chap4 对称要素组合定理及对称型
4周公度第四版结构化学第四章分子的对称性
4.1.2 反演操作和对称中心
与对称中心 i 对应的对称操作叫反演或倒反 i 。 若将坐标原点放在对称中心处，则反演操作将空间 任意一点（x, y, z）变为其负值（-x, -y, -z），反演操
作的矩阵表示为：
y
i
x
x ' 1 0 0 x ' y y 0 1 0 z' z 0 0 1
3
C
1
1 3
C32
1 2
E
3
2 2
1 C3
1
2
3
C
2 3
3
1
1 ˆ2 2 ˆ1 ˆ ˆ ˆ C3C3 C3 C3 E
操作和逆操作
ˆ 的逆，反之 A ˆ为 A ˆ ˆ BA ˆˆ E ˆ ,则 B ˆ 也为 逆操作: 若 AB ˆ 的逆。 B
写为 显然，对于 C
1 ˆ ˆ A B 1 ˆ ˆ BA
两个 d 反式二氯乙烯 ClHC=CHCl
平面型分子中至少有一个镜面，即 分子平面。
镜面的例子
一个 v
一个包含OH键 的平面 另一个垂直于它
两个 d
H2O
镜面的例子
CO2 , H2, HCl 等直线分子有无数个 v 镜面
4.1.4 旋转反演操作( Î n )和反轴(In )
这一个复合对称操作：先绕轴旋转3600/n(并未进入等价 图形)，接着按对称中心(在轴上)进行反演(图形才进入等价 图形)。对应的操作为:
基转角: a =(360/n)°能使物体复原的最小旋转角
ˆ C 1 ˆ C 3
360 a 360 1 360 a 120 3
ˆ C 2 ˆ C 4
第四章分子的对称性
Cn , 再凭 先凭借某一轴线施行旋转操作
借此轴线上的一点进行反演操作 i 的复合操作 称为旋转反演操作, 称为旋转反演操作 , 施行旋转反演操作所凭 借的轴线称为反轴 In.
与两个操作的先后顺序无关. I n = C n i = i C n 与两个操作的先后顺序无关.
旋转反演操作 I n = Cn i
与两个操作的先后顺序无关. S n = σ h C n = C nσ h 与两个操作的先后顺序无关.
例:映转操作 S4
映转操作 S 4 = σ h C 4
B B A D C
A D C
C4
σh
D C A
σh
C B A
D
B
C4
映转轴 S4
<5> 旋转反演操作 In = C n i 和反轴 In
C2 i
i.
H2O
C6H6
<4> 映转操作 S n = σ h C n 和映转轴 Sn
先凭借某一轴线施行旋转操作 Cn , 再凭借与
此轴垂直的平面进行反映操作 σ h 的复合操作
称为映转操作, 施行映转操作所凭借的几何 称为映转操作 , 元素为一轴线,称为映转轴. 元素为一轴线,称为映转轴.
A B D C
C4
B A D C
i
A
C D B
i
C D A B
C4
反轴 In
§4-2 对称元素的组合
对称操作的乘积: 对称操作的乘积:先施行操作 A ,再施行 操作 的效果相同, 操作 B ,总的效果与施行操作 C 的效果相同, 的乘积, 就说 C 是 A 和 B 的乘积,记为 C = AB . 两个夹角为α的对称面的交线, <1> 两个夹角为 α 的对称面的交线 , 一定是 σ V1 σ V2 一个基转角为 2α的 重对称轴. n 重对称轴. α
图形推理对称知识点总结
图形推理对称知识点总结一、基本概念1. 对称轴：对称图形上的直线，对称图形在这条直线两侧的部分完全相同。
2. 对称中心：对称图形上的点，对称图形上任意一点都可以通过对称中心找到对应的点，使得这两个点关于对称中心对称。
3. 对称图形：对称图是指通过某个对称变换，图形能够重合的图形。
4. 对称变换：指图形在直线、点或者平面上的对称移动。
二、图形的对称分类1. 按对称轴分类：- 垂直对称：对称轴为垂直线，如正方形、长方形等。
- 水平对称：对称轴为水平线，如等边三角形、圆等。
- 斜对称：对称轴为斜线，如等腰三角形、菱形等。
2. 按对称次数分类：- 奇次对称：对称轴上的点不动，图形经过对称后和原来的位置有区别。
- 偶次对称：对称轴上的点随着对称存在的次数成对出现。
三、对称的性质1. 对称图形的性质：- 对称图形的对角、对边、对顶角相等。
- 对称图形的对边互为垂直平分线。
- 对称图形的对角线互相垂直且平分。
2. 对称中心的性质：- 同一个图形的对称中心只有一个。
- 对称中心一定在对称图形的内部、外部或边上。
四、对称的判定方法1. 观察法：通过观察图形的外观，判断其是否对称。
2. 折叠法：将图形按对称轴折叠，两边是否完全重合即可判定是否对称。
3. 水平/垂直线判断法：通过水平和垂直线的对称性质判断图形是否对称。
五、对称图形的应用1. 制作图案：对称图形易于绘制，可以用来制作装饰图案、传统刺绣等。
2. 场合布置：对称图形的布局美观大方，常用来布置庆典场合、展览会等。
3. 平面设计：对称图形的应用广泛，可用来设计商标、字体、广告等。
六、图形推理对称题型1. 找对称中心：给定一个对称图形，要求找出其对称中心的位置。
2. 补全对称图形：给定一部分对称图形，要求补全其对称部分，使得整体对称。
3. 判断对称图形：给定一组图形，要求判断哪些是对称的，哪些不是。
4. 进行对称变换：给定一组图形，要求进行一定次数的对称变换，找出最终的对称图形。
第二节对称元素组合原理
第二节对称元素组合原理第二节对称元素组合原理反映面之间的组合 ?反映面与旋转轴的组合 ?旋转轴与对称中心的组合 ?反映面与反轴的组合 ?旋转轴之间的组合反映面之间的组合反映面之间的组合定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的2倍。
图示反映面之间的组合若维持交线位置和二反映面夹角不变，仅改变二反映面的取向则改变中间过渡点B的位置，而对A、C点相对位置无影响，即动作的效果仍然一样。
反映面之间的组合推论：基转角为2α的旋转轴可以分解为两个夹角为α的反映面的连续操作。
P1 ? P2 = Ln反映面之间的组合反映面与旋转轴的组合反映面与旋转轴的组合定理：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ m? Ln = m ? m1 ? m2 = I ? m2 = m2 注：“+”表示组合，“?”表示连续动作图示反映面与旋转轴的组合L3 60° BA m1C m2万花筒定理反映面与旋转轴的组合在与m成α/2角度处有一反映面后，可以推断每隔α/2角度便360 ° 有一反映面，共有(α 2 ) = 2 n 个反映面。
但其中第1个与第?α? ? = 180 ° ， n+1个，第2个与第n+2个，···反映面间夹角为n × ? ?2? 实际上相重合，因此反映面的数目仅有n个，与旋转轴的轴次相同。
此定理又形象地称为万花筒定理。
旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中心的组合定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。
L2n + C = L2n m⊥ C L2 ? C = m⊥首先证明L2 的情况旋转轴与对称中心的组合L2 ? C = m⊥L4与对称中心组合图示旋转轴与对称中心的组合推论一：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称中心。
偶次旋转轴与反映面的组合L2n + P⊥ = L2n P⊥C L2 ? P⊥ = C推论二：反映面和对称中心的组合，必有一垂直反映面的二次轴。
数学对称知识点总结
数学对称知识点总结数学中的对称性是一个非常重要的概念，它涉及到几何、代数以及许多其他数学领域。
对称性是指物体或形状具有相对称的性质，也就是说，它们可以被某种变换保持不变。
在这篇文章中，我们将总结一些与对称性相关的重要知识点，包括几何中的对称性、代数中的对称性以及一些其他领域的应用。
1. 几何中的对称性在几何中，对称性是一个非常重要的概念。
一个形状或物体可以具有各种不同类型的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等。
轴对称：一个形状或物体如果可以被某一条直线分成两部分，使得这两部分完全相同，那么这个形状或物体就具有轴对称性。
轴对称的形状通常具有对称轴，也就是分割它们的直线。
例如，正方形、矩形和圆形都具有轴对称性。
中心对称：一个形状或物体如果可以被某一点分成两部分，使得这两部分完全相同，那么这个形状或物体就具有中心对称性。
中心对称的形状通常具有旋转中心，也就是分割它们的点。
例如，正五边形、正六边形和正八边形都具有中心对称性。
旋转对称：一个形状或物体如果可以通过某一个点旋转一定角度后变成原来的样子，那么这个形状或物体就具有旋转对称性。
旋转对称的形状通常具有旋转中心和旋转角度。
例如，正三角形、正六边形和正八边形都具有旋转对称性。
这些对称性是几何中的重要概念，它们在研究和描述各种形状和物体时起着至关重要的作用。
对称性的性质也是很多数学问题的解题关键，比如在求解几何问题、计算面积和周长等方面都有重要的应用。
2. 代数中的对称性在代数中，对称性也是一个非常重要的概念。
代数中的对称性通常指的是一个函数或表达式在变量交换或变换操作下保持不变的性质。
具体来说，代数中的对称性可以分为函数对称性和方程对称性两个方面。
函数对称性：一个函数如果在变量交换或变换操作下保持不变，那么它就具有函数对称性。
常见的函数对称性包括奇函数和偶函数。
奇函数：一个函数 f(x) 如果对于任意实数 x 都有 f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
对称相关数学知识点总结
对称相关数学知识点总结一、几何中的对称在几何中，对称是一个非常基本的概念。
对称主要包括轴对称和中心对称两种类型。
1.轴对称轴对称是指如果图形绕某条直线旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有轴对称性。
轴对称的特点是对称轴两边的图形完全相同。
常见的轴对称图形包括正方形、长方形、圆等。
在轴对称的图形中，我们可以找到一条或多条轴对称轴。
轴对称的性质：①.图形的轴对称轴上的每个点和对称轴上对应的点互为对称点，他们与对称轴的距离相等。
②.图形的轴对称轴将图形分成两部分，这两部分中的每个点关于轴对称轴都互为对称点。
2.中心对称中心对称是指如果图形绕一个点旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有中心对称性。
中心对称的特点是图形中心与对称中心的每个点互为对称点。
中心对称的性质：①.图形的中心对称中心上的每个点和对称中心上对应的点互为对称点，他们与对称中心的距离相等。
②.对于中心对称的图形，我们可以找到中心对称中心，使得图形中的每个点都关于中心对称中心对称。
几何中的对称性在很多图形的研究中都有着重要的应用。
比如在研究正多边形时，就要探讨其轴对称和中心对称的性质；在研究对称图形的面积时，要考虑对称性对面积的影响等。
二、代数中的对称在代数中，对称性主要体现在函数、方程、矩阵等方面。
1.函数的对称在函数中，常见的对称形式有偶函数和奇函数。
对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(x)= f(–x)，那么就称f(x)为偶函数；如果对于任意的x，有f(x)=–f(–x)，那么就称f(x)为奇函数。
偶函数的特点是其图象关于y轴对称，奇函数的特点是其图象关于原点对称。
在实际问题中，偶函数和奇函数的对称性质经常用来简化计算，研究函数的性质等。
2.方程的对称在方程中，一些特殊形式的方程也有对称性。
比如，关于x、y的二次齐次方程ax^2 +by^2 = 0，如果交换x和y的位置方程不变，那么就称此方程具有对称性。
另外，有一些特殊形式的方程也具有对称性，比如关于x、y、z的二次齐次方程ax^2 +by^2 + cz^2 = 0，可以根据其对称性来研究解的性质。
对称的知识点总结
对称的知识点总结一、对称性的概念对称性是指物体或事物在某种变换下保持不变的性质，由此产生了一些规则和不变性。
换句话说，对称性就是变换不改变某些性质的性质。
在几乎所有的自然科学领域中，都会涉及到对称性的问题，对称性也是许多自然规律的基础。
1. 对称性的概念对称性是现代数学的一个基本概念，是指一种性质：在某种约定的变换下，对象保持不变。
举个简单的例子，把一个正方形旋转90度，它还是一个正方形，这就是一个简单的对称性。
通常情况下，我们讨论对称性时主要是指几何形状的对称性，但实际上，对称性也体现在代数、几何、拓扑等多种数学领域。
2. 对称性的基本概念对称性是指物体或事物在某种变换下保持不变的性质，由此产生了一些规则和不变性。
3. 对称性的作用对称性是世界上普遍存在的一种性质，它无处不在，影响着我们周围的一切。
对称性在自然科学和数学中起到了举足轻重的作用，它帮助我们解释了很多自然现象，为我们提供了一些重要的工具和思想。
二、对称性的种类对称性种类繁多，基本种类包括平移对称、旋转对称、轴对称、中心对称等，每种对称性都有其特点和应用。
了解各种对称性的特点和应用有助于我们更好地理解对称性在自然界中的普遍性。
1. 平移对称平移对称是指物体在平行于某一直线方向上的位移是保持不变的。
简单来说，就是将物体沿某一方向挪动后，它仍然是原来的样子。
平移对称性在数学中有着广泛的应用，它是代数结构的一个基本概念，也是几何形状的一个重要特征。
2. 旋转对称旋转对称是指物体在某一角度的旋转下是保持不变的。
以圆形为例，它在任何角度的旋转下都是一样的，这就是旋转对称。
旋转对称性是世界上普遍存在的一种性质，许多物体和现象都具有旋转对称性。
3. 轴对称轴对称是指物体相对于某一条直线的旋转180°后还是原来的样子，这条直线就被称为对称轴。
许多几何图形和生物形态都具有轴对称性，这种对称性在现实生活中具有很重要的应用。
4. 中心对称中心对称是指物体相对于一点的镜像对称性，这一点称为对称中心。
chap4 对称要素组合定理及对称型解读
红锌矿
逆定理
若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对
称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。 思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin
n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin；
n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。 Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数） Linn L2 nP//（n为奇数）
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是： 必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
（1）A类对称型的推导：
5 ）对称轴 L n 与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面
式）：
垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数）
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸
面式）： 根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
对称群s4及其正规子群a4,k4的若干性质
对称群s4及其正规子群a4,k4的若干性质群S4是一个实对称群，它是由4个元素组成的群，这四个元素可用{e,a,b,c}表示，且满足交换律，即$a*b=b*a$，群S4有一个子群A4和另一个子群K4。
A4是一个偶交换群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,ab}表示，这4个元素是相等的，它们都满足交换律，即$a*b=b*a$而其非自反元素$a,b$满足$a*b=b*a=ab\ne$。
K4则是一个c-群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,c}表示，这4个元素是不等的，它们都满足交换律，即$a*b=b*a$而其非自反元素$a,b,c$满足$a*b=b*a=ab=c\ne$。
群S4是一个实对称群，而它的子群A4和K4则是该群不可分离的两个正规子群。
从某种意义上讲，群S4的子群A4和K4才是这个群的真正的“基本”要素，这两个正规子群为群S4提供了特殊的含义和特殊的性质。
群A4是一个偶交换群，具有4个元素，它们可以用{e,a,b,ab}表示，其非自反元素$a,b$满足$a*b=b*a=ab\ne$，而它的左零元和右零元分别为$e*a=a^2=e$和$e*b=b^2=e$，因此群A4是有限群，它是一个符合可交换律的群，它具有以下性质：1. 群A4是一个完全正规的偶交换群，此群满足可交换律，并且其元素是有序的，但没有自反元素。
2. 每个元素的幂正好是2，态度函数恒定且为1。
3. 群A4是一个左结合群和右结合群。
4. 群A4有一个相应的共轭A4群。
K4则是一个组成群，它具有4个元素，可以用{e,a,b,c}表示，它们都满足可交换律，并且其元素是不等的，即$a*b=b*a=ab=c\ne$，其左零元和右元为$e*a=a^3=e$和$e*b=b^3=e$，因此K4是有限群，它也具有以下性质：1. 群K4是一个完全正规的组成群，此群满足可交换律，其元素是不等的，而且没有自反元素。
2. 每个元素的幂正好是3，态度函数恒定且为1。
初步认识对称形的基本概念知识点总结
初步认识对称形的基本概念知识点总结对称形的基本概念知识点总结对称形是指一个物体、形状或图形可以通过一个中心轴、直线或点来实现完全或部分对称的特性。
对称形在数学、艺术和自然界中都有广泛的应用和意义。
本文将对对称形的基本概念进行总结，包括对称轴、对称图形和对称关系等方面的内容。
1. 对称轴对称轴是在对称形中起重要作用的概念。
对称轴是一条直线，通过这条直线可以将对称形分为两个对称的部分。
对称轴可以是垂直于平面的直线，也可以是水平于平面的直线，还可以是其他任意方向的直线。
在对称形中，对称轴是一个基准线，两侧的部分完全或部分相等。
2. 对称图形对称图形是指在平面上具有对称性的图形。
常见的对称图形有正方形、矩形、圆形等。
在正方形中，四条边长度相等且相互平行，且具有4条对称轴。
在矩形中，对称轴为两条相互平行的边。
在圆形中，对称轴可以是任意直径线。
对称图形具有美观和稳定的特性，应用广泛于建筑设计、艺术创作和图形设计等领域。
3. 对称关系对称关系是指在两个元素之间存在一种对称性质，即对第一个元素的某种运算得到的结果与第二个元素本身相等。
在数学中，对称关系有多种形式，如数的相等关系、集合的等价关系和函数的对称性等。
对称关系在代数、几何和图论等数学领域中有深入的研究和应用。
4. 对称的应用对称形广泛应用于各个领域和行业。
在建筑设计中，对称形可以使建筑物更加均衡和稳定，营造和谐美观的空间氛围。
在艺术创作中，对称形可以使作品具有平衡和和谐的美感，增强观赏者的审美享受。
在生活中，对称形也体现在日常用品中，如镜子的对称性和马路两侧的对称排列等。
总结：对称形是一种重要的概念，它在数学、艺术和自然界中都有广泛的应用。
对称形的基本概念包括对称轴、对称图形和对称关系等方面内容。
了解对称形的基本概念有助于我们更好地理解和应用对称形在各个领域中。
对称形的美学价值和实用性使得它成为人们在设计和创作中不可或缺的元素。
通过对对称形的学习和理解，我们可以更好地欣赏和运用对称形的魅力。
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第四节 对称型（点群）
1、对称型的概念 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型 或点群。 一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点 群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中 可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
➢ 对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 ➢ 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是：
必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1 如果有一个L2垂直于Ln，则 ①必有n个L2垂直于Ln； ②任意相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了
（1）A类对称型的推导： 3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式）： 根据组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：
L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
（1）A类对称型的推导：
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
• 这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。 • 还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
可能的对称型为：(L1L22P=L22P ）；L22L23PC=3L23PC； （L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
（1）A类对称型的推导： 6）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：
可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸 面式）：
L4 4L2 5PC L6 6L2 7PC
Lin =L3
C
Li4
Li6 =L3 P
L3 3L2 3PC
Li4 2L2 2P Li6 3L2 3P= L3 3L2 4P
第五节 晶体的对称分类
晶体
高次轴的有 无及多少
低、中、高级晶族
属于同一对 称型的晶体
7大晶系 32晶类
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系
思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin； n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。
Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数）
2、对称型的推导 依据：对称型中高次轴数量多少： A类对称型（高次轴不多于一个） B类对称型（高次轴多于一个） （1）A类对称型的推导
1）对称轴Ln单独存在（原始式）： 可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。
（1）A类对称型的推导： 2）对称轴与对称轴的组合（轴式）：
在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对 称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为： （L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2
（1）A类对称型的推导：
5）对称轴Ln与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面 式）： 垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2，
即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数） Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2nP（奇数）
Ln LnnL2 Ln P(C) Ln nP Ln nL2
(n+1)P(C)
L1 L2 3L2
L2 PC
L2 2P 3L2 3PC
Lin
Lin nL2 nP
Lin n/2L2 n/2P
Lin = C Li2 = P
L3 L33L2
L4 L44L2 L4 PC L6 L66L2 L6 PC
L3 3P
L4 4P L2的夹角是Ln基转角的一半
逆定理 若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。
思考: 两个L2相交30°, 交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?
定理2 若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在 对称中心C。 Ln P LnP C (n为偶数)
定理3 若有一对称面P包含对称轴Ln，则 ①必有n个P包含Ln； ②相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。
Ln P// LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）
（定理3与定理1对应）
例如：L6 P// L66P//
红锌矿
逆定理 若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对 称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。
无L2或P L2＋P<3 L2+P3
晶 体
三方晶系
1L3
中级晶族
四方晶系
1L4
六方晶系
1L6
高级晶族
等轴晶系
4L3
晶体的对称分类
石膏
逆定理 若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C且 垂直该对称轴必有一对称面P； Ln C LnP C (n为偶数)
或若有一对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直于P必有一 个偶次对称轴。 P C L2P C
该定理说明：
L2、P、C三者中任意两者可 产生第三者。