工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法讲解
结构可靠度计算
g
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
2012
结构可靠度计算
13
Changsha University of Science & Technology
可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
2012
结构可靠度计算
3
Changsha University of Science & Technology
1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
结构可靠度设计验算点法介绍
结构可靠度设计验算点法介绍摘要：工程结构应要求具有一定的可靠性，才能保证结构在规定的使用期内能够满足设计要求的各项使用功能。
本文对设计验算点法进行了分类与总结, 同时分析了此计算方法的缺点。
关键字：结构可靠度计算方法缺点1 引言工程可靠度是结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
是结构可靠性的概率度量[1]。
“规定时间”一般是指结构设计基准期，目前世界上大多数国家普通结构设计基准期均为50年。
设计基准期和设计使用年限是有区别的。
设计基准期是为确定可变作用及与时间有关的材料性能取值而选用的时间参数[2]。
所谓设计使用年限，是设计规定的结构或构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。
是借鉴了国际标准ISO2394：1998提出的，又称为服役期、服务期等。
“预定的功能”指结构在设计基准期内，经济合理的满足下列要求：1、在正常的施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用；2、在正常使用时具有良好的工作性能；3、在正常维护下具有足够的耐久性能；4、在设计规定的偶然时间发生时及发生后，人能保持必须的稳定性。
上述要求的第1、4项关系到人身安全问题，属于结构的安全性，第2项关系到结构的适用性；第3项关系到结构的耐久性。
安全性、适用性和耐久性总称为可靠性。
要注意安全性与可靠性的区别，可靠性的范围更大[3]。
我国结构可靠度理论的研究相对起步较晚。
1954年，大连工学院提出用数理统计学中的误差公式，计算各种荷载组合的总超载系数及构件的总匀质系数，代替各分项系数。
1960年又提出用数理统计法计算的安全系数与经验系数相结合，设计混凝土结构构件。
1978年，借鉴了JCSS编制的《结构统一标准规范的国际体系》，采用了水准Ⅱ的概率极限状态设计法，进行《建筑结构统一设计标准》的编制和研究。
1992年正式颁布了适用于全国的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB50216—94）等6个统一标准。
在“统一标准”的指导下，对建筑、水利等各专业结构设计规范进行了大规模的修订或编制。
结构可靠度-可靠度分析方法
利用对数正态分布的特性------ ln X 服从正态分布，
可以推出：
X ' X * ln X
X ' X 1 ln X ln X
验算点法
用当量正态变量
X
' i
的统计参数
、 X
' i
X
' i
代替
Xi
的统计参数 Xi 、 Xi 后，关于正态变量计算 的
方法均可适用。
对于大多数的非正态随机变量，并不能由其概率
S
2 R
2 S
cosRˆ
R
2 R
2 S
R S p OˆP
2 R
2 S
可见：在坐标系 SˆOˆRˆ 中，极限状态直线的法线
OˆP 的长度恰好等于 。
验算点法
结构可靠指标 的几何意义：
------是标准正态坐标系中原点到极限状态直线的 最短距离。
设计验算点
法线的垂足 P点称为设计验算点。
基本思路： 当量正态化
非正态变量
正态变量
当量正态化条件：
设X为非正态连续型随机变量，在 X 处进行当量正态 化，即找一个正态随机变量 X ' ，使得在 X 处满足：
⑴、正态变量 X ' 的分布函数在 X 处的值 FX ' X 与 非正态变量 X 的分布函数在 X 处的值 FX X 相等；
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量Xi(i=1,2, ••；n)的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不 易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它 们的一阶原 点矩和 二阶中心 矩这两个特征参 数，近 似地计算 状态函数的均值 和方 差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order seco nd mome nt method)，包括中心点法和验 算点法。
中心点法中心点法［56］是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平 均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为的可靠度问题，可靠度指标为当随机变 量R 和S 服从正态分 布时，式可变为住 »R 一讥上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功 能函数Z =g x (X ! ,X 2, ,X n )其中：X 1,X 2, “;X n 为结构中的n 个相互独立的随 机变量，其平均值为 眾』X 2,X 「 标准差为61,62,…，二X n 。
将功能函数 在随机变量的平 均值处 展开泰勒 级数展 开，取一次项近似Z 、Z L 二 g X (「i 』2,…• 7 ^^(X i 「二xj i£ cX i函数的均值和方差分别为由中心点法 的可靠度指标的 定义，从而有氏 A Z g X (匕1，比2,…’i n )P = 从式和的推 导可以看出，中 心点法 使用了结 构功能函数的的一次泰勒级数展 开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称J Z 」Z 二EZ 二g x 宀；S ；n )上 .2匚 Z ；「Z L=E(Z L _ "Z n )2八 i ± x (") ° X i ：=X i i'2C X i£g x (4) ＜欣iJ Z为二阶矩模式。
中心点法的优点是显而易见的，即计算简便，不需要进行迭代求 解。
结构构件可靠度的计算方法讲解
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为Xi
和 Xi 。
2. 功能函数的概率特征值
n
Z a0 ai Xi i 1
Z
n
2
ai Xi
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
可靠指标：
n
Z
计算过程:
(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态
3.1 均值一次二阶矩法
Z1 Wf y M Wf y 128800（N·m）
b、材料屈服应力极限状态。
Z2
f
y
M W
fy
128800 W
（Pa）
(2)对功能函数在均值点进行线性化
Z1 fy W 128800 w ( f y fy ) fy (W W )
g
(
X
* 1
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)
0
非正态随机变量的当量正态化
改进均值一次二阶法的不足
在极限状态曲面 g(X )寻 找0 验算点 P* ，x1*,并x2*在,...,此xn*基础上
进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态 随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方 法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使用，又称JC法。
– 随机变量由 X空间向 U 空间变换
X (X1, X 2,L , X n )
U (U1,U2 ,L ,Un )
– 功能函数由X空间向 U 空间变换 Z g( X ) g( X1, X 2 ,L , X n ) Zˆ G(U) G(U1,U2,L ,Un)
结构可靠度计算方法(一次二阶矩)
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
一、基本概念
西南交通大学
3 Southwest Jiaotong University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
➢对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
➢选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
▪ 适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求
不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限
状态的可靠度分析。
16
5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互
1、验算点法（JC法）
JC法是Hasofer, Lind, Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。
适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标 的计算。
泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的 可靠度，因此称为一次二阶矩。
7
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
8 Southwest Jiaotong University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
g(X1 , X2 , , Xn )
2 ZL
E
ZL
E
ZL
2
n i 1
g X i
2
工程结构可靠度讲解
课程内容
• 介绍工程结构可靠度、安全度理论和规范 设计方法；
• 介绍以概率理论为基础的极限状态设计法 （一次二阶矩理论）；
• 介绍荷载和抗力的统计分析方法； • 介绍材料性能的质量控制； • 介绍可靠度研究的动向。
1绪 论
• 工程结构的设计的两个步骤： • 1.结构选型：包括结构总体布置、结构方案
3．1 中心点法
• 中心点法是结构可靠度研究初期提出的一 种方法，其基本思想是首先将非线性功能 函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒 级数展开并保留至一次项，然后近似计算 功能函数的平均值和标准差。可靠指标直 接用功能函数的平均值和标准差表示。
• 中心点法计算的结果比较粗糙，一般常用 于结构可靠度要求不高的情况，如钢筋混 凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。
约界法、截止枚举法、优化准则法等。
附录A 国际标准IS02394：1998 《结构可靠性总原则》简介
• 国际标准IS02394：1998《结构可靠性总 原则》，‘是由国际标准化组织ISO／TC 98技术委员会(结构设计基础)分委员会 SC2(结构可靠性)编制完成的，取代了曾经 在技术上修订过的第一版国际标准 (1S02394：1986)。
A．2 国际标准ISO 2394：1998
《结构可靠性总原则》的适用范围
• 该标准适用于各种整体结构，如房屋建筑、各种 桥梁、工业构筑物等，以及组成结构的各种结构 构件和基础的设计；适用于施工中的各个阶段， 即结构构件的制作、运输和装匈、安装和全部现 场作业，以及结构在设计工作寿命期的使用及维 修；允许不同国家之间在实际设计中有所差别， 具体到某个国家，其国家标准和实用规范与该国 际标准相比可以略作简化，或在某些方面更加详 细一些。对已有工程结构的鉴定或变更用途的评 定，该标淮同样适用，并在专门章节作了较为详 细的阐述。
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。
中心点法中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为S R Z -=的可靠度问题，可靠度指标为ZZσμβ=当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为22SRS R σσμμβ+-=上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数),,,(21n X X X X g Z =其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。
将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似)()(),,,(121i X i ni in X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑= 函数的均值和方差分别为),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-=≈ni X i X Z L ZZ i L LXg Z E 122)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X iX X X X X Z Z inX g g 12)(),,,(21σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称为二阶矩模式。
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三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变
量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验
算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为： Z R S 0 Rˆ R
R=S极极限限状状态态线线
对R和S作标准化变换
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最
短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
P* (Sˆ*, Rˆ * )
Sˆ* coss
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
Rˆ R
0' S
P*
极限状态线
Sˆ
cosR
R
2 R
2 S
cosS
S
2 R
2 S
cosR Rˆ cosS Sˆ 0
极限状态直线的 标准法线式方程
极限状态曲面
Xˆ
* n
P*
θn
θ1
θ2
Xˆ
* 1
Xˆ
* 2
Xˆ 2
Xˆ 1
可证明在原坐标系中P*的坐标为
X
* i
i
cosi
i
①
cosi
g X i
i
p*
②
1
n
( g
i1 X i
2
i )2
p*
g
(
X
* 1
,
X
* 2
，X
* n
)
0
③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
允许值为止
3 多个非正态分布随机变量
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当
f(Q)
量正态化条件
FX '(x*) FX (x*)
f X '(x*) f X (x*)
得当量正态变量Ｘi’的特征值
0 Ｘ* μ ’X μ X
Xi* i cosi i ①
cosi
g X i
i
p*
1
②
n
(
g
i1 X i
2
i )2
p*
g
(
X
*1,
X
* 2
，X
* n
)
0
③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式
① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β
(1) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi ห้องสมุดไป่ตู้2) 求cosθi (3) 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β (5) 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于
3计算方向余弦 4 求S* 、R*
cosR
R'
0.9347
2 R'
2 S'
cosS
S'
0.3555
2 R'
2 S'
R* R R cosR 133.5 18.8249 S* S S cosS 54.517 2.7231
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏
◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有
5求β
Z R*S* 21.548 78.983 0
3.6654
6 求S* R*
R* 133.5 18.8249 64.498kN S* 54.517 2.7231 64.498kN
重复2-6,计算见表8-4
β=3.3005
Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z=R-S<0 结构处于失效状态
βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结的构能力在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
PS P(Z 0) 1- Pf fx (X1X2 Xn )dX1X2 Xn
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度
量结构的可靠程度 Z 1 Z Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布
Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0
对Xi作标准化变换
Xˆ i Xi i i
Xi i Xˆ i i
Z g(1Xˆ1 1,， nXˆ n n ) 0
Xˆ n
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 Ô到曲面的最短距离ÔP*就 是结构可靠指标β
Rˆ R R
S
S
S
0'
Sˆ
R
S
以 Rˆ 和 Sˆ 表述的极限状态
S
Z R Rˆ S Sˆ R S 0
用
2 R
2 S
除上式得
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
解：１假设验算点坐标： S*= μS=60kN
２将R、S当量正态化
R R*[1 ln
R ] 133.5kN
1
2 R
R R*
ln(1
2 R
)
20.14kN
R*= μR=135kN
S 7.953
1.28255
S 0.57722 55.41
Rˆ * cosR
Rˆ
R Sˆ *
0' S
Rˆ *
P*
极限状态线
Sˆ
在原坐标系中，验算点的坐标
S* S S cosS R* R R cosR
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z R* S* 0
2 多个正态分布随机变量
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
FS
(
S
*
)
exp{
exp[
S
*
]}
0.5703
fS
(S*)
1
exp(
S*
)
exp{
exp[
S*
]}
0.0403
S
{1[FS (S*)]}
fS (S*)
0.3087 0.0403
7.66kN
S S * 1[FS (S *)] S 54.517 kN
Ｘ
Xi '
xi*
1[F Xi
(xi*)] Xi
Xi ' {1[FXi (xi*)]}/ fXi (xi*)
式中 —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β