应用随机过程第3章Poisson过程下
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第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
第三章 Poisson过程
由Posisson过程定义，N (t + s) − N ( s) 分布不依赖于s，Poisson过 Posisson过程定义 过程定义， 分布不依赖于s Poisson过 程是平稳过程。 程是平稳过程。 E[ N (t )] = λt , λ 为单位时间内发生事件的平均次数，称为 为单位时间内发生事件的平均次数， Poisson过程的强度或速率 Poisson过程的强度或速率。 过程的强度或速率。
金融随机方法
3
何林： 何林：helinmail@
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠） 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 泊松过程是Lévy过程 过程（ process）中最有名的过程之一。 泊松过程是Lévy过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子 过程的例子。 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
(4 ×12) n −4×12 P{N (12) − N (0) = n} = e , n! E[ N (12) − N (0)] = 4 × 12 = 48.
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› 复合泊松过程的性质
问：对哪个变量求导？ 对变量u求导, 再令u=0。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
› 非时齐泊松过程的随机模拟
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程举例
› 复合泊松过程的性质
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程的性质
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 在实践中，非齐次Poisson过程也是比较常用的。例 如在考虑设备的故障率时，由于设备使用年限的变化， 出故障的可能性会随之变化；放射性物质的衰变速度， 会因各种外部条件的变化而随之不同;昆虫产卵的平均 数量随年龄和季节而变化等.在这样的情况下，再用齐 次Poisson过程来描述就不合适了，于是改用非齐次 的Poisson过程来处理.
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程定义
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程等价定义
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程应用举例
3.2 非时齐泊松过程
› 泊松过程的非时齐随机选择
3.2 非时齐泊松过程
第3章 Poisson过程（下）
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/12
第3章 Poisson过程（下）
› 3.1 泊松过程
– 模型与定义
– 与泊松过程有关的分布
› 3.2 非时齐泊松过程
› 3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
› 当Poisson过程的强度入不再是常数，而与时间t有关 时，Poisson过程被推广为非齐次（或非时齐） Poisson过程。 › 一般来说，非齐次Poisson过程是不具备平稳增量的。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
› 在实际应用中，泊松过程的速率常常会有变化，因 而在贝叶斯统计分析中，将速率作为随机变量处理。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程应用举例
问：对哪个变量求导？ 对变量u求导, 再令u=0。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程应用举例
› 非时齐泊松过程的随机模拟
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程举例
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程举例
› 复合泊松过程的性质
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 复合泊松过程的性质
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 在实践中，非齐次Poisson过程也是比较常用的。例 如在考虑设备的故障率时，由于设备使用年限的变化， 出故障的可能性会随之变化；放射性物质的衰变速度， 会因各种外部条件的变化而随之不同;昆虫产卵的平均 数量随年龄和季节而变化等.在这样的情况下，再用齐 次Poisson过程来描述就不合适了，于是改用非齐次 的Poisson过程来处理.
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程定义
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程等价定义
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
› 非时齐泊松过程应用举例
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› 泊松过程的非时齐随机选择
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› 3.1 泊松过程
– 模型与定义
– 与泊松过程有关的分布
› 3.2 非时齐泊松过程
› 3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
3.2 非时齐泊松过程
› 当Poisson过程的强度入不再是常数，而与时间t有关 时，Poisson过程被推广为非齐次（或非时齐） Poisson过程。 › 一般来说，非齐次Poisson过程是不具备平稳增量的。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
› 在实际应用中，泊松过程的速率常常会有变化，因 而在贝叶斯统计分析中，将速率作为随机变量处理。
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程
3.3 复合泊松过程与条件泊松过程
› 条件泊松过程应用举例