高中数学一次函数、二次函数-学生
课题：___一次、二次函数___
教学任务
教学目标知识与技能目标
理解一次、二次函数的概念，掌握它的图象和性质，能灵活运用
二次函数的最值
过程与方法目标
学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中
深刻理解理解一次、二次函数的概念，掌握它的图
象性质，能灵活运用二次函数的最值以及二次函数
的图象.会求含参数的二次函数的最值问题，养成
用数形结合、分类讨论的数学思想来解决问题。
情感,态度与价值
观目标
在活动中，培养学生独立的分析和归纳问题的能力。
重点理解一次、二次函数的概念，掌握它的图象和性质，能灵活运用二次函数的最值
难点
会求含参数的二次函数的最值问题，养成用数形结合、分类讨论的
数学思想来解决问题
教学流程说明
活动流程图活动内容和目的
活动1课前热身－练习重温概念领会新知
活动2 提高探究－反思求含参数的二次函数的最值问题的方法。
活动3课堂练习－实践
通过练习掌握求含参数的二次函数的最值
问题。
活动4归纳小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
设计
意图
活动1课前热身（资源如下）
1、若函数f(x)=ax+2a+1的值在－1≤x≤1时有正也有负，则实数a的范围是_____________
2、若二次函数y=x2+2mx－m2－2的图象的对称轴方程为x=1，则m=____________,顶点坐标为
___________，递增区间为______________
3、如果f(x)为二次函数，f(0)=2，并且f(x)=0的两根为－2和1，则f(x)=____________
4、“－4<k<0”是函数y=kx2－kx－1的值为负值的
_________条件。
二次函数的关键是通
过配方得出顶
点)
4
4
,
2
(
2
a
b
ac
a
b-
-，
由此可知函数的对称
性、图象、单调区间、
最值和判别式等.
二次函数解析式的基本形式
通过
热身：
重温
概念
5、在同一坐标系内，函数y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可
能是：（）
有：
⑴标准式：
c
bx
ax
x
f+
+
=2
)
(；
⑵顶点式：
k
m
x
a
x
f+
-
=2)
(
)
(
⑶零点式：
)
)(
(
)
(
2
1
x
x
x
x
a
x
f-
-
=
二次方程的韦达定理很重要
活动2提高探究
资源1、
已知函数f（x）满足f（2）=－1 f （－1）=－1，且f
（x）的最大值为8，试确定二次函数f（x）的解析式
资源2、已知二次函数y=f
1
(x)的图象以原点为顶点且
过点(1,1),反比例函数y=f
2
(x)的图象与直线y=x的两
个交点间距离为8,f(x)= f
1
(x)+ f
2
(x).求函数f(x)的
表达式；
资源3、
（1）求函数y =x2 －2x+ 3在区间［0, a］上的最值,
并求此时x的值。
（2）求函数y = －x（+x－a）在[－1，2]上的最大值。
二次函数在区间上的最
值问题
1、轴定区间动
2、
轴动区间定3、两者都
定（动）
资源4、已知函数f（x）=a x 2+（b－8）x－a－ab，当x∈
（－3，2）时f（x）＞0，当x∈（－∞，－3 ）∪（2，
+∞）时f（x）＜0，
（1）求f（x ）在[0，1]内的值域
（2）C为何值时，a x2 + b x+ c≤0的解集为∅
活动3课堂练习
资源1、
设f(x)是R上以2为周期的函数，当]1,1
[-
∈
x时，f(x)=x2，
⑴求f (x )在[1，3]上的解析式；⑵求f (－3)、f (3.5)；⑶求f (x )的表达式.
资源2、函数)(x f =x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为
)(t g ，求)(t g 的表达式及其最值.
资源3、
已知二次函数 f （ x ）= a x 2 + b x + c （a 、b 、c ∈R ）且同时满足下列条件：
① f （－1）= 0 ② 对任意的实数 x 都有 f （x ）－ x ≥0 ；③当 x ∈（0，2）时，
f （ x ）≤（2
1+x ）2
，
（1）求 f （1）；
（2）求a 、b 、c 的值；
（3）当 x ∈[－1，1]时函数g （ x ）= f （ x ）－ mx （ m ∈R ）是单调函数，求 m 的取值范围。
1
活动4归纳小结 活动5巩固提高
附作业
提高
一次、二次函数
一、选择：
1、如果函数f(x)=x 2+2(a －1)x+2在区间]4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3
2、如果函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)对任意实数t 都有f(2+t)=f(2－t)，那么 （ ） A ．f(1)<f(2)<f(4) B ．f(2)<f(1)<f(4) C ．f(2)<f(4)<f(1) D ．f(4)<f(2)<f(1)
3、二次函数)(x f y =满足=+=-=+2121,,0)(),3()3(x x x x x f x f x f 则有两个实根且 ( )
(A )0 (B ) 3 (C ) 6 (D ) 不能确定 4、函数y =x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3],则点（a ，b ）的轨迹
是图中的 （ ） A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CD C ．线段AD 和线段BC
D ．线段AC 和线段BD
二、填空：
5、当m ∈_________时，函数f(x)=(m －2)x 2－2mx －3+2m 的图象总在x 轴下方
6、关于x 的一元一次方程ax+x+4=0的根在[－2，1]内，则a 的取值范围是______________
7、若二次函数c bx ax x f ++=2
)(对任意实数x 都有f (1+x )=f (1－x ),且f (1)＜f (2),则)(),0(),(ππF F f -的大小关
系为
8、已知y=mx+5和y=x+n 的图象，关于直线y=x 对称，则m=__________,n=____________
9、已知函数）（R x |b ax 2x |)x (f 2∈--=，给出下列命题：（1）f(x)必为偶函数；（2）当f(0)=f(2)时，f(x)的
图象关于直线x=1对称；（3）若0b a 2≤+，则f(x)在区间[a ，+∞）上是增函数；（4）f(x)的最大值为|b a |2-。
其中正确命题的序号为________________
三、解答
10、设x =m 时，二次函数f (x )有最大值5；又二次函数)(x g 的最小值为－2，)(m g =25，并且f (x )＋ )(x g =x 2＋
16x ＋13（m ＞0）.⑴求实数m 的值. ⑵求函数)(x g 的表达式.
11、（1）函数f(x)=x 2－2x+3在[0，a+2]上最大值为3，求a 的取值范围。
（2）已知f(x)=x 2－ax+
)0(2
>a a
在区间[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值。
12、若f(x)=(x －1)log 2
3a －6xlog 3a+x+1在区间[0，1]上恒为正值，求实数a 的取值范围
13、已知2
()21,f x x tx =-+其定义域为{}
0178x x x ≤≤≤≤或
1）当1
2
t =
时，求函数()f x 的值域； 2）探究当()f x 在定义域内有反函数时，求t 的取值范围。
高一数学一次函数和二次函数
即有k=m-2
解得，
0, 并且1-2m
0
m2
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能够灵活机动，只轻轻一转，就“轻而易举”地打开了锁。对于一般的事物、问题而言，这里的“心”是指事物的关键之处、问题的症结所在；对于人的思想、情感而言，“心” 是指隐秘之处的思想和情感。“铁棒”天生不是开锁的料，只会砸“锁”、撬“锁”。我们可以把它理解为没有抓住事物的关键或问题的症结，不讲科学、不讲技巧的蛮干。它也想开锁，只是采用的方式不正确，可见解决问题应追求合理的途径。参考拟题：开锁的启示、科学方法与科学 精神。 ? 25.阅读下面的文字，根据要求作文。 非洲加纳的库马西有一所寄宿学校。一天早上，一位老师走进教室，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，你们看到什么了？”学生们齐声回答：“一个黑点。” 老师说：“不对！你们再看看，难道你们谁也没看到这是 一张白纸吗？”接着，老师语重心长地说：“在今后的生活中，你们可不要这样看人看事物啊！” 老师关于这张“白纸”的教导，一直铭刻在一个当时年仅17岁的学生的脑海深处。当年的这位学生就是现在的联合国秘书长科菲?安南。 请以“白纸与黑点”为话题写一篇文章。题目自拟， 文体自选，立意自定，不少于800字。 ? [写作提示]在这个硝烟不断，危机纷起，恐怖分子无孔不入，时刻都有意想不到的灾难发生的世界里，身为联合国秘书长的安南先生时时体味当年老师关于“白纸与黑点”的谆谆教诲，仍然乐观地看到这张虽有许多“黑点”的“白纸”的美丽。其 实，我们也常常遇到这样被染上了“黑点”的“白纸”。比如患过错误的同志，比如有许多毛病的同事……我们应该认真品味这位非洲老师的“黑点与白纸”的故事，从中领悟这样的道理：看人应当首先看“一张白纸”，即看人的主流，看人的优点，对别人的身上的“黑点”应当懂得宽 容、包涵，求同存异，不要只注意别人的“黑点”而刻意挑剔甚至吹毛求疵。 ? 26.阅读下面的文字，根据要求作文。 ? 比，是人人皆有的心态，所不同的是比的内容和方法因人而异：有的比吃比穿、比车比房，有的比成就、比贡献。比，又是我们认识事物的常用方法，拿中国古代的 文明和其他国家比，我们会比出自豪和勇气。拿我们现在的科技与发达国家比，我们比出了落后和清醒。但是，并不是人人都会正确运用比的。 请以“比”为话题，写一篇文章，文体自定，文题自拟，不少于800字。 ? [写作提示]这是一种提示性的话题作文，提示语中列举了一些常见 的“比”的内容和“比”的方法，目的是为了打开同学们的思路。你完全可以从中选择你熟悉的内容来写，但是也不必拘泥于提示的方面，还可以在更广阔的领域寻觅“比”的新鲜内容。但是值得注意的是：选择可比的事物必须是同一范畴的事物，要通过现象或形式异同的比较，概括出 可比点来；罗列差异不是目的，目的是通过差异来说明问题，所以，重点要放在对问题的分析上。 ? 27.阅读下面的文字，根据要求作文。 ? 一天，上帝带着一个教士来到地狱，教士发现地狱中的人们围着一口盛满粥的大锅端坐着。虽然他们每人都有一把长柄勺子，但由于勺柄太长， 他们谁也无法将食物送到自己的嘴里去，只能挨饿。上帝又带着教士来到天堂，这里的人们看上去既快乐又满足，虽然他们也是围着一口大锅，每人手里也拿一把长柄勺子。上帝见教士迷惑不解，便对他说：“难道你没看出来这里的人都学会喂对方了吗？” 请以“合作”为话题，写一 篇作文，所写内容必须在这个话题范围之内。 立意自定，题目自拟，写一篇不少于800字的议。 [写作提示] “合作”即互相配合做某事或共同完成某项任务。随着科学技术的突飞猛进和信息社会的高度发展，合作显得越来越重要。因为科技越发达，分支科学越繁多，社会分工就越精细， 而个人的智力、知识面是有限的，因此，加强合作，取长补短，优势互补，已越来越成为时代的要求。论重点应放在“为什么要进行合作”上，用摆事实，讲道理的方法来明合作的必要，可以引用名言阐述合作的必要，也可以举例明合作带来的各种好处，还可以从反面明不合作带来的弊 端，要用辩的方法，分析要全面，理由要充足，最后还要指出解决问题的办法，即合作的途径。如写议，论角度有“合作是成功的土壤”“合作是人类生存的必需”“个人离不开集体”“团结互助才能由弱变强”“协作就是力量”“团队精神”“优势互补、共同发展”等。 ? 28.阅读下 面的文字，按要求作文。 水，滋润万物，是生命之源； 暴雨倾盆，江河泛滥，也会带来灾难。 水，看似柔弱，却能把坚石滴穿； 汇成洪流，更可穿峡破谷，一往无前。 水，演绎出多少可歌可泣的故事， 流淌着古往今来多少悲欢…… 请以“水的联想”为题，写一篇文章。除诗歌外， 文体自选，不少于800字。 [写作提示]本题主要考查学生的联想、想象能力。具体的写作思路有：根据作文材料的提示，写水既可滋润万物、孕育生命，也会吞噬生灵、造成灾难；或者由水“能把坚石滴穿”“更可穿峡破谷”，阐发水的力量及水的精神；或者由人不能没有水，自然不能 没有水发挥开来，呼唤保护水资源。联想水的其他特点，比如，自己活动，并能推动别人的，是水；经常探求自己方向的，是水；以自己的清洁洗净他人的污浊，有容清纳浊的度量的，是水；能蒸发为云，变成雨、雪、雾，或凝结成晶莹如镜的冰，但不论变化如何，仍不失其本性的，还 是水……然后找到人与水的相似点，构思成篇。 ? 29.阅读下面一则材料，按要求作文。 林语堂先生说：中国人的脸，不但可以洗，可以刮，还可以争，可以留，有时好像争面子是人生的第一要义，甚至可以倾家荡产而为之。对此，你或许也有一些认识或经历。请以“面子”为话题， 写一篇文章，不少于800字，题目自拟，文体自选。 ? [写作提示]中国人爱争面子，在国人看来，面子是人们身份的标志，有面子是才干的表现。面子关系着人的尊严、荣誉。但是，为了面子而不顾实际，为了形象而不顾人的死活，却是当前某些人的一种通病。 面子关乎人们的尊严、 荣辱，当然要讲，特别是在大是大非面前，要面子就是讲尊严。但是，面子不等于虚荣心，不能“死要面子活受罪”，更不能为了所谓的政绩而劳民伤财、弄虚作假。有时候，勇于暴露自己的缺点，恰恰是给自己争来了面子。我们要的是表里如一、形式内容相统一的面子。 30.阅读下面 一则材料，按要求作文。 “美国宗教精神病学基金会”创始人之一的伯兰特医生曾录下他与几位患有不同程度心理疾病的病人的谈话，通过研究，他发现这些人总在不停地重复这类话：“如果当时那样多好”“只要我再如何如何，就不会如何如何”。他由此告诫人们说：“这些想法就 像毒药，它们会使你患上心理疾病。你必须学会说‘下次再来’。因为这句话指向未来，指向新的一天，它会让你受伤的心痊愈，会带给你健康的心灵。” 请以“着眼未来”为话题写一篇文章，自拟题目，自定文体，不少于800字。 [写作提示]“着眼未来”这个话题是要人们学会正确 对待现实生活中的各种困境、挫折等问题，学会摆脱不良情绪，拥有健康快乐的人生。它其实是在倡导一种积极乐观的人生态度。考生可据此展开联想：或儒或道，或穷或达、或成或败……人生其实不外乎积极有为和消极避世两种，在考虑选材时不必受“心理疾病”这个概念束缚，这样 难度就会减小。如果选取的视角新颖，对社会现象、现实人生的评判独特，自然会写出不一般的文章来。 ? 31.阅读下面材料，请以“人的价值”为话题写作文，立意自定，文体自选，题目自拟。不少于800字。 一个年轻人对智者说：“老师，我觉得自己什么事也干不好。没有人看重我， 我该怎么办呢？” 智者从手指上脱下一枚戒指交给年轻人说：“你到集市上把这枚戒指卖了，无论如何不能少于1个金币。” 年轻人到了集市上，到处兜售戒指，但没人肯出1个金币。 年轻人说：“老师，对不起，我没能达到你的要求。也许我可以卖到两个或3个银币，但我觉得那不应 该是这枚戒指的真正价值。” “年轻朋友，你说得太对了。”智者笑着说，“你再去一趟珠宝店，问他能出多少钱，但不要真卖戒指，问完价格你再带戒指回来。” 珠宝商仔细看了看戒指后说：“告诉你的老师，如果他想卖戒指，我最多可以给他58个金币。” “58个金币！”年轻人 惊呼。“对。”珠宝商说，“如果不着急的话，我可以出70个金币……” 年轻人兴奋地跑回去，将发生的一切告诉智者。智者说：“你就像这枚戒指，珍贵、独一无二，只有专家才能真正判定你的价值。你怎能期望生活中随便一个人就能发现你真正的价值呢。”智者说着将戒指套回手 上，“我们所有人都像这枚戒指，珍贵，独一无二；不过，我们进入生活的市场后却希望毫无经验的人肯定我们的价值。” [写作提示]人们都希望自己的价值被肯定，但几乎也都希望被别人肯定，特别是由此自己的感情就被别人左右了，直到自己终生一事无成，这是可悲的。人首先应 该有自知之明，清楚自己的能力和努力方向；然后排除干扰，一往无前。有掌声的人生是美丽的；没有掌声的人生，只要自觉无悔，也是美丽的。 32.阅读下面材料，根据要求作文。 那是上世纪70年代的一场比赛。 在比赛进行到第14个回合时，拳王阿里已经筋疲力尽，濒临崩溃，到了 如有一片羽毛落在他身上也能让他轰然倒地的地步。但阿里仍竭力保持坚毅的表情和势不低头的气势。这时，拳坛另一猛将弗雷泽支持不住，放弃了。裁判当即宣布阿里获胜，阿里再次获得“拳王”的美誉。 获胜的阿里还没走到台中央，便眼前一黑，双腿无力地跪倒在地。弗雷泽见此 后悔莫及。 这次比赛的结果告诉我们：很多人的失败，不是败在技术、智力和能力，而是败在意志力的丧失和最后一刻的自我放弃。 瞬间的放弃，导致了心中永恒的伤痛，生活中这类事例或教训难道还少吗？请以“瞬间与永恒”为话题写一篇作文。立意自定，文体自选，题目自拟，不 少于800字。 [写作提示]这一话题可以从两方面理解：其一，瞬间可以成就永恒。例如，“神六”上天的瞬间，航天员庄重而灿烂的微笑留在了历史的永恒之中。其二，瞬间也可以毁灭永恒。如果弗雷泽最后一刻没有坚持住，将给人们留下永远的遗憾。作文时应
人教B版高中数学必修一第二章第二单元 一次函数和二次函数
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。
2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。
二次函数与一次函数的关系知识点
二次函数与一次函数的关系知识点1. 介绍：二次函数和一次函数是高中数学学习中经常涉及的两种函数类型。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0；而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数且k≠0。
本文将探讨二次函数与一次函数之间的关系及其相关知识点。
2. 二次函数的特点：2.1 函数图像：二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，可以是开口向上或开口向下的。
开口向上的二次函数在最低点取得最小值，而开口向下的二次函数在最高点取得最大值。
2.2 零点和顶点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在二次函数中可以使用求根公式或配方法求得。
函数的顶点是指函数图像的最低点或最高点，在二次函数中可以通过计算x坐标的中点来找到顶点。
2.3 对称性：二次函数的图像具有关于顶点的对称性，即关于x=a的直线对称于关于y=b的直线。
3. 一次函数的特点：3.1 函数图像：一次函数的图像通常呈现直线的形状，具有斜率的概念。
斜率为正值时，函数图像呈现上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈现下降趋势。
3.2 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在一次函数中可以通过令y=0来求解，得到x的值。
3.3 截距：一次函数的截距是指函数图像与y轴相交的点，在一次函数中可以通过令x=0来求解，得到截距的值。
4. 二次函数与一次函数的关系：4.1 平移：二次函数与一次函数可以通过平移进行相互转换。
平移是指将函数图像沿x轴或y轴进行上下左右的移动。
通过改变二次函数或一次函数的系数或常数，可以实现平移操作。
4.2 对应点：对于二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=kx+b，当二次函数的顶点(x, y)和一次函数的某一点(x, y')对应时，有如下关系： y = y' + (c - y')其中，y表示二次函数的值，y'表示一次函数的值。
4.3 一次函数的特殊情况：当二次函数的系数a=0时，二次函数就变成了一次函数。
高中数学全面总结知识点
高中数学全面总结知识点一、代数1、一次函数和二次函数一次函数的一般式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
而二次函数的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是常数，且a≠0。
在学习一次函数和二次函数时，学生需要了解它们的性质、图像和应用，以便灵活运用。
2、不等式不等式在高中数学中占有重要地位，学生需要掌握不等式的性质、解法及其应用。
常见不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式等。
3、集合与命题逻辑集合和命题逻辑是代数的基础，学生需要掌握集合的运算、集合的关系和集合的应用。
同时，也应该学习命题的联结词、逆否命题和充分必要条件等概念。
4、数列数列在高中数学中也是一个重要的内容，学生需要掌握等差数列和等比数列的性质、求和公式及应用。
此外，也需要了解递推数列和特殊数列。
5、排列组合排列组合是数学中的一个重要概念，学生需要了解排列和组合的定义、性质、公式及应用，以及重点掌握乘法原理和加法原理。
6、二次函数二次函数是代数中的一个重要内容，学生需要了解二次函数的定义、性质、图像及其应用。
此外，也需要学习二次函数的相关知识，如零点、顶点、对称轴等。
二、几何1、平面几何平面几何是高中数学中的一个重要领域，学生需要掌握平面几何的基本概念、性质及其应用，包括直线、角、三角形、四边形、圆等内容。
2、立体几何立体几何是平面几何的延伸，学生需要了解立体几何的基本概念、性质及其应用，包括空间图形、平行四边形、棱台和圆柱等内容。
3、向量向量是高中数学中的一个重要内容，学生需要了解向量的定义、性质、运算及其应用。
同时，也需要学习向量的线性运算、数量积和向量积。
4、解析几何解析几何是几何与代数的结合，学生需要了解解析几何的基本原理、直线与圆的方程及其应用，以便在实际问题中灵活运用。
5、立体几何中的空间图形空间图形在高中数学中也是一个重要内容，学生需要了解平行四边形、棱台和圆柱的性质、体积、表面积及其应用。
高中数学恒成立问题(学生)
.
.n b +证明：当
（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.
3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.
4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
B≠∅，求实数。
二次函数和一次函数的解法
二次函数和一次函数的解法在数学中，二次函数和一次函数是基础的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一次函数的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的解法二次函数是指函数形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
解二次函数的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的解法：因式分解法和公式法。
1. 因式分解法当二次函数为完全平方形式时，可以通过因式分解的方法来求解。
完全平方形式的二次函数为f(x) = a(x - p)² + q，其中a、p、q都是常数。
步骤如下：（1）将二次函数化简为完全平方形式；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式；（3）令乘积等于0，求解出x的值。
举例说明：求解二次函数f(x) = 2x² + 12x + 18的解。
（1）将二次函数化简为完全平方形式：f(x) = 2(x² + 6x) + 18；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式：f(x) = 2(x + 3)² + 9；（3）令乘积等于0，求解x的值：2(x + 3)² + 9 = 0，解得x = -3。
2. 公式法当二次函数无法通过因式分解得到解的时候，可以使用求根公式来求解。
步骤如下：（1）根据二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，分别确定a、b、c的值；（2）使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，求解出x的值。
举例说明：求解二次函数f(x) = x² + 2x + 1的解。
（1）确定二次函数的参数：a = 1，b = 2，c = 1；（2）使用求根公式求解x的值：x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)= (-2 ± √(4 - 4)) / 2= (-2 ± √0) / 2= -1。
高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn ,该年的增长量yn和 xn与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x1<m，(1)证明：;(2)用 xn 表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.【答案】（1）详见解析；（2），证明用数学归纳法，过程详见解析．【解析】（1）由已知可得yn 是xn的一个二次函数，利用配方法，注意到就可证明；（2）由已知有该年的增长量，所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用xn 表示xn+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明：当n=1时显然成立；再假设当时，命题成立，则对n=k+1时，由于是xk的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证成立，从而有对一切正整数n，，即是草原上的野兔总数量恒小于m.试题解析：（1）由题意知，配方得：∵∴当且仅当时，取得最大值，即（5分）（2）（8分）用数列归纳法证明：当n=1时，由题意知，故命题成立假设当时，命题成立是xk的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长（13分）【考点】1函数的概念；２．二次函数；３．数学归纳法．2.已知是方程的两根，且，,，求的最大值与最小值之和为()．A．2B．C．D．1【答案】A【解析】设，根据题意，有，即则直角坐标平面内以为坐标的点的集合对应的区域如下图所示：则的值可看作是过动点和定点的直线的斜率；由图可知，，所以，的最大值与最小值之和为2.故选A【考点】1、一元二次方程根的分布；2、二元一次不等式所表示的平面区域；3、直线的斜率；4、数形结合.3.函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】(-∞,-6]【解析】由于函数在上是增函数，那么二次函数对称轴为，即可知只要，故答案为(-∞,-6]【考点】二次函数单调性点评：解题的关键是理解给定的区间是二次函数增区间的子区间，属于基础题。
人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记
(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。
高中数学教学备课教案一次函数与二次函数
高中数学教学备课教案一次函数与二次函数高中数学教学备课教案【教案一】一次函数与二次函数教学目标：1. 理解一次函数和二次函数的基本概念与性质；2. 掌握一次函数和二次函数的图像、方程和解析式的关系；3. 能够在实际问题中应用一次函数和二次函数进行建模和求解；4. 培养学生的抽象思维和数学推理能力。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学工具等；2. 学生准备：教科书、笔记本、作业本等。
教学步骤：【第一步】引入（时间：5分钟）教师通过引导学生回顾一次函数和二次函数的概念和性质，让学生对本次课程的内容有初步的了解和认知。
【第二步】讲解一次函数（时间：15分钟）1. 教师通过教学课件和示例图像，讲解一次函数的定义、特征及其图像的性质；2. 教师引导学生利用一次函数的特点，分析实际问题中的线性关系，并通过具体例子进行实际应用。
【第三步】练习与讨论（时间：20分钟）1. 学生个人练习：学生进行一次函数的练习题，在解题过程中加深对一次函数的理解；2. 小组讨论：学生分组进行讨论，分享解题思路和方法，从而提高学生的综合能力和合作意识；3. 教师答疑与点评：教师主持讨论，解答学生提出的问题，并对学生的答案进行点评。
【第四步】讲解二次函数（时间：20分钟）1. 教师通过教学课件和示例图像，讲解二次函数的定义、特征及其图像的性质；2. 教师引导学生分析二次函数图像与一次函数图像的异同，引导学生猜测二次函数的性质。
【第五步】练习与讨论（时间：20分钟）1. 学生个人练习：学生进行二次函数的练习题，在解题过程中加深对二次函数的理解；2. 小组讨论：学生分组进行讨论，分享解题思路和方法，从而培养学生的合作能力；3. 教师答疑与点评：教师主持讨论，解答学生提出的问题，并对学生的答案进行点评。
【第六步】实际应用（时间：15分钟）1. 教师引导学生通过一次函数和二次函数建立数学模型，并应用到实际问题中；2. 学生通过实际案例，分析解决问题的方法与步骤，加深对一次函数和二次函数的应用理解。
二次函数和一次函数的应用
二次函数和一次函数的应用二次函数和一次函数是高中数学中的重要内容，也是实际生活中广泛应用的数学概念。
本文将重点探讨二次函数和一次函数在实际问题中的应用，并通过实例详细说明其应用方式和意义。
一、二次函数的应用二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a≠0，其图像为抛物线。
二次函数在现实生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。
1. 抛物线运动二次函数最典型的应用之一就是描述抛物线运动。
例如，一个抛出的物体在空中运动的轨迹就可以用二次函数来描述。
具体来说，假设抛物线的顶点为(x₀, y₀)，则可以得到二次函数的标准式为y=a(x-x₀)²+y₀。
这个公式能够帮助我们确定抛物线的形状、方向和顶点位置，从而更好地理解和分析抛物线运动。
2. 自由落体自由落体是物体只受重力作用下自由下落的运动方式。
当一个物体从高处自由落下时，其下落的距离可以用二次函数来描述。
通过测量物体下落过程中的时间和距离，我们可以建立二次函数模型，从而预测未来的位置，并计算出物体达到地面所需的时间。
3. 优化问题在实际问题中，我们经常需要寻找最优解。
例如，在生产成本与销售利润之间寻找平衡点，寻找某个函数的最大值或最小值等。
这些问题往往可以转化为二次函数的优化问题。
通过求解二次函数的极值点，我们可以找到问题的最优解。
二、一次函数的应用一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其在实际生活中的应用也非常广泛。
1. 直线运动一次函数经常用于描述物体的直线运动。
例如，在汽车行驶过程中，行驶的距离与所用的时间之间的关系可以用一次函数来描述。
通过观察和测量物体的运动情况，我们可以建立一次函数模型，从而预测未来的位置和时间。
2. 费用和收益在商业领域，一次函数可以用于描述企业的成本和收入之间的关系。
例如，某企业的生产成本可以表示为y=kx+b，其中x为生产数量，y为成本。
通过分析一次函数模型，我们可以找到成本与生产数量的关系，从而进行成本控制和利润分析。