2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第6章第38讲不等式的解法

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高考数学第1轮总复习第38讲不等式的解法课件理 (广东专版)

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若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立，则关于 t 的不等式
a2t＋1<at2＋2t－3<1 的解集为( )
A．1<t<2
B．－2<t<1
C．－2<t<2 D．－3<t<2
【解析】若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立，
则 Δ＝4a2－4a<0，所以 0<a<1. 又 a2t＋1<at2＋2t－3<1，则 2t＋1>t2＋2t－3>0，
A．(－1,3)
B．(－3,1)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
x>1＋a2 【解析】原不等式组可化为x<4＋2a ，① 要使①有解，则 1＋a2<4＋2a，即 a2－2a－3<0，所以－1<a<3，故选 A.
2ex－1
x<2
5.设 f(x)＝log3x2－1 x≥2 ，则不等式 f(x)>2 的
2．指数不等式的解法：转化为代数不等式
a f x ag(x) a 1 ① _f_(_x_)___g_(_x_)； a f x ag(x) 0 a 1 ② f__(_x_)___g_(_x_)； a f x b(a 0，b 0) f x lga lgb.
3．对数不等式的解法：转化为代数不等式
M∩N＝{x|0<x<1}＝M，M∪N＝{x|－2<x<2}＝N，故选 B.
二指数、对数不等式的解法
【例 2】(1)不等式(31)x2－8>3－2x 的解集是________；
(2)函数 f(x)＝l2gx|－x| 1

高三数学(文)一轮复习方案课件第38讲不等式的解法

第38讲 │ 编读互动
另外，以当前经济、生活为背景与不等式综合的应用仍是高考的热点；以及在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，还要特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势．
第38讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．高次不等式的解法一般方法是将不等式右边化为 0，左边因式分解并将各因式中 x 的系数化为“＋”，再用序轴标根法求解，但要注意处理好有重根的情况． 2．分式不等式的解法如果不知道分母的符号时切忌去分母，一律移项通分，将不等式的右边化为 0，左边化为含 x 的因式的积或商，形如：gfxx <0或gfxx≤0，再用序轴标根法求解，但要注意处理好含等号的情况．

.

第38讲 │ 要点探究
(2) 原不等式等价于 (x ＋ 4)(x ＋ 5)2(x － 2)3 ＞ 0 ⇔
x＋5≠0， x＋4x－2>0
⇔xx≠<－－45或，x>2.
用数轴标根法可得
∴原不等式的解集为 {x|x＜－5，或－5＜x＜－4，或 x＞2}．
第38讲 │ 要点探究
2x，x<2，变式题 [2010·长沙一中二模] 设函数 f(x)＝x2＋x3，x≥2.
若 f(x0)>1，则 x0 的取值范围是( ) A．(0,2)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(0,1)∪(2，＋∞) D．(0,2)
变式题 A [解析] 当 x0≥2 时，x20＋x03>1，解得 x0>3；当 x0<2 时，2x0>1，解得 0<x0<2.综上可知 x0 的取值范围是(0,2)∪(3，＋∞)，选 A.
[解答] 原不等式可以化为 log2(2x－1)·[－1－log2(2x－1)]> －2，

2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第6章第38讲不等式关系与不等式

分类讨论
【例3】 mx 已知m R，a b 1，f x ＝， x 1 试比较f a 与f b 的大小．
mx x 11 1 【解析】因为f x ＝＝m ( )＝m(1＋ )， x 1 x 1 x 1 1 1 所以f a ＝m(1＋ )，f b ＝m(1＋ )， a 1 b 1 则 f a － f b 1 1 m (b a ) ＝m(1＋ )－m(1＋ )＝ . a 1 b 1 ( a 1)(b 1) 因为a b 1，所以a－1 0，b－1 0，b－a 0.
2
故p q.
比较大小
【例1】 1 若x y 0，试比较( x 2＋y 2 )( x－y ) 与( x 2－y 2 )( x＋y )的大小；
2 设a 0，b 0，且a b，试比较
a a bb与a bb a的大小．
【解析】1 ( x 2＋y 2 )( x－y )－( x 2－y 2 )( x＋y ) ＝( x－y )[( x 2＋y 2 )－( x＋y ) 2 ] ＝－2xy ( x－y )．因为x y 0，所以xy 0，x－y 0，所以－2xy ( x－y ) 0. 所以( x ＋y )( x－y ) ( x －y )( x＋y )．
本题体现的是近几年比较热门的考点— —用函数观点解决不等式问题．将两式相减得到几个因式的积后，发现符号取决于m的正 x p 负，所以对m进行讨论是必然的．对于 xq (p，q是常数)这样的问题，用分离常数的方法往往可以使问题得以简化，复习时要多加积累．另外，本题最后如果没有写上“综上所述”及其后面的内容，是不完整的．
1.现给出三个不等式：①a 2 1 2a；②a 2 b 2 3 2(a b )；③ 7 10 3 14.其中恒 2 成立的不等式共有 2 个．

高三数学高考第一轮复习课件：不等式

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动编读互动
第34讲 │ 知识要点知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明．（２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（４）掌握简单不等式的解法．（５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲不等式的概念与性质第35讲均值不等式第36讲不等式的解法第37讲不等式的证明第38讲含绝对值的不等式
第六单元不等式
第六单元 │ 知识框架知识框架
第六单元 │ 考点解读考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

不等式的解法高中数学公式

不等式的解法高中数学公式高中数学中，不等式是基础知识，在函数问题中占比较大，出题面广，难度大，解题比较繁琐。

须把它整理出来，认真研究，学细、学深、学透，为备战高考奠定坚实基础。

不等式是与等式相区别的，意思就是左边与右边不等，等式简单，就“=”一个符号，而不等式有“≠”、“>”、“<”、“≥”“≤”5种，“不等”就是有差距，我们学习不等式的其中一个目的就是掌握这种差距的思维。

比较两个数（函数）的大小，一是作差，二是作商（作除数的不能为零），这个容易理解吧，有了这种思维，不等式问题就好解决了。

以下是高中阶段的不等式公式：一、两个数的不等式公式1. 若a-b>0,则a>b（作差）2. 若a>b,则a±c>b±c3. 若a+b>c,则a>c-b(移项)4. 若a>b,则c>d(不等号同向相加成立，两个大的加起来，肯定比两个小的加起来大)5. 若a>b>0,c>d>0则ac>bd(两个大正数相乘肯定比两个小正数的相乘大)6.若a>b>0,则an>bn(n∈N,n>1)。

二、基本不等式（也叫均值不等式）思想：反应的是算术平均值(a+b)/2和几何平均值的大小关系，这里a，b都是正数。

1.(a+b)/2≥ ab（算术平均值不小于几何平均值，a=b时取等号）2.a2+b2 ≥ 2ab（由1两边平方变化而来，a=b时取等号）3.ab≤（a2+b2）/2≤(a+b)2 /2(由2扩展而来，a=b时取等号)三、绝对值不等式公式（a,b看成向量,“| |”看成向量的模也适用）思想：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。

1.| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|2.| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|四、二次函数不等式f(x)=ax2+bx +c（a≠0）思想：函数图像是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的曲线，令函数值为0，解出f(x)的零点，符号看函数值处在纵坐标的正半轴还是负半轴。

2013届高三数学一轮复习第六章不等式简单不等式的解法课件文

把系数变为正)
②解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后求根) ③求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向,当 a>0且Δ>0时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大于号取两边”.)
(2)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
a>0, Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有两个实根 x=x1或x=x2 有两个相等的实根 x=x1=x2=- 2a
b
无实根
一元二次不等式的解集
不等式 ax2+bx+c>0 的解集不等式
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
{x|x1<x<x2}
2013届高三数学一轮复习课件第六章不等式简单不等式的解法
1 一元二次不等式的解法会从实际背景中抽象出一元二次不等式的模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元二次不等式等.会解决由一元二次不等式的解求参数的值或范围的问题． 2 含参一元二次不等式会解决含参一元二次不等式的问题.
空集
空集
ax2+bx+c<0
的解集
3.简单的分式不等式的解法
①对于解 <a或 ≥a型不等式,应先移项、通分,将不等式整理
f (x) f (x) g (x) g (x) f (x f (x) 成 ) >0(<0)或 ≥0(≤0)的形式. g (x) g (x)
②转化为整式不等式求解,但要注意分母不为零.

高考文科数学第一轮考点总复习课件 6.4 不等式的解法

g(x) 0
9
c
10
11
▪
不等式ax2+bx+c＞0的解集为
{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＞0的
解集为( )
▪
A. {x|x＜-2}
B. {x|x＞
3}
▪
C. {x|x＜-2或x＞3} D. {x|-3
＜x＜-2}
▪
解:令f(x)=ax2+bx+c,其图象如
下图所示，
12
▪
3.已f (x知) x+(x+2)·
2
▪
把方程x(2x+5)(x-3)=0
▪ 的三个根x1=0，x2=- ， 21
▪
然后从右上方开始画曲线顺次
经过三个根，其解集如图的阴影部分.
▪
所以原不等式的解集52 为{x|- ＜x
＜0或x＞3}.
▪(
x
4)(
x
(52)2)(原x - 2不)0等式(xx等54价)(0x于- 2)0
x -5 x-4或x
第六章
不等式
1
6.4 不等式的解法
●一元一次不等式的解法
●一元二次不等式的解法
考
点 ●简单的一元高次不等式
的解法
搜
索 ●分式不等式的解法
2
整式、分式不等式的解法
是高考考查运算能力的重要途高径，它们有时单独、直接地出考现在选择、填空题中，难度中、
猜低档；有时与函数、三角函数、想解析几何等知识综合，以解题
1(x 0) -1(x 0),
则不等式
▪ f(x+2)≤5的解集是________.
▪
解：当 x+2≥0，即x≥-322时，

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)

第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性，不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
新课标·人教A版
第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等式的性质、两个数式比较大小

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【变式练习1】
x2 3x 4 0
解不等式组
x x

3 1

2
.
【解析】由x2－3x＋4 0，解得x R.
由 x 3 2，得 x 5 0，
x 1
x 1
则xx150x 1 0，解得1 x 5. 故不等式组的解集为{x |1 x 5}．
【解析】loga
2 3

1＝loga
a.
当a 1时，a 2 ,所以a 1； 3
2若a2＋4a－5 0，依题意有
a2 4a 5 0

16(a
1)2
12(a 2

4a
5)

0
即((aa
5)(a 1) 0 ， 1)(a 19) 0
所以
a 1或a 1 a 19
5，所以1

a

19.
综上所述，实数a的取值范围是 1,19 ．
因为m＋1 3＋1＝mm＋＋43，当－4<m<－3 时，m＋1 3<－1 原不等式的解集为m＋1 3<x<－1；当 m<－4 时，m＋1 3>－1 原不等式的解集为－1<x<m＋1 3；当 m＝－4 时，m＋1 3＝－1 原不等式无解．
综上述，原不等式的解集情况为： ①当 m<－4 时，解集为{x|－1<x<m＋1 3}； ②当 m＝－4 时，无解； ③当－4<m<－3 时，解集为{x|m＋1 3<x<－1}； ④当 m＝－3 时，解集为{x|x<－1}； ⑤当 m>－3 时，解集为{x|x<－1 或 x>m＋1 3}．
【解析】那么 M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1＜x2≤4⇔
f1>0，且f4>0 1≤a≤4，且Δ>0
，
－a＋3>0 即18－7a>0
a>0 a<－1或a>2
，解得 2＜a＜178，
所以 M⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，178)．
1_.若_(_0l_，o_23g_)a_23_(_1_，1_，＋__则__)a _的.取值范围是
本题是由不等式恒成立求参数的取值范围问题．因二次项前面的系数含有字母，故首先需讨论．当a2＋4a－5＝0时，求出a的两个值未必满足题目要求，所以要验证；当 a2＋4a－5≠0时，将左边视为一个二次函数，其图象是抛物线，要使不等式恒成立，必须满足两个条件：①开口向上，②与x轴无交点，这样就将问题转化为解一元二次不等式组，从而使问题得到解决．
本题正确解答的关键在于对参数 m 分类讨论．首先分为 m＝－3 与 m≠－3 两种情况，当 m≠－3 时，再去比较m＋1 3 与－1 的大小以及不等式对应的二次函数的开口方向是否要改变，解题时最好作出草图，以便快速准确地得到答案．
【变式练习 3】设不等式 x2－2ax＋a＋2≤0 的解集为 M，如果 M⊆[1,4]，求实数 a 的取值范围．
【变式练习2】对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4 －2a的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】f x＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 令g a＝(x－2)a＋x2－4x＋4.因为对任意a [－1,1]，函数f x＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，所以g a＝(x－2)a＋x2－4x＋4 0在[－1,1]上恒成立．
解一元二次不等式(组)
【例1】解不等式－5<－x2＋3x－1<1.
【解析】原不等式组与不等式组
x2

x2

3x 3x

1 1

1同解． 5
将它化为
x x

1 x 2 4 x 1

0， 0
所以1xx2或 4x 1，解得2 x 4或－1 x 1.
所以原不等式的解集为{x | 2 x 4或－1 x 1}．
解一元二次不等式的方法是：先解出相应的一元二次方程的两根a、b(a<b)，然后根据不等号方向确定是取a<x<b，还是取x>b或 x<a.注意到本题的二次项前面的系数不是正的，所以必须每一项都要变号，并且不等号方向也要改变．另外，像本题这种类型的不等式一般是转化为不等式组来解．最后，别忘了写成集合的形式．
求参数的取值范围
【例2】已知不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋ 3>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】1 若a 2＋4a－5＝0，即a＝1或a＝－5.
当a＝1时，原不等式化为3 0，该不等式对一切实数x恒成立；当a＝－5时，原不等式化为24x＋3 0，该不等式对一切实数x不恒成立．所以a＝1符合题意．
【解析】(1)M⊆[1,4]有两种情况：其一是 M＝∅，此时 Δ＜0；其二是 M≠∅，此时 Δ＝0 或 Δ＞0，分三种情况计算 a 的
取值范围．设 f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有 Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－
a－2) 当 Δ＜0 时，－1＜a＜2，M＝∅⊆[1,4]；当 Δ＝0 时，a＝－1 或 2；当 a＝－1 时 M＝{－1}⊄[1,4]；当 a＝2 时，m＝{2}⊆[1,4]．当 Δ＞0 时，a＜－1 或 a＞2. 设方程 f(x)＝0 的两根 x1，x2，且 x1＜x2，
而g

a

是一次函数，所以
g g
(1) (1)
x
x2 2
5x 3x
2
6
0
0，
解得x 1或x 3.所以x的取值范围是{x | x 1或x 3}．
解含参数的不等式
【例 3】解关于 x 的不等式 [(m ＋ 3)x － 1](x ＋ 1)>0(m∈R)．
【解析】下面对参数 m 进行分类讨论：
①当 m＝－3 时，原不等式为－(x＋1)>0，所以不等式
的解为 x<－1.
②当 m>－3 时，原不等式可化为(x－m＋1 3)(x＋1)>0.
因为m＋1 3>0>－1，所以不等式的解为
x<－1
或
1 x>m＋3.
③当 m<－3 时，原不等式可化为(x－m＋1 3)(x＋1)<0.