应用随机过程第三章Poisson_过程

再例: 顾客成批到达的排队系统
选择: 如果N(t)是强度为λ的Poisson过程, 那么c N(t) 的
强度是（ ）. A. cλ B. λ/c C. λ D. 无法确定
定理 3.6 设{X(t)= Yi，t 0}是复合Poisson过程，其
解：设0:00为0时刻.
(1)由Poisson过程的平稳增量性及N (1)的分布，知 P ( N (2) N (1) 5) P( N (1) 5) P ( N (1) n)
n (10 1) e 101 n! n 0 n 5 10 e 10 . n0 n ! n0 5 5
设{N(t)，t 0}是一个计数过程，且满足： (1) N(0)=0； (2)该过程是平稳独立增量过程； (3) 0, 当h 0时， P（N(t+h )-N(t)=1） h o(h)； P（N(t+h )-N(t) 2） o(h).
将事件进行分解，再运用 （3）’.
化为解微分方程
两边同乘eλt
再由数学归纳法得
例 3.3
(t) - t Pn(t)= e . n!
n
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程 {N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下 来的概率为p，并用M(t)是一个强度为 p的 Piosson过程.
解答：
因为每次事件发生时，对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立，而且事件发生形成了 Poisson过程，所以M(t)也具有平稳独立增量 性.下证M(t)服从 pt的Poisson分布.
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
3.3 Poisson过程的推广
3.3.1 非齐次Poisson过程
Poisson过程的强度 是一个不变的常数, 若它不再 是常数,而是与时间t有关的, 从而可将Poisson过程 推广到非齐次Poisson过程，即
定义3.4 一计数过程{N(t)，t 0}称作强度函数为 { (t ) 0，t 0}的非齐次Poisson过程，如果 (1) N(0)=0； (2)过程是独立增量过程； (3)P(N(t+h )-N(t)=1) (t )h o(h)， P(N(t+h )-N(t) 2) o(h).
(2)由Poisson过程的平稳独立增量性及N (1)的分布，得 P( N (4) N (3) 0 | N (3) N (2) 0) P( N (4) N (3) 0) P( N (1) 0) e10 .
(2)由Poisson过程的平稳独立增量及N (t )的分布，得 P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (0) 20) P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) N (0) 10) P( N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) 10) P( N (1) 10) (10 4.5)10 104.5 (10 1)10 101 e e 10! 10! 10 45 10 55 e . 2 (10!)
(2).E[N(t)]= t, 即Poisson过程的均值函数为 t. 这 里的直观意义是单位时间内发生事件的平均次数, 被称为Poisson过程的强度或速率.
Poisson过程的应用
1. Poisson过程在排队论的应用
在随机服务系统中的排队模型中，可以用Poisson 过程模拟在一定时间段内顾客到达(或电话呼叫) 的数目.
计数过程{N(t)，t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson过程， 如果 (1) N(0)=0； (2)该过程是独立增量过程； (3)对任意的s, t 0,
n （ t ） P（N(t+s)-N(s)=n） e t , n 0,1, 2, .... n！
注释
(1).由定义3.2（3）知 Poisson过程具有平稳增量性.
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
例 3.4
3.2.2 事件发生时刻的条件分布
考虑在N (t ) n的条件下，T1，T2，...Tn的联合分布.
先看下面的定理：
定理 设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则对 0 s<t, s P(T1 s | N (t ) 1) . t
证明： 对于s t, P(T1 s,N(t)=1) P(T1 s|N(t)=1)= P(N(t)=1) P(A发生在s时刻之前,(s,t]内A不发生) P(N(t)=1) P(N(s)=1) P(N(t) N(s) 0) P(N(t)=1) s (t s ) se e s . t te t
( pt )m pt 即 P(M(t)=m) e . m ！
P(M(t)=m)= P(M(t)=m|N(t)=m+n) P（N(t)=m+n）
mn ( t ) m n t = Cn p (1 p ) e m+n (m n)! n =0 n ( (1 p ) t ) e t ( pt ) m m ！n ! n =0 m n ( pt ) ( (1 p ) t ) e t m ！ n =0 n! m ( pt ) e t e (1 p )t m ！ m ( pt ) pt e . m ！ n=0
第3章
主要内容:
Poisson 过程
1. 背景及定义 2. 与Poisson过程相关的分布 3. Poisson过程的推广
学习要求:
1．了解Poisson过程的基本概念极其背景。 2．掌握与Poisson过程相联系的、分布。 3．了解几种推广的Poisson过程。
§3.1 Poisson 过程
{N(t)，t 0}： 在“排队模型”中刻画[0,t]内来到的顾客数； 在“风险模型”中表示[0,t]内发生的理赔次 数.
3.2.1 Xn和T的分布 n
定理 3.2 如果 {N(t),t 0} 是Poisson过程，那么事件发生的时间 间隔{Xn，n 1， 2，...}是一列相互独立的且服从参数 为的指数分布.
证明见黑板
本定理证明的关键：
(X1 t ) ( N (t ) 0);
(X2 t | X1 s) ( N (s t ) N (s) 0 | X1 s).
Poisson过程分解定理
作业
• 例题：
设南京火车站某个售票窗口，前来购票的乘客数 构成了一个Piosson过程. 设从凌晨0:00开始，此 售票窗口连续售票，乘客按照10人/时的平均速率 到达. 试求： (1) 从1：00到2：00这1小时内最多由5名乘客来此 购票的概率是多少？ (2) 若已知从2：00到3：00没有人来买票，那么在 未来的1小时内，仍无乘客到来的概率是多少？ (3) 若到4：30时共有10名乘客到来，且到5：30时 总计已到达20位乘客的概率是多少？
t s t
(u)du的Poisson分布，即
源自文库
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
注意: 1. 非齐次Poisson过程不具备平稳增量性. 2. 非齐次Poisson过程可以描述机器的故障次数 养鸡场的产蛋数.
类似Poisson过程，非齐次Poisson过程也有一个等价 定义，首先介绍一个名词：
设m(t ) ( ｕ )dｕ， 并称之为非齐次Poisson过程{N (t ),
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
定理 3.3 如果 {N(t),t 0} 是Poisson过程，那么事件发生时刻 Tn， n 1， 2，...服从参数为n和的分布.
证明关键之所在：
(Tn t ) ( N (t ) n)，即第n次事件发生在时刻t 或之前相当于到时刻t已经发生的事件数至少 是n.
0
t
t 0}的累计强度函数(或均值函数) .
非齐次Poisson过程的等价定义： 计数过程{N(t)，t 0}称作强度函数为{ (t ) 0， t 0}的非齐次Poisson过程，如果 (1) N(0)=0； (2)过程是独立增量过程； (3)对s, t 0, N(t+s)-N(t)服从参数为m(t+s)-m(t)
计数过程、Poisson过程
定义 3.1
随机过程{N(t)，t 0}称为计数过程，若N(t)表示 时间段[0,t]内某一事件A发生的次数，且满足 (1) N(t)取值为非负的整数; (2) 当s<t 时，N(s) N(t)且N(t) N(s)表示 (s,t]时间内事件A发生的次数.
定义 3.2
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求，假设一次事故只导致 一次索赔，那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
Poisson过程的等价定义：
3.2 与Poisson过程相关的分布
Poisson过程的一条样本路径是跳跃度为1的阶梯函数：
N(t) 第三个事件到达 … … … … 第二个事件到达 第一个事件到达
X1
X2 T1 T2
X3 T3
X4 T4
X5 T5
X6 T6
T0
t
Tn，n =1，2，...表示第n次事件发生的时刻，规定 T0 0. Xn Tn Tn-1，n 1, 2,...表示第n次与第n-1次事件发 生的时间间隔.
i 1 N(t)
是复合Poisson过程.
例2. 假设在股票交易市场，股票交易次数N(t)为 强度为的Poisson过程，设第k次交易与第k -1次 交易前后股票价格的变化为Yk .不妨设Y1，Y2， ... 独立同分布并且与N(t)互相独立.那么 X(t ) k 1 Yk
N(t)
代表到时刻t时股票总价格变化，这是投资者计算 盈亏决定投资意向的重要指标.{X(t ), t 0}就是一个 复合Poisson过程。