应用随机过程第4章随机模拟
随机模拟的方法和应用
随机模拟的方法和应用随机模拟是一种重要的数学方法，可以用来模拟各种现实世界中复杂的系统、行为和事件。
它的应用领域广泛，包括金融、统计学、天气预测、交通规划、工程设计等多个领域。
本文将简要介绍随机模拟的基础知识以及其在不同领域的应用。
1. 随机模拟的基础知识随机模拟的实质是通过计算机程序生成的一系列随机数，来模拟真实的随机过程。
因此，随机模拟的核心是随机数生成器。
随机数生成器需要生成能够代表真实随机事件的随机数，这需要考虑一些关键问题：如何确定随机数的分布、如何生成不相关的随机数、如何满足特定的统计性质等。
常用的随机数生成方法包括线性同余发生器、Marsaglia发生器、梅森旋转游程测试以及基于物理过程的随机数发生器。
这些方法在不同场合下各有优缺点，可以根据具体需求进行选择。
随机模拟的另一个基础是随机过程的建模。
随机过程是一组与时间有关的随机变量序列，用来描述某个系统、事件或行为的随机性质。
在进行随机模拟前，需要根据实际应用建立相应的随机过程模型，通常包括确定随机变量的分布、相关性结构以及参数等。
2. 随机模拟在金融中的应用在金融领域，随机模拟被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
随机模拟可以通过模拟不断变化的金融市场来评估不同投资策略的风险水平和收益率。
其中，蒙特卡罗模拟是一种常用的方法，它通过生成随机数对股票价格进行模拟，以此来分析不同投资组合在不同市场情况下的表现。
此外，随机模拟还可以用来构建金融风险模型，包括VaR、CVaR等风险指标。
通过随机模拟的方法，可以不断地生成样本数据，并结合实际数据来计算风险指标，从而更加准确地评估金融投资风险。
3. 随机模拟在天气预测中的应用天气预测是一项非常重要的应用领域，也是随机模拟的重要应用之一。
天气系统具有复杂的非线性关系，因此难以建立确定性模型。
随机模拟通过计算机程序模拟大气系统、海洋系统等自然系统的复杂变化，提供了一种高效、准确的天气预测方法。
第4章 各态历经性与随机实验
2020/1/30
7
各态历经过程或遍历过程的实际应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经(或
遍历)过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数 的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中， 时间不可能无限长，只要足够长即可。
E
A X t , X (t, )
lim 1 T 2T
T T
RX
(t
,t)dt
RX
相关函数各态历经性等价于：
①RX(t+τ,t)=RX(τ)，即该信号的相关函数是平稳的；
②Var{A[X(t+τ,ξ)X(t,ξ)]}=0, 即时间平均以概率1取一个确定 函数。
解：X(t)的均值和相关函数分别为：
E X t EC mc 常量
Rt
,t
E
C2
2 c
mc2常量故Xt)为广义平稳信号。但是 A
X
t
lim
T
1 2T
T
Cdt C
T
即A[X(t)]为一随机变量，虽然均值为mc，但
方差不为0，故X(t)不是均值各态历经的。
解：
A X (t) lim 1
T 2T
T T
a
cos
w0t
dt
lim T
a
cos sin
w0T
w0T
0
A X (t )X (t) lim 1
应用随机过程PPT课件
(1) 0 F ( x1, x2 ,, xd ) 1；
(2) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是单调的 ；
(3) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是右连续 的；
(4) lim F (x1,, xi ,, xd ) 0,
xi
(i 1,2,, d )
lim
xi
7. 分布： 密度函数
f
(x)
(
)
x
1ex
,
0,
x0 x0
（ 0）
称之为以，为参数的分布，函数定义为
( ) 0 x 1exdx （ 0）
函数的性质：
(1) ( 1) ( );
(2) (1) 1;
(3) (1) ;
2 (4) (n 1) n!
8.指数分布： 在分布中，令 0， 0
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
(F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n ,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
Borel - 代数, 记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数, 记作B(Rn ). 显然 B ((, a),a R).
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足 （1）对任意A F，有0 P(A) 1;
随机模拟方法总结
随机模拟方法总结引言随机模拟方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过模拟随机事件的方式，来求解实际问题。
随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，特别是在金融、物理、计算机科学和工程等领域。
本文将总结随机模拟方法的基本原理和常用的应用场景。
基本原理随机模拟方法的基本原理是通过生成服从某种概率分布的随机数，并在该分布上进行采样，来模拟实际问题。
其基本步骤如下：1.确定概率分布：根据实际问题的特点和要求，选择合适的概率分布，如均匀分布、正态分布等。
2.生成随机数：利用确定的概率分布，生成服从该分布的随机数序列。
3.采样模拟：根据具体问题，对生成的随机数进行采样模拟，得到问题的解或近似解。
4.分析结果：对采样模拟得到的结果进行统计分析，评估其准确性和可靠性。
常用应用场景随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：金融风险评估在金融领域，随机模拟方法常用于风险评估。
通过模拟随机的市场变动、利率变化等因素，来评估投资组合的风险水平。
这些模拟结果可以帮助投资者做出更加准确的决策，降低投资风险。
物理系统模拟在物理学领域，随机模拟方法广泛应用于物理系统的建模和模拟。
通过随机模拟方法可以模拟分子动力学、粒子运动等复杂的物理现象，进一步深入理解和预测实验中观察到的现象。
计算机网络性能评估随机模拟方法可以用于评估计算机网络的性能。
通过模拟网络中的随机事件，如消息传输延迟、丢包率等，可以评估网络的性能指标，从而优化网络架构和改进网络协议。
工程系统仿真在工程领域，随机模拟方法可用于工程系统的仿真和优化。
通过模拟随机因素对工程系统的影响，可以评估系统的可靠性和性能，并进行系统优化设计。
常用模拟算法实际应用中，常用的随机模拟算法包括：•蒙特卡洛方法：通过随机采样和统计学方法，进行数值计算和模拟，如求解积分、求解微分方程等。
•马尔可夫链蒙特卡洛方法：利用马尔可夫链的性质，进行随机抽样和模拟，如在复杂系统中进行参数估计和优化。
随机模拟总结
随机模拟总结引言随机模拟是一种常见的数值计算方法，通过对概率分布进行随机抽样来模拟某种现象的统计特性。
它在各个领域都有广泛的应用，如金融、物理学、生物学等。
本文将介绍随机模拟的基本原理、常见的应用场景以及优缺点，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用随机模拟方法。
随机模拟的基本原理随机模拟的基本原理是基于概率论和随机过程的理论，通过生成服从特定概率分布的随机变量来模拟某个随机现象。
在随机模拟中，我们通常使用随机数发生器来生成伪随机数序列，然后利用这些伪随机数来模拟目标分布。
随机模拟通常包括以下几个步骤：1.选择合适的概率分布函数：根据所模拟的现象和问题的特点，选择合适的概率分布函数作为随机模拟的基础。
2.生成随机数：利用随机数发生器生成服从选定概率分布函数的随机数。
3.运用模拟方法：使用生成的随机数来模拟目标现象，并收集统计数据。
4.分析结果：对模拟得到的数据进行统计分析，得出所关注问题的结果或得到近似解。
随机模拟的应用场景随机模拟在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：金融领域在金融领域，随机模拟常用于风险管理、投资组合优化等问题。
通过模拟市场价格的随机变动和投资组合的收益率，可以评估不同投资策略的风险水平和回报潜力，帮助投资者做出更明智的决策。
物理学领域在物理学研究中，随机模拟常用于模拟粒子运动、统计物理系统的行为等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟粒子在给定势能场中的运动轨迹，从而研究物理系统的性质和行为。
生物学领域在生物学研究中，随机模拟常用于模拟遗传演化、蛋白质折叠等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟基因突变的发生、蛋白质的折叠过程等，从而深入了解生物体内的复杂过程和机制。
随机模拟的优缺点随机模拟方法具有一些显著的优点和一些限制性缺点。
优点1.灵活性：随机模拟方法可以适应各种问题和模型，能够模拟多种复杂的现象和系统。
2.实用性：随机模拟方法可以直接从统计样本中获取信息，使得相关问题的求解更加直观和实用。
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
2021/7/1
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同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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概率
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
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Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
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条件数学期望
2021/7/1
(iN)
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用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
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例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
几个典型随机过程的模拟及应用
Y
1. 随机面积的计算
○
X
某实际问题（譬如大楼的倒塌）可抽象为：试将一把 筷子先垂直放置于桌子上；放手后，筷子纷纷倒下， 求这些筷子倒下后所张成的面积的分布。 为解题的方便，先做如下几个假设： ①将筷子垂直放置于图中的格子点上。 ②所谓“随机倒下”是指筷子的底端不动，而顶端落下 后，筷子与X轴的夹角～U[0，2π]。 ③假设各筷子是相对独立地随机倒下，而这些筷子所张 成的面积是指包含这些筷子端点的最小凸多边形的面 积。
输入过程 顾客 序号 到达间 隔 E[10] 1 2 3 4 5 6 10 13 8 11 7 15 服务时 间 U[10, 15] 11 13 14 12 15 10
模拟过程的输出结果
到达时 刻服务时 间Fra bibliotek等待时 间
离开时 刻
10 23 31 42 49 64
11 13 14 12 15 10
0 0 5 8 13 13
2. 随机游动（一维）
一维随机游动 一质点从直线上的某一点出发，每次以概率 p 左移一 步，以概率 q ＝ 1 － p 右移一步。直到碰到某边界点而 停止游动，这样的边界点称为吸收壁。 模拟方法如下：
－2
―1
0
1
2
3
2. 随机游动(Cont)
1.取[0,1]均匀分布上的随机数 ,若 <p,则取r1 =-1; 表示质心左移1步，否则r1 =1,表示质心右移1步； 2.依次取随机数 ,分别与p比较得到每次的随机 游动ri 3.令Sn ri , 则Sn 表示经n步后质心离开出发点的步数。
1. 随机面积的计算(Cont)
由 ~U[0,2 ]，假定底端位置为(x1 , y1 ), 筷子长度为l , 则顶端在 1 x1 cos 随机倒下后的位置(u1 , v1 )满足 1 y1 sin 这样，除了原来的m个底端外，又产生了m个顶端，共 2m个点，坐标(si , ti ),1 i 2m. 问题变成：决定上面2m个点所张成的凸边形的面积即为所求。
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4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – RANUNI生成的随机均匀分布数据有着广泛的应 用，它主要是通过以下递归公式来产生随机数据， – R(i+1)=(a*R(i)+c) (mod m) i=0,1,2…， – 这里R(i)为第i个随机数，a为乘子，c为增量， (mod m)是指将(a*R(i)+c)得到的数据取模运算， 使得得到的数据都在(0,m)这个区间内。 – 要产生的随机数序列R(i)从第一个随机数R(0)开 始和决定，然后得到在(0,m)这个区间的均匀分布 的随机数，SAS会通过除以m得到(0,1)区间的随 机数。
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：接受-拒绝法
› 接受拒绝法（Acceptance Rejection Method）算法： › 1.选择一个容易抽样的分布g作为建议分布，确定常数M>1使 得在f的定义域上f（x）≤Mg（x）成立； › 2.生成服从分布g的建议随机数y； › 3.生成一个服从均匀分布U(0,1)的随机数u； › 4.计算接受比函数h(x)=f(x)/(Mg(x)), 如果u < h(x)，则接受建 议随机数y，否则拒绝y，返回2。 › 由此生成的随机数序列即为服从目标分布f的随机数。证明略。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从指定离散分布（1/0.1 2/0.2 3/0.4 4/0.2 5/0.1）的随机数，对生成的样本作频数统 计，并作分布拟合检验。 样本容量为 50000时，样本 分布与期望分 布的差异减小， （检验统计量 的值由7.0625 减小为 2.1371）。 分布拟合检 验结果接受原 假设，即认为 样本分布与期 望分布相同。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 蒙特卡罗模拟的核心是随机数据的生成器，而各 种随机数据的生成器的核心是随机均匀分布数据 的生成器，因为各种特定分布的随机数据都可以 通过随机均匀分布数据得到。 – 产生随机数，可以通过物理方法取得，但当今最 为普遍的乃是在计算机上利用数学方法产生随机 数。这种随机数根据特定的迭代公式计算出来， 初值确定后，序列就可以预测出来，所以不能算 是真正 随机模拟
› 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法定义：the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution (Merriam-Webster, Inc., 1994, pp. 754-755) › 蒙特卡罗模拟的基本思想：当所求解问题是某种随机事 件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过 某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一 随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特 征，并将其作为问题的解。
4.1 随机模拟
› 蒙特卡罗模拟的试验过程：计算机模拟试验过程，就是 将试验过程转化为数学问题，在计算机上实现。在解决 实际问题的时候应用蒙特卡罗模拟主要有两部分工作： 用蒙特卡罗模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的 随机变量，然后用统计方法把模型的数字特征估计出来， 从而得到实际问题的数值解。 › 蒙特卡罗模拟主要适用于哪些情况？当我们手上的数据 并不能满足统计理论的假设时，蒙特卡罗模拟就是理论 预测的一个很好的替代。蒙特卡罗模拟的一个主要应用 是评估估计结果是否违反最初的假设，另一个应用是当 一个样本没有理论分布时，我们可以用蒙特卡罗模拟来 决定样本分布。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
› 利用SAS中的随机数函数与数学函 数，模拟掷骰子游戏。每次游戏独 立地掷骰子2次，分别用变量N1, N2记录2次抛掷出现的点数，用变 量Sum记录2次抛掷出现的点数之和， 用变量Id记录游戏的序号。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：逆变换法
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：接受-拒绝法
› 接受拒绝法（Acceptance Rejection Method）： 假设希望生成的随机数的概率密度函数（PDF）为f， 则首先找到一个PDF为g的随机数发生器与常数M， 使得f伪随机数发生器 f（x）≤Mg（x），然后根据接收拒绝算法求解。 › 由于算法平均运算M次才能得到一个希望生成的随 机数，因此c的取值必须尽可能小。显然，该算法的 缺点是较难确定g与M。
0.028 0.056 0.083 0.111
0.139 0.167 0.139 0.111
0.083 0.056 0.028
4.1 随机模拟
› 在随机过程课程中学习随机模拟的意义
– 随机过程是典型的随机系统，表现出复杂的不确定 性，不容易被理解和掌握。通过计算机仿真，帮助
同学们进一步认识与感知随机过程。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› Seed为零时的随机数序列：
– 随机数据集由随机数种子(seed) 决定，它的值可以 是（-（2^31-2），2^31-2）中的任何一个数。其 中，当随机数种子(seed)的值大于0时，每次产生的 R(0)的值都是一样的，但当的seed值小于或等于零 时，每次产生的R(0)的值是不同的，它会以系统的时 间为种子产生随机数值。 – 当Seed为零时，每一次执行CALL子程序所产生的随 机数序列结果都会不一致，我们可以将SEED=0看作 是随机种子。
– 利用“随机模拟”方法研究随机过程。
– 除理论研究、科学实验之外，在认识论层面拓宽同
学们的思路，补充“随机模拟” 这种研究方法。搭 建“随机过程”课程理论与实际应用之间的桥梁。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– 伪随机数生成算法
› 非标准分布随机数生成
– 逆变换法
– 接受拒绝法
› 多维联合分布抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
分布拟合检验结果：模拟样本来自标准正态总体。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
/*建立数据集Dice*/ DATA DICE ; DO Id =1 TO 10000; N1=1+INT(6*RANUNI(123)); N2=1+INT(6*RANUNI(123)); SUM = N1+N2; OUTPUT ; 骰子的结果的和; END; RUN;
*** 掷10000次骰子; *** 第一次掷骰子的结果; ***第二次掷骰子的结果; *** 两次掷骰子的结果的和; *** 保存两次掷骰子的结果及两次掷
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
› 随机模拟是运用计算机对随机系统进行的一 种仿真研究方法。因其简单实用、适用面广， 已经成为科学技术各领域的有力研究手段。
› 随机模拟方法也称为“蒙特卡罗（Monte Carlo）” 方法，其灵魂在于由计算机生成 随机数序列，从而使人们可以由此模拟出各 种随机现象（随机事件）。 › 注：蒙特卡罗是摩纳哥国的世界闻名赌城 › 随机模拟方法要求研究者具有概率论与随机 过程的基本知识以及最基本的编程能力。
第4章 随机模拟
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/19
第4章 随机模拟 Stochastic Simulation
› 4.1 随机模拟 › 4.2 随机数的抽样 › 4.3 随机游走模拟
› 4.4 泊松过程模拟
› 4.5 马尔可夫链蒙特卡罗方法
› 参考文献
4.1 随机模拟
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
这里我们可以看 到 两次投出的点 数之和 sum=7 的Percent在 1/6=16.67附近， 也即验证了概率 论计算的结果。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
› 变量Sum的理论分布律
Sum P P 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36
模拟样本数据直方图对标准正态分布的密度函数拟合良好。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成1000个服从指定离散分布（1/0.1 2/0.2 3/0.4 4/0.2 5/0.1）的随机数，对生成的样本作频数统 计，并作分布拟合检验。