9-结构可靠度分析与计算
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结构可靠度计算
g
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
2012
结构可靠度计算
13
Changsha University of Science & Technology
可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
2012
结构可靠度计算
3
Changsha University of Science & Technology
1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
第9章 结构可靠度分析
g X i
X
( X i Xi )
Z g ( X , X , , X ) 2 Z n g X
1 2 n
则 Z g ( X , X ,, X )
1 2 n
g Z i 1 X i
n
X
X
i
显然 Pf
可靠度指标β：
由β定义的代替失效概率Pf的指标。 β Pf 2.7 3.5×10-3 β与Pf关系 3.2 6.9×10-4 3.7 1.1×10-4 4.2 1.3×10-5
9-23
9.1 结构可靠度基本概念
令:
R S Z 2 2 Z R S
Y Z Z
9-2
9.1 结构可靠度基本概念
(1)、(4)为结构的安全性 (2)为结构的适用性 (3)为结构的耐久性 统称为结构的可靠性
●结构的功能函数
令 Z=R–S R：结构抗力； S：结构荷载效应。
9-3
9.1 结构可靠度基本概念
则有三种情况： (1) Z > 0 结构可靠 (2) Z < 0 结构失效 (3) Z = 0 结构处于极限状态 称 Z=R–S 为结构的功能函数 Z = R – S = 0 为结构极限状态方程 由于影响荷载效应S和结构抗力R都有 很多基本的随机变量，则结构功能函数的 一般形式为
n
2
p f ( )
9-26
9.2 结构可靠度分析的实用方法
情况Ⅱ : 结构功能函数为非线性函数
Z g ( X 1 , X 2 ,, X n )
在各个变量的中心点（均值点）展开成泰勒 级数，仅取线性项
Z g X1 , X 2 ,, X n
结构可靠度概要课件
机理，提高结构可靠性。
探索新型材料和结构的性能特点，研究其 在不同环境下的可靠度变化规律。
多物理场耦合下的结构可靠度
人工智能与结构可靠度的结合
研究结构在多物理场（如温度、压力、振 动等）耦合作用下的性能退化和失效机制。
利用人工智能技术进行结构可靠性分析和 预测，提高预测精度和效率。
03
结构可靠度评估标准
国内外标准对比
国内标准
中国现行结构可靠度设计统一标准《 建筑结构可靠度设计统一标准》 GB50068-2001，规定了建筑结构 可靠度设计的基本原则、要求和计算 方法。
国外标准
如美国的ASCE7-10和欧洲的EC2、 EC3等，与国内标准在可靠度指标、 极限状态定义、荷载组合等方面存在 差异。
绿色可持续发展
在保证结构安全可靠的前提下，注重环保 和可持续发展，降低能耗和资源消耗。
面临的挑战与机遇
挑战
复杂环境和服役条件下的结构可靠性问题，新型材料和结构的性能退化机制，多物理场耦合作用下的性能退化规 律等。
机遇
随着科技的不断进步和工程实践的深入开展，结构可靠度研究将迎来更多的发展机遇和挑战。同时，国家和社会 对结构安全性的重视程度不断提高，为结构可靠度研究提供了广阔的发展空间和应用前景。
结构可靠性增强措施
材料选择与质量控制
01
选用优质材料，加强材料质量控制，提高结构材料的可靠性。
结构设计改进
02
优化结构设计，合理布置结构构件，降低应力集中和疲劳损伤。
施工质量控制
03
严格控制施工过程，确保施工质量符合设计要求，防止施工缺陷。
结构可靠性设计案例分析
案例一
某桥梁结构的可靠性设计分析， 采用有限元模型进行结构分析，
结构可靠度
Z g ( R, S ) R S
(3)结构的极限状态 （GB50068-2001) 结构的期望状态：结构处于 满足其功能要求的状态.其功能 函数 g ( X1 ,, X n ) 0 结构的不期望状态：结构处 于未能满足其功能要求的状态. 其功能函数 g ( X1 ,, X n ) 0 结构的极限状态：结构整体或部分超越某一状态 结构就不能满足设计规定的某一功能的要求，此状 态即称为结构该功能的极限状态。其功能函数满足:
• 根据结构极限状态被超越后的结构状况分类： • 1、不可逆极限状态 • 当引起超越极限状态的作用被移掉后，仍将永久地保持超越效应 的极限状态。即因超越极限状态而产生的结构的损坏或功能失常 将一直保持，除非结构被重新修复。 • 承载力极限状态一般是不可逆的，正常使用极限状态有时可逆有 时不可逆。 • 2、可逆极限状态 • 产生超越极限状态的作用被移掉后，将不再保持超越效应的极限 状态。即因超越结构极限状态而产生的结构损坏或功能失常仅在 超越的原因存在时保持。 • 总之，极限状态的分类没有固定的规则，主要以设计需要为 依据。如日本，地震经常发生，所以其《建筑及公共设施结构设 计基础》给出了可恢复极限状态；对于钢桥，车辆反复作用引起 的疲劳破坏严重，所以，美国的《荷载与抗力系数桥梁设计规范》 单独列出了疲劳极限状态，在大地震、洪水、车辆、冰流撞击等 条件下，该规范还列出了极端事件极限状态。
• 5、极限状态很多，为便于设计时掌握，按其性质分类 是必要的（包括破坏性和使用性）。 • 前苏联学者提出分成三类： • 第一类：承载力极限状态，包括结构的强度、稳定性、 疲劳等 • 第二类：由过大的变形引起的极限状态 • 第三类：由裂缝的形成或开展引起的极限状态（不适用 于钢结构）。 • 许多学者认为，第一类极限状态应当包括塑性变形的极 限状态，因而，将变形极限状态独立为第二极限状态， 似乎不恰当。为此，欧洲有关学术组织将极限状态重新 分为承载力极限状态和正常使用极限状态两类。
结构可靠度分析与计算
ln R
1
2 S
S
1
2 R
ln（1 R2） ln（1 S2）
第一节 结构可靠度基本原理
当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态 分布时，或者功能函数为多个随机变量组成的非线性函数 时，可靠指标很难直接用包含基本变量统计参数的公式计 算。
第一节 结构可靠度基本原理
结构可靠度： 结构可靠性的概率度量
可靠概率: 失效概率:
结构能完成预定功能的概率（ps） 结构不能完成预定功能的概率（pf）
ps pf 1
失效概率pf 越小，结构的可靠性越高； 失效概率pf 越大，结构的可靠性越低。
习惯上以失效概率pf来度量结构可靠度。
第一节 结构可靠度基本原理
失效概率计算
已知R和S的联合概率密度函数为fRS（r，s），则结 构的失效概率为
p f P{Z 0} P{R S 0} fRS (r，s)drds rs
假定R、S相互独立，相应的概率密度函数为fR（r） 及fS（s），则有
pf
f（R r） f（S s）drds
[
0
s 0
f（R r）dr]
f（S s）ds
0
F（R s）f（S s）ds
rs
第一节 结构可靠度基本原理
或
pf
f（R r） f（S s）drds
[
r
f（S s）ds] f（R r）dr
rs
[1
0
r 0
f（S s）ds] f（R r）dr
[1
0
F（S r）]
f（R r）dr
式中 FR（）、FS（）——随机变量R、S的概率分布函数。
第一节 结构可靠度基本原理
第九章-结构可靠度分析与计算
线性功能函数情况 非线性功能函数情况
第二节 结构可靠度基本分析方法
（一）线性功能函数情况 设结构功能函数为线性函数，即
n
Z a0 ai Xi i1
式中 a0、ai ——已知常数（i =1，2，…，n）。 功能函数的统计参数为
n
Z a0 aiXi i1
n
Z （aiXi）2 i1
第二节 结构可靠度基本分析方法
第一节 结构可靠度基本原理 Nhomakorabea结构可靠度： 结构可靠性的概率度量
可靠概率: 失效概率:
结构能完成预定功能的概率（ps） 结构不能完成预定功能的概率（pf）
ps pf 1
失效概率pf 越小，结构的可靠性越高； 失效概率pf 越大，结构的可靠性越低。
习惯上以失效概率pf来度量结构可靠度。
第一节 结构可靠度基本原理
第二节 结构可靠度基本分析方法
（一）两个正态随机变量情况
极限状态方程为
Z g （ R ， S ） R S 0
标准化变换，令
R R R R
S S S S
极限状态方程变化为
Z RR SS R S 0
R（ R ） S R 2S 2
S RS 0
R 2S 2
R 2S 2
Zg （ X 1 ， X 2 ， ， X n ） i n （ 1 X iX i） X g i
功能函数的统计参数为
第二节 结构可靠度基本分析方法
Z g （ X 1 ， X 2 ， ， X n ） Z
可靠指标为
n（g
i1 Xi
Xi）2
Z g（X1，X2， ，Xn）
Z
n（g
承载的变形。该状态为：
1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如滑动、 倾覆等）；
第二节 结构可靠度基本分析方法
（一）线性功能函数情况 设结构功能函数为线性函数，即
n
Z a0 ai Xi i1
式中 a0、ai ——已知常数（i =1，2，…，n）。 功能函数的统计参数为
n
Z a0 aiXi i1
n
Z （aiXi）2 i1
第二节 结构可靠度基本分析方法
第一节 结构可靠度基本原理 Nhomakorabea结构可靠度： 结构可靠性的概率度量
可靠概率: 失效概率:
结构能完成预定功能的概率（ps） 结构不能完成预定功能的概率（pf）
ps pf 1
失效概率pf 越小，结构的可靠性越高； 失效概率pf 越大，结构的可靠性越低。
习惯上以失效概率pf来度量结构可靠度。
第一节 结构可靠度基本原理
第二节 结构可靠度基本分析方法
（一）两个正态随机变量情况
极限状态方程为
Z g （ R ， S ） R S 0
标准化变换，令
R R R R
S S S S
极限状态方程变化为
Z RR SS R S 0
R（ R ） S R 2S 2
S RS 0
R 2S 2
R 2S 2
Zg （ X 1 ， X 2 ， ， X n ） i n （ 1 X iX i） X g i
功能函数的统计参数为
第二节 结构可靠度基本分析方法
Z g （ X 1 ， X 2 ， ， X n ） Z
可靠指标为
n（g
i1 Xi
Xi）2
Z g（X1，X2， ，Xn）
Z
n（g
承载的变形。该状态为：
1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如滑动、 倾覆等）；
结构构件可靠度的计算方法
2. 方法二 将X空间的相关量转换到标准正态U空间 将随机变量标准化
Ui
=
Xi − µXi σ Xi
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.2 可靠指标求解
1. 方法一
l 假定构件功能函数（非线性）
Z = g(X ) = g(X1, X 2 ,L, X n )
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
+
µ
2 fy
µW2
δ
2 W
= 25920.9（N·m）
σ Z2 ≈
σ2 fy
+
128800 µW2
2
σ
2 W
=
µ δ 2 2 fy fy
+
128800 µW
2
δ
2 W
= 27191968.7（Pa）
(4) 计算可靠指标
β1
=
µZ1 σ Z1
=
103043.8 25920.9
=
3.975
β2
=
µZ 2 σZ2
分析时，仅保留随机变量的一次项。 - 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的均
值和方差。 - 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.
1
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
n
∑ Z = g( X ) = a0 + a1x1 + a2 x2 + L + an xn = a0 + ai xi i =1
(6) 计算灵敏性系数（第一组参数）
αR =
∑
∂g ∂R
− ∂g ∂R
P*σ R
第9章 结构可靠度分析
不为正态分布或对数正态分布
时，或结构功能函数为非线性
函数时â
pf
√结构可靠指标很难用基本变
量的统计参数表达â
μZ
Z √则要由失效概率计算可靠指
可靠指标β与失效概率pf的关系
标。
9 - 16
第二节 结构可靠度分析的实用方法
一、中心点法
Ö特点：仅利用基本随机变量的统计参数(均值和方差)计算 结构的可靠度,因此实用方便。
与R相互独立，则
fZ (Z ) = fZ (R, S) = fR (R) × fS (S)
òò 此时有pf = P{Z < 0}= P{R-S < 0}= fR(R) fS(S)dRdS R-S<0
先对R积分，再对S积分，由上式有： 先对S积分，再对R积分，由上式有：
ò ò p f
=
+¥é -¥ êë
÷ö ø
dM=0.05。L为常数，L=4m。采用中心点法计算可靠指标。
P
q
L/2
L/2
简支梁及其受载
9 - 20
第二节 结构可靠度分析的实用方法
解：
mZ
=
mM
-
L 4
mP
-
1 8
L2 m q
= 18 -
4 4
´10
-
1 8
´42´源自2=4kN × m
s P = mPd P = 10´ 0.10 = 1.0kN
< 0}= PîíìsZZ
<
0ýü þ
=
P
ì í î
Z
s
m
Z
Z
< - mZ sZ
ü ý þ
其中：mZ = mR - mS , s Z =
时，或结构功能函数为非线性
函数时â
pf
√结构可靠指标很难用基本变
量的统计参数表达â
μZ
Z √则要由失效概率计算可靠指
可靠指标β与失效概率pf的关系
标。
9 - 16
第二节 结构可靠度分析的实用方法
一、中心点法
Ö特点：仅利用基本随机变量的统计参数(均值和方差)计算 结构的可靠度,因此实用方便。
与R相互独立，则
fZ (Z ) = fZ (R, S) = fR (R) × fS (S)
òò 此时有pf = P{Z < 0}= P{R-S < 0}= fR(R) fS(S)dRdS R-S<0
先对R积分，再对S积分，由上式有： 先对S积分，再对R积分，由上式有：
ò ò p f
=
+¥é -¥ êë
÷ö ø
dM=0.05。L为常数，L=4m。采用中心点法计算可靠指标。
P
q
L/2
L/2
简支梁及其受载
9 - 20
第二节 结构可靠度分析的实用方法
解：
mZ
=
mM
-
L 4
mP
-
1 8
L2 m q
= 18 -
4 4
´10
-
1 8
´42´源自2=4kN × m
s P = mPd P = 10´ 0.10 = 1.0kN
< 0}= PîíìsZZ
<
0ýü þ
=
P
ì í î
Z
s
m
Z
Z
< - mZ sZ
ü ý þ
其中：mZ = mR - mS , s Z =
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·158·
第9章
结构可靠度分析与计算
·159·
解：(1) 取用抗力作为功能函数。 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 极限状态方程为 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 = 0 由式(9-9)得： μ Z = μ f μW − M = 234 × 9.0 × 105 − 130.0 × 106 = 8.06 × 107 N ⋅ m 由式(9-9)得：
R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力 Rc 的统计参数为：
μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN
钢筋抗力 Rs 的统计参数：
μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN
查表 9-1 可得，相应的失效概率 Pf 为 2.06×10-4。
·157·
·158·
荷载与结构设计方法
9.2
9.2.1 均值一次二阶矩法
结构可靠度计算
均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路 为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，分析结构的可 靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作 Taylor 级数展开，使之线性化，然 后求解可靠指标。 设 X1，X2， …，Xn 是结构中 n 个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为 μ X 和
β=
μZ σZ
μ
=
g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
1 2 n
(9-10)
μ
g 2 2 (∂ ) σX ∑ i =1 ∂ X i μ
n
i
由上述可以看出，均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式， 直接给出可靠指标β与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它也存在着 以下缺点。 (1) 不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分布或非对数正 态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能采用。 (2) 将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不 在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲 面。可靠指标β依赖于展开点的选择。 (3) 对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一次二阶矩法不 能求得相同的可靠指标值。见例 9.2 的分析。 【例 9.2】 已知某钢梁截面的塑性抵抗矩 W 服从正态分布，μW = 9.0 × 105 mm3 ，δ W = 0.04 ； 钢梁材料的屈服强度 f 服从对数正态分布， μ f = 234N/mm3 ， δ f = 0.12。钢梁承受确定性 弯矩 M = 130.0kN ⋅ m。试用均值一次二阶矩法计算该梁的可靠指标β。
第9章
结构可靠度分析与计算
教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。并在此基础上，简述 了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。 教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。
9.1
结构可靠度的基本概念
9.1.1 结构的功能要求和极限状态 工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足 设计所预期的各项功能。 《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068—2001)规定，结构在 规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。 (1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。 (2) 在正常使用时具有良好的工作性能。 (3) 在正常维护下具有足够的耐久性能。 (4) 在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。 上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的 耐久性要求。 这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为 50 年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用 性和耐久性)的能力。 显然， 增大结构设计的余量， 如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量， 或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但 这将使结构造价提高，不符合经济的要求。因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构 可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做 到经济合理。 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此 特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。极限 状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。 (1) 承载力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适 于继续承载的变形。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、过大的滑移等)。 ② 结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过度变形而不适于继 续承载(如受弯构件中的少筋梁)。 ③ 结构转变为机动体系 (如超静定结构由于某些截面的屈服，使结构成为几何可变 体系)。
·157·
表 9-1
β
1.0 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0
Pf 1.59×10-1 6.68×10-2 2.28×10-2 6.21×10-3 3.50×10-3 1.35×10-3
6.40×10-4 2.33×10-4 1.10×10-4 3.17×10-5 1.30×10-5
由图 9.2 可知，失效概率 Pf 尽管很小，但总是存在的。因此，要使结构设计做到绝对 的可靠( R > S ) 是不可能的，合理的解答应该是把所设计的结构失效概率降低到人们可以接 受的程度。 【例 9.1】 某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为 Ac=b×h=(300×500)mm2，配有 4 根直 径为 25 的 HRB335 钢筋， Αs=1964mm2。 设荷载服从正态分布， 轴力 N 的平均值μN=1800kN， 变异系数 δN=0.10 。钢筋屈服强度 φy 服从正态分布，其平均值 μfy=380N/mm2 ，变异系数 δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度 φc 也服从正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2 ，变异系数 δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。 解：(1) 荷载效应 S 的统计参数。 μS=μN=1800kN，σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN (2) 构件抗力 R 的统计参数。 短 柱 的 抗 力 由 混 凝 土 抗 力 Rc= fcAc 和 钢 筋 的 抗 力 Rs=fyAs 两 部 分 组 成 ， 即 ：
i
σ X (i=1，2，…，n)，由这些随机变量所表示的结构功能函数为
i
Z=g(X1，X2，…，Xn) 将功能函数 Z 在随机变量的平均值处展开为 Taylor 级数并保留至一次，即：
n g Z μ = g ( μ X ，μ X ，…，μ X ) + ∑ ∂ i =1 ∂ X i
1 2 n
(9-6)
β 值可按式(9-5)计算，得：
β= μ − μS μZ = R 2 2 σZ +σS σR
(9-5)
β 与 Pf 在数值上的对应关系见表 9-1。 从表中可以看出，β 值相差 0.5， 失效概率 Pf 大
致差一个数量级。
·156·
第9章
结构可靠度分析与计算
β 与 Pf 的对应关系 β
3.2 3.5 3.7 4.0 4.2 Pf
μ z = μR − μs
2 2 σz = σR +σS
Z
(9-3) (9-4)
结构失效概率 Pf 与功能函数平均值 μ 到坐标原点的距离有关，取 μ z = βσ z 。由图 9.2 可见，β 与 Pf 之间存在着对应关系。β 值越大， 失效概率 Pf 就小；β 值越小， 失效概率 Pf 就大。 因此，β 与 Pf 一样， 可作为度量结构可靠度的一个指标， 故称 β 为结构的可靠指标。
图 9.2 功能函数 Z 的分布曲线
Z = R − S < 0 的事件出现的概率就是失效概率 Pf ：
Pf = P ( Z = R − S < 0) = ∫
0 −∞
f ( Z )dZ
(9-2)
式中， f ( Z ) ——结构功能函数 Z 的概率密度分布函数。 失效概率 Pf 就可以用图 9.2 中的阴影面积表示。如结构抗力 R 的平均值为 μ R ，标准差 为 σ R ；荷载效应的平均值为 μ S ，标准差为 σ S ，则功能函数 Z 的平均值及标准差为：
第9章
结构可靠度分析与计算
·155·
④ 结构或结构构件丧失稳定(如细长柱达到临界荷载发生压屈等)。 ⑤ 地基丧失承载力而破坏(如失稳等)。 (2) 正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的 某项规定限值。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 影响正常使用或外观的变形(如过大的挠度)。 ② 影响正常使用或耐久性能的局部损失(如不允许出现裂缝结构的开裂；对允许出现 裂缝的构件，其裂缝宽度超过了允许限值)。 ③ 影响正常使用的振动。 ④ 影响正常使用的其他特定状态。 9.1.2 结构抗力 结构抗力 R 是指结构或构件承受作用效应的能力，如构件的承载力、刚度、抗裂度等。 影响结构抗力的主要因素是材料性能(承载力、变形模量等物理力学性能)、几何参数以及 计算模式的精确性等。考虑到材料性能的变异性、几何参数及计算模式精确性的不确定性， 所以由这些因素综合而成的结构抗力也是随机变量。 9.1.3 结构功能函数 结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应 S 和结构抗力 R 的关系来描述，这 种表达式称为结构功能函数，用 Z 来表示： Z = R − S = g ( R，S ) (9-1) 它可以用来表示结构的 3 种工作状态(图 9.1)。 当 Z > 0 时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态。 当 Z < 0 时，结构不能完成预定的功能，处于失效状态。 当 Z = 0 时，即 R = S 结构处于临界的极限状态， Z = g ( R，S ) = R − S = 0 ，称为极限状 态方程。 结构功能函数的一般表达式 Z = g ( X 1，X 2， ，Xn) = 0 ，其中 Xi (i = 1，2， ，n) 为影响 作用效应 S 和结构抗力 R 的基本变量，如荷载、材料性能、几何参数等。由于 R 和 S 都是 非确定性的随机变量，故 Z 也是随机变量。
第9章
结构可靠度分析与计算
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解：(1) 取用抗力作为功能函数。 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 极限状态方程为 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 = 0 由式(9-9)得： μ Z = μ f μW − M = 234 × 9.0 × 105 − 130.0 × 106 = 8.06 × 107 N ⋅ m 由式(9-9)得：
R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力 Rc 的统计参数为：
μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN
钢筋抗力 Rs 的统计参数：
μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN
查表 9-1 可得，相应的失效概率 Pf 为 2.06×10-4。
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荷载与结构设计方法
9.2
9.2.1 均值一次二阶矩法
结构可靠度计算
均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路 为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，分析结构的可 靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作 Taylor 级数展开，使之线性化，然 后求解可靠指标。 设 X1，X2， …，Xn 是结构中 n 个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为 μ X 和
β=
μZ σZ
μ
=
g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
1 2 n
(9-10)
μ
g 2 2 (∂ ) σX ∑ i =1 ∂ X i μ
n
i
由上述可以看出，均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式， 直接给出可靠指标β与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它也存在着 以下缺点。 (1) 不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分布或非对数正 态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能采用。 (2) 将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不 在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲 面。可靠指标β依赖于展开点的选择。 (3) 对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一次二阶矩法不 能求得相同的可靠指标值。见例 9.2 的分析。 【例 9.2】 已知某钢梁截面的塑性抵抗矩 W 服从正态分布，μW = 9.0 × 105 mm3 ，δ W = 0.04 ； 钢梁材料的屈服强度 f 服从对数正态分布， μ f = 234N/mm3 ， δ f = 0.12。钢梁承受确定性 弯矩 M = 130.0kN ⋅ m。试用均值一次二阶矩法计算该梁的可靠指标β。
第9章
结构可靠度分析与计算
教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。并在此基础上，简述 了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。 教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。
9.1
结构可靠度的基本概念
9.1.1 结构的功能要求和极限状态 工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足 设计所预期的各项功能。 《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068—2001)规定，结构在 规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。 (1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。 (2) 在正常使用时具有良好的工作性能。 (3) 在正常维护下具有足够的耐久性能。 (4) 在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。 上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的 耐久性要求。 这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为 50 年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用 性和耐久性)的能力。 显然， 增大结构设计的余量， 如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量， 或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但 这将使结构造价提高，不符合经济的要求。因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构 可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做 到经济合理。 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此 特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。极限 状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。 (1) 承载力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适 于继续承载的变形。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、过大的滑移等)。 ② 结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过度变形而不适于继 续承载(如受弯构件中的少筋梁)。 ③ 结构转变为机动体系 (如超静定结构由于某些截面的屈服，使结构成为几何可变 体系)。
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表 9-1
β
1.0 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0
Pf 1.59×10-1 6.68×10-2 2.28×10-2 6.21×10-3 3.50×10-3 1.35×10-3
6.40×10-4 2.33×10-4 1.10×10-4 3.17×10-5 1.30×10-5
由图 9.2 可知，失效概率 Pf 尽管很小，但总是存在的。因此，要使结构设计做到绝对 的可靠( R > S ) 是不可能的，合理的解答应该是把所设计的结构失效概率降低到人们可以接 受的程度。 【例 9.1】 某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为 Ac=b×h=(300×500)mm2，配有 4 根直 径为 25 的 HRB335 钢筋， Αs=1964mm2。 设荷载服从正态分布， 轴力 N 的平均值μN=1800kN， 变异系数 δN=0.10 。钢筋屈服强度 φy 服从正态分布，其平均值 μfy=380N/mm2 ，变异系数 δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度 φc 也服从正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2 ，变异系数 δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。 解：(1) 荷载效应 S 的统计参数。 μS=μN=1800kN，σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN (2) 构件抗力 R 的统计参数。 短 柱 的 抗 力 由 混 凝 土 抗 力 Rc= fcAc 和 钢 筋 的 抗 力 Rs=fyAs 两 部 分 组 成 ， 即 ：
i
σ X (i=1，2，…，n)，由这些随机变量所表示的结构功能函数为
i
Z=g(X1，X2，…，Xn) 将功能函数 Z 在随机变量的平均值处展开为 Taylor 级数并保留至一次，即：
n g Z μ = g ( μ X ，μ X ，…，μ X ) + ∑ ∂ i =1 ∂ X i
1 2 n
(9-6)
β 值可按式(9-5)计算，得：
β= μ − μS μZ = R 2 2 σZ +σS σR
(9-5)
β 与 Pf 在数值上的对应关系见表 9-1。 从表中可以看出，β 值相差 0.5， 失效概率 Pf 大
致差一个数量级。
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第9章
结构可靠度分析与计算
β 与 Pf 的对应关系 β
3.2 3.5 3.7 4.0 4.2 Pf
μ z = μR − μs
2 2 σz = σR +σS
Z
(9-3) (9-4)
结构失效概率 Pf 与功能函数平均值 μ 到坐标原点的距离有关，取 μ z = βσ z 。由图 9.2 可见，β 与 Pf 之间存在着对应关系。β 值越大， 失效概率 Pf 就小；β 值越小， 失效概率 Pf 就大。 因此，β 与 Pf 一样， 可作为度量结构可靠度的一个指标， 故称 β 为结构的可靠指标。
图 9.2 功能函数 Z 的分布曲线
Z = R − S < 0 的事件出现的概率就是失效概率 Pf ：
Pf = P ( Z = R − S < 0) = ∫
0 −∞
f ( Z )dZ
(9-2)
式中， f ( Z ) ——结构功能函数 Z 的概率密度分布函数。 失效概率 Pf 就可以用图 9.2 中的阴影面积表示。如结构抗力 R 的平均值为 μ R ，标准差 为 σ R ；荷载效应的平均值为 μ S ，标准差为 σ S ，则功能函数 Z 的平均值及标准差为：
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④ 结构或结构构件丧失稳定(如细长柱达到临界荷载发生压屈等)。 ⑤ 地基丧失承载力而破坏(如失稳等)。 (2) 正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的 某项规定限值。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 影响正常使用或外观的变形(如过大的挠度)。 ② 影响正常使用或耐久性能的局部损失(如不允许出现裂缝结构的开裂；对允许出现 裂缝的构件，其裂缝宽度超过了允许限值)。 ③ 影响正常使用的振动。 ④ 影响正常使用的其他特定状态。 9.1.2 结构抗力 结构抗力 R 是指结构或构件承受作用效应的能力，如构件的承载力、刚度、抗裂度等。 影响结构抗力的主要因素是材料性能(承载力、变形模量等物理力学性能)、几何参数以及 计算模式的精确性等。考虑到材料性能的变异性、几何参数及计算模式精确性的不确定性， 所以由这些因素综合而成的结构抗力也是随机变量。 9.1.3 结构功能函数 结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应 S 和结构抗力 R 的关系来描述，这 种表达式称为结构功能函数，用 Z 来表示： Z = R − S = g ( R，S ) (9-1) 它可以用来表示结构的 3 种工作状态(图 9.1)。 当 Z > 0 时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态。 当 Z < 0 时，结构不能完成预定的功能，处于失效状态。 当 Z = 0 时，即 R = S 结构处于临界的极限状态， Z = g ( R，S ) = R − S = 0 ，称为极限状 态方程。 结构功能函数的一般表达式 Z = g ( X 1，X 2， ，Xn) = 0 ，其中 Xi (i = 1，2， ，n) 为影响 作用效应 S 和结构抗力 R 的基本变量，如荷载、材料性能、几何参数等。由于 R 和 S 都是 非确定性的随机变量，故 Z 也是随机变量。