中考复习实数与代数式以及方程、不等式的复习(学生版)
中考数学复习知识点归纳总结7篇
中考数学复习知识点归纳总结7篇篇1一、数与代数（一）数的认识1. 自然数的认识：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。
中考中可能会涉及自然数的连续性及自然数的个数等问题。
复习时需要注意对自然数概念的理解及运用。
2. 整数的认识：整数包括正整数、零和负整数。
在中考复习中，需要掌握整数的性质、运算规则以及与分数的区别等知识点。
（二）代数式与方程1. 代数式的认识：代数式是由数字、字母和数学符号组成的一种数学表达式。
在中考复习中，需要掌握代数式的简化、代入计算等知识点。
同时还需要加强对代数式在实际问题中应用的能力培养。
如与面积计算、路程问题等结合出题的情况很常见。
例如“给出多边形的一条边长为a米，与其相邻的两边之差的代数式是：______________”。
因此类题目较为灵活，需要考生具备一定的数学思维和解题技巧。
（三）数的运算与性质篇2一、数与代数（一）数的认识1. 自然数的认识：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。
2. 整数的认识：整数是自然数中的一部分，包括正整数和负整数。
它们在日常生活中的应用非常广泛。
3. 小数、分数与百分数的认识：熟练掌握小数、分数与百分数的概念及其相互转化，对于数学计算和应用题的解答至关重要。
（二）代数知识1. 代数式的认识与运算：掌握代数式的概念、性质及运算规则，能够熟练进行代数式的化简、求值等。
2. 方程与不等式的应用：掌握一元一次方程、不等式及其解法，能够灵活运用方程与不等式解决实际问题。
二、几何知识（一）平面几何1. 图形的认识：熟练掌握各种基本图形的性质、分类及相互之间的关系。
2. 图形的测量：掌握各种图形的周长、面积等测量方法，能够熟练计算图形的面积和周长。
3. 图形的变换：了解图形的平移、旋转、翻折等变换方式，掌握其性质和应用。
（二）立体几何1. 长方体与正方体的认识：掌握长方体与正方体的性质、体积和表面积的计算方法。
2024年中考数学提高复习讲义：方程与不等式
中考专题复习之方程与不等式知识梳理1.一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).在解一元二次方程时，应按方程的特点选择方法，主要方法包括：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：x=−b±√b2−4ac2a(b2−4ac≥0). (注意符号问题)2.解分式方程的基本思想将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：①去分母法；②换元法.3.根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b²−4ac.当△>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1=−b+√b2−4ac2a ,x2=−b−√b2−4ac2a;当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−b2a;当△<0时，方程没有实数根.4.一元二次方程两根之间的关系若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x₁,x₂,则x1+x2=−ba ,x1x2=ca,(注意两根的和是ba的相反数).以。
x₁,x₂为根的一元二次方程是x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.5.不等式的解法解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变.6.一元一次不等式组的解集由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：典型例题例 1不等式3x-5≥5x-11的正整数解的个数为( ).A.0B.1C.2D.3解析解不等式3x-5≥5x-11，得x≤3，则其正整数的解有1，2，3，所以正整数解的个数为 3 个,选 D.例 2若|x2−9|+(y+4)2=0,则x+y的值为( ).x+3A.-1或-7B. -7C. -1D.7解析因为|x2−9|+(y+4)2=0,x+3所以x+3≠0 且|x²−9|+(y+4)²=0,所以x≠-3 且|x²−9|+(y+4)²=0.又因为|x²−9|+(y+4)²=0且|x²−9|≥0,(y+4)²≥0,所以|x²−9|=0且(y+4)²=0,所以x=±3,y=-4.因为x≠-3,所以x=3,所以x+y=3+(-4)=-1.故选C.例3某电器商家，计划购进电视机、洗衣机、冰箱总数为40台，而现在商家打算总共用 12万元，各种家电价格如下表所示.(1)若总共用的资金不超过 12万，买进的洗衣机和冰箱数量相同，电视机不超过洗衣机数量的三倍，请问商家有几种购买方式?(2)针对上述3 种电器，商家推出“满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”，在(1)的条件下，若三种电器都售完，商家预计最多送出多少张消费券?解析 (1)设购买冰箱的数量是x 台，则购进洗衣机的数量是x 台，电视机的数量为(40-2x)台，根据总共用的资金不超过12万和电视机不超过洗衣机数量的三倍列不等式组，即解得:8≤x≤10. 因为x 是整数， 所以x 可以为8,9,10. 有三种方案如下.方案一：冰箱8台，洗衣机8台，电视机24台. 方案二：冰箱9台，洗衣机 9台，电视机22台. 方案三：冰箱10台，洗衣机10台，电视机20台.(2)题中要求最多送出的消费券，满1000 元送50元消费券，多买多送，所以要根据售价总额来求出最大售价，即可求出最多消费券.设售价总额为y 元，由题意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000 所以当x=10时,y 最大=2560×10+104000=129600, 故送出的消费券的张数为:129600÷1000=129.6≈130(张). 则商家预计最多送出消费券130张. 例 4某项工程，如果由甲、乙两队承包， 225天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包， 334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 67天完成，需付160000元.现在工程由一队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费最少?解析 设甲、乙、丙单独承包各需x ，y ，z 天完成， { 1x +19=51219+1z =415,1x +1x =720解得 {x =4y =6z =10.再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u ，v ，w 元， { 125(α+v )=80000154(ν+w )=15000,207(cos +α)=16000解得 {u =45500v =29500,w =10500因为丙队不能在一周内完成， 所以丙队舍去.因为甲队单独承包的费用：4 45500×4=182000)(元); 乙队单独承包的费用： 29500×6=177000(元). 又因为 177000<182000, 所以由乙队承包费用最少. 双基训练1.若x=6是关于x 的方程3x+4m-30=0的解,则m 的值为( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 32.一元一次方程3x−12−5x+16=0解为( ).A.0B. -1C. 1D.2 3.已知代数式2x−35与代数式 35x −25的和为5,则x 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 4.解方程2x−13−5x−32=3时，去分母后，正确的结果是( ).A.4x-1-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-15x+9=185.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ).A. 100(1+x)=121B.100(1-x)=121C.100(1+x )²=121D.100(1−x )²=121 6.方程 x²−5x +5=0的根为( ). A.5+√5 B.−5+√52C.5±√52 D.−5−√527.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程 x²+mx +n =0的两个相等的实数根，且满足 1m +1n =3,则 m 的值为( ).A. -1B. 43或--1理C. 43D.−438.方程 x²−6x +5=0的两个根分别为.x ₁,x ₂,则 x 2x 1+x1x 2的值为( ).A. 265B.−265C. 365D. 659. 已知 {x =2y =−1是方程组 {mx −y =3x −ny =6的解,则m 和n 的值分别为( ).A.1,4B.4,1C. 2.-1D. -2,110.一元二次方程 x²−5x +4=0根的情况为( ).A.有一个根B.有两个相等的实根C.有两个不相等的实根D. 无解11.已知实数a≠b,且满足( (a +1)²=3−3(a +1),(b +1)²=3−3(b +1),则 ba +ab 的值为( ). A.23 B. -23 C. -2 D. -1312.用配方法解方程 4x²−12x −1=0,配方后的方程为( ). A.(2x −3)²=0 B.(2x +3)²=0 C.(2x −3)²=10 D.(2x +3)²=1013.若关于x 的一元二次方程 kx²−9x +6=0有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为( ). A. k≠0 B.k <278C. k≠0 且 k <278D.k >27814.已知(x−8)(x+3)|x|−3的值为0,则x 的值为( ).A.±3B. -3C.8D. -3 或815.毕业班同学合影拍照，已知冲一张底片需要0.8元，洗一张相片需要0.35 元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学人数为( ).A.至多6人B.至少6人C. 至多5人D. 至少5人 16.不等式组 {5x −1>3(x +1)12x −1≤7−32x的解集是( ). A. x>2 B. x≤4 C. x<2或x≥4 D.2<x≤417.关于x 的分式方程 nx+1−4x 2−1=1无解，则n 的取值范围为 . 18.不等式 2+x+13>x +x+36的解是 .19.当k 取何值时,( (k +1)x²−4kx +3=0分别有两个不相等实数解?20.某公司做电饭锅促销活动，按照进价提高35%，然后“打九折，外送30元”的广告，每个电饭锅最后仍然获利200元，则每台电饭锅进价是多少元?能力提升21.设二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y--18=0,x+y+k=0有公共解,则k 的值是( ). A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 22.方程 x+1x 2−x −13x =x+53x−3去分母后的结果为( ). A.x²+3x −4=0 B.x²−5x −2=0 C.x²+3x −2=0 D.x²−5x +4=023.如图所示，已知抛物线 y₁=−x²+4x 和直线 y₂=2x.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y ₁，y ₂，若. y₁≠y₂,取 y ₁，y ₂中的较大值记为N ；若 y₁=y₂,记 M =y₁=y₂.下列判断:①当x>2时, N =y₂; ②当x<0时,x 值越大,N 值越大; ③使得 N 大于 4 的x 值不存在; ④若N=2,则x=1.其中正确的判断有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D. 4 个24. 关于方程 ax²−(3a +1)x +2(a +1)=0有两个不相等的实根x ₁,x ₂,.且有 x₁−x₁x₂ +x₂=1−a,则a 的值为( ).A. 1B. -1C. 1 或-1D.225.已知方程 23x −3k =5(x −k )+1的解为负数，则k 的取值范围为 .26.已知 5xᵃ⁺²ᵇ⁻⁵−4y³ᵃ⁻ᵇ⁻³=9是二元一次方程，那么a+3b= .27.若方程组 {x +y =93x −5y =11,则3(x+y)-(3x-5y)的值是 .28.解不等式方程组： {7x −3y =204x +3y =24.29.某物体从 P 点运动到Q 点所用时间为7s ，其运动速度V(m/s)关于时间t(s)的函数关系如图所示.某学习小组经过研究发现：该物体前进3s 运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前t(3<t≤7)s 运动路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和.根据以上信息，完成下列问题： (1) 当3<t≤7时,用含 t 的式子表示V.(2)分别求物体在0≤t≤3和3<t≤7时,运动路程S(m)关于时间t(s)的函数关系式; 并求该物体从 P 点运动到Q 点中总路程的 710时所用的时间.30.某食品加工厂准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.现在主要原料有可可粉410克，核桃粉520 克.计划利用两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块.加工一块原味核桃巧克力需可可粉13 克，需核桃粉 4 克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉 14 克.加工一块原味核桃巧克力的成本是 1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元.设这次研制加工的原味巧克力x 块.(1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案?(2)设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使成本最低.总成本最低是多少元?拓展资源31.已知关于x ，y 的方程组 {x +3y =4−ax −y =3a,其中-3≤a≤1,给出下面结论:①{x =5y =−1是方程组的解；②当a=-2时，x ，y 的值互为相反数；③当a=-1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解;④若x≤1,则1≤y≤4.其中正确的是( ).A. ①②B. ②③C.②③④D. ①③④32.已知关于x 的方程 kx²+(1−k )x −1=0,下列说法正确的是( ). A.当k=0时,方程无解B. 当 k =1时，方程有一个实数解C. 当 k =−11时，方程有两个相等的实数解D.当 k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解33.若关于 t 的不等式组 {t −a ≥02t +1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数 y =14x −a 的图像与反比例函数 y=3a+2x的图像的公共点的个数是 .34.若x,y,z 为整数,且满足不等式 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4,则x 的最小值为 .35.解方程组: {|x +y|=43|x|+2|y|=101-5 DCCDC 6-10 CCAAC 11-16 ACCCBD17. -6<n<2 18.x <11519.k >3+√738或 k <3−√73820.约为 1070元21-24 BABC 225. k< 1226.8 27.1628.{x =4y =8329.(1) V=2t-4; (2)S ={2t (0≤t ≤3)2t 2−4t(3<t ≤7),所用时间为 6 秒30.(1)有三种方案.方案一：原味核桃巧克力18块，益智核桃巧克力32块； 方案二：原味核桃巧克力19块，益智核桃巧克力31块； 方案三：原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块.(2)当原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块时，总成本最低为84元.31. 解方程组 {x +3y =4−a x −y =3a ,得 {x =1+2ay =1−a因为-3≤a≤1,所以-5≤x≤3,0≤y≤4.circle1{x =5y =−1不符合-5≤x≤3,0≤y≤4,结论错误.②当a=-2时,x=1+2a=-3,y=1-a=3,x,y 的值为互为相反数,结论正确. ③当a=-1时,x+y=2+a=3,4-a=3,方程x+y=4-a 两边相等,结论正确.④当x≤1时,1+2a≤1,解得a≤0,故当x≤1时,且-3≤a≤1,所以-3≤a≤0,所以1≤1-a≤4,所以1≤y≤4,结论正确.选 C. 32. C33. 解 {t −a ≥02t +1≤4,得 a ≤t ≤32.因为不等式组恰好有3个整数解， 所以-2<a≤-1.求交点，联立方程组 {y =14x −a y =3a+2x 得 14x 2−ax −3a −2=0.Δ=a²+3a +2=(a +1)(a +2)因为-2<a≤-1,所以a+1≤0,a+2>0,所以△=(a+1)(a+2)≤0,所以交点的个数为0或1. 34.原不等式组 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4可以化为 {4x ≥z circle1z −3y ≥0circle2,y +z ≥4circle3解②③得 {4x ≥zz ≥3y ≥1将z≥3代入①得: x ≥34,因此x 的最小值为3/4.35.(1) 若xy≥0时,原方程组为: {|x|+|y|=43|x|+2|y|=10,得|x|=2,|y|=1,所以x=2,y=1.(2) 若xy<0时,原方程组为: {|x|−|y|=43|x|+2|y|=10或 {|x|−|y|=−43|x|+2|y|=10,解得 {|x|=185|y|=25舍) {|x|=2|y|=6所以 {x =2y =−6,{x =−2y =6。
初二实数与代数式的复习提纲
实数与代数式的复习提纲一、实数：1、判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数； ②无理数都是无限小数； ③带根号的数都是无理数； ④有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥实数的绝对值都是非负实数； ⑦有理数都可以表示成分数的形式。
（通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。
）2、每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样，每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点，因此，可以说，每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。
（想一想：为什么？）反过来，数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数，也就是说，数轴上的每一点都对应一个实数。
把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。
例题：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：--1.4，2， 3.3， π，--2，1.5（提示：画表示2的点的方法：画边长为1的正方形的对角线）3、立方根小结： 符号3a 中的根指数“3”不能省略。
对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。
平方根和立方根的区别：（1）正数有两个平方根，但只有一个立方根；（2）负数没有平方根，但却有一个立方根。
灵活运用公式：（1）()a a =33；（2）a a =33；（3）33a a -=-立方与开立方也互为逆运算。
我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。
计算：（1）3827 ； （2）16643+- （3）3125； （4）3008.0-； （5）3641； （6）()339 4、近似值小结： （识记：41.12≈；73.13≈；236.25≈）计算：① 398- （精确到0.001）② )34(29+⨯- （结果保留4个有效数字③ ()[]25292-⨯+⨯ （精确到0.01） 填空题：①75-的绝对值是＿＿＿ ② ＿＿＿＿的倒数是71③ ab 33（0<a ）的值是 ＿＿＿＿④ ()()=-⋅+200420032323＿＿＿＿⑤ 实数a 、b 满足.053=-+-b a 则a = ＿＿＿ ，b= ＿＿＿二、代数式：例1：用代数式表示：（1）X 的3倍与3的差 （2）X 的2倍与Y 的21的和 （3）a 和b 两数和的平方 （4）a 与b 两数的平方和（5）a 和b 两数差的平方 （6）a 与b 两数的平方差（7）比2 a 的立方根大１ （8）个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z 的三位数 列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”“倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系．（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示．（4）第８题要强调xyz 和100z+10y+x 的区别2、思考并回答下面的问题 ⑴2233,2,,4xy x a ab --这些代数式是怎样组成的？有什么共同特点？ ⑵22234,32,3x y a a a b -++--+这些代数式是怎样组成的？和第⑴题中代数式相比有什么特点？归纳总结：单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0,1,a -单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；整式：单项式、多项式统称为整式。
(完整版)初三数学复习_数与式(知识点讲解),推荐文档
初三数学复习 数与式 第一课时 实数的有关概念【知识要点】（一）实数的有关概念 （1）实数的分类当然还可以分为：正实数、零、负实数。
有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。
（3）绝对值绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（4）相反数、倒数实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。
a a a 1a 若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。
若m 、n 两个数互为倒数，则m·n=1。
（5）三种非负数： ||()a a a a ，，都表示非负数。
20≥“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。
如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．一个正数a 的正的平方根，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—无限不循环小数—无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数叫做a 的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。
1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法： 把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．【典型例题：】P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)，13，π，cos 45︒，0.32中无理数的个数是（ ▲ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________.第二课时：实数的运算及比较大小【知识要点】一、实数的运算1.加法： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法： 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法： 除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． (2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． (3)零指数与负指数二、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b，若a-b＞0 a＞b； a-b=0 a=b； a-b＜0 a＜b. 4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a＞b＞0，a2＞b2 则a＞b ； 或利用倒数转化：如比较与.三、实数运算顺序 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．四、实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例题：】P3例3（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1P4例 4(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算．第三课时：整式与因式分解（1）：【整式知识梳理】 代数式的分类幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第一章实数与代数式第1节实数及其运算
第一章实数与代数式第1节实数及其运算考情分析导航知识清单必备续表高频考点研析考点一实数及相关概念【例1】(2023·贵州)5的绝对值是(B)A.±5B.5C.-5D.√5【考法揭秘】相反数、倒数、绝对值是最基础的数学知识,通常是中考题的开门题.【变式】1.(2023·宿迁)2 023的相反数是(D)A.12 023B-12 023C.2 023D.-2 0232.(2023·荆州)在实数-1,√3,12,3.14中,无理数是(B) A.-1 B.√3C.12D.3.143.(2023·雅安)在0,1,-√3,2四个数中,负数是(C)2C.-√3D.2A.0B.12考点二科学记数法【例2】(2023·贵州)中国经济网资料显示,今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长,全国居民人均可支配收入为10 870元.10 870这个数用科学记数法表示正确的是(B)A.0.108 7×105B.1.087×104C.1.087×103D.10.87×103【考法揭秘】记住科学记数法的表达形式,掌握科学记数法表达实际问题中数据的方法.【变式】1.(2023·温州)苏步青来自“数学家之乡”,为纪念其卓越贡献,国际上将一颗距地球约218 000 000公里的行星命名为“苏步青星”,数据218 000 000用科学记数法表示为(B)A.0.218×109B.2.18×108C.21.8×107D.218×1062.(2023·遂宁)纳米是表示微小距离的单位,1纳米=0.000 001毫米,而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格,可想而知1纳米是多么小.中科院物理所研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.000 000 5毫米,数据0.000 000 5用科学记数法可以表示为(D)A.0.5×10-6B.0.5×10-7C.5×10-6D.5×10-73.(2023·武汉)新时代十年来,我国建成世界上规模最大的社会保障体系,其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿,参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式,则n的值是9(备注:1亿=100 000 000).考点三比较大小与估算【例3】比√3大且比√14小的整数可以是(B)A.1B.3C.5D.7【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√3,√14的大小即可.【考法揭秘】本题考查了估算无理数的大小,理解算术平方根的定义是解题的关键.【变式】1.(2023·赤峰)如图,数轴上表示实数√7的点可能是(B)A .点PB .点QC .点RD .点S2.(2023·潍坊)实数a ,b ,c 在数轴上对应的点如图所示,下列判断正确的是(C)A .-c <bB .a >-cC .|a -b |=b -aD .|c -a |=a -c3.(2023·巴中)在0,(−13)2,-π,-2四个数中,最小的实数是 -π . 考点四 数的规律探究及新定义【例4】(2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:若有序数对(n ,m )表示第n 行,从左到右第m 个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 (10,18) .【考法揭秘】数的规律探究属于有区分度的题目,解题的关键是学会观察,注意它与序号的联系,最后利用规律解决问题.另外,还要注重平时的积累. 【变式】1.(2023·牡丹江)观察下面两行数: 1,5,11,19,29,…; 1,3,6,10,15,….取每行数的第7个数,计算这两个数的和是(C) A .92B .87C .83D .782.(2022·恩施州)观察下列一组数:2,12,27,…,它们按一定规律排列,第n 个数记为a n ,且满足1a n+1an+2=2an+1.则a 4= 15 ,a 2 022=13 032.3.(2023·怀化)定义新运算:(a ,b )·(c ,d )=ac +bd ,其中a ,b ,c ,d 为实数.例如:(1,2)·(3,4)= 1×3+2×4=11.如果(2x ,3)·(3,-1)=3,那么x = 1 .考点五 实数的运算【例5】(2023·贵州)计算:(-2)2+(√2−1)0-1.【分析】本题考查了负数的偶次幂、非零实数的零次幂,这些都是数学中最基础的知识,计算要细心观察,熟悉其运算法则,正确化简各数是解题关键. 【解析】原式=4+1-1=4.【考法揭秘】实数的运算是中考中的常见题,涉及的基本概念、公式、法则较多,细心观察、精确计算是正确解答此类题目的关键. 【变式】1.(2023·安徽)计算:√83+1= 3 .2.(2023·仙桃)计算4-1-√116+(3-√2)0的结果是 1 . 3.(2023·上海)计算:√83+2+√5-(13)-2+|√5-3|.【解析】原式=2+√5−2(√5+2)(√5−2)-9+3-√5=2+√5-2-9+3-√5=-6. 4.(2023·株洲)计算:√4-2 0230+2cos 60°. 【解析】原式=2-1+2×12=1+1=2.5.(2023·济南)计算:|-√3|+(12)−1+(π+1)0-tan 60°. 【解析】|-√3|+(12)−1+(π+1)0-tan 60° =√3+2+1-√3 =3.6.(2023·德阳)计算:2cos 30°+(−12)−1+|√3-2|+(2√94)0+√9. 【解析】原式=2×√32-2+2-√3+1+3=4.。
中考数学专题：实数与代数式
专题一 数与式中考要求：实数：借助数轴理解相反数、倒数、绝对值的意义及性质;掌握实数的分类、大小比较及混合运算;会用科学记数法、有效数字、精确度确定一个数的近似值;能用有理数估计一个无理数的大致范围.代数式：了解整式、分式、二次根式、最简二次根式的概念及意义; 会用提公因式法、公式法对整式进行因式分解; 理解平方根、算术平方根、立方根的意义及其性质; 根据整式、分式、二次根式的运算法则进行化简、求值.考查方式：本专题内容在中考中涉及数轴、相反数、绝对值等概念，多以填空题、选择题的形式出现. 科学记数法、近似数和有效数字往往与生产生活及科技领域中的实际问题相联系，具有较强的应用性，是中考的热点. 关于代数式的概念与运算，往往是单独命题，试题以填空题、选择题及计算题的形式出现，试题难度为中、低档. 试题设计有的带有开放探索性，覆盖面广，常常以大容量、小综合的形式考查灵活运用知识的能力.备考策略：1. 夯实基础，理清考点.2. 对课本中的典型和重点题目做变式、延伸.3. 注意一些跨学科的常识，加强学科整合.4. 关注中考的新题型.5. 关注课程标准中新增的目标.6. 探究性试题的复习步骤:（1）纯数字的规律探索.（2）结合平面图形探索规律.（3）结合空间图形探索规律，（4）探索规律方法的总结.第1课时 实数的概念课时核心问题：数系的扩张及实数相关概念的理解应用. 聚焦考点☆温习理解一、实数1. 有理数： ，它包括 、 .2. 无理数： .3. 实数及分类：注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如π23+等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等. 二、绝对值一个数的绝对值指的是表示.几何意义：一般地，数轴上表示叫做数a 的绝对值，记作|a |.代数意义：（1）正数的绝对值是 ；（2）负数的绝对值是 ；（3）零的绝对值是 .也可以写成：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩.说明：（1）|a |≥0，即|a |是一个非负数；（2）|a |概念中蕴含分类讨论思想；（3）“| |”有括号的作用.三、相反数叫做互为相反数. 零的相反数是零.从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0, 反之也成立.四、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab ＝1，反之亦成立. 倒数等于本身的数是1和1-. 零没有倒数.五、平方根如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a的平方根记作“”.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.1.(0) ||(0)a aaa a⎧==⎨-<⎩≥.2.与2的联系：3.0)<0)aa>=⎩.六、立方根如果一个数的立方等于a, 那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：（1）=，说明三次根号内的负号可以移到根号外面；（2）＝3.典例解析考点一、实数的分类【例1】下列实数是无理数的是（）.B. 1C. 0D.1-听课记录：【举一反三】1.下列四个实数中，是无理数的是（）.A. 0B. 3-D.3112. 下列选项中，属于无理数的是（）.A. 2B. πC. 32D. 2-3. 下列各数：227，π，cos60︒，0，，其中无理数的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 4考点二、绝对值【例2】|2|-等于（）.A. 2B. 2-C.12D.12-听课记录：【举一反三】2的绝对值是（）.A. ±2B. 2C. 12D. 2-考点三、相反数【例3】5的相反数是（）.A. 5B. 5-C. 15D.15-听课记录：【举一反三】1. 2014的相反数是（）.A. 2014B. 2014-C.12014D.12014-2.15-的相反数是（）.A. 15B.15-C. 5D. 5-考点四、倒数【例4】12-的倒数是（）.A. B.C. D. 听课记录：【举一反三】1. 12的倒数是（）.A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 14-的倒数是（ ）. A. －4B. 4C. 14D. 14- 考点五、平方根【例5】得（ ）.A. 100B. 10C.D. 10± 听课记录：【举一反三】1. 一个数的算术平方根是2，则这个数是 .2. 的平方根是 .3. 若2y =，则()y x y +＝ .4. 若实数x , y 满足|4|0x -=，则以x , y 的值为等腰三角形的周长为 .5. 若1a <1-= .6. 2210b b ++=，则221||a b a +-= .7. 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 .第2课时 实数的计算课时核心问题：实数的灵活运算.聚焦考点☆温习理解一、实数大小的比较1. 数轴：规定了、、的直线叫做数轴. （画数轴时要注意上述三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合思想，理解实数与数轴上的点是一一对应的，并且能灵活运用.2. 实数大小比较的几种常见方法.（1）数轴比较：数轴上的点所表示的数在右边的总比左边的大；（2）求差比较：设a, b为实数，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.（3）求商比较：设a, b为两正实数，有a＞1⇔a＞b；ba＜1⇔a＜b；ba＝1⇔a＝b.b（4）绝对值比较法：设a, b为两负实数，则a a b>⇔<.b（5）平方比较法：设a，b为两负实数，则22a b a b >⇔<.二、科学计数法和近似数1. 有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字.2. 科学计数法：把一个数写成10n a ±⨯的形式，其中110a <≤，n 是整数，这种计数法叫做科学计数法.三、实数的运算1. 加法交换律：a b b a +=+.2. 加法结合律：()()a b c a b c ++=++.3. 乘法交换律：ab ba =.4. 乘法结合律：()()ab c a bc =.5. 乘法对加法的分配律：()a b c ab ac +=+.6. 实数的运算顺序：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的. 典例解析考点一、实数的大小比较【例1】下列各数中，最大的数是（ ）.A. 0B. 2C.2-D.12- 听课记录：【举一反三】1. 下列各数中，最小的数是（）.A. 0B. 1 3C.13- D.3-2. 在数1,0,1,2--中，最小的数是（）.A. 1B. 0C. 1-D. 2-考点二、科学计数法与近似值【例2】“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任务之一．据统计，遵义市2014年全社会固定资产投资达1762亿元，“1762亿”这个数用科学计数法表示为（）.A. 1762×108B. 1.762×1010C. 1.762×1011D. 1.762×1012听课记录：【举一反三】1. 据统计，2015年河南省旅游业总收入达到3875.5亿元. 若将“3875.5亿”用科学计数法表示为3.8755×10n，则n等于（）.A. 10B. 11C. 12D. 132. 将6.18×10－3化为小数是（ ）.A. 0.000618B. 0.00618C. 0.0618D. 0.6183. 20140000用科学计数法表示（保留3位有效数字）为 .考点三、实数的运算【例3】计算：201(π2014)sin 6023-⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭．听课记录：【举一反三】1. 计算：2(2)(3)2-+-⨯．2. 2014(1)2sin 45--︒+-3. 计算：1011)23-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．第3课时整 式 课时核心问题：整式的相关概念及运算.聚焦考点☆温习理解一、单项式1. 代数式.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式.只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示. 例如，2143a b -就是错误的，应写成2133a b -. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如325a b c -是6次单项式.二、多项式1. 多项式.几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数.统称为整式.用数值代替代数式中的字母，按照代数式指出的运算计算出的代数式的结果，叫做求代数式的值.注意：（1）求代数式的值，一般先化简再代入.（2）求代数式的值，有时求不出具体字母的值，此时需要利用技巧“整体”代入求值.2. 同类项.所含 ，并且 的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项.3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都.（2）括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都.三、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.1. 幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：m n m n⋅=(m, n都是整数，a≠0).a a a+（2）幂的乘方：()m n mn=(m, n都是整数，a≠0).a a（3）积的乘方：=⋅(n是整数，a≠0, b≠0).()n n nab a b（4）同底数幂相除：m n m n÷=(m, n都是整数，a≠0).a a a-2. 整式乘法.（1）单项式与单项式相乘，把作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. （2）单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb.（3）多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.3. 乘法公式.（1）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.（2）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．4. 整式的除法：（1）单项式除以单项式：法则：（2）多项式除以单项式：法则：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式.（6）011(0),(0,)p pa a a a p a -=≠=≠为正数. （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 单项式除以多项式是不能这么计算的. 典例解析考点一、整式的加减运算【例1】下列计算正确的是（ ）.A. 2x －x ＝xB. 326a a a ⋅=C. (a －b )2＝a 2－b 2D. (a ＋b )(a －b )＝a 2＋b 2听课记录：【举一反三】已知x 2－2＝y ，则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是（）. A.2- B. 0C. 2D. 4考点二、同类项的概念及合并同类项【例2】下列各式中，与2a 是同类项的是（ ）.A. 3aB. 2abC. 23a -D. a 2b听课记录：【举一反三】下列运算正确的是（ ）.A. 2323a a a +=B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a =考点三、幂的运算【例3】下列运算正确的是（ ）.A. 33a a a ⋅=B. 33()ab a b =C. 326()a a =D. 842a a a ÷=听课记录：【举一反三】1. 计算：2()ab 的结果是（ ）.A. 2abB. a 2bC. a 2b 2D. ab 22. 计算：63m m ⋅的结果是（ ）.A. m 18B. m 9C. m 3D. m 2考点四、整式的乘除法.【例4】计算：23(2)()a a ⋅-=.A. 312a -B. 36a -C. 12a 3D. 6a 2【例5】计算：2x (3x 2＋1)，正确的结果是（）. A. 5x 3＋2x B. 6x 3＋1C. 6x 3＋2xD. 6x 2＋2x听课记录：【举一反三】1. 下列计算正确的是（ ）.A. 4416x x x ⋅=B. 325()a a =C. 236()ab ab =D. 23a a a +=2. 下列运算正确的是（ ）. A. 2323a a a += B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a = 考点五、整式的混合运算及求值【例6】先化简，再求值：2(3)()()a a b a b a a b -++--，其中11,2a b ==-. 听课记录：【举一反三】1. 下列计算中，正确的是（ ）.A. 235a b ab +=B. 326(3)6a a =C. 623a a a ÷=D. 32a a a -+=-2. 下列运算正确的是（ ）. A. (m ＋n )2＝m 2＋n 2B. (x 3)2＝x 5C. 5x －2x ＝3D. (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 23. 下列计算正确的是（ ）.A. (2a 2)4＝8a 6B. a 3＋a ＝a 4C. a 2÷a ＝aD. (a －b )2＝a 2－b 24. 化简：2()()()2a b a b a b ab ++-+-.5. 化简：2(1)2(1)a a ++-.6. 已知x (x ＋3)＝1，求代数式2x 2＋6x －5的值为 ．7. 先化简，再求值：(x ＋1)(2x －1)－(x －3)2，其中2x =-.。
初三数学中考复习专题2_方程与不等式知识点总结与练习
方程与不等式一、方程与方程组 二、不等式与不等式组知识构造及容： 1几个概念2一元一次方程〔一〕方程与方程组 3一元二次方程4方程组 5分式方程6应用 1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一〔未知项系数不能为零〕例题：.解方程：〔1〕 3131=+-x x 〔2〕x x x -=--+22132 解：〔3〕 关于x 的方程mx ＋4＝3x ＋5的解是x ＝1，那么m ＝ ______________． 解：3、一元二次方程：（1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解以下方程：〔1〕x 2－2x ＝0； 〔2〕45－x 2＝0； 〔3〕(1－3x )2＝1； 〔4〕(2x ＋3)2－25＝0．〔5〕〔t －2〕〔t ＋1〕＝0； 〔6〕x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0； 〔8〕3〔x －5〕2＝2〔5－x 〕解：②填空：〔1〕x 2＋6x ＋〔 〕＝〔x ＋ 〕2；〔2〕x 2－8x ＋〔 〕＝〔x － 〕2；〔3〕x 2＋x ＋〔 〕＝〔x ＋ 〕2〔3〕判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 ，当0=∆时有两个相等的实数根 当0<∆时 没有实数根． 当△≥0例题．①．〔市〕假设关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，那么k满足 〔 〕A .k ＞1B .k ≥1C .k ＝1D .k ＜1②〔市〕关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是〔 〕③．〔富阳市〕方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，那么p 、q满足的关系式是〔 〕A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q p D 、02≥-q p〔4〕根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b-，x 1x 2＝ac 例题：方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，那么2111x x + 的值是〔 〕 A 、112B 、211C 、112-D 、211-4、 方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解 解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎨⎧x ＋y ＝93〔x ＋y 〕＋2x ＝33解5、分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为____________ 065422=++-x x x 根为____________ ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x xx x 时，假设设1+=x x y ，那么原方程可变形为〔 〕A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0 〔3〕、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，那么原方程可化为〔 〕〔1〕分式方程〔行程、工作问题、顺逆流问题〕〔2〕一元二次方程〔增长率、面积问题〕〔3〕方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间一样.水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.〔提示：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度〕解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.〔准确到0.1%〕 解④等式 (2A －7B )x ＋(3A －8B )＝8x ＋10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值解⑤某校初三〔2〕班40名同学为“希望工程〞捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．假设设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组A 、272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B 、2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C 、273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D 、2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩解⑥三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数． 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长．解：1几个概念〔二〕不等式与不等式组2不等式3不等式〔组〕1、几个概念：不等式〔组〕、不等式〔组〕的解集、解不等式〔组〕2、不等式：〔1〕怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．〔1〕和、差、积、商、幂、倍、分等运算．〔2〕“至少〞、“最多〞、“不超过〞、“不少于〞等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②〔2〕8与y的2倍的和是正数；〔3〕x与5的和不小于0；〔5〕x的4倍大于x的3倍与7的差；解：〔2〕不等式的三个根本性质不等式的性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c 推论：如果a＋c＞b，那么a＞b－c．不等式的性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc．不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc．（3）解不等式的过程，就是要将不等式变形成x＞a或x＜a的形式步骤：〔与解一元一次方程类似〕去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一〔注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变〕 例题：①解不等式31〔1－2x 〕＞2)12(3-x 解：②一本有300页的书，方案10天读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每天至少读多少页？ 解：（4） 在数轴上表示解集：“大右小左〞“〞 （5） 写出以下列图所表示的不等式的解集________________________________________________________3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，穿插中间，分开两边例题：①不等式组⎩⎨⎧-<<,3,2x x ⎩⎨⎧->>,3,2x x ⎩⎨⎧-<>,3,2x x ⎩⎨⎧-><,3,2x x②例题：如果a ＞b ，比较以下各式大小〔1〕3a -___3b -，〔2〕13a +____13b +，〔3〕2a -___2b -〔4〕21a +___21b +，〔5〕1a -+___1b -+③不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128313x x x x 的解集应为〔 〕A 、2-<xB 、722≤<-x C 、12≤<-x D 、2-<x 或x ≥1 解④求不等式组2≤3x －7＜8的整数解．解：课后练习：1、下面方程或不等式的解法对不对？ （1） 由－x ＝5，得x ＝－5；〔 〕（2） 由－x ＞5，得x ＞－5；〔 〕（3） 由2x ＞4，得x ＜－2；〔 〕（4） 由－21≤3，得x ≥－6．〔 〕2、判断以下不等式的变形是否正确：（1） 由a ＜b ，得ac ＜bc ；〔 〕（2） 由x ＞y ，且m ≠0，得－m x ＜m y -；〔 〕 （3） 由x ＞y ，得xz 2 ＞yz 2；〔 〕（4） 由xz 2 ＞yz 2，得x ＞y ；〔 〕3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果缺乏3个，问有几个孩子？有多少只苹果？辅导班方程与不等式资料答案：例题：.解方程：〔1〕解：〔x ＝1〕 〔x ＝1〕〔3〕【05】 解： 〔m ＝4〕 例题：①、解以下方程：解： 〔1〕〔 x 1＝ 0x 2＝ 2 〕 〔2〕 〔x 1＝ 3√5x 2＝ —3√5〕〔3〕〔x 1＝0x 2＝ 2／3〕 〔4〕〔x 1＝ — 4 x 2＝ 1〕〔5〕〔 t 1＝ — 1t 2＝ 2 〕 〔6〕〔x 1＝ — 4＋3√2x 2＝ — 4—3√2〕〔7〕〔x 1＝〔3＋√15〕/2 x 2＝ 〔 3—√15〕/2〕〔8〕〔x 1＝ 5x 2＝ 3/13〕②填空：〔1〕x 2＋6x ＋〔 9 〕＝〔x ＋ 3 〕2；〔2〕x 2－8x ＋〔16〕＝〔x －4 〕2；〔3〕x 2＋x ＋〔9/16 〕＝〔x ＋3/4 〕2例题．①． ( C ) ②B ③．〔A 〕〔4〕根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b -，x 1x 2＝a c例题：〔 A 〕例题：【05】解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x 解得：x＝y ＝2【05】解方程组 20328x y xy -=⎧⎨+=⎩解得：x ＝2 y ＝1【05】解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得：x ＝3y ＝1/2【05课改】解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解得 ： x ＝3 y ＝2【05】解方程组：⎩⎨⎧x ＋y ＝93〔x ＋y 〕＋2x ＝33解得： x ＝3y ＝6例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为_〔__x ＝_－1__〕__065422=++-x x x 根为___〔x ＝_2〕_ ②、【市海淀区】〔 D 〕〔3〕、〔A 〕例题：①解：设船在静水中速度为x 千米/小时依题意得：80/〔x ＋3〕＝ 60/(x －3) 解得：x ＝21 答：〔略〕②解：设乙车速度为x 千米/小时，那么甲车的速度为〔x ＋10〕千米/小时依题意得：450/〔x ＋10〕＝400/x解得x ＝80 x ＋1＝90 答：〔略〕③解：设原零售价为a 元，每次降价率为x依题意得：a (1－x )²＝a /2 解得：x ≈0.292 答：〔略〕④【05】解：A ＝6/5 B ＝ －4/5⑤解：A⑥解：三个连续奇数依次为x －2、x 、x ＋2依题意得：〔x －2〕² ＋ x ² ＋〔x ＋2〕² ＝371 解得：x ＝±11当x ＝11时，三个数为9、11、13；当x ＝ —11时，三个数为 —13、—11、—9 答〔略〕⑦解：设小正方形的边长为x cm 依题意：〔60－2x 〕〔40－2x 〕＝800 解得x 1＝40 〔不合题意舍去〕x 2＝10 答〔略〕例题：用不等式表示：①a 为非负数，a 为正数，a 不是正数解： a ≥0 a ﹥0 a ≤0② 解：〔1〕2x /3 —5＜1 〔2〕8＋2y ＞0 〔3〕x ＋5≥0〔4〕x /4 ≤2 〔5〕4x ＞3x —7 〔6〕2〔x —8〕/ 3 ≤ 0例题：①解不等式 31〔1－2x 〕＞2)12(3-x 解得：x ＜1/2②解：设每天至少读x 页依题意〔10－5〕x ＋ 100 ≥ 300 解得x ≥40 答〔略〕（6） 写出以下列图所表示的不等式的解集x ≥_－1/2_________________________x ＜0________________________例题：①②例题：如果a ＞b ，比较以下各式大小〔1〕3a -_＞__3b -，〔2〕13a +_＞___13b +，〔3〕2a -_＜__2b - 〔4〕21a +__＞_21b +，〔5〕1a -+_＜__1b -+③【05黄岗】〔C 〕 ④求不等式组2≤3x －7＜8的整数解．解得：3≤x ＜5课后练习：1、下面方程或不等式的解法对不对？（5） 由－x ＝5，得x ＝－5；〔 对 〕（6） 由－x ＞5，得x ＞－5；〔错 〕（7） 由2x ＞4，得x ＜－2；〔 错 〕（8） 由－21x ≤3，得x ≥－6．〔对 〕2、判断以下不等式的变形是否正确：（5） 由a ＜b ，得ac ＜bc ；〔 错 〕（6） 由x ＞y ，且m ≠0，得－m x ＜m y -；〔 错 〕 （7） 由x ＞y ，得xz 2 ＞yz 2；〔 错 〕（8） 由xz 2 ＞yz 2，得x ＞y ；〔对 〕3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果缺乏3个，问有几个孩子？有多少只苹果？解：设有x 个孩，依题意：3x ＋8 － 5〔x －1〕＜3 解得5＜x ≤6.5X ＝6 答〔略〕。
中考复习实数的运算、整式 、因式分解、分式、二次根式与运算
，那么称 为分式，对于任意一 ． B≠0
个分式，分母都 不能为零 (2)分式 中，①若分式 有意义 ②若分式 无意义 B＝ 0 ③若分式
A＝0且B≠0
2．分式的基本性质 (1)分式的基本性质： (2)分式的变号法则：
M
-a -b M -a
3．分式的运算 (1)加减运算： ①同分母分式相加减法则： ② 异 分 母 分 式 相 加 减 法 则 （ 先 通 分 ）： (2)乘除运算： ①乘法法则： ②除法法则： ③乘方运算： (3)分式的混合运算顺序： 先算乘方， 再算乘除． 最 后算加减，若有括号，先算括号里面的．
注
意：（1）只有同类项才能合并；
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母 的指数不变.
整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就 先去括号，然 后再 合并同类项 . 去 括 号：(1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去 掉后，括号里的各项的符号都不变号. (2)括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉 后，括号里的各项的符号都要改变符号.
平方根、算术平方根与立方 根
举例
数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二次根式 形如 a(________) a≥0 的式子，叫做二次根式. a中的 的概念 a 是非负数，其结果也是非负数. 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 最简二次 根式： 根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
4.单项式与多项式 (1)由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个 数或一个字母也是单项式. (2)一个单项式中， 所有字母的 指数和叫做这个单项式的次数. (3)几个单项式的和叫做多项式. (4) 一个多项式中， 的次数，叫做这个多项式的次 次数最高的项 数. 5.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类 项. 6.整式加减的一般步骤 (1)如果有括号先去括号； (2)合并同类项： 只把系数 相加减 ， 所含字母及字母的指数不变.
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初三数学基础复习一
实数与代数式以及方程、不等式的复习
基础知识要点
1.__________和__________统称有理数。
2.______________________叫做无理数。
3._________和_________统称实数。
4.只有相反数没有倒数的数是_______.
5.倒数是本身的数是___________.
6.a与b是互为相反数，则a+b=_______，a与b互为倒数，则ab=_____.
7.a 与b互为负倒数，则ab=____________.
8.错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
=_____________；错误!未找到引用源。
,则
a___________.
9.分类讨论：错误!未找到引用源。
=____________,错误!未找到引用源。
=______________.
10.错误!未找到引用源。
称a的____________,错误!未找到引用源。
,则a的平方根表示为__________.
11.乘法展开，乘法公式①错误!未找到引用源。
________;②错误!未找到引用源。
___________;
③错误!未找到引用源。
_______________;④错误!未找到引用源。
______________;
⑤错误!未找到引用源。
_________.
12.因式分解公式①错误!未找到引用源。
________________;②错误!未找到引用源。
_________;
③错误!未找到引用源。
______________;④错误!未找到引用源。
______________________;
⑤错误!未找到引用源。
______________________.
13.分式运算只能___________分，不能____________分母。
14.求分式的值为零，则应使分子_________,分母__________.
15._________________________叫做分母有理化.
16.错误!未找到引用源。
的有理化因式为__________;错误!未找到引用源。
的有理化因式为_________;
错误!未找到引用源。
的有理化因式为_______;错误!未找到引用源。
的有理化因式为_________.
17.错误!未找到引用源。
_______;错误!未找到引用源。
________;错误!未找到引用源。
_________;错
误!未找到引用源。
_________;错误!未找到引用源。
_______.
18.科学记数法是指把一个数表示为_______________________________的形式。
19.错误!未找到引用源。
=_____；错误!未找到引用源。
=_______；
1
2
a=________；
1
m
a=________；
n
m
a=________；
n
m
a-=__________.
20.在一个近似数中，从_____________________起，到精确到的位数为止，这中间所以的数字都叫
做这个近似数的_________________。
小练习
一、选择题
1、下列说法正确的是（）
A、数轴上的点都表示一个有理数
B、所有的有理数都可以用数轴上的点表示
C、有理数与数轴上的点一一对应
D、以上答案都不对
2、下列实数中是无理数的是（）
A、3.14
B、
1
3
C、
3
π
D、9
3、如图，数轴上的点P表示的数可能是（）
A5B、5C、10D、 2.9
-
4、下列代数式中，次数为3的单项式是（）
A、2x yz
B、33
x y
+C、3
xy D、3xyz
5、下面运算正确的是（）
A、22
752
a b a b
-=B、842
x x x
÷=C、326
(3)9
x x
-=D、3515
a a a
⨯=
6、下列各式从左到右的变形是正确的因式分解的是（）
A、32
32(32)
x xy x x x y
-+=-B、22
()()
x y x y x y
+-=-
B
C
A C 、228(5)(5)3a a a -=+-- D 、22
44(2)x x x ---=-+
7
x
=，则x 的取值范围是（ ） A 、0x = B 、0x < C 、01x << D 、01x <≤
8、若关于x 的不等式325m x -<的解集是2x >，则实数m 的值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
9、下列叙述正确的是 （ ）
A 、若a b =，则a b =
B 、若a b >，则a b >
C 、若a b <，则a b <
D 、若a b =，则a b =±
10、不论a ，b 为何实数，2
2
248a b a b +--+的值 （ ） A 、总是正数 B 、总是负数 C 、可以是零 D 、可以是正数也可以是负数
二、 填空题
11、三角形一边长是10，另两边长是方程2
14480x x -+=的根，则这个三角形的周长是_____________。
12、若方程
322x m
x x
-=
--无解，则m =______。
13
k =无实数解，则k 的取值范围是_______。
14
、方程0x =的解是_______。
15、某厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这个增长率是_________。
16、梯形的下底比上底长3，高比上底短1，面积为26，如果设上底为x ，那么可列方程为
____________________。
17、方程3x －54y=0的解的个数有________个
18、当0<x<1时，x 2、x 、x
1的大小顺序是__________ 。
19、在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，联结AM(如图)直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是______
20、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE=2，EC=1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为________。
三、 解答题
21、某公司决定用不超过34万元的资金购买6台机器。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日产量如表所示。
(1)按该公司要求，可以有_______种购买方案. (2)若该公司购进的6台机器的日产量不低于380个，
为了节约资金，应选择哪种购买方案？
22、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
(2)如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于点O ，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=21∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； (3)将(2)中的“∠A=60°”去掉，那么是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
23、△ABC 中，∠B=15°，△ABC 的面积为2，过点A 作AD ⊥AB 交BC 的延长线于点D, MN 垂直平分BD ，垂足为N ，交AB 于M ．
(1)求证：BM=2AD ；(2)设BC=x ，BD=y. 求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域．
B O A D E
C N M
B C D
A。