初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
八年级奥数辅导-分式方程(组)的解法1
奥数辅导分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b 及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4?2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
初三数学分式方程试题答案及解析
初三数学分式方程试题答案及解析1.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【答案】甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．【解析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数-乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程．试题解析：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得，解得：x=40．经检验：x=40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x=60．答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．【考点】分式方程的应用．2.以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；②方程组正整数的解有2组；③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③【答案】A．【解析】①关于x的方程的解是x=c或x=（c≠0），故此选项错误；②方程组的正整数解有2组，方程组，∵x、y、z是正整数，∴x+y≥2∵23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23∴只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2、y=21或x=20、y=3∴这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），故此选项正确；③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，则x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4﹣a=3的解，此选项正确．故选A．【考点】1.分式方程的解2.二元一次方程组的解．3.列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.【答案】纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元【解析】此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的，即：试题解析：设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元.由题意得：解得：x=0.18经检验0.18为原方程的解答:纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元.【考点】分式方程的应用4.若关于x的方程无解，则m=________.【答案】1或.【解析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-4=0，求出x的值代入整式方程即可求出m的值．试题解析：去分母得：x-2=3+m(x-4)，整理得：（1-m）x=5-4m若1-m=0，即m=1，方程无解；若1-m≠0，即m≠1时，根据题意：x-4=0，即x=4，将x=4代入整式方程得：m=.综上，m的值为1或.【考点】分式方程的解．5.列方程（组）解应用题：某工厂现在平均每天比原计划平均每天多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产400台机器所需的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？【答案】150．【解析】因为现在生产600台机器的时间与原计划生产400台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产400台时间．试题解析：设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：，解得：x=150．检验：当x=150时，x（x﹣50）≠0．∴x=150是原分式方程的解．答：现在平均每天生产150台机器．【考点】分式方程的应用（工程问题）．6.一行20人外出旅游入住某酒店，因特殊原因，服务员在安排房间时每间比原来多住1人，结果比原来少用了一个房间．设原来每间住x人，则下列方程正确的是A．B．C．D．【答案】A.【解析】设原来每间住x人，原来所用房间数为，实际所用房间数为．所列方程为．故选A．【考点】由实际问题抽象出分式方程．7.解方程：.【答案】.【解析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解.试题解析：去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，化x的系数为1，得，经检验，是原方程的根，∴原方程的解为.【考点】解分式方程.8.解方程：【答案】.【解析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解.去分母，得，移项，合并同类项，得，化的系数为1，得.经检验：是原方程的根.∴原方程的解为.【考点】解分式方程.9.列方程或方程组解应用题：据了解，京石高铁开通后，北京西到石家庄所用时间将比坐快速火车节省约两个小时左右，已知北京西到石家庄的距离约为280公里，轻轨速度约是快速火车速度的4倍，求北京西到石家庄的轻轨速度和快速火车速度约为多少？【答案】105，420.【解析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题等量关系为：北京西到石家庄所用时间将比坐快速火车节省约两个小时.设北京西到石家庄的快速火车速度约为x公里/小时，则北京西到石家庄的轻轨速度约为4x公里/小时．根据题意，得，解得，x="105" .经检验：x=105是原方程的根且符合题意.∴4x=420.答：北京西到石家庄的快速火车速度约为105公里/小时，北京西到石家庄的轻轨速度约为420公里/小时．【考点】分式方程的应用（行程问题）.10.运动会上初二(3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元；乙种雪糕共30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为 ()A．－＝20B．－＝20C．－＝20D．－＝20【答案】B【解析】等量关系为甲种雪糕－乙种雪糕＝20根，故选B.11.清明节前，某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，试求步行的速度.【答案】6km/h.【解析】首先表示出骑自行车速度为2xkm/h，再根据时间=路程÷速度表示出去距离学校4km的烈士陵园扫墓步行所用的时间与骑自行车所用时间，根据时间相差20min可得方程．解方程即可解决问题.试题解析：设步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为 2x km/h。
人教版八年级数学讲义解分式方程(含解析)(2020年最新)
第11讲解分式方程知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习解分式方程。
分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型。
在中考中，有关分式的内容所占比例较大，所以要重视本节课知识的学习，学会解分式方程。
知识梳理讲解用时：20分钟分式方程22x 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162x x 分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=π212x x x x x xx x4371111052131xy x x xx x x x解分式方程的步骤在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想.增根的定义：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为零的根.分式方程的解法：去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).分式方程有增根和无解的区别：（1）分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值，从而使分式方程无解.（2）分式方程无解：指的是无论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，包含两种情况：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.100602020vv转化一元一次方程两边同乘以（20+v ）（20-v ），得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5检验：当v=5代入分式方程，左边=4=右边所以v=5是原方程的解.解：课堂精讲精练【例题1】下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=．其中，分式方程有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断即可．解：下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=是分式方程的是：②④⑤，共3个；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：熟练掌握分式方程的定义，学会判断分式方程.难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：荣成市校级月考年份：2015【练习1.1】在关于x的方程：①=+，②﹣=0，③ax2=+1，④=，⑤=，⑥+=中，是整式方程，是分式方程．【答案】②③④；①⑤【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解：①=+，⑤=的分母中含未知数，是分式方程；②﹣=0，③ax2=+1，④=的分母中不含未知数，是整式方程；故答案是：②③④；①⑤．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】解分式方程：﹣=1．【答案】无解【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：化为整式方程得：3x﹣（4﹣x2）=x（x﹣1），化简得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1时，x（x﹣1）=0，原方程无意义，所以x=1是原方程的增根，所以原方程无解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：岐山县一模年份：2018【练习2.1】解分式方程：+=．【答案】无解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x+4﹣4x=3x﹣6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无实数解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：兴庆区校级一模年份：2018【练习2.2】解方程（1）﹣1=．（2）=．【答案】（1）无解；（2）x=1【解析】（1）直接找出公分母进而去分母解方程即可；（2）直接找出公分母进而去分母解方程即可．解：（1）﹣1=去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得：x=1，检验：当x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，故此方程无实数根；（2）=去分母得：2x+1=3x，解得：x=1，检验：当x=1时，x（2x+1）≠0，故x=1是原方程的解．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．教学建议：熟练掌握解分式方程的步骤，最后一定要验根，保证分母不等于0. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：澧县三模年份：2018 【例题3】关于x的分式方程=﹣2的根是负数，试确定a的取值范围．关于本题有同学解答如下：解：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3）．化简，得3x=a﹣6．所以x=．因为原方程的根是负数，所以＜0，得a＜6．所以当a＜6时，原方程的根是负数．你认为上述解答正确吗？如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答．【答案】不正确，没有考虑分母不为0的条件【解析】不正确，没有考虑分母不为0的条件，写出正确解答过程即可．解：不正确，没有考虑分母不为0这个条件，正确解答为：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3），化简，得3x=a﹣6，所以x=，因为原方程的根是负数，所以＜0，且≠﹣3，得a＜6且a≠3，所以当a＜6且a≠﹣3时，原方程的根是负数．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：泰兴市校级期中年份：2018【练习3.1】如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？【答案】m=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．解：去分母得：m+3x﹣6=x﹣1，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：m=1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：筠连县校级期中年份：2017【练习3.2】若关于x的分式方程=1的解为正数，求m的取值范围．【答案】m＞2且m≠3【解析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．解题思路：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：先化分式方程为整式方程，保证分母不等于0，然后解一元一次不等式.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：杜尔伯特县校级期中年份：2018【例题4】已知关于x的方程+=3．（1）当m取何值时，此方程的解为x=3；（2）当m取何值时，此方程会产生增根；（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】（1）m=-3；（2）m=-4；（3）m＞-6且m≠-4【解析】（1）把x=3代入方程+=3即可得出m的值；（2）根据增根的定义，得出增根x=2，从而得出m的值；（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）把x=3代入方程+=3，得m=﹣3；（2）方程的增根为x=2，2x+m=3x﹣6，所以m=﹣4；（3）去分母得，2x+m=3x﹣6，解得x=m+6，因为x＞0，所以m+6＞0，解得m＞﹣6，因为x≠2，所以m≠﹣4．解题思路：本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安校级期末年份：2015【练习4.1】（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．【答案】（1）m=﹣4或6；（2）a＜2且a≠﹣4【解析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a=2﹣x解得：x=，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：简阳市校级月考年份：2015【练习4.2】若方程+=2有增根，求m的值．【答案】0【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）2）=0，得到x=﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解：方程的两边都乘以（x+1）2，得m+2x（x+1）=2（x+1）2．化简，得m=2x+2∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）2=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，m=2×（﹣1）+2=0．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：原阳县校级月考年份：2016【例题5】已知方程+=有增根，求k的值．【答案】k=-1【解析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）+k（x+1）=x（x﹣1）∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，∴增根是x=1或﹣1，当x=1时，k=-1；当x=﹣1时，k无解．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】若分式方程﹣=有增根，求k值及增根．【答案】3或6或9【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x+1）（x﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得x（k﹣1）﹣（x+1）=（x﹣1）（k﹣5），∵原方程有增根，∴最简公分母x（x+1）（x﹣1），∴增根是x=0或﹣1或1，当x=0时，k=6；当x=﹣1时，k=9；当x=1时，k=3．故k值为3或6或9．讲解用时：3分钟解题思路：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．【答案】=【解析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．由题意得：=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】90【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据题意得：﹣=，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：盘龙区模拟年份：2018【例题7】某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，求钢笔的单价．【答案】10元/支【解析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据数量=总价÷单价结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据题意得：﹣=30，解得：x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意．答：钢笔的单价为10元/支．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：长春一模年份：2018【练习7.1】某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．【答案】2小时【解析】设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据速度=路程÷时间结合铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据题意得：﹣=90，解得：x1=2，x2=﹣3，经检验，它们都是原方程的根，但x=﹣3不符合题意．答：高铁列车全程的运行时间为2小时．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018【练习7.2】水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？【答案】120【解析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，由题意得，×2=，解得：x=120，经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批水果每件进价为120元．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：长春二模年份：2018课后作业【作业1】（1）化简：（2）方程的=解是．【答案】（1）﹣；（2）x=﹣4【解析】（1）先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算可得；（2）根据解分式方程的步骤计算可得．解：（1）原式=﹣==﹣；（2）两边都乘以2（x+2）（x﹣2），得：8﹣2（x+2）=（x+2）（x﹣2），整理，得：x2+2x﹣8=0，解得：x=2或x=﹣4，检验：x=2时，2（x+2）（x﹣2）=0，舍去；x=﹣4时，2（x+2）（x﹣2）=24≠0，所以原分式方程的解为x=﹣4，故答案为：x=﹣4．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：高淳区二模年份：2018【作业2】若分式方程=a无解，求a的值．【答案】a=1或a=﹣1【解析】直接解分式方程进而分析得出答案a的值．解：∵分式方程=a无解，∴x﹣a=ax+a，整理得：（1﹣a）x=2a，则1﹣a=0或x==﹣1，解得：a=1或a=﹣1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：吴江区校级月考年份：2017【作业3】（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．【答案】（1）5；（2）x=1【解析】（1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得x=2（x﹣5）+m．化简，得m=﹣x+10．分式方程的增根是x=5，把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；（2）分式的值比分式的值大3，得﹣=3．方程得两边都乘以（x﹣2），得x﹣3﹣1=3（x﹣2）．解得x=1，检验：把x=1代入x﹣5≠0，x=1是原分式方程的解，当x=1时，分式的值比分式的值大3．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】（1）当m为何值时，方程+=会产生增根．（2）当m为何值时，方程+=无解．（3）已知关于x的方程﹣2=的解为正数，求m的取值范围．【答案】（1）m=﹣10或﹣4；（2）m≠﹣3；（3）m＜6，且m≠3【解析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）∵方程+=会产生增根，∴x2﹣1=0，∴x=±1，分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）=m，当x=1时，m=﹣10；当x=﹣1时，m=﹣4；∴当m=﹣10或﹣4时，方程+=会产生增根；（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）=12，整理得，（3+m）x=2m+6，当3+m≠0时，x=2，经检验x=2是分式方程的增根，当m=﹣3时，方程有无数个解，∴当m≠﹣3时，方程+=无解；（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）=m，整理得，﹣x=m﹣6，∴x=6﹣m，∵关于x的方程﹣2=的解为正数，∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，m＜6，且m≠3，∴m的取值范围m＜6，且m≠3；难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？【答案】【解析】先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．解：依题意有﹣==小时．答：顺流航行比逆流航行少用小时．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：石家庄校级月考年份：2009。
第6讲分式方程(讲义)解析版
第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=， 解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-， 得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-， 解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî， 经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++， 两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意； 综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î， 去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程 【例2】解方程081318218111222=--+-++-+x x x x x x ．解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++xy y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解．注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如aa x x 11+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，ax 12=．【例3】解方程 310511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11=x ，22=x 均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 222222414414414． 解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解． 若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21． 二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++． 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a 2－1≠0时①当a ≠0时，原方程解为x=212a +；②当a=0时，此时21±=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±的任意数； 综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=212a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠21±的任意数． 三、列分式方程解应用题【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S xyS x 181827227解得 S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xn x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++． 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注 本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析 本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．解 设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．学力训练 （A 级）1．解分式方程16143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k xx 有增根x=1，求k 的值．3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ．5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？（B 级）1．关于x 的方程cda x xb =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠02．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则111+++++k kn n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． 6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．分式方程（组）分式方程（组）。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题08 分式方程_答案-精编
专题08 分式方程例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C xB A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111AC B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----． （2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x x y x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++ 例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时， 111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x +=． 于是221()x x +331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250． 10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得123111.x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==aB 级1. 3或 － 72. x ₁=8 , x ₂=－1 , x ₃=－8 , x ₄=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a : a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则1x y +=++a yz yz xz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得 111111a 1=+++++c b 得.,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x 当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a253,,10.28a a <-=∴=故应当舍去 22232006()2321006,1,10.? 1x x y x x x y x x -+=-+≠--∴=把原方程变形为 200521,2005120055401,11,5,401,2005,1(x,y)=(2,2008),(6,412),(402,808),(2006,4012)x x x =-+=⨯=⨯-=-分别取从而 1000008000011 (1),,10004000,4000,4000.(2),48003500+3000(15)50000,6x 10.x ,,,,,.x x xx x x x x =+==≤-≤≤≤设今年三月份甲种电脑每台售价元由题意得解得经检验是原方程的根所以甲种电脑每台售价元设购进甲种电脑台由题意得解得因为的正整数解为678910所以共有5种进货方案 (3)设总获利为W 元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利。
初一奥数.第十二讲 分式方程的解法及应用
第十二讲 分式方程的解法及应用要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）例1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b+=，（a ，b 为非零常数） 例2.解分式方程（1）10522112x x +=--； 解方程：21233x x x -=---．练习解方程：（1）()()31112x x x x -=--+ （2）例3关于x 的分式方程 xm x x --+=-21122 （1）有增根，则增根是 m 的值是（2）若解为正数，求m 的范围。
练习1、m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？2.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ．例4.已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是非正数，则a 的取值范围是 .练习1、已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为例5.张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？练习1、甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．。
初三数学分式方程试题答案及解析
初三数学分式方程试题答案及解析1.某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）至少应安排甲队工作10天．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．试题解析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m2），根据题意得：解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：解得：y≥10，答：至少应安排甲队工作10天．【考点】1. 分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用2.荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．【解析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程；（2）设公司购买台灯的个数为a各，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式．试题解析：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．根据题意得解得 x=5经检验，x=5是原方程的解．所以 x+20=25．答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）由题意得 25a+5（2a+8）≤670解得a≤21所以荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．【考点】1、分式方程的应用；2、一元一次不等式的应用．3.马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．【答案】80米/分．【解析】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．试题解析：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得，解得 x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．【考点】分式方程的应用（行程问题）．4.⑴解方程：（1）; (2)解不等式组并求该不等式组的整数解。
初二奥数辅导分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形•变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9y y y亠15k
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
(3x2+4x~1)+(3x2-4x -1)(x2++1) +(x2-4x+1)
去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0，
y2-4xy-45x2=0,
(y+或y=-5x .
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1 ,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18 =0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
整理得
\3茎一2
黑十！x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+ 9=0,x=-9 .
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+ 1 X +6x+ 2x+5
+=+
黑 +2x+ 7x+3x+ 6
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分式方程（组）
本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．
【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．
解分式方程一定要验根．
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．
列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．
例题求解
一、分式方程(组)的解法举例
1．拆项重组解分式方程
【例1】解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如
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2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．
2．用换元法解分式方程
【例2】解方程08131
8218111
222=--+-++-+x x x x x x ．
解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．
解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x
y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ．
故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1．
当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1．
经检验，上述四解均为原方程的解．
注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．
3．形如a a x x 11+=+
结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a
x 12=．
【例3】解方程 310511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．
11=x ，22=x 均为原方程的解．
4．运用整体代换解分式方程组
【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x
x z y
y y x x 22
22
22
414414414． 解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?
解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解．
若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=
21 故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=
2
1． 二、含字母系数分式方程根的讨论
【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++． 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．
讨论：（1）当a 2
－1≠0时
①当a ≠0时，原方程解为x=212
a +； ②当a=0时，此时21±
=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±
的任意数； 综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=2
12
a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠2
1±的任意数． 三、列分式方程解应用题
【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到
扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?
解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．
解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，
则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S x y S x 181827227 解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54级．
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．
由于两人所走的时间相等，所以有x
n x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++． 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．
试验知只有m=3，n=612符合要求．
所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+6
12×54=198(级)．
注 本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析 本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．
解 设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，
解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．
学力训练
（A 级）
1．解分式方程16143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1
151
222--=+-+-x k x x k x x 有增根x=1，求k 的值．
3．解分式方程5
2)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ． 5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？
（B 级）
1．关于x 的方程c
d a x x b =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠0
2．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．
3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则
111+++++k k n n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩
⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？ 5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做
10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? (2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．
6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．
(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．
(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．
34 分式方程（组）分式方程（组）。