随机过程——泊松过程仿真
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
通过编程实现poisson过程的模拟
《应用随机过程》实验报告实验序号：1-4 日期：2013年5月30 日 姓名梁光佐 学号 201005050110 实验题目 应用随机过程综合实验实验所用软件及版本 MATLAB 20081、 实验目的（1）通过编程实现poisson 过程的模拟，运用matlab 画图这样更直观的了解poisson 过程，（2）运用计算机通过编程来辅助解题，这样解决了解题的繁琐， 使解题的效力提高了，也节约了时间。
2、实验内容实验一实验问题1.编制程序产生并输出100个二项分布的随机数，6.0,10==p n .2.进行三次Poisson 过程的模拟，3=λ,200,100,50===n n n 作图：(在同一直角坐标系下，作出‘)(,n n t N t ’的关系图实验二一、泊松过程的模拟1．基本原理根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t }是一个计数过程，{，n 是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。
2．具休实现过程实现步骤如下：(1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。
(2).根据服务系统模型，=+。
(3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到泊松过程的模拟。
3．过程模拟验证(1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。
(2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。
二、泊松过程的检验1．检验方法Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。
检验步骤及过程：(1)条件设定：H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。
H0:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。
(2)检验准备：对于H1，已经假定所产生模拟泊松过程数据()X n服从泊松分布，而强度λ未知，利用函数poissfit(x,alpha)估算出模拟泊松过程的强度λ，再利用函数poisscdf(x,lamda)得到泊松分布的累积分布函数P。
随机过程第三章 泊松过程
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
话音业务建模 泊松过程
话音业务建模泊松过程话音业务是指通过语音通信的方式进行信息传递和交流的业务。
在进行话音业务建模时，我们可以使用泊松过程来描述话音业务的到达过程和处理过程。
泊松过程是一种随机过程，其特点是事件之间的到达时间服从泊松分布，而且事件之间相互独立。
在话音业务中，我们可以将话音呼叫看作是一个个事件，通过泊松过程来模拟呼叫的到达和处理过程。
在话音业务中，用户的呼叫到达是一个随机过程，不能事先确定用户呼叫的时间和数量。
泊松过程可以很好地描述呼叫的到达过程。
泊松过程的到达率λ表示单位时间内平均到达的呼叫数量。
假设λ为1，则表示平均每秒钟有一个呼叫到达。
根据泊松分布的特性，计算出任意时间段内到达的呼叫数量的概率。
在话音业务中，处理呼叫的过程也可以使用泊松过程来建模。
假设处理呼叫的速率为μ，表示单位时间内平均可以处理的呼叫数量。
根据泊松分布的特性，计算出任意时间段内处理的呼叫数量的概率。
当呼叫的到达率和处理的速率相等时，系统达到稳定状态，呼叫不会积压或丢失。
在实际的话音业务中，泊松过程可以用来评估系统的性能和容量。
通过对话音呼叫的到达率和处理速率进行分析，可以确定系统的繁忙程度和资源需求。
如果系统的处理速率小于呼叫的到达率，就会出现呼叫积压的情况，导致用户无法正常通话。
如果系统的处理速率大于呼叫的到达率，就会出现资源浪费的情况，导致系统效率低下。
为了提高话音业务的效率和质量，可以采取一些策略来优化系统。
例如，提高处理呼叫的速率，增加系统的容量，优化呼叫的路由策略等。
通过对泊松过程的建模和分析，可以帮助我们了解系统的性能瓶颈和改进方向，从而提升话音业务的用户体验。
除了建模和分析话音业务的泊松过程外，还可以通过其他方法来优化系统的性能。
例如，引入排队论的理论，通过队列模型来评估系统的排队时间和服务水平。
还可以使用统计学方法，对话音呼叫的变化规律进行分析，从而预测未来的呼叫量和趋势。
以泊松过程为基础的话音业务建模可以帮助我们理解和优化话音业务系统的性能。
（完整版）基于MATLAB的泊松分布的仿真
（完整版）基于MATLAB的泊松分布的仿真泊松过程样本轨道的MATLAB 仿真⼀、 Poisson Process 定义若有⼀个随机过程{:0}t N N t =≥是参数为λ>0的Poisson 过程，它满⾜下列条件： 1、0N = 0；2、对任意的时间指标0s t ≤<，增量()()t s N N t s ω-ωλ(-)服从参数为泊松分布。
3、对任意的⾃然数n ≥2和任意的时间指标0120n t t t t =<<12110,,n n t t t t t t N N N N N N --?,--是相互独⽴的随机变量。
⼆、从泊松过程的定义可知1、泊松过程具有平稳独⽴增量性。
2、时间指标集合为[ 0 , +∞],状态空间为*S=N 。
3、泊松过程是⼀个连续时间离散状态的随机过程。
三、MATLAB 仿真泊松过程的思想1、若定义i T 为泊松过程的到达时间，1,n n n T T n τ=+-∈N 为到达时间间隔。
那么泊松过程N 的到达时间间隔{:}n n N τ∈是相互独⽴且同服从于参数为λ的指数分布。
2、若U 是服从于[0，1]的均匀分布，则1()E Ln U =-λ服从于参数为λ的指数分布。
利⽤随机变量分布函数的定义很容易证明这条性质。
3、由于1、和2、中的条件成⽴，现在我们考虑11[()]n n n T T Ln U n τ=+=--λ那么就可以推出11[()]n n T T Ln U n +=-λ在MATLAB 中我们可以⽤rand(1,K)产⽣⼀个具有K 个值的随机序列，它们在[0,1]上服从于均匀分布，利⽤上式计算出 n T ，在每⼀个到达时间 n T 处，N 的值从n-1变成n 。
⽤plot 函数就可以将样本轨道画出了。
四、MATLAB 程序1、⾸先我们建⽴⼀个poisson 函数，即poisson.m:function poisson(m)%This function can help us to simulate poisson processes. %If you give m a integer like 1 2 3 and so on ,then you will get %a figure to illustrate the m sample traces of the process. %rand('state',0); %复位伪随机序列发⽣器为0状态 K=10; %设置计数值为10%m=6; %设置样本个数color=char('r+','b+','g+','m+','y+','c+'); %不同的轨道采⽤不同的颜⾊表⽰lambda=1; %设置到达速率为1for n=1:mu=rand(1,K); %产⽣服从均匀分布的序列T=zeros(1,K+1); %长⽣K+1维随机时间全零向量k=zeros(1,K+1); %产⽣K+1维随机变量全零向量for j=1:Kk(j+1)=j;T(j+1)=T(j)-log(u(j))/lambda; %计算到达时间endfor i=1:Kplot([T(i):0.001:T(i+1)],[k(i):k(i)],color(n,[1,2])); hold on;endend2、下⾯我们在命令窗⼝键⼊以下命令：clear；poisson(1);就可以得到⼀条样本轨道，如下所⽰：键⼊poisson(2)，得到的图如下：键⼊poisson(3),得到的图如下：键⼊poisson(4),仿真结果：键⼊poisson(5)，仿真结果：键⼊poisson1(6),仿真结果：。
随机过程Ch3泊松过程ppt课件
et Pn1(t)
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(3) 当 n 1时 ，
d dt
et P1 (t )
et P0 (t )
etet
P1 (t ) ( t C )et
由 于 P（1 0） P N (0) 1 0
所 以 C 0， P1 (t ) tet
2020/6/14
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(4)用数学归纳法证明
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)]t 并称
速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
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说明
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
若ts,则BX(s,t)t,从 而
BX(s,t)misn,t()
泊松过程的特征函数为
gX (u) E eiuX(t) eiunP X(t) n
n0
eiunet (t)n et (teiu)n
n0
n!
n0 n!
et expteiu expt(eiu 1)
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等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
T1
T2 T3
0 W1 W2 W3
Tn t
Wn-1 Wn
时间间隔Tn的分布
设{X(t), t0}是参数为的泊松过程，
{Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间 间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布
的均值为1/的指数分布
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证 (1)n=1
令Pn (t) P N (t) n P N (t) N (0) n,则
应用随机过程实验2-泊松过程
应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。
2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)iN μσ，1,2,3,i = ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
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随机过程 计算与应用 泊松过程3
E[Nt ]= kP(Nt =k) k 0
=
[m(t )]k k
e[m(t )]
k 0
k!
=m(t)e[m(t)] [m(t)]k1
k1 (k 1)!
=m(t)
例4.2.5 设非齐次泊松过程N {Nt ,t 0}的均值函数m(t)满足 m() : lim m(t) ,定义函数m(t)的时间逆函数为
复合泊松过程也可以由随机游动和泊松过程的表示.
例4.3.1 设随机变量Yn(n=1,2,…)存在数学期望 EYn和方差 2 DYn，
试计算复合泊松过程的均值函数、方差函数
和相关函数.
Nt
解 mX (t) E[Xt ] E[ Yn ] n1 Nt E[E( Yn Nt )] n1
Yn与Nt独立
则N {M (t) , t 0}是强度为(t)的非齐次泊松过程.
例4.3.3 设随机变量列{k ,k=1,2,L }独立同服从0-1分布， 且 P(k 1) p 0, P(k 0) 1 p,
参数为的泊松分布N与上述0-1随机序列独立.现对t 0,
定义
Mt SNt Lt Nt Mt
注意到随机变量族{Mu ,Lu:u s}由{Nu：u s,1,L ,Ns }决定，
因此， A与{Mu ,Lu:u s}独立.
( ) E[eT ], 0
已经证明：当 a E[1] 时，保险公司最终会破产. 盈余过程的样本轨道
非齐次泊松过程 定义4.2.1 设计数过程N= {Nt,t≥0} 是一个独立增量 过程，(t)是[0,+) [0,+)的函数，如果
P(Nt
- Ns
k) [m(t) m(s)]k k!
盈余。则
保险公司在t>0的盈余为 Xt x at SNt