第3章 排队模型分析法-3-

/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m



列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝

1 k 1
)；


顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
i 1 t o( t ), j i 1, i 0 p ij( t ) t o( t ), j i 1, i 1 o( t ), | i j | 2
于是，{N(t)，t0}是E＝{0,1,2,…}上的生灭过程，其参数为
P1 m P0 Pn 1 ( m n 1) Pn 1 (( m n ) ) Pn P P m 1 m

n0 n m -1 nm
注意到
P
n 1
m
n
1
求解顾客数概率分布
求解状态转移方程得
1 P0 m m! i ( ) i 1 ( m i )! m! n Pn ( ) P0 ( m n )!
在实际中，当服务台前出现排队时，排队的长 短往往直接影响服务员的工作效率。 比如：当排队过长时服务员会提高服务速度， 或者，对一个不熟练的服务员，当看到队长 太长时可能慌张而降低了服务率。 即，服务率会因为系统中的顾客数不同而变化。 两种服务率的情况 服务率成倍增长的情况

§3.2.1 两种服务率的情况
k 0

相反地，一个顾客到达而进入系统的概率为

a p
k 0 k

k
所以，单位时间内到达且进入系统的平均顾客数为
e a k p k (1 e )
k0
可以验证，在该系统中，Little公式成立，即
N eW,
Nq eW q
§3.2 具有可变服务率的M/M/1/
i , i0 i1 i1 i ,
顾客进入系统的概率为
1 k k 1
实际进入到排队系统的顾客输入率为
k k
状态转移图
0 1 /2 2 /3

k 1
/k k-1 k /(k+1) k+1 /(k+2)

平均等待队长
Nq ( j 1)p j jp j p j
j 1 j 1 j 1



N (1 p 0 ) e 1
4.等待时间
假定顾客是先到先服务。此处的等待时间是指到 达且进入系统接受服务的顾客的等待时间。 定理 在统计平衡下，进入系统接受服务的顾客的 等待时间分布函数为：


顾客到达为参数(＞0)的泊松过程 ； 顾客所需的服务时间序列{n,n≥1}独立、服从负 指数分布，具有两种服务率1、2(0＜1＜2)， 当队长＜m（m是一个固定的正整数）时，服务 员用速率1工作，当队长≥m时，服务员用速率 2工作； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
M/M/1/m/m
§3.1 具有可变输入率的M/M/1/
在实际中，尽管顾客源源不断到达，但并不一 定进入排队系统接受服务。 常见的一种现象就是到达的顾客看到系统空闲 或者等待的顾客不多则进入系统接受服务，看 到前面排着长队时则产生犹豫，考虑是否排队 接受服务。 即，排队人数少时进入系统接受服务的可能性 就大，排队人数多则进入系统接受服务的可能 性就小。
0 1
m
m+1 2
2m 2 2

2m+1 3

j*m 3 j

j*m+1 (j+1)

(j+1)
§3.3 具有不耐烦顾客的M/M/1/∞
顾客在排队等候的过程中，会因为不耐烦而离开排 队系统，使系统顾客数减1，成为系统损失的顾客。
因不耐烦而离 开的顾客k 排队等候的顾客k个
§3.4 单服务窗闭合式排队模型
顾客来源是有限的：m
输入过程是简单流
服务时间服从负指数分布
排队系统容量：m 由此可见，单服务窗闭合式排队模型虽然系统内 顾客最大数有限，但是不会出现顾客损失的情况 ，所有的顾客都可以进入到排队系统等候、接受 服务。
M/M/1/m/m的到达率分析


顾客在系统中的平均逗留时间为
1 1[1 (m 1)1 m1 W p0 { (1 1 )2
m m 1
] 2 1
m 1
[m (m 1) 2 ] } 2 (1 2 )
顾客在系统中的平均等待时间为（由Little公式）
N N 1 p0 1 Wq W pj j 1 1 1 (m 2)1 (m 1)1 1 p0 { 2 (1 1 )
系统状态分析
用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i},i,j＝0,1,2,…
则pij(t)的推导有
t o( t ), j i 1, i 0 t o( t ), j i 1, i 0,1, , m 1 1 p ij( t ) 2 t o( t ), j i 1, i m | i j | 2 o( t ), 于是，{N(t)，t0}是E＝{0,1,2,…}上的生灭过程，其 参数为


平均输入率
k pk
k 0

平均服务强度

损失概率(系统内已有k个顾客时，新到达的顾客不
加入队列而离去的概率为1-αk)
P损 (1 k ) pk
k 0

3.等待队长
在统计平衡的条件下，有
平均队长
j N E( N ) jp j e j 0 j 0 ( j 1)!
§3.2.2 服务率成倍增长的情况


顾客到达为参数(＞0)的泊松过程 ；
顾客所需的服务时间序列{n,n≥1}独立、服从负 指数分布，服务率根据系统内顾客数成倍增长， 即当系统内顾客数为j*m+1时，服务率发生变化； 系统中只有一个服务台；


容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此
独立。
状态转移流图
ˆ 1 2 j 1 t } q j (1 e t ) P{ e 1 j 1
j 1 k j 1 ( t ) [ e t (1 e t )] e 1 j1 ( j 1)! k 0 k!
j 1 k j 1 ( t ) [e 1 e t ( )] e 1 j1 ( j 1)! k 0 k !
e t j1 j (t )k 1 , t0 e 1 j 0 ( j 1)! k 0 k!
有效到达率 平均服务率
n 1,2,..., m
e (m L s )
e （ 1 P0）
目标参量

系统处于繁忙状态的概率
P忙= 1 – p0

单位时间内，完成服务的平均顾客数，即绝 对通过能力A
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第3节 单服务窗特殊排队模型
具有可变输入率的M/M/1/ 具有可变服务率的M/M/1/ 具有不耐烦顾客的M/M/1/ 单服务窗闭合式排队模型
i , i 0 i 1 , i 1,2, , m 1 , i m 2 i
状态转移流图
0 1 1
2 1

m-1
m 1
m+1 2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2

1
1
2
2
2
顾客数小于等于m时，
采用服务率1
顾客数大于m时，

顾客进入系统接受服务的可能性大小可用一 概率表示，一般情况下是队长的函数。
因不愿排队而 损失的顾客 （1－k） k 最大顾客数