一次函数和二次函数.doc
第二章第二单元 一次函数和二次函数1．一次函数（ 1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R ，值域为 R.一次函数的图象是，其中 k 叫做该直线的，b 叫做该直线在 y 轴上的．一次函数又叫 ．（ 2）一次函数的性质①函数的改变量y ＝与自变量改变量x ＝的比值等于， k 的大小表示直线与 x 轴的．②当 k>0 时，一次函数是 ；当 k<0 时，一次函数是． ③当 b ＝ 0 时，一次函数为 ，是； 当 b ≠0 时，它． ④直线 y ＝ kx ＋b 与 x 轴的交点为，与 y 轴的交点为。
2．二次函数（ 1）函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c (a ≠ 0 ) 叫做 ，它的定义域为 R.（ 2）二次函数的性质与图象图象函数性质定义域x ∈ Ra>0a<0值域22y[ 4acb ,)y( , 4ac b]4a4aa ＞ 0奇偶性b=0 时为偶函数， b ≠ 0 时既非奇函数也非偶函数a>0a<0x (, b]时递减 ,x( , b ]时递增 , 单调性2ab 2ax[b )时递增 x[,)时递减,2aa ＜ 02a图象特点1 对称轴 : xb ; 2 顶点:( b, 4ac b 2)2a2a 4a抛物线有最低点，抛物线有最高点，当 xb当 xb时， y 有最小值时， y 有最大值最值2a2a4ac b 2 4ac b 2y miny max4a4a(3) 配方法将二次函数 y＝ ax 2＋bx＋ c 配成顶点式 y＝x a( － h)2＋ k 来求抛物线的顶点和函数 y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（ 4）二次函数解析式的三种形式①一般式： f（ x）= ax2+bx+c(a ≠ 0) .2③两根式： f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠ 0)，x1、x2为两实根．3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。
可先把所求函数写为一般这种通过求待定系数来题型一一次函数的图象和性质1 y (m 2)x m2 3m 2，它的图象在y轴上的截距为4，则 m 的、已知一次函数值为（）（A）4 （B）2 （C）1 （D） 2或1【答案】． C；2、一次函数y kx k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过（）（ A ）第一、二、三象限（ C）第一、二、四象限【答案】． B ；（B ）第一、三、四象限（D ）第二、三、四象限3、已知函数y 3x 5 x 5,5 ，则其图象的形状为（）（ A ）一条直线（ B ）一条线段（ C）一系列点（D）不存在【答案】． B ；4．如果ab>0， bc<0，那么ax＋ by ＋ c＝0 的图象的大致形状是（）【答案】A5．已知直线 y ＝ kx ＋b 过点小关系是 （ ） A ． y 1>y 2 B ． y 1<y 2A( x 1， y 1) 和 B (x 2， y 2 ) ，若 k<0 且 x 1<x 2，则 y 1 与 y 2 的大C ． y 1＝ y 2D ．不能确定 【解析】 ∵ k ＜ 0，∴ y ＝ kx ＋ b 是减函数．∴当 x 1＜x 2 时， y 1＞ y 2. 【答案】 A题型二 二次函数的图象和性质1．二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象如右图所示，则 ( )A ． a>0， b>0B ． a>0，c>0C ． b>0， c>0D ． a 、 b 、 c 均小于 0 【解析】 由图象开口向下知 a<0，而－ b/2a>0 ，∴ b>0又 f (0 ) ＝ c>0. 【答案】 C 2. 若二次函数 f xax 24 a 2 x b对任意的实数ｘ都满足 f (3 x) f (3 x) ，则实( ) 2数ａ的值为（）Ａ．3Ｂ．－ 3Ｃ．－３Ｄ．３22【答案】 Ｄ．【方法技巧】 在解决与二次函数对称轴有关的问题时如果能合理应用下面的结论会简化解题过程：若函数对任意的实数ｘ满足f (x m) f (x m) ，则 f ( x) 的对称轴是ｘ＝ｍ．3．已知函数 f(x) ＝2x 2－ 3x ＋ 1，(1) 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(2) 求这个函数的最小值；(3) 不直接计算函数值，试比较f( －1)和f(1) 的大小．【思路点拨】本题考查二次函数的基本性质，第(3) 问首先利用函数f(x) 的对称性：f（ x － h) ＝ f(x ＋ h) ，把要比较的两个值转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小，从而得到它们的大小关系．本题 a3 3＝2 ＞0 ，拋物线开口向上，11，离对称轴远的函数值大，所4 4以 f( － 1) ＞ f(1)这也是常用的方法，应熟练掌握．【解析】（1）将函数配方化为顶点式【方法技巧】图，有时可以省去讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草y 轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法．4.已知二次函数 y＝－ x2＋ 2x＋ m的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程－x2＋ 2x ＋ m＝0 的根为 ________．【解析】由图知拋物线的对称轴为直线x ＝ 1，与(3,0) ，所以拋物线与x 轴的另一个交点坐标是( 一元二次方程－x2＋ 2x＋ m＝ 0 的根为 x1＝－ 1， x2＝ 3. 【答案】－ 1,3x轴的一个交点坐标是－ 1,0 ) ，所以关于x 的5．已知关于x 的函数 y＝ ( m＋ 6 )x 2＋2 (m－ 1)x＋ m＋ 1 的图象与 x 轴总有交点．(1)求 m的取值范围；(2) 当函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－ 4 时，求 m的值．【解析】( 1 ) 当 m＋ 6＝0，即 m＝-6 时，函数y＝－ 14x － 5 与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠ 0 时，＝ 4 ( － 9m－ 5 ) ≥ 0，解得 m≤5，5 9即当 m≤，且 m≠－ 6 时，抛物线与 x 轴有交点．9综合 m＋ 6＝ 0 和 m＋ 6≠ 0 可知，当 m≤5时，此函数的图象与 x 轴有交点．9x2＋ 2( m－ 1(2 ) 设 x1， x2是方程(m＋6) )x ＋ m＋1＝ 0 的两个根，当 m＝－ 3 时， m＋ 6≠ 0， >0，符合题意，∴m的值是－ 3.【方法技巧】对于 y=ax 2+bx+c 要认为它是二次函数，就必须认定a≠0.当题目条件未说明 a ≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况 .题型三二次函数的最值问题1．求函数 y＝ 2x 2－ 4x－3 的最值．(1) x∈ R； (2 )x ∈ [ － 2,0] ； ( 3) x∈[0,3] ； (4 )x ∈ [2,4] ．【解析】对二次函数配方，得 y＝ 2x 2－4x－ 3＝ 2( x－ 1) 2－ 5.(1 ) 若 x∈R，当 x＝ 1 时， y min＝－ 5；无最大值．(2 ) 若 x∈ [ － 2,0] ，当 x＝－ 2 时， y max＝ 13；当 x＝0 时， y min＝－ 3.(3 ) 若 x∈ [0,3]，当x＝1时，y min＝－5；当 x＝3 时， y max＝ 3.(4 ) 若 x∈ [2,4]，当x＝2时，y min＝－3；当 x＝4 时， y max＝ 13.2．求函数f ( x)＝x2 2ax 1在区间[0,2] 上的最大值和最小值 .【解析】 f ( x) ＝ x a 2 (a2 1)由于 f ( x) 的图象（抛物线）的对称轴ｘ＝ａ对于 [0,2] 的位置有四种可能 .当 a＜ 0 时，f ( x)max＝f (2) ＝ 3 4a ，f (x)min f (0)1当 0≤ａ＜ 1 时 , f (x) max＝ f ( 2) ＝ 3 4a ，f (x) 当 1≤ａ＜ 2 时 , f (x) max＝ f ( 0) ＝－ 1，f (x)min 当ａ≥2 时 , ， f ( x) max＝ f (0) ＝－1， f ( x) min＝min f ( a) a 2 1 f ( a) a 2 1f (2) ＝3 4a【方法技巧】(1) 利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性．(2) 求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答．题型四 由特殊值求待定系数1．已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ， x ＝1 时， y ＝－ 2，且在 y 轴上的截距为－ 5，那么它的解析式 是（ ）A ． y ＝3x ＋ 5B ． y ＝－ 3x － 5C ． y ＝－ 3x ＋ 5D ． y ＝ 3x －5 【答案】D2．过点 A(－ 2,3) 的反比例函数的解析式是（）A. y6 B. y6 C. y3x D .y 2 xxx2 3【答案】 B ．3．二次函数的顶点坐标为 (2 ，－ 1) ，且过点 (3,1)，则解析式为 ________．【答案】y ＝ 2x 2－ 8x ＋ 74．一次函数 y ＝ 3x ＋ b 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，则一次函数的解析式为________．【解析】即 b 2＝ 144，∴ b ＝± 12. ∴解析式为 y ＝3x ±12.【答案 】 y ＝3x ±125． 已知二次函数图象的对称轴是ｘ＝２，又经过点（ 2， 3），且与一次函数 y 3xb 的图象交于点（ 0，－ 1），求过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标．【解析】已知二次函数图象的对称轴为x=2，且又经过点（ 2， 3），则二次函数图象的顶点为（ 2， 3），设二次函数为ｙ＝(2) 2 3 ；以（０，－ 1）代入，得 a ＝－ 1，a x∴ｙ＝ x 24x 1 ①再以（０，－ 1）代入 y 3x b ，得 b ＝ 1，∴ｙ＝ｘ－ 1 ②，yx 24 x 12联立①，②3x 1 消去 y ，得 x －x ＝ 0，方程组的解为y所求另一个交点坐标为（ 1，2）题型五 由恒等式求待定系数1．若3x 1AB，则A ， B.x 2 1x 1 x 1x 0 x 1y或y，12【解析】2．已知二次函数 f (x) 满足 f (0) ＝１， f (x 1) － f (x) ＝２ｘ，则 f (x) ＝（）Ａ． x2 x 1Ｂ．2x2 x 1 Ｃ． x2 x 1 Ｄ． x 2 x 2【答案】 C3．已知二次函数y＝ x2＋ bx＋ c 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的二次函数为y＝ x2－ 2x＋ 1，求该二次函数的解析式．【解析】将 y＝ x2＋ bx＋ c 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得解析式为y＝ (x ＋ 2) 2＋ b(x ＋2) ＋ c＋3＝ x2＋ (b ＋4)x ＋ 2b＋c＋ 7.令 x2＋ (b ＋ 4)x ＋ 2b＋ c＋ 7＝ x2－ 2x＋1，题型六二次函数三种解析式的灵活运用【方法技巧】二次函数解析式有三种表达形式，1. 一般式： y=ax 2+bx+c ；其中 a ≠0, a, b, c 为常数2. 顶点式： y=a(x-h) 2+k ；其中 a≠0, a, h, k 为常数，（ h,k ）为顶点坐标。
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数1．二次函数的表达式：（1）一般式：2y ax bx c =++，()0a ≠（2）顶点式：()2y a x h k =-+，()0a ≠ （3）两根式：()()12y a x x x x =--，()0a ≠三．题组一1、画出函数221y x x =--+的大致图像，并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标及单调区间及最值。
2. 分别求满足下列条件的二次函数的解析式。
（1）过点 ()()1,0,3,0-及()0,2 （2）顶点为（2，－1）且过点（3，1）；四．题组二1．二次函数24y x ax =++在(,1]-∞递减，则实数a 的取值范围是 （ ）A (],2-∞-B [)2,+∞C (],2-∞D (],1-∞ 2．函数()265f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上递增，则实数m 的取值范围是 。
3．函数()2|21|f x x x =--，如果方程()f x a =有且只有两个相异实根，则实数a 应满足（ ）A 2a ≥-B 02a <<C 0a =或2a >D 2a > 4．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A (],2-∞-B []2,2-C (]2,2-D (),2-∞- 9．关于x 的方程()()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，求a 的取值范围。
函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性和反函数一. 函数的单调性:【 图像法、定义法、导数法 】 二. 函数的奇偶性:1、奇函数: 1.:2.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩公式定义域关于____轴对称3.图象关于_____对称2、偶函数: 1.:2.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩公式定义域关于____轴对称3.图象关于_____对称3、非奇非偶函数：()()f x f x -≠-()()f x f x -≠ 三．函数的对称性:若函数()y f x =关于直线x a =对称,则()()()()2f a x f a x f x f a x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩. 四．函数的周期性：若函数()y f x =的周期为T ，则()()fx T f x +=。
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
一次函数及二次函数
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的自变量为二次方的多项式函数，一般的二次函数可以表示为：\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是函数的值。
1. 定义二次函数中的平方项\(ax^2\)是二次项，一次项\(bx\)是一次项，常数项c是常数。
对于二次函数，它的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
2. 函数图像：开口方向和顶点位置根据二次函数的形式，可以得知函数的开口方向和顶点位置：- 如果a大于0，表明抛物线的开口向上；- 如果a小于0，表明抛物线的开口向下。
而抛物线的顶点位置可以通过一定的方法求解，其中，顶点的横坐标为\(x_v = \frac{-b}{2a}\)，纵坐标为\(y_v = f(x_v)\)。
3. 对称轴对于二次函数的图像，存在一条对称轴，即抛物线左右两侧的图像关于该直线对称。
对称轴的方程可以表示为\(x = \frac{-b}{2a}\)。
4. 判别式与根的情况对于二次函数的解析式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中判别式为\(D =b^2 - 4ac\)。
根据判别式可以判断二次函数的根的情况：- 当D大于0时，函数有两个不相等的实根；- 当D等于0时，函数有两个相等的实根；- 当D小于0时，函数无实根。
5. 求根公式当二次函数存在实根时，可以根据求根公式得到实根的解析表达式：\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \]二、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量是一次方的多项式函数，一般的一次函数可以表示为：\[ f(x) = kx + b \]其中，k和b为实数。
1. 定义一次函数是指只有一次方的函数，它的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。
2.3一次函数和二次函数
一次函数与二次函数知识点一、一次函数的性质与图像考点1、一次函数的概念（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，定义域是R,值域是R;（2）图像是一条直线，其中k 叫做直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距；一次函数又叫做线性函数； 例1、已知函数m m x m y ,31)12(-+-=为何值时， （1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数;（3）函数值y 随x 的增大而减小；（4）这个函数的图像与直线1+=x y 的交点在x 轴上?考点2、一次函数的图像和性质（1）单调性：0>k 时，为增函数；0<k 时，为减函数；（2）奇偶性：0=b 时，为奇函数；0≠b 时，为非奇非偶函数。
例2、画出函数12+=x y 的图像，利用图像解决下列问题： （1）求方程012=+x 的解； （2）求不等式012≥+x 的解集； （3）当的取值范围；时，求x y 3≤ （4）当的取值范围。
时，求x y 33≤≤-考点3、一次函数性质的应用例3、已知直线求：,44)2(2+-+=a x a y（1）a 为何值时，这条直线过原点；（2）a 为何值时，这条直线与y 轴交于点（0，-2）； （3）a 为何值时，这条直线过点（1，0）。
考点四、一次函数的最值问题求一次函数)0(≠+=k b kx y 在某一区间[]c a ,上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[]c a ,上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当0>k 时，它的值域是[][])(),(0,)(),(a f c f k c f a f 时，它的值域是当<。
例5、已知)(x f 为一次函数且满足183)1(2)1(4+=---x x f x f ，求函数[]11-)(，在x f 上的最大值，并比较)2011()2010(f f 和的大小。
练习：1、对于每个实数取设)(,x f x x y x y x y 21,12,1-=+=+=三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出的最小值。
一次函数与二次函数
一次函数、二次函数1. 一次函数、二次函数的定义⑴一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么y 就叫做x 的一次函数。
其中k 是一次项的系数，b 是图象与y 轴交点的纵坐标，叫做直线在y 轴上的截距。
特别地，当0=b 时，一次函数就变成了正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数。
⑵函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫二次函数，它的定义域是R 。
c bx ax y 2++=（a ≠0）是二次函数的一般形式，另外还有顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中),(k h 是抛物线顶点的坐标。
两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21x ,x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
2. 一次函数与二次函数的图象和性质⑴一次函数）为常数0,,(≠+=k b k b kx y 的图象与性质⑵ 二次函数的图象是一条抛物线，经过配方，可得到c bx ax y ++=2a b ac a b x a 44)2(22-++=，顶点为)44,2(2ab ac a b --，对称轴为直线bx -=，其图象及主要性质如下表：知识点一：用待定系数法求函数的解析式：待定系数法是一种求未知数的方法。
一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
k≠），当x＝4时，y的值为9；当x＝2例1. 已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，0时，y的值为－3；求这个函数的关系式。
2已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。
3抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。
知识点二：二次函数的性质及应用例4 求函数322++-=x x y 的顶点坐标，对称轴及函数的单调区间。
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性质的结合.doc
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性
质的结合
在学完二次函数之后或者在中考复习时，经常会碰到下面类型的题:
(一次函数与二次函数的系数中有相同字母)
类型一:给你一个一次函数(二次函数)的图像，判断二次函数(一次函数)图像的位置。
做法:由已知函数的图像判断出系数字母的符号，再看这些字母在另一个函数中的作用，并据此判断出函数图像的位置。
类型二:判断在同一个坐标系中一次函数和二次函数的位置关系。
做法:四个选项可以一个一个看。
先根据一次函数的位置判断未知字母的符号，再对应到二次函数图像上，对应的上，就对；对应不上，就错。
第二题，因为两个函数解析式中只有m这一个未知数，故可以根据m＞0和m＜0分成两种情况判断。
不用一个一个去看了。
第二种类型是常考的。
当学习完反比例函数后，还会有一次函数、二次函数和反比例函数两两结合或三者结合。
做法大同小异。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
一次函数（linearfunction）,也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示。
设一次函数为：y=kx+b,k≠0二次函数为：y=ax2+bx+c,a≠01.首先，我们从一次函数的自变量进行对比：一次函数：存在自变量x,并且最高次数是1，x可以为x轴上任意值；二次函数：存在自变量x,并且最高次数是2，x可以为x轴上任意值；2.在直角坐标系中他们的表现形式进行对比：一次函数：在直角坐标系中，y=kx+b，（k≠0）为一条直线，与x轴，y轴分别交于点（-b/k,0），（0，b）.并且当b=0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）过原点，直线关于原点对称。
当K＞0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而变大；当k＜0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而减小；当k＝0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）为常量，即y=b,与x轴平行。
二次函数：在直角坐标系中，y=ax2+bx+c,a≠0为一条曲线，同时也是一条抛物线，关于x=-b/2a对称，存在一个顶点（-b/2a,4ac-b2/4a）.并且当△=b2-4ac＞0时，与x轴有两个交点，当△=b2-4ac＜0时，与x轴无交点。
当△=b2-4ac=0时，与x轴有一个交点。
并且当a＞0时，开口向上，当a＜0是，开口向下。
3.一次函数与二次函数的解析式的求解方法：一次函数解析式：一般常用的有两种方法a.两点式，如一次函数y=kx+b，（k≠0），过点（x1,y1）（x2,y2）,那么k=(x1-x2)/(y1-y2)求出k值，将点（x1,y1）代入函数y=kx+b，（k≠0）中，求出b值，即得出一次函数的解析式。
b交点是，根据一次函数与x轴、y轴的交点，求出k,b值，即得出一次函数解析式。
二次函数解析式：一般常用的有三种方法a.y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a）.把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、介绍在数学中，函数是一个基本的概念，常见的有线性函数（一次函数）和二次函数。
本文将介绍二次函数与一次函数的性质、图像特征以及它们在实际中的应用。
二、一次函数一次函数又称线性函数，其数学表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了线的倾斜方向和变化速率，截距决定了线与y轴的交点。
三、二次函数二次函数是一种具有二次项的函数，其数学表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；顶点（最值点）则对应抛物线图像的最低或最高点。
四、性质比较1. 斜率和倾斜性：一次函数的斜率始终保持不变，代表了函数的变化速率，而二次函数的斜率则会随着x的变化而变化，代表了变化的加速度。
2. 对称性：一次函数在图像上没有对称轴，而二次函数的图像关于一个垂直于x轴的直线具有对称性。
3. 极值点：一次函数不存在极值点，而二次函数的极值点对应横坐标为顶点的坐标，是函数的最低点（若开口向上）或最高点（若开口向下）。
五、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向和变化速率由系数a的正负决定。
3. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，横坐标对应了抛物线的轴对称线。
六、应用举例1. 一次函数的应用：- 物体的直线运动问题：通过相关数据计算速度、位移等。
- 成本与产量的关系：用来计算单位产量的成本。
- 单位价格与需求量的关系：计算价格对需求的弹性。
- 薪酬计算：根据工作时间确定工资。
2. 二次函数的应用：- 抛物线的弧线问题：如计算喷泉水柱的最远射程或高空抛物体的落地点。
- 汽车制动距离：计算汽车刹车时的停车距离。
- 投影问题：确定抛出物的落地点。