠AEF =∠ECD ． 3分 又∠F AE =∠EDC =90°．EF =EC ∴Rt △AEF ≌Rt △DCE ． 5分 AE =CD ． 6分 AD =AE +4．∵矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴2（AE +AE +4）=32． 8分 解得， AE =6 （cm ）． 10分DCAB GHFEDC AB GHFEB C A E DF(20070911184153281789)第54题. （2007内蒙赤峰课改，4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使D 与A 重合，B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AECD 的面积等于（ ） A ．36 B ．48 C ．72 D ．96答案：A(20070911184155312481)第55题. (2007内蒙鄂尔多斯课改9分)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图16（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；（3）如图16（2），将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠．求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．答案：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）2分（填正确一个得1分）（2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．（没有写出不扣分）2分（根据图形给分，一个图形正确得1分）BE 图（1）A（2） A（3）证明：连结EC ABC DBE △≌△5分 AC DE ∴=，BC BE =6分 60CBE = ∠ EC BC ∴=，60BCE = ∠7分 30DCB = ∠ 90DCE ∴= ∠ 222DC EC DE ∴+= 8分222DC BC AC ∴+=，即四边形ABCD 是勾股四边形9分(2007091118415645386)第56题. （2007宁夏课改，8分）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥．答案：解：（1）能正确说明ADB EBD ∠=∠（或ABF EDF △≌△） 3分BF DF =∴4分 （其它方法参考以上标准给分）．（2）能得出AEB DBE ∠=∠（或EAD BDA ∠=∠） 7分AE BD ∴∥8分 （其它方法参考以上标准给分）．(20070911184157421952)第57题. （2007山东德州课改，3分）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8答案：AAB C D EF ＢＦＣＥＤ Ａ(20070911184158671190)第58题. （2007山东德州课改，3分）如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=，点E F ，分别从点B D ，出发以同样的速度沿边B CD C ，向点C 运动．给出以下四个结论：①AE AF =②CEF CFE ∠=∠③当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △是等边三角形④当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）答案：①②③(20070911184200203397)第59题. （2007山东德州课改，9分）已知：如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC △外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． （1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC △满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．答案：（1）证明：在ABC △中，AB AC AD BC =，⊥． BAD DAC ∴∠=∠．2分AN 是ABC △外角CAM ∠的平分线， MAE CAE ∴∠=∠．1180902DAE DAC CAE ∴∠=∠+∠=⨯= ．4分又AD BC CE AN ⊥，⊥，90ADC CEA ∴∠=∠= ，∴四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分． ②答案只要正确均应给分．例如，当90BAC ∠=时，四边形ADCE 是正方形． 6分证明：90BAC AB AC AD BC ∠== ，，⊥于D ．45ACD DAC ∴∠=∠= 7分 DC AD ∴=．8分由（1）四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． 9分(20070911184201171814)第60题. （2007山东东营课改，9分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥ＦＤ ＡＢBC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．答案：（1）证明：在△A BC 中， AB ＝AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD ＝∠DAC ．2分∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝⨯21180°＝90°．4分又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ ADC CEA ∠=∠＝90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分． ②答案只要正确均应给分．例如，当AD ＝12BC 时，四边形ADCE 是正方形．6分证明：∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ．∴ DC ＝12BC ．7分又 AD ＝12BC ， ∴ DC ＝AD ． 8分 由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形． 9分(20070911184201875200)第61题. （2007山东济南课改，4分）下列说法不正确的是（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四条边都相等的四边形是正方形答案：D(20070911184202796787)第62题. （2007山东济南课改，3分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AF BE =．求NB证：DE CF =；答案：证明：AF BE = ，EF EF =，AE BF ∴= 1分四边形ABCD 是矩形，90A B ∴== ∠∠，AD BC =， DAE CBF ∴△≌△ 2分DE CF ∴= 3分(20070911184203546698)第63题. （2007山东聊城课改，4分）如果菱形的周长是8cm ，高是1cm ，那么这个菱形两邻角的度数比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:5 D ．1:6答案：C(20070911184205750549)第64题. (2007山东青岛课改,8分)将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ． （1）求证：ABE AD F '△≌△；（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．答案：证明：（1）由折叠可知：D D '∠=∠，CD AD '=，C D AE '∠=∠． ∵四边形ABCD 是平行四边形，B D ∠=∠∴，AB CD =，C BAD ∠=∠．2分∴B D '∠=∠，AB AD '=，D AE BAD '∠=∠， 即1223∠+∠=∠+∠． 13∠=∠∴．ABE AD F '∴△≌△． 4分（2）四边形AECF 是菱形．由折叠可知：AE EC =，45∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥． 56∠=∠∴．46∠=∠∴．AF AE =∴． AE EC =∵，AF EC =∴．又AF EC ∵∥，∴四边形AECF 是平行四边形．A F D C EB D 'A F DC E BD ' 12 34 5 6AF AE ∵，∴四边形AECF 是菱形． 8分(20070911184206437361)第65题. （2007山东日照课改，3分）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm 答案：D(20070911184207140152)第66题. （2007山东日照课改，3分）如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）答案：B(20070911184207875550)第67题. （2007山东日照课改，3分）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30o 到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于 ． 答案：33(20070911184208937711)第68题.（2007山东潍坊课改，3分）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 答案：D(20070911184212500731)第69题. 当出现此信息时，说明word 文档内容过多过大，请尝试重新导出试题或减少试题数量。
菱形、矩形、正方形的性质与判定
A．24
B.18
C．12
D.9
9．如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C′处，点 B 落在点 B′处，其中 AB＝9，BC ＝6，则 FC′的长为( D )
A.130
B.4
C．4.5
D.5
10．如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E， 连接 CE.若 BC＝7，AE＝4，则 CE＝ 5 .
(2)解：如图，设 AD⊥BF 于 H，作 DG⊥BC 于 G， 则四边形 BGDH 是矩形，∴DG＝BH＝12BF. ∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝12CD. 在 Rt△CDG 中，∠CGD＝90°，DG＝12CD， ∴∠C＝30°， ∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
菱形、矩形、正方典形范的例性质与判定
1【. 例 1】如图，在菱形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， 作 DF⊥BC 于点 F，连接 EF.求证： (1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DE⊥BA，DF⊥CB， ∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∠A＝∠C 在△ADE 和△CDF 中，∠AED＝∠CFD＝90° ，
AD＝CD ∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝CB， ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF，∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE.
4.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据 题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已
在△AOD 和△COE 中， OA＝OC，
∠AOD＝∠COE，
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(3)
菱形的性质定理证明与应用。
教学难点
菱形的性质和直角三角形的知识综合应用。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、创设情境
市场里有一种衣帽架，它是用四长四短的木条构成几个菱形，顶点处上下两排挂钩可以根据需要将它伸缩，不仅美观，而且实用。我们学校的伸缩大门也是这样的。通过你们的观察，什么样的图形是菱形？它具有哪些特殊的性质？
例2、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=3题型展示：
你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？
请把题目整理出来并给出答案！
题目：
预习总结
1、通过本节课的学习，你认为你的学习重点是：
2、通过本节课的学习，你认为你的学习难点是：
3、通过本节课的学习，你认为你还有哪些东西没有掌握：
二、合作交流
1、你能证明菱形的这些性质吗？
2、你认为菱形的两条对角线将一个菱形分成的图形有什么特殊的地方？如果要计算一个菱形的面积，你有几种方法？
三、典例分析：
例1、如图，三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，定点A、E、F、C、G、H处是上下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩间的距离（例如AC）。若菱形的边长为13cm，要使两排挂钩之间的距离为24cm，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
课时编号
006
课题
1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（3）
教学目标
知识与技能
1、能证明矩形菱形的性质定理。
2、运用菱形的性质定理解决具体问题，提高分析能力和观察能力。
过程与方法
探索并证明菱形的性质，利用性质解决与菱形有关的实际问题。
情感、态度与价值观
通过菱形性质的学习，体会菱形的图形美与实用性。
课后随笔
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矩形、菱形、正方形及其性质、判定第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分）（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CBA C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．证明：AD BD ⊥ ，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ）E 是AB 的中点， 12D E A B B E ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形．第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ．ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．12∴∠=∠．在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， A D E C D F ∴△≌△．DE DF ∴=．AB CDEF AEBCFD 1 23第3题. （湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠，∴EO CO =．同理，FO CO =． ∴ EO FO =． （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO FO =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒，即90ECF ∠=︒．∴四边形AECF 是矩形．第4题. （江苏省南京市，6分）如图，在ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形． 答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴ BF ＝CE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ．在△ABF 和△DCE 中， ∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）证明：∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B ＝∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B ＋∠C ＝180°． ∴∠B ＝∠C ＝90°． ∴四边形ABCD 是矩形．第5题. （湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .（1）猜想：AD 与CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论.A BC E F M N O (第19题图）ABCEF M N O (第19题图）12345AB DCE F BACDEF答案：解：（1）AD CF =.（2） 四边形ABCD 是矩形，,AED FDC DE AB CD ∴∠=∠∴==又,90,CF DE CFD A ⊥∴∠=∠=︒ADE FCD ∴≅∆ AD CF ∴=第6题. （江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD上的点B '处，点A 落在点A '处； （1）求证：B E BF '=；（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并给予证明． 答案：（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， B EF BFE '∴∠=∠， B FE B EF ''∴∠=∠． B F B E ''∴=． B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．AE a = ，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． 在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．第7题. （内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．答案：答：四边形ABCD 是菱形．证明：由AD BC ∥，AB CD ∥得四边形ABCD 是平行四边形过A C ，两点分别作AE BC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．ABCD FA 'B 'EA B C D90CFB AEB ∴∠=∠= ．AE CF = （纸带的宽度相等）ABE CBF ∠=∠， Rt Rt ABE CBF ∴△≌△ AB BC ∴=∴四边形ABCD 是菱形第8题. （青海省，8分）如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． 答案：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．E 是AD 的中点， AE DE ∴=．又AEF DEB ∠=∠ ， AEF DEB ∴△≌△． AF DB ∴=． AF DC = ，DB DC ∴=．即D 是BC 的中点． （2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：AF DC ∥，AF DC =， ∴四边形ADCF 是平行四边形．AB AC = ，D 是BC 的中点， AD BC ∴⊥． 即90ADC ∠= ．∴四边形ADCF 是矩形．第9题. （山东省聊城市，8分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．答案：（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，OB OD ∴= A E C F ∥E F ∴∠=∠，OBE ODF ∠=∠． BOE DOF ∴△≌△（2）当EF AC ⊥时，四边形AECF 是菱形．证明： 四边形ABCD 是矩形， OA OC ∴=又由（1）BOE DOF △≌△得， OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形BA DCF EαBA FCEDF DOC B E AF DOCB EA第10题. （山东省青岛市，8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′ ，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由． 答案：证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°．∵∠BCD +∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE ，∴△BCG ≌△DCE ． （2）∵△DCE 绕D 顺时针旋转90︒得到△DAE ′，∴CE=AE ′．∵CE=CG ， ∴CG=AE ′．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE ′∥DG ，AB=CD ． ∴AB －AE ′ =CD －CG ，即BE ′ =DG ．∴四边形DE ′ BG 是平行四边形． 第11题. （四川省宜宾市，8分）已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD，上的点，且BE DF =．（1）求证：AE AF =．（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形．答案：证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，B D ∠=∠，又∵BE =D F ∴ABE △≌ADF △ ∴AE =AF (2)连接AC∵AB =BC ，60B ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形， E 是BC 的中点∴AE ⊥BC ， ∴906030BAE ︒∠=︒-=︒，同理 30DAF ∠=︒∵120BAD ∠=︒ ∴60EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒ 又∵AE =AF∴AEF △是等边三角形．ADBEFCGE ′EF ABDC第12题. （新疆乌鲁木齐市，12分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． （1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形． 答案：证明：（1）在BEC △中， G F ，分别是BE BC ，的中点GF EC ∴∥且12GF EC =又H 是EC 的中点，12EH EC =， GF EH ∴∥且GF EH = ∴四边形EGFH 是平行四边形（2）证明：G H ，分别是BE EC ，的中点GH BC ∴∥且12GH BC =又EF BC ⊥ ，且12EF BC =，EF GH ∴⊥，且EF GH =∴平行四边形EGFH 是正方形．BGA EFH DC。