2019年海淀高三二模文科数学试卷及答案
2019年高考全国2卷文科数学试题含答案解析
2019年高考全国2卷文科数学试题解析1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A.2．(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B3．函数π()sin(2)3f x x =+最小正周期为 A ．4π B ．2π C ． π D ．π2【答案】C【解析】由题意2ππ2T ==，故选C. 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b 【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2) 【答案】C6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 7．设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ． (,1)-∞C ． (1,)+∞D ． (4,)+∞ 【答案】D9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己结果，故选D.10．执行下面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种. 所以所求概率为102255=. 12．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A 5B ．2C ． 23D ． 33【答案】C二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 5【解析】2()215f x ≤+=14．已知函数()f x 是定义在R 上函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = .【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 球面上，则球O 的表面积为 . 【答案】14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积. 19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.K 2=22006266343815.70510010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈.由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 错误!未找到引用源。
2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)
2019届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（四）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+的虚部是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =； 第2步：49n =，3k =； 第3步：148n =，4k =； 退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（ ）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a=，所以，3a =，因为1||2PF =．所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正， 只有1人站起来的可能有4种， 没有人站起来的可能有1种， 所以所求概率为：24171616P ++==． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示， 该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（ ）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D 【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩， 解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示， 其外接球的直径为对角线PC，PCR =为：20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】π()4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，())f x x ω=，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()f x x =，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）．A ．2016B ．1008C ．504D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=， 所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-，若()a a b -∥，则a b ⋅=__________． 【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=-，因为()a a b -∥， 所以，32(1)0x +-=，解得：52x =，所以，55222a b ⋅=-=-．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________． 【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)， 圆的半径为R 22(1)2x y +-=．15．满足不等式组(1)(3)0,0x y x y x a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC 、ADE ，(1,2)A ，(,1)B a a +，(3)C a -，面积为：11(22)(1)21522S a a =--+⨯⨯=，解得：3a =．16．在ABC △中，60ACB ∠=︒，1BC >，12AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是__________．【答案】1+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12160b c a C ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cos c a b ab C =+-， 即2221122c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a a c a -+=-，ABC △的周长：122a b c a c ++=++2121212a a a a -+=++- 2632(1)a aa -=-． 令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39932222t t t t t +-+=++≥， 当332t t =，即t =1a =时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =． 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ． （Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-， 所以12n n T S S S =+++2312222n n +=+++-4(12)212n n ⨯-=-- 2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图频率质量指标（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=． （Ⅲ）22⨯列联表：则22100(350600)4 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD B到平面ADE 的距离． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ， 即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CD CAD AD∠=，因为1AD =，所以CD =设(0)AB x x =>，则BD =因为ABD BDC △∽△，所以AB DC ADBD=，即1x解得x，故ABBD 3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得322BC AE ==，同理322BC DE ==，所以112ADES =⨯△．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅△设点B 到平面ADE 的距离为d ，则1132ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以d =，即点B 到平面ADE20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C，且过点(2,1)A ， 所以22411a b +=，c a = 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-．设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k--=+， 所以2288214P k k x k --=+． 同理2288214Q k k x k +-=+． 所以21614P Q k x x k -=-+． 又28(4)14P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P QPQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上， 所以2211182x y +=，② 2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+． 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值． 法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11y kx b =+，22y kx b =+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=．把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*） 由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**） 则122841kb x x k +=-+，21224841b x x k -=+，代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++， 整理得(21)(21)0k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0)a f x x a x=+>． （Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围． （Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln a f x x x =+，得221()a x a f x x x x-'=-=． 因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 法2：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+． 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<． 所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e eg ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10ea <≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． （Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=， 即证明当0x >，2e a ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>． 令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10e x <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 当1e x =时，[]min 1()eh x a =-+． 于是，当2e a ≥时，11()e eh x a -+≥≥．① 令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减．当1x =时，[]min 1()ex ϕ=． 于是，当0x >时，1()ex ϕ≤．② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44θθ⎫=+⎪⎭ 2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （Ⅱ）设曲线C上的点为(1,1)P αα， 则点P 到直线l的距离为d =当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<． ①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤． ②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<． ③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥|31|=-a=-≥．312a。
2019海淀区二模数学(文)试题及答案-10页文档资料
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2019.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =U A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+D.2+俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0, π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式; (II)若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式S n +a n >2n 16 (本小题满分13分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，ACB ∠=30°,AD =2.(I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积 17 (本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点． (I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由. 18 (本小题满分13分） 已知函数f(x) =lnx g(x) =-)0(>a ax(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；(II)若∈∀x (0,e]，都有f(x)≥g(x) 23，求实数a 的取值范围. 19 (本小题满分丨4分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C 的方程；(II)若直线y =kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.20 (本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每1237-2- 1 0 1列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.数 学 （文科）参考答案及评分标准 2019．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分 所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n --> 所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=o ，所以45DAC ∠=o在ACD ∆中，AD =， 根据正弦定理有sin 45sin30CD AD=o o……………………4分所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=o ，sin75sin(4530)=+=o o o ……………………9分所以1sin7512ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+o ……………………12分所以32ABC ABD S S ∆∆== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=o o而 sin105sin(4560)=+=o o o ……………………8分所以1AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以 ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==I I所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =I所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行，所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得a ≥ e a ≤< ………………12分 a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=o ，所以PAB∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以 1||x =，则||AO ==………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k =-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有||||PO AO =代入得到=0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1： 法2： 法3： （写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…………………13分。
2019年最新北京市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。
2019海淀高三二模数学(文科)试卷及答案_201905071828241
2海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （ 文 科） ............. 2019.05一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）B （2）D （3）B （4）C （5）C（6）B（7）A（8）D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（ 9 ）1, （10） 0, 1（11）b （12） 24（13） （14） y = x +1 （答案不唯一），① ②三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 a = 7 ， b = 8 ， A = π，3 所以由正弦定理sin B = sin Ab a得sin B = b sin A = 8 ⨯ 3 =4 3a （Ⅱ）方法 1：7 2 7 因为 a = 7 ， b = 8 ，所以 B > A = π，所以C < π - π - π = π，3即C 一定为锐角, 所以 B 为△ABC 中的最大角所以△ABC 为锐角三角形当且仅当 B 为锐角 因为sin B = 4 3 ，所以cos B = 13 3 37 7因为sin C = sin(A + B )所以 S= sin A cos B + cos A sin B= 5 3 14= 1 ab sin C = 1 ⨯ 7 ⨯8⨯ 5 3 = 10△ABC方法 2：2 2 14由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A233 n n3 得 49 = 64 + c 2 - 2 ⨯ 8 ⨯ c ⨯ 12即c 2 - 8c +15 = 0解得c = 5 或c = 3c = 3= a 2 + c 2 - b 2 <△ABC当时，cos Bc = 5 2ac=a 2+ c 2 - b 2 > 0 ，与 为锐角三角形矛盾，舍去当 时，cos B 2ac0 ，所以 B 为锐角， 因为b > a > c ，所以 B 为最大角，所以△ABC 为锐角三角形所以 S = 1 bc s in A = 1 ⨯ 8⨯ 5⨯ 3= 10 ． △ABC2 2 2所以△ABC 的面积为10（16）（共 13 分）解：（Ⅰ）方法 1：⎧a 2 - a 1 = 6由题设得⎨a - a = 18 ⎩ 3 2因为{a n } 为等比数列，⎧a 2 - a 1 = 6 所以 ⎨a q - a q = 18 ⎩ 2 1所以 q = 3又因为 a 2 - a 1 = a 1q - a 1 = 6所以 a 1 = 3所以 a = 3n经检验，此时 a n +1- a n= 3n +1 - 3n = 2 ⋅ 3n 成立，且{a } 为等比数列所 以 a = 33= 27方法 2：因为 a n - a n -1 = 2 ⋅ 3n -1(n ≥ 2)a n -1 - a n -2 = 2 ⋅ 3n -2a n -2 - a n -3 = 2 ⋅ 3n -331 1 1 n3a - a = 2 ⋅ 3232a - a = 2 ⋅ 3121把上面 n - 1 个等式叠加，得到a n - a 1 = 2 ⋅ (3 + 32 + ... + 3n -1 ) = 3n - 3所以 a n = a 1 - 3 + 3n(n ≥ 2)而 a = a - 3 + 31也符合上式11所以 a n = a 1 - 3 + 3n (n ∈ N *)因为数列{a n } 是等比数列，设公比为qa a - 3 + 3n +1 所以对于∀n ∈N *，有 n +1 = 1= q 恒成立 a a - 3 + 3nn1所以 a - 3 + 3n +1 - q (a - 3 + 3n) = 0即3n (3 - q ) + (a - 3)(1- q ) = 0 所以 q = 3 ， (a 1 - 3)(1 - q ) = 0 而显然 q = 1不成立，所以 a 1 = 3所以 a = 3n所以 a = 33= 27方法 3：⎧⎪a - a = 2 ⋅ 3n -1由题设得： ⎨ n n -1 ，其中 n ≥ 2 ⎪a - a = 2 ⋅ 3n ⎩ n +1 n因为{a n } 为等比数列， 所以a n +1 = q 对于∀n ∈N *恒成立a n⎧⎪a - a = 2 ⋅ 3n -1所以 ⎨ n n -1 ⎪a q - a q = 2 ⋅ 3n ⎩ n n -1n +1 n +1 n n +1 n n +2 n +1 n n 1n 所以 q = 3又因为 a 2 - a 1 = a 1q - a 1 = 6所以 a 1 = 3所 以 a = a q 2 = 2731方法 4：因为{a n } 为等比数列，所以，对于∀n ∈N * ，有 a 2 = a n a n + 2 恒成立由a - a = 2 ⋅ 3n ，得 a = a + 2 ⋅ 3n， a = a + 2 ⋅ 3n +1 = a + 8⋅ 3n所以(a + 2 ⋅ 3n )2= a (a + 8⋅ 3n )nnn所以 a = 3n所以 q = 3 ， a 3 = 27（Ⅱ）因为 a = a q n -1= 3n所以 a = a q n = 3n +1n +113(1 - 3n ) 3n +1 - 3S n =1 - 3 =2 3n +1 - 33n +1 + 3因为 S n - (-3) =+ 3 = 2 2 n +13n +1 - 3 3n +1 + 3a n +1 - S n = 3 - 2 = 2所以 S n - (-3) = a n +1 - S n 所以-3, S n , a n +1 成等差数列ECAD D 1EAD D 1EEC（17）（共 14 分）解：（Ⅰ）方法 1：在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为CE ⊥ AD ，所以 BF又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3所以四边形 BCEF 为正方形， 且 AF = FE = ED =1 ， F 为 AE 中点在图 2 中，连结GF 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GF又因为 BF EC ， GF GF ，BF ⊂ 平面 BFG ， 所以平面BFG 平面CED 1 ，D 1E , EC ⊂ 平面 D 1EC ，又因为 BG ⊂ 面GFB 方法 2：，所以 BG 平面 D 1EC 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F 因为CE ⊥ AD ，所以 BF 又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3 所以四边形 BCEF 为正方形， F 为 AE 中点在图 2 中，连结GF 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GF又 D 1E ⊂ 平面 D 1EC ， GF ⊄ 平面 D 1EC 所以GF 平面 D 1EC又因为BF EC ， EC ⊂ 平面 D 1EC ， BF ⊄ 平面 D 1EC所以 BF 平面 D 1EC 又因为GF所以平面 BFG 平面 D 1EC又因为 BG ⊂ 面GFB 方法 3：，所以 BG 平面 D 1EC 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为CE ⊥ AD ，所以 BF BF = F ECBF = FAD CM 1 12 3 2 6又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3所以四边形 BCEF 为正方形， AF = FE = ED =1 ，得 AE = 2所以 BC AE ，BC = 1AE 2在图 2 中设点 M 为线段 D 1E 的中点，连结 MG , MC ， 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GMAE ，GM = 1 AE 2所以GM BC ， G M =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形所以BG 又因为CM ⊂ 平面 D 1EC ， BG ⊄ 平面 D 1EC所以 BG 平面 D 1EC（Ⅱ） 因为平面 D 1EC ⊥ 平面 ABCE ，平面 D 1EC 平面 ABCE = EC ,D 1E ⊥ EC , D 1E ⊂ 平面 D 1EC ，所以 D 1E ⊥ 平面 ABCE 又因为 AB ⊂ 平面 ABCE 所以 D 1E ⊥ AB又 AB = 2, BE = 2, AE = 2 ，满足 AE 2 = AB 2 + BE 2，所以 BE ⊥ AB 又 BE D 1E = E所以 AB ⊥ 平面 D 1EB （Ⅲ） CE ⊥ D 1E ,CE ⊥ AE ， AE D 1E = E所以CE ⊥ 面D 1 AE线段CE 为三棱锥C - D 1 AE 底面 D 1 AE 的高V1 1 1 1 1所以 D -GEC = 2 V C -D AE = ⋅ ⋅ ⋅1⋅ 2 ⋅1 =18. （共 13 分）解：（Ⅰ）设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65 单”依题意， 连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2 + 0.15 + 0.05 = 0.4所以 P (A ) 估计为0.4 .（Ⅱ）设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有 1 名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手，有 6 种情况，即{ 甲， 乙} ， { 甲， 丙} ， { 甲， 丁} ， { 乙， 丙} ， { 乙，丁} ， { 丙，丁} 其中至少有 1 名骑手选择方案（1 ）的情况为 {甲，乙} ，{甲，丙},，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁}所以 P (B ) = 56（Ⅲ）方法 1：快餐店人均日快递量的平均数是：30 ⨯ 0.05 + 40 ⨯ 0.05 + 50 ⨯ 0.2 + 60 ⨯ 0.3 + 70 ⨯ 0.2 + 80 ⨯ 0.15 + 90 ⨯ 0.05 = 62 因此，方案（1）日工资约为50 + 62 ⨯ 3 = 236方案 2 日工资约为100 +(62 - 44)⨯5 =190 <236故骑手应选择方案（1）方法 2：设骑手每日完成快递业务量为 n 件方案（1）的日工资 y 1 = 50 + 3n (n ∈N *) ，⎧⎪100, n ≤ 44, n ∈ N *方案（2）的日工资 y 2 = ⎨ *⎪⎩100 + 5(n - 44), n > 44, n ∈ N当 n < 17 时， y 1 < y 2依题意，可以知道 n ≥ 25 ，所以这种情况不予考虑当 n ≥ 25 时令50 + 3n >100 + 5(n - 44) 则 n < 85即若骑手每日完成快递业务量在85 件以下，则方案（1）日工资大于方案（2） 日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85 件的频率是0.05 ，较低，故建议骑手应选择方案（1）方法 3：设骑手每日完成快递业务量为 n 单，方案（1）的日工资 y 1 = 50 + 3n (n ∈N *) ，⎧⎪100, n ≤ 44, n ∈ N *方案（2）的日工资 y 2 = ⎨ *⎪⎩100 + 5(n - 44), n > 44, n ∈ N所以方案（1）日工资约为140 ⨯ 0.05 +170 ⨯ 0.05 + 200 ⨯ 0.2 + 230 ⨯ 0.3 + 260 ⨯ 0.2 + 290 ⨯ 0.15 + 320⨯ 0.05 = 236方案（2）日工资约为100 ⨯ 0.05 +100 ⨯ 0.05 +130⨯ 0.2 + 180⨯ 0.3 + 230⨯ 0.2 + 280⨯ 0.15 + 330⨯ 0.05= 194.5因为236 > 194.5 ，所以建议骑手选择方案（1）.19.（共 14 分）解：（Ⅰ）因为 f (x ) = e x (ax 2 + x +1) ，所以 f '(x ) = e x (x + 2)(ax +1) 所以 f '(-2) = 0 ， 所以切线的倾斜角为0 （Ⅱ）因为 f '(x ) = e x (x + 2)(ax +1)当a = 0 时，令 f '(x ) = 0 ，得 x 1 = -2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：当a ≠ 0 时，令 f '(x ) = 0 ，得 x = -2, x = - 11 2 a当 a < 0 时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：由上表函数 f (x ) 的极大值 f (- - 1= e a> e 0 = 1，满足题意a当 a = 1 时， f '(x ) = 1 e x (x + 2)2≥ 0 ，2 2所以函数 f (x ) 单调递增，没有极大值，舍去当 a > 1时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：f (-2) = e (4a -1) > 1 e 2 + 1解得 a >4当0 < a < 1时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：由上表函数 f (x ) 的极大值 f (- 1 - = e a<1 ，不合题意ae 2 +1综上， a 的取值范围是(-∞,0) ( , +∞)46 2 y 0 0 20. （共 13 分）解= 所以b = 椭圆方程为 x y 2 + = 1 4 2 焦点坐标分别为 F 1(- （Ⅱ）(i)方法 1：2,0), F 2 ( 2,0),设 P (x 0 , y 0 ) ，则 x 02 4+ y 022= 1 依题意 x 0 ≠ ±2, y 0 ≠ 0 ， A (-2,0), 所以 M ( x 0- 2 , y 0 ) 2 2所以直线 PA 的斜率 k Ap = y 0 x 0 + 2因为 PA ⊥ MQ ，所以 k PA ⋅ k MQ = -1所以直线 MQ 的斜率 k MQ =- x 0 + 2y 0所以直线 MQ 的方程为 y - y 0 = - x 0 + 2 (x - x 0 - 2)2 y 0 2令 x = 0 ，得到 y Q = y 0 + (x 0 + 2)(x 0 - 2) 2 2 y 0x 2 2因为 + = 14 2 所以 y =- y 0 ， 所以Q (0, - y 0 )Q 2 2 所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称方法 2：设 P (x 0 , y 0 ) ，直线 AP 的方程为 y = k (x + 2)⎧ x 2 + y 2 = ⎪ 1 联立方程⎨ 4 2⎪⎩ y = k (x + 2)2消元得(1+ 2k 2 )x 2 + 8k 2 x + 8k 2 - 4 = 0所以∆ = 16 > 0-8k 2所以 x 0 + (-2) = 1 + 2k 2-4k 2 + 2所以 x 0 = 1 + 2k 2-4k 2 -4k 2 2k 所以 x M = 1 + 2k 2 ， y M = k ( + 2) = 1+ 2k 2所以 M ( -4k 2 2 , 2k 2 )1+ 2k 1+ 2k 因为 AP ⊥ MQ ，所以 K MQ =- 1 k所以直线 MQ 的方程为 y - 2k = - 1 1+ 2k 2 k (x - -4k 2 1+ 2k 2 ) 2k 1 4k 2 -2k令 x = 0 ，得到 y Q = 1+ 2k 2 - k ⋅ 1+ 2k 2 = 1+ 2k 2所以 Q (0, -2k 1 + 2k 2) 所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称方法 3：设 P (x 0 , y 0 ) ，直线 AP 的方程为 x = ty - 2⎧ x 2 + y 2 = ⎪ 1 联立方程 ⎨ 4 2⎪⎩x = ty - 2消元得， (t 2 + 2) y 2 - 4ty = 0因为0 + y 0 = 4t t 2 + 2 ，所以 y 0 = 4t t 2 + 2所以 y M = 2t t 2 + 2 x M = -4 t 2 + 2， 所以 M ( -4 , t 2 + 2 2t t 2 + 2) 因为 AP ⊥ MQ ，所以 K MQ =- 1 k所以直线 MQ 的方程为 y - 2t t 2 + 2 = -t (x - -4 t 2 + 2令 x = 0 ，得到 y Q = -2t t 2 + 2 ，所以Q (0, -2t t 2 + 2所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称1+ 2k 2y 0 0 （ii ）方法 1：因为△APQ 为直角三角形， 且| PQ |=| AQ | ，所以△APQ 为等腰直角三角形所以| AP |= 2 | AQ |因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) 0 0 2=化简，得到3x 2 +16x-12 = 0 ，解得 x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3方法 2：因为△APQ 为直角三角形， 且| PQ |=| AQ | ，所以∠AQP = 90︒ ，所以 AQ ⋅ PQ = 0因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) ，0 0 2所以 AQ = (2, - y 0 ) ， PQ = (-x , - 3y 0 )2 0 2所以(2, - y 0 ) ⋅ (-x , - 3y 0 ) = 020 2 3y 2 即 -2x + 0 =0 0 4x 2 2 因为 + = 14 2 化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得 x = 2 , x= -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3 方法 3：因为△APQ 为直角三角形，且| PQ |=| AQ | ，所以∠AQP = 90︒所以| AP |= 2 | MQ |因为 P (x , y ) ， Q (0, -y 0 ) ， M ( x 0 - 2 , y 0 ) 0 02= 2 2y 0 0 化简得到8x - 3y 2 = 0 0 0x 2 2 因为 + = 14 2化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3方法 4：因为△APQ 为直角三角形，所以∠AQP = 90︒ 所以点 A , P ,Q 都在以 AP 为直径的圆上，因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) ， A (-2, 0)0 0 2所以有(x - -2 + x 0)2 + ( y - y 0 )2 =所以 -2x 0 x 0222 3y 2 + 0 = 0 4 y 02因为 + = 1 4 2 化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得 x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3。
2019届北京市海淀区高三第二次调研试卷数学(文)(含详解)
2019届北京市海淀区高三第二次调研试卷文科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） （A ）（－∞，2） （B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞） （D ）[2，+∞） 2.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞3.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π64.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q5.函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B)(C)(D) 06.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109878.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.方程x 31139x=+-的实数解为 . 10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .1||a12. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .13. 在四边形CD AB 中，()C 2,4A =，()D 2,1B =-，则该四边形的面积为_______14.设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。
2019二模海淀数学文科试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科） 2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
(1)已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}0,1 (B) {}13， (C) {}1,1- (D) {}0,5 (2)若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则 (A) 010x -<< (B) 001x << (C) 012x << (D)024x << (3)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) cos(+)2πα (C) sin()πα+ (D) cos()πα+(4)已知a b <，则下列结论中正确的是(A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+(5)抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)某四棱锥的三视图如图所示，其中+=1a b ，且a b >.若四个侧面的面积中最小的为19，则a 的值为(A)12 (B) 23 (C) 34 (D) 56(7)设{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，则“1n a >对任意*n ∈N 成立”是“1q ≥”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年4月北京市清华大学附属中学2019届高三高考二模考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前北京市清华大学附属中学2019届高三年级下学期第二次高考模拟考试数学（文）试题(解析版)2019年4月一、选择题。
1.设集合{}2|670A x x x =--<,{|}B x x a =≥,现有下面四个命题： 1p ：a R ∃∈,A B ⋂=∅；2p ：若0a =,则(7,)A B =-+∞；3p ：若(,2)R B =-∞ð,则a A ∈；4p ：若1a ≤-,则A B ⊆．其中所有的真命题为（ ）A. 1p ,4pB. 1p ,3p ,4pC. 2p ,3pD. 1p ,2p ,4p【答案】B【解析】 由题设可得,()17A =-，,则当7a ≥时,有AB ⋂=∅,所以命题1p 正确；若0a =时,[)0B =+∞，,则()1,A B ⋃=-+∞,所以命题2p 错误；若()2R B ，=-∞ð,则2a A =∈,所以命题3p 正确；若1a ≤-时,A B ⊆成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算,以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能,属于中低档题型,也是常考题型.在二次不等式的求解过程中,首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <,当0a >时,则有“大于号取两边,即()()12,x x -∞⋃+∞，,小于号取中间,即()12,x x ”.2.下列说法错误的是（ ）A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程0.20.8y x ∧=+y 0.2x 0.8=+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y ∧平均增加0.2个单位D. 对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强,则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强,则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.故选D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义,线性回归方程,相关系数,以及独立性检验等,是概念辨析问题．3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的底层共有灯（ ）A. 2盏B. 3盏C. 26盏D. 27盏 【答案】C。
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平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
sin AcosB cos Asin B
5 3 14
所以 S△ABC
1 ab sinC 2
1 78 2
53 14
10
3
方法 2：
由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A
1 / 13
得 49 64 c2 2 8 c 1 2
即 c2 8c 15 0
解得 c 5 或 c 3
2 2
3n1 3n
，其中 n 2
因为 an 为等比数列，
所以 an1 q 对于 nN* 恒成立 an
所以
an an
an1 q an1q
2 3n1 2 3n
3 / 13
所以 q 3
又因为 a2 a1 a1q a1 6
所以 a1 3
所以 a3 a1q2 27 方法 4：
（Ⅱ）因为 an a1qn1 3n
所以 an1 a1qn 3n1
Sn
3(1 3n) 13
3n1 3 2
因为
Sn
(3)
3n1 2
3
3
3n1 2
3
an1
Sn
3n1
3n1 3 2
3n1 3 2
所以 Sn (3) an1 Sn
所以 3, Sn , an1 成等差数列
4 / 13
（17）（共 14 分） 解：（Ⅰ）方法 1： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC 又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， 且 AF FE ED 1 ， F 为 AE 中点 在图 2 中，连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GF D1E
A
1 85 2
3 10 2
3．
所以 △ABC 的面积为10 3
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）方法 1：
由题设得
a2 a3
a1 a2
6 18
因为 an 为等比数列，
所以
a2 a2
a1 q a1q
6
18
所以 q 3
又因为 a2 a1 a1q a1 6 所以 a1 3 所以 an 3n
q
恒成立
所以 a1 3 3n1 q(a1 3 3n ) 0
即 3n (3 q) (a1 3)(1 q) 0
所以 q 3 ， (a1 3)(1 q) 0
而显然 q 1不成立，所以 a1 3
所以 an 3n
所以 a3 33 27
方法 3：
由题设得：
an
an 1
an1 an
（13） 2
（12） 24
（14） y x 1 （答案不唯一），① ②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在 △ ABC 中，因为 a 7 ， b 8 ， A π ， 3
所以由正弦定理 sin B sin A
b
a
得 sin B bsin A 8 3 4 3 a 72 7
依 题 意 ， 连 锁 店 的 人 均 日 快 递 业 务 量 不 少 于 65 单 的 频 率 分 别 为 ：
6 / 13
0.2，0.15，0.05
因为 0.2 0.15 0.05 0.4
所以 P(A) 估计为 0.4 .
（Ⅱ）设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有 1 名骑手选择方案（1）” 从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手，有 6 种情况，即 {甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁} 其中至少有 1 名骑手选择方案（1）的情况为 {甲，乙} ，{甲，丙},，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁} 所以 P(B) 5 6
1
( 1 , 2) a
2
a
(2, )
f '(x)
0
0
f (x)
极大值
极小值
由上表函数
f
(x) 的极大值
f
(
1)
1
ea
1 ，不合题意
a
综上， a 的取值范围是 (,0) (e2 1, )
0
0
f (x)
极小值
极大值
由上表函数
f (x) 的极大值
f
(
1)
1
ea
e0
1 ，满足题意
a
当 a 1 时， f '(x) 1 ex (x 2)2 0 ，
2
2
所以函数 f (x) 单调递增，没有极大值，舍去
当 a 1 时，当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化情况如下表： 2
方案（1）的日工资 y1 50 3n(n N*) ，
方案（2）的日工资
y2
100, n 44, 100 5(n
n N* 44), n
44,
n
N*
所以方案（1）日工资约为
140 0.05 170 0.05 200 0.2 230 0.3 260 0.2 290 0.15 320 0.05
所以 CE 面D1AE
线段 CE 为三棱锥 C D1 AE 底面 D1AE 的高
所以 VD1GEC =
1 2
VC
D1
AE
1 2
1 3
1 2
1 21
1 6
18. （共 13 分）搜索北京高考在线网，获取更多试题及答案
解：（Ⅰ）设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不
少于 65 单”
（Ⅲ）方法 1： 快餐店人均日快递量的平均数是： 30 0.05 40 0.05 50 0.2 60 0.3 70 0.2 80 0.15 90 0.05 62 因此，方案（1）日工资约为 50 62 3 236
方案 2 日工资约为100 62 44 5 190 236
经检验，此时 an1 an 3n1 3n 2 3n 成立，且 an 为等比数列
所以 a3 33 27 方法 2： 因为 an an1 2 3n1(n 2)
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
（Ⅱ）方法 1：
因为 a 7 ， b 8 ，所以 B A π ，所以 C π π π π ，
3
33 3
即 C 一定为锐角, 所以 B 为 △ABC 中的最大角
所以 △ABC 为锐角三角形当且仅当 B 为锐角
因为 sin B 4 3 ，所以 cos B 1
7
7
因为 sinC sin(A B)
令 50 3n 100 5n 44
则 n 85 即若骑手每日完成快递业务量在 85 件以下，则方案（1）日工资大于方案（2） 日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过 85 件的频率是 0.05 ，较
7 / 13
低，
故建议骑手应选择方案（1） 方法 3：
设骑手每日完成快递业务量为 n 单，
所以 f '(x) ex (x 2)(ax 1) 所以 f '(2) 0，
所以切线的倾斜角为 0 （Ⅱ）因为 f '(x) ex (x 2)(ax 1)
当 a 0 时，令 f '(x) 0 ，得 x1 2
当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化情况如下表：
x
(, 2)
2
f '(x)
236
方案（2）日工资约为
100 0.05 100 0.05 130 0.2 180 0.3 230 0.2 280 0.15 330 0.05
194.5
因为 236 194.5 ，所以建议骑手选择方案（1）.
19.（共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 f (x) ex (ax2 x 1) ，
因为 an 为等比数列，
所以，对于
n N*
，有
a2 n1
an an 2
恒成立
由 an1 an 2 3n ， 得 an1 an 2 3n ， an2 an1 2 3n1 an 8 3n
所以 an 2 3n 2 an an 8 3n
所以 an 3n
所以 q 3 ， a3 27
又因为 BF EC ， GF BF F ，
GF，BF 平面 BFG ， D1E, EC 平面 D1EC ， 所以平面 BFG 平面 CED1 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 2： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F 因为 CE AD ，所以 BF EC 又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， F 为 AE 中点 在图 2 中，连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GF D1E 又 D1E 平面 D1EC ， GF 平面 D1EC 所以 GF 平面 D1EC
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数 学 （文科）